第13讲对数函数（解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型（新高考专用）

第13讲 对数函数
【基础知识网络图】
对数与对数函数
对 数
对数
指对 对数 函 数
的概
互化 运算 的 图
念
运算 性质 像 与
性质
图象与性质
【基础知识全通关】
知识点01对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝log x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是
a
(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0<a<1
图象
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
性质
当x>1时，y>0； 当x>1时，y<0；
当0<x<1时，y<0 当0<x<1时，y>0
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
知识点02反函数
对数函数y＝log x(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象
a关于直线y＝x对称．
【知识拓展】
1.换底公式的两个重要结论
(1)logb＝；(2)log m bn＝logb.其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.
a a a
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
3.对数函数y＝logx(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只
a
在第一、四象限.
【考点研习一点通】
考点01：对数函数的概念与图象
y log x
y  xa
【典例1】函数 与函数 a 在同一坐标系的图像只可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
y log x
当a1时，对数函数 a 为增函数，当x1时函数 y  xa 的值为负.无满足条件
的图像.
y log x
当0a1时，对数函数 a 为减函数，当x1时函数 y  xa 的值为正.C满足.
故选：C
1  1
y  ,y log x (a 0
 
【典例2】在同一直角坐标系中，函数 ax a  2 且a 0)的图象可
能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】
1
y 
当0a1时，函数y ax 过定点(0,1)且单调递减，则函数 ax 过定点(0,1)且单调
 1 1
y log  x  ( ,0)
递增，函数 a  2过定点 2 且单调递减，D选项符合；当 a1 时，函数
1
y 
y ax 过定点(0,1)且单调递增，则函数 ax 过定点(0,1)且单调递减，函数
 1 1
y log  x  ( ,0）
a  2过定点 2 且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.
【典例3】在同直角坐标系中， 与 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
利用函数 的单调性排除选项，以及根据函数 的图象判断
，再利用函数 的对称性排除选项.
【详解】
函数 的单调性与 的单调性一致，两段区间都是单调递增，故排除BC，AD选项中， ，当 时， ，即 ，
而 关于点 对称，因为 ，故排除D.
故选：A
【总结提升】
1.对数函数的解析式同时满足：
①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅
有自变量x.
2. (1)不管a>1还是0<a<1，底大图低；
(2)在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a逐渐变小，即a的值越小，图象越靠近y
轴．
3.熟记函数图象的分布规律，就能在解答有关对数图象的选择、填空题时，灵活运用图象，
数形结合解决．
4．对数值log x的符号(x>0，a>0且a≠1)规律：“同正异负”．
a
(1)当0<x<1,0<a<1或x>1，a>1时，log x>0，即当真数x和底数a同大于(或小于)1时，对
a
数log x>0，即对数值为正数，简称为“同正”；
a
(2)当0<x<1，a>1或x>1,0<a<1时，log x<0，即当真数x和底数a中一个大于1，而另一个
a
小于1时，也就是说真数x和底数a的取值范围“相异”时，对数log x<0，即对数值为负
a
数，简称为“异负”．因此对数的符号简称为“同正异负”．
5．指数型、对数型函数的图象与性质的讨论，常常要转化为相应指数函数，对数函数的图
象与性质的问题．
考点02：对数函数的性质及应用
【典例4】设 ，则（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【解析】
根据指数运算与对数运算得 ， ， ，再根据
即可判断 ，进而得答案.
【详解】
因为 ，
， ，
所以 ，即
所以
故选：A
2a log a4b 2log b
【典例5】若 2 4 ，则（ ）
a2b a2b a b2 ab2
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
f(x)2x log x f(x) 2a log a 4b 2log b22b log b
设 2 ，则 为增函数，因为 2 4 2
f(a) f(2b) 2a log a(22b log 2b) 22b log b(22b log 2b)
所以 2 2 2 2
1
log 10
2 2 ，f(a) f(2b) a2b
所以 ，所以 .
f(a) f(b2) 2a log a(2b2 log b2) 22b log b(2b2 log b2)
2 2 2 2
22b 2b2 log b
2 ，
b1 f(a) f(b2)20 f(a) f(b2) a b2
当 时， ，此时 ，有
b2 f(a) f(b2)10 f(a) f(b2) ab2
当 时， ，此时 ，有 ，所以C、D错误.
故选：B.
考点03 ：对数函数的性质及应用
 2x, x1,
f(x)
【典例6】若函数 则函数 的值域是（ ）
 log x, x1, f(x)
2
(,2) (,2] [0,) (,0) (0,2)

