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专题 3.1 导数的概念及运算-重难点题型精讲
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x 处的导数
0
一般地，称函数y＝f(x)在x＝x 处的瞬时变化率
0
lim＝lim为函数y＝f(x)在x＝x 处的导数，记作f′(x)或y′|x＝x，即f′(x)＝lim＝lim．
0 0 0 0
(2)导数的几何意义
函数f(x)在点x 处的导数f′(x)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x ，y)处的切线的斜率(瞬时速度就是
0 0 0 0
位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y＝f′(x)(x－x)．
0 0 0
(3)函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝lim为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax
f′(x)＝axln_a
(a>0且a≠1)
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝log x
a
f′(x)＝
(x>0，a>0且a≠1)
f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝
3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝(g(x)≠0)．
4．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′＝y′·u′，即y对x的导数等于y
x u x
对u的导数与u对x的导数的乘积．
【题型1 利用导数的定义解题】
【方法点拨】
利用导数的定义，转化求解即可.
lim f(x −Δx)−f(x )
【例1】（2022•庐阳区校级开学）已知函数f（x）在x＝x 处的导数为12，则 0 0
0 Δx→0 =
3Δx
（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣36 D．36
【解题思路】由已知结合导数的定义即可求解．
【解答过程】解：因为函数f（x）在x＝x 处的导数为12，
0
lim f(x −Δx)−f(x ) lim f(x −△x)−f(x )
则 0 0 1 0 0 1 1 4．
Δx→0 = △x→0 =− f '(x )=− ×12=−
3Δx 3 −△x 3 0 3
故选：A．
【变式 1-1】（2022 春•哈尔滨期末）已知 f'（x）是函数 f（x）的导函数，若 f'（2）＝4，则
lim f(2+2x)−f(2)
（ ）
x→0 =
x
A．4 B．2 C．8 D．﹣8
lim f(2+2x)−f(2)
【解题思路】根据题意，由极限的性质可得 2f′（2），进一步得到答案．
x→0 =
x
【解答过程】解：根据题意，由导数的定义，lim f(2+2x)−f(2) lim f(2+2x)−f(2)
可得 ．
x→0 =22x→0 =2f '(2)=8
x 2x
故选：C．
【 变 式 1-2 】 （ 2022 春 • 尖 山 区 校 级 期 末 ） 已 知 f （ x ） 是 定 义 在 R 上 的 可 导 函 数 ， 若
lim f(3−Δx)−f(3+Δx)
，则f'（3）＝（ ）
Δx→0 =4
Δx
1
A．0 B．﹣2 C．1 D．−
2
【 解 题 思 路 】 根 据 题 意 ， 由 极 限 的 性 质 可 得
lim f(3−△x)−f(3+△x) lim f(3−Δx)−f(3+Δx)
1 ，再由导数的定义得答案．
△x→0 =− Δx→0
(3−△x)−(3+△x) 2 Δx
【解答过程】解：根据题意，f（x）是定义在R上的可导函数，
lim f(3−Δx)−f(3+Δx)
若 ，
Δx→0 =4
Δx
lim f(3−△x)−f(3+△x) lim f(3−Δx)−f(3+Δx)
则 1 ，
△x→0 =− Δx→0 =−2
(3−△x)−(3+△x) 2 Δx
则f'（3）＝﹣2；
故选：B．
【变式1-3】（2022春•北海期末）已知函数 f(x)= 1 x3+2 ，则 Δ
