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专题 18 正方形中“外角平分线”模型
解题思路
【模型归纳】典例分析
【典例1】（春•双鸭山期末）如图，四边形ABCD是正方形，E是BC边所在
直线上的点，∠AEF＝90°，且 EF 交正方形外角∠DCG 的平分线 CF 于点
F．
（1）当点E在线段BC中点时（如图1），易证AE＝EF，不需证明；
（2）当点E在线段BC上（如图2）或在线段BC延长线上（如图3）时，
（1）中的结论是否仍然成立？请写出你的猜想，并选择图 2或图3的一种结
论给予证明．
【变式1-1】（春•海淀区校级期中）如图，四边形 ABCD是正方形，点E是边
BC上一点，且∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．若正方
形边长是8，EC＝2，则FC的长为 ．【变式1-2】（2021春•柳南区校级期末）如图1，四边形ABCD是正方形，点
E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平
分线CF于点F．
（1）如图2，取AB的中点H，连接HE，求证：AE＝EF．
（2）如图3，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件
不变结论“AE＝EF”仍然成立吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，
请说明理由．
【变式1-3】（春•西乡塘区期末）如图所示，BD是正方形ABCD的对角线，
BC＝4，点H是AD边上的一动点，连接CH，作HE⊥CH，使得HE＝CH，
连接AE．
（1）求证：∠DCH＝∠AHE；
（2）如图2，过点E作EF∥AD交对角线BD于点F，试探究：在点H的运
动过程中，EF的长度是否为一个定值；如果是，请求出EF的长度．夯实基础
1．（2022秋•佛山期末）如图，在边长为5的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，
AE 交BC 于点 E，AF 交CD于点 F，连接 EF．若 DF＝2，则 BE 的长为（
）
A． B． C． D．2
2．（2021春•钦州期末）如图，四边形 ABCD是正方形，点E是边BC的中点，
∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线 CF于点F，已知正方形边长为
4，则EF的长为 ．
3．（2022春•长寿区期末）已知：四边形ABCD是正方形．
（1）如图1，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分
线CF于点F．求证：AE＝EF；
（2）如图2，若把（1）中“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的
任意一点”，其余的条件不变，试证明AE＝EF仍然成立．4．（2022春•济源期中）在一次课题学习活动中，老师提出了如下问题：如图
1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方
形外角平分线 CF于点F．请你探究AE与EF存在怎样的数量关系，并证明你
的结论正确．
经过探究，小明得出的结论是AE＝EF．而要证明结论AE＝EF，就需要证明
AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直
角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点 E是边BC的中点，小明想到的
方法是如图2，取AB的中点M，连接EM，证明△AEM≌△EFC．从而得到
AE＝EF．
请你参考小明的方法解决下列问题：
（1）如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任
意一点”，其余条件不变，证明结论AE＝EF仍然成立．
（2）如图4，若把条件“点E是边BC的中点”改为：“点E是边BC延长
线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论 AE＝EF是否还成立？若成立，
请完成证明过程，若不成立，请说明理由．5．（2021春•天元区期中）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中
点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你认真阅读下面
关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．
（1）请证明AE＝EF请证明．
（2）若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是线段BC上任意一点”，
其余条件不变，那么（1）中的结论AE＝EF是否成立？若成立，请给与证明；
若不成立，请你说明理由．能力提升
6．（2020春•江川区期中）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，
∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．
（1）求证：AE＝EF；
（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N
是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN＝60°时，结论AM＝MN是否还成立？
请说明理由．7．（2020春•南岗区期末）如图，四边形 ABCD是正方形，点E是边BC的中
点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．
（1）求证：AE＝EF；
（2）若S ＝2，求EF的长．
△CEF
8．（2019春•望花区期末）已知四边形 ABCD是正方形，点E是边BC上的任
意一点，AE⊥EF，且直线EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）如图1，求证：AE＝EF；
（2）如图2，当AB＝2，点E是边BC的中点时，请直接写出FC的长．
9．（春•广州校级期中）正方形ABCD边长为8，E、F分别是BC、CD边上的
动点，且AE⊥EF．
（1）如图①，延长EF交∠BCD的外角平分线于M点，求证：AE＝EM．
（2）如图②，若点E是BC的中点，求CF的长及△AEF的面积？10．（2021春•莆田期末）如图 1，在正方形ABCD中，∠AEF＝90°，且EF交
正方形外角的平分线CF于点F．
（1）若点E是BC边上的中点，求证：AE＝EF；
（2）如图2，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件
不变，那么结论“AE＝EF”是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不
成立，请说明理由；
（3）如图3，若点E是BC边上的任意点一，在AB边上是否存在点M，使
得四边形DMEF是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理
由．