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
,2
画出函数的图像如下图所示，由图可知，函数的值域为 ，故选A.
1 1

7 4 95
【典例7】满足
f(x) f(x)0
，且在 (0,+� ) 单调递减，若a  
9


，b 
7


，
1
clog
2 9 ，则 f(a)， f(b)， f(c)的大小关系为（ ）
f(b) f(a) f(c) f(c) f(b) f(a)
A． B．f(c) f(a) f(b) f(b) f(c) f(a)
C． D．
【答案】C
【解析】
 f(x) f(x)0 f(x) f(x)  f(x)
为偶函数.
1 1 1
clog 0 f(c) f(log ) f(log ) f(log 9)
 2 9 2 9 2 9 2 ，
1 1 1
1 
9 7 4 94 95
，2   a         b0 .
 log 2 9log 2 42 7 9 7 7 log 2 9a b
f x (0,+� ) f log 9 f a f b f(c) f(a) f(b)
 在 单调递减， 2 ，即 .
C
故选： .
【典例8】【多选题】若实数 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
构造函数 ，利用导数可得函数 在 上单调递减，由
可推得A正确，由 可推得B正确，当 时，作差
比较可知C错：作差，利用换底公式变形，再根据基本不等式判断符号，可得D正确.
【详解】
对A，令 ，则 ，当 时， ，所以函数 在 上单调递减，因为 ，所以 ，所以
，
所以 ，所以 ，故A正确；
对B，由A知，函数 在 上单调递减，因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，即 ，
所以 ，所以 ，故B正确：
对C选项，当 时， ，故C
错：
对D，
因为 ，所以 ， ， ，
，
所以 ，即 ，故D正确.
故选：ABD
y  log (4x2 3x)
【典例9】函数 0.5 的定义域为 ．【答案】
【解析】
由题意可知04x2 3x1，解得x ．
【典例10】已知函数 ，则 单调递增区间为__________；若
函数 在区间 上单调，则a的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
根据复合函数单调性和函数定义域得到单调增区间；根据函数的奇偶性和单调性得到
或 ，解得答案.
【详解】
，函数的定义域满足 ，解得 或 ．函
数 单调递减， 的单调减区间为 ，
故 单调递增区间为 ．
函数 为偶函数，定义域满足 ，解得 或 ．
当 时， 单调递增， 单调递减，故 单调递减，
当 时， 单调递减， 单调递减，故 单调递增，
又函数 在区间 上单调，
则 ，解得 ，或 ，无解．故 ．
故答案为： ； ．
【易错提醒】
解答对数函数型问题，易忽视函数的定义域而导致错误.
【考点易错】
3
1.已知
f(x) ex1 4x4
，若正实数a满足
f(log
a 4
)1
，则a的取值范围为（ ）
3 3 4
a 0a a
A． 4 B． 4或 3
3
0a
C． 4或a1 D．a1
【答案】C
【解析】
y ex1 y 4x4 R
因为 与 都是 上的增函数，
f(x) ex1 4x4
所以 是R上的增函数，
f(1)e11441
又因为
3 3
f(log )1 f 1 log 1
所以 a 4 等价于 a 4 ，
3
log log a
由 1log a ，知 a 4 a ,
a
3 3
当0a1时， y log x 在
0,
上单调递减，故
a
4 ，从而
0a
4；
a3
y log x
0, a
当a1时，
a
在 上单调递增，故 4，从而a1，
3
0a
综上所述， a的取值范围是 4或a1，故选C.
2．已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
首先求出 的定义域，然后求出 的单调递增区间即可.
【详解】
由 得 或
所以 的定义域为
因为 在 上单调递增
所以 在 上单调递增
所以
故选：D
【点睛】
在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.
f x [0， y  f x1
3.已知定义在R上的函数 在区间 上单调递增，且 的图象关于
f log a＜f 2
x1
对称，若实数a满足 2 ，则a的取值范围是（ ）
 1 1  1 
0, , ,4
     
A． 4 B．4  C．4  D．4,
【答案】C
【解析】y  f x1 x1 f x y
根据题意， 的图象关于 对称，则函数 的图象关于 轴对称，即函
f x f x [0，
数 为偶函数，又由函数 在区间 上单调递增，
f log a＜f 2 f |log a|＜f 2|log a|＜2
则 2 2 2 ，
1
2log a＜2 a4
即 2 ，解得：4 ，
1 
,4
 