l
x
i
→
m
0
f(1+Δx)−f(1)
= （ ）
3
Δx
A．1 B．5 C．7 D．6
【解题思路】利用导数的运算法则得到f'（1）＝1，再利用导数的几何意义求解．
1
【解答过程】解：∵f(x)= x3+2，
3
∴f'（x）＝x2，则f'（1）＝1，
lim f(1+Δx)−f(1)
∴ ．
Δx→0 =f '(1)=1
Δx故选：A．
【题型2 导数的运算】
【方法点拨】
常见形式及具体求导6种方法：
连乘形式 先展开化为多项式形式，再求导
三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
分式形式 先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导
对数形式 先化为和、差形式，再求导
复合函数 先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元
【例2】（2022•临洮县开学）下列求导运算正确的是（ ）
1 1 1
A．(x+ )'=1+ B．（log x）'=
x x2 2 xln2
C．（3x）′＝3x•log e D．（x2cosx）'＝﹣2xsinx
3
【解题思路】根据已知条件，结合导数求导的公式，即可求解．
1 1
【解答过程】解：对于A，(x+ )'=1− ，故A错误，
x x2
1
对于B，（log x）'=
2
xln2
对于C，（3x）′＝3xln3，故C错误，
对于D，（x2cosx）'＝2xcosx﹣x2sinx，故D错误．
故选：B．
【变式2-1】（2022春•新源县期末）记函数f（x）的导函数为f'（x）．若f（x）＝exsinx，则f'（x）＝（
）
A．exsinx﹣excosx B．exsinx+excosx
C．excosx D．ex+cosx【解题思路】利用求导法则可解．
【解答过程】解：f（x）＝exsinx，则f′（x）＝exsinx+excosx，
故选：B．
lnx
【变式2-2】（2022•河南开学）已知函数f(x)= −ax2，若f'（1）＝﹣1，则a＝（ ）
x
1 1
A．﹣1 B．− C． D．1
2 2
【解题思路】先对函数求导，然后把x＝1代入后即可求解．
1−lnx
【解答过程】解：因为f '(x)= −2ax，
x2
所以f'（1）＝1﹣2a＝﹣1，
所以a＝1．
故选：D．
【变式2-3】（2022秋•渝中区校级月考）已知函数f（x）＝3x﹣2f'（1）lnx，则f'（1）＝（ ）
A．ln3 B．2 C．3 D．3ln3
【解题思路】可求出导函数f′（x），然后即可求出f′（1）的值．
2f '(1)
【解答过程】解：f '(x)=3xln3− ，
x
∴f′（1）＝3ln3﹣2f′（1），
∴f′（1）＝ln3．
故选：A．
【题型3 求切线方程（斜率、倾斜角）】
【方法点拨】
求曲线过点P的切线方程的方法：
(1)当点P(x，y)是切点时，切线方程为y－y＝f′(x)·(x－x)．
0 0 0 0 0
(2)当点P(x，y)不是切点时，可分以下几步完成：
0 0
第一步：设出切点坐标P′(x，f(x))；
1 1
第二步：写出过点P′(x，f(x))的切线方程y－f(x)＝f′(x)(x－x)；
1 1 1 1 1
第三步：将点P的坐标(x，y)代入切线方程求出x；
0 0 1
第四步：将x 的值代入方程y－f(x)＝f′(x)(x－x)可得过点P(x，y)的切线方程．
1 1 1 1 0 0
π
【例3】（2021•广东模拟）函数y=xcos2x在点( ，0)处的切线方程是（ ）
4
A．4 x+16y﹣ 2＝0 B．4 x﹣16y﹣ 2＝0
π π π πC．4 x+8y﹣ 2＝0 D．4 x﹣8y﹣ 2＝0
π π π π π
【解题思路】先利用导数的几何意义，求出k＝y′| = ，再利用直线的点斜式求出切线方程．
x
4
【解答过程】解：∵y′＝cos2x﹣2xsin2x，
π π π
∴k= y'| =− ，⇒L：y−0=− (x− )，
x= π 2 2 4
4
整理得：4 x+8y﹣ 2＝0，
故选：C．π π
【变式3-1】（2021秋•海淀区校级月考）设函数 f （ x）＝x•lnx，则曲线y＝f（x）在点 （1，0）处的
切线方程为（ ）
A．y＝﹣x﹣1 B．y＝x+1 C．y＝﹣x+1 D．y＝x﹣1
【解题思路】由导数的几何意义得：曲线y＝f（x）在点 （1，0）处的切线方程为，y﹣0＝x﹣1，即y
＝x﹣1，得解．
【解答过程】解：因为 f （ x）＝x•lnx，
所以f′（x）＝lnx+1，
所以f′（1）＝1，
即曲线y＝f（x）在点 （1，0）处的切线方程为，y﹣0＝x﹣1，
即y＝x﹣1，
故选：D．
【变式3-2】（2022春•白山期末）曲线y＝x4﹣3x在点（1，﹣2）处的切线的倾斜角为（ ）
π π π 2π
A． B． C． D．
6 4 3 3
【解题思路】利用导数的运算公式解出在x＝1处的导数值，即可解出．
【解答过程】解：因为y'＝4x3﹣3，所以y'|
x＝1
＝1，
设直线的倾斜角为 ，则tan ＝1，
∵ （0， ）， α α
α∈π π
∴ = ．
4
α
故选：B．
1
【变式3-3】（2021春•滑县校级月考）已知函数f(x)= x3−2x，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处
3
的切线的斜率是（ ）√3
A． B．1 C．−√3 D．﹣1
3
【解题思路】直接利用导数求切线斜率即可．
1
【解答过程】解：设切线的斜率为k，由f(x)= x3−2x，则f'（x）＝x2﹣2，
3
则有k＝f'（1）＝﹣1．
故选：D．
【题型4 求切点坐标】
【方法点拨】
求切点坐标的思路：已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜
率，
从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．
π
【例4】（2022春•定远县校级月考）曲线y＝f（x）＝ex的倾斜角为 的切线的切点坐标为（ ）
6
1 √3 1
A．（− ln3， ） B．（ ln3，√3）
2 3 2
1 √3 1
C．（ ln3， ） D．（− ln3，√3）
2 3 2
【解题思路】求出原函数的导函数，得到函数在P点处的导数，由导数值等于1求得P的横坐标，则答
案可求．
【解答过程】解：∵y＝f（x）＝ex，∴y′＝ex，
设P（x ，y ），则y′|x＝x ＝ex0，
0 0 0
π
又曲线y＝ex上的点P处的切线的倾斜角为 ，
6
√3 1
∴ex0= ，x =− ln3．
0
3 2
1
− ln3 √3
∴y =e 2 = ．
0
3
1 √3
∴点P的坐标为（− ln3， ）．
2 3
故选：A．
1
【变式4-1】（2021春•浙江期中）已知f(x)= 的切线斜率等于﹣4，则切点坐标是（ ）
x1 1 1 1
A．( ，−2)或(− ，2) B．( ，2)或(− ，−2)
2 2 2 2
1 1 1 1
C．( ，4)或(− ，−4) D．( ，−4)或(− ，4)
4 4 4 4
【解题思路】求出原函数的导函数，利用导函数值为﹣4求得切点横坐标，代入原函数求得切点纵坐标，
则答案可求．
1 1
【解答过程】解：由f(x)= ，得f′（x）=− ，
x x2
1 1
由− =−4，得x=± ，
x2 2
1 1
当x= 时，f（x）＝2，当x=− 时，f（x）＝﹣2．
2 2
1 1
∴切点坐标为( ，2)或(− ，−2)．
2 2
故选：B．
3
【变式4-2】（2021•天心区校级模拟）已知曲线y=√400+x2+ (100−x)(0≤x≤100)在点M处有水平
5
切线，则点M的坐标是（ ）
A．（﹣15，76） B．（15，67） C．（15，76） D．（15，﹣76）
【解题思路】求函数的导数，据切点处的导数值为切线斜率，水平切线斜率为 0，令导数等于0解切点
横坐标．
【解答过程】解：设M（x，y））则
x 3
y'= −
√400+x2 5
∵曲线在点M处有水平切线
∴在点M处的导数为0
x 3
∴ − =0
√400+x2 5
解得x＝15
3
代入y=√400+x2+ (100−x)(0≤x≤100)
5
得y＝76
M（15，76）
故选：C．【变式4-3】（2021•黄山一模）已知函数f（x）＝x4+ax2+1的图像在点（﹣1，f（﹣1））处的切线与y轴
交于点（0，4），则切点的纵坐标为（ ）
A．7 B．﹣7 C．﹣4 D．4
【解题思路】求出原函数的导函数，得到函数在 x＝﹣1处的导数，再求出f（﹣1）的值，利用直线方
程的点斜式可得切线方程，取x＝0求得y值，进一步得到a值，代入f（﹣1）得答案．
【解答过程】解：由f（x）＝x4+ax2+1，得f′（x）＝4x3+2ax，
则f′（﹣1）＝﹣4﹣2a，
又f（﹣1）＝2+a，
∴函数 f（x）＝x4+ax2+1 的图像在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为 y﹣2﹣a＝（﹣4﹣2a）
（x+1），
取x＝0，得y＝﹣2﹣a＝4，则a＝﹣6．
∴切点的纵坐标为f（﹣1）＝2﹣6＝﹣4．
故选：C．
【题型5 已知切线方程（或斜率）求参数】
【方法点拨】
(1)利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求
出参数的值或取值范围．
(2)求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
①注意曲线上横坐标的取值范围；
②谨记切点既在切线上又在曲线上．
【例5】（2020秋•太原期末）已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为（ ）
1 1
A． B．− C．﹣e D．e
e e
【解题思路】先设出切点坐标P（x ，ex0），再利用导数的几何意义写出过P的切线方程，最后将原点
0
坐标代入即可得P点坐标，从而得到直线y＝kx的斜率k
【解答过程】解：曲线y＝ex的导数为y′＝ex，设切点为P（x ，ex0），则过P的切线方程为y﹣ex0＝
0
ex0（x﹣x ）
0
代入（0，0）点得x ＝1，∴P（1，e）
0
∴k＝e
故选：D．【变式 5-1】（2022春•珠海期末）若曲线 y＝x2+ax+b在点（1，1）处的切线为 3x﹣y﹣2＝0，则有
（ ）
A．a＝﹣1，b＝1 B．a＝1，b＝﹣1 C．a＝﹣2，b＝1 D．a＝2，b＝﹣1
【解题思路】根据题意，利用导数求出曲线的切线斜率，从而求出 a的值，再由点（1，1）在曲线y＝
x2+ax+b上，求出b的值．
【解答过程】解：∵曲线y＝x2+ax+b在点（1，1）处的切线为3x﹣y﹣2＝0，
∴对曲线方程求导数，得y′＝2x+a，
∴x＝1时，k＝2+a＝3，
解得a＝1；
又∵点（1，1）在曲线y＝x2+ax+b上，
∴1+a+b＝1，
解得b＝﹣1；
∴a＝1，b＝﹣1．
故选：B．
【变式5-2】（2022春•红河州期末）已知曲线y＝x3+ax在x＝1处的切线与直线y＝4x+3平行，则a的值为
（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【解题思路】求导函数得出y′＝3x2+a，从而得出x＝1时的导数为3+a，即切线的斜率为3+a，又知道
切线和y＝4x+3平行，从而得出3+a＝4，解出a＝1．
【解答过程】解：y′＝3x2+a；
∴x＝1时，y′＝3+a；
∴据题意得，3+a＝4；
∴a＝1．
故选：C．
【变式5-3】（2021秋•渝中区校级月考）若函数f（x）＝2lnx+4x2+bx+5的图象上的任意一点的切线斜率
都大于0，则b的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣8） B．（﹣8，+∞） C．（﹣∞，8） D．（8，+∞）
2
【解题思路】根据题意，分析函数的定义域，求出其导数，由导数的几何意义分析可得 f′（x）= +
x
2
8x+b＞0在（0，+∞）上恒成立，变形可得b＞﹣（ +8x）在（0，+∞）上恒成立，结合基本不等式的
x性质分析可得答案．
【解答过程】解：根据题意，函数f（x）＝2lnx+4x2+bx+5，其定义域为（0，+∞），
2
其导数f′（x）= +8x+b，
x
2
若函数f（x）的图象上的任意一点的切线斜率都大于0，则有f′（x）= +8x+b＞0在（0，+∞）上恒
x
成立，
2
变形可得b＞﹣（ +8x）在（0，+∞）上恒成立，
x
2 √2 1 2
又由 +8x≥2× ×8x=8，当且仅当x= 时等号成立，即 +8x有最小值8，
x x 2 x
2
若b＞﹣（ +8x）在（0，+∞）上恒成立，必有b＞﹣8，即b的取值范围为（﹣8，+∞）；
x
故选：B．
【题型6 曲线的公切线问题】
【方法点拨】
解决此类问题通常有两种方法：
一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；
二是设公切线l在y＝f(x)上的切点P(x，f(x))，在y＝g(x)上的切点P(x，g(x))，则f′(x)＝g′(x)＝
1 1 1 2 2 2 1 2
.
【例6】（2022春•洛阳月考）若曲线y＝lnx与曲线：y＝x2﹣k有公切线，则实数k的最大值为（ ）
7 1 7 1 1 1 1 1
A． + ln2 B． − ln2 C． + ln2 D． + ln2
8 2 8 2 2 2 2 2
【解题思路】分别设公切线与两曲线的切点，写出过两切点的切线方程，由斜率相等及切线在 y轴上的
截距相等列式，转化为k关于一个切点的函数，再由导数求最值得答案．
1
【解答过程】解：由y＝lnx，得y′= ，设切点为（x ，lnx ），
0 0
x
1 1
则过切点的切线方程为y−lnx = (x−x )，即y = x+lnx −1，
0 x 0 x 0
0 0
由y＝x2﹣k，得y′＝2x，设切点为（ ），
x ，x 2−k
1 1
则切线方程为 ，即 ，
y−x 2+k=2x (x−x ) y=2x x−x 2−k
1 1 1 1 1{ 1 =2x 1
∴ x 1 ，整理得k=1−lnx − ，
0 0 4x 2
lnx −1=−x 2−k 0
0 1
令h（x）＝1﹣lnx 1 ，得h′（x） 1 1 −2x2+1，
− =− + =
4x2 x 2x3 2x3
√2
∴当x （0， ）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
2
∈
√2
当x （ ，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
2
∈
√2 1 1
∴ℎ(x) = ℎ( )= + ln2．
max 2 2 2
1 1
即实数k的最大值为 + ln2．
2 2
故选：C．
【变式6-1】（2022•江苏模拟）若两曲线y＝x2﹣1与y＝alnx﹣1存在公切线，则正实数a的取值范围为（
）
A．（0，2e] B．（0，e] C．[2e，+∞） D．（e，2e]
【解题思路】首先设出两个函数在A，B两点处的切线，利用待定系数法将a用x 表示，在构造函数解
2
决函数最值即可．
【解答过程】解：设 ，
A(x ，x 2−1)，B(x ，alnx −1)
1 1 2 2
a
y '=2x，y '= ，
1 2 x
a
所以k =2x ，k = ，
1 1 2 x
2
故在A处切线为： ，整理得： ，
y−(x 2−1)=2x (x−x ) y=2x x−x 2−1
1 1 1 1 1
a a
在B处切线为y−(alnx −1)= (x−x )，整理得：y= x−a+alnx −1，
2 x 2 x 2
2 2
{ 2x = a
所以 1 x ，解得 a=4x 2 (1−lnx ) ，
2 2 2
−x 2−1=−a+alnx −1
1 2
构造函数f（x）＝4x2（1﹣lnx），f′（x）＝4x（1﹣2lnx），令f′（x）＜0，解得：x＞√e，故f（x）在(0，√e)递增，(√e，+∞)递减，
故 ，
f(x) =f(√e)=2e
max
∵正实数a＞0，∴a的取值范围是（0，2e]，
故选：A．
【变式6-2】（2021秋•滕州市校级期中）已知f（x）＝ex﹣1（e为自然对数的底数），g（x）＝lnx+1，则
f（x）与g（x）的公切线条数（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【解题思路】设直线l与f（x）＝ex﹣1相切于点（m，em﹣1），与g（x）相切于点（n，lnn+1），利
用导数求出切线l在两切点处的方程，利用斜率相等且截距相等列式求解．
【解答过程】解：根据题意，设直线 l与f（x）＝ex﹣1相切于点（m，em﹣1），与g（x）相切于点
（n，lnn+1），
对于f（x）＝ex﹣1，其导数为f′（x）＝ex，
则有k＝f′（m）＝em，
则直线l的方程为y+1﹣em＝em（x﹣m），即y＝emx+em（1﹣m）﹣1，
1
对于g（x）＝lnx+2，其导数为g′（x）= ，
x
1
则有k＝g′（n）= ，
n
1 1
则直线l的方程为y﹣（lnn+1）= （x﹣n），即y= x+lnn，
n n
直线l是f（x）与g（x）的公切线，
则
{ em= 1
，可得（1﹣m）（em﹣1）＝0，
n
(1−m)em=lnn+1
则m＝0或m＝1，
故直线l的方程为y＝x或y＝ex﹣1；
则f（x）与g（x）的公切线条数是2条．
故选：C．
1
【变式6-3】（2022秋•赣州月考）若函数f(x)=3x+ −3(x＞0)的图象与函数g（x）＝txex的图象有
x1
公切线l，且直线l与直线y=− x+2互相垂直，则实数t＝（ ）
2
1 1 1
A． B．e2 C． 或2√e D． 或4√e
e e e
【解题思路】先由题意可得直线l的斜率k＝2，再根据l与f（x）相切求切线l的方程，再设切线l与g
（x）＝txex切于点P（x ，y ），接着根据切点的特点及导数的几何意义建立方程组，最后再解方程组
0 0
即可得解．
【解答过程】解：由题意可得直线l的斜率k＝2，
1
令f '(x)=3− =2，（x＞0），
x2
∴x＝1，又f（1）＝1，
∴切线l的方程为y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1，
设切线l与g（x）＝txex切于点P（x ，y ），
0 0
又g′（x）＝tex（x+1），
y =2x −1
{
0 0
∴ y =tx ex 0 ，
0 0
tex 0(x +1)=2
0
{tx ex 0=2x −1
∴ 0 0 ，
tex 0(x +1)=2
0
∴ x 2x −1，
0 = 0
x +1 2
0
∴ ，
2x2−x −1=0
0 0
∴x ＝1或x 1，又t 2 ，
0 0=− =
2 ex 0(x +1)
0
1
∴t= 或t＝4√e．
e
故选：D．