即a的取值范围为4 ；
故选：C．
4.如图为函数 ）的部分图象，已知 的定义域为 ， ，若
，则 的取值范围为______．
【答案】
【解析】
由已知条件推出 为偶函数，然后由 的部分图象得到 ，函数 在
上单调递增，从而将 转化为 即可得解．
【详解】
由题意知 ，所以 为偶函数．由 的部分图象知 ，且函数 在 上单调递增，
则不等式 等价于 ，
所以 ，即： ，解得： ．
故答案为：
【总结提升】
1.解对数不等式的类型及方法
（1）形如logx＞logb的不等式，借助y＝logx的单调性求解，如果a的取值不确定，
a a a
需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
（2）形如logx＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．
a
2.应用对数函数的图象和性质，解答与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性等问
题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与
1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解
题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．
【巩固提升】
1．函数 的图象大致是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】
确定函数的奇偶性，排除两个选项，再由 时的单调性排除一个选项，得正确选项．
【详解】
易知 是非奇非偶函数，所以排除选项A，C；
当x>0时， 单调递増､所以排除选项B.
故选：D．
2．已知函数f(x)＝ 则函数y＝f(1－x)的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由 得到 的解析式，根据函数的特殊点和正负判断即可.
【详解】因为函数 ，
所以函数 ，
当x＝0时，y＝f(1)＝3，即y＝f(1－x)的图象过点(0，3)，排除A；
当x＝－2时，y＝f(3)＝－1，即y＝f(1－x)的图象过点(－2，－1)，排除B；
当 时， ，排除C，
故选：D．
3．如图，直线 与函数 和 的图象分别交于点 ， ，
若函数 的图象上存在一点 ，使得 为等边三角形，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意得 ， ， ，根据等边三角形的性质求得 点的横坐标
，结合 ， 两点的纵坐标和中点坐标公式列方程 ，解方程即可求
得 的值.【详解】
由題意 ， ， .
设 ，因为 是等边三角形，
所以点 到直线 的距离为 ，
所以 ， .
根据中点坐标公式可得
，
所以 ，解得 .
故选：C
4.设函数 ，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减
【答案】D
【解析】
由 得 定义域为 ，关于坐标原点对称，
又 ，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当 时， ，在 上单调递增， 在 上单调递减，
在 上单调递增，排除B；
当 时， ，
在 上单调递减， 在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知： 在 上单调递减，D正确.
故选：D.
f x 0,+
5.设 是定义域为R的偶函数，且在 单调递减，则
1
3 2
A． f （log 4 ）＞ f （2  2）＞ f （2  3）
3
1
2 3
B． f （log 4 ）＞ f （2  3）＞ f （2  2）
3
1
3 2
C． f （2  2）＞ f （2  3）＞ f （log 4 ）
3
1
2 3
D． f （2  3）＞ f （2  2）＞ f （log 4 ）
3
【答案】C
1
【解析】 f x 是定义域为R的偶函数，  f(log 3 4 ) f(log 3 4) ．
2 3 2 3
   
log 4log 31,120 2 3 2 2,log 42 3 2 2，
 3 3 3
f x
又 在(0，+∞)上单调递减， 2   3 
 
f(log 4) f 2 3  f 2 2 
∴ 3 ，
   
  3    2   1
即 f   2 2    f   2 3    f   log 3 4   .
故选C．
6．已知函数 ，若 ，则
的大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，最后根据对数函数的性质，结合基
本不等式、比较法进行判断即可.
【详解】
因为 ，所以 为偶函数，
，
当 时， ，函数单调递增，当 时， ，函数单调递减，
，
因为 ，
故所以 ，则
故选：
7．【多选题】若正实数a，b满足 且 ，下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】
由已知不等式，求出 之间的关系，结合选项一一判断即可．
【详解】
由 有 或 ，
对于选项A，当 或 都有 ，选项A错误；
对于选项B，比如当 时，有
故 不成立，选项B错误；
对于C，因为 ，所以 ，则 ，
选项C正确；
对于选项D，因为 ，所以 ，选项D 正确，
故选：CD．
8．已知函数 满足 ，当 时，函数 ，则
__________．【答案】
【解析】
由 得函数的周期为2，然后利用周期和 对
化简可得 ，从而可求得结果
【详解】
解：由题意，函数 满足 ，化简可得 ，
所以函数 是以2为周期的周期函数，
又由 时，函数 ，且 ，
则
．
故答案为： ．
9．已知函数 ，则不等式 的解集为___________.
【答案】
【解析】
根据分段函数的定义，分段讨论即可求解.
【详解】解： ，
或 ，
解得 或 ，即 ，
不等式 的解集为 .
故答案为： .
log
1
10．求函数y= 2(-x2+2x+3)的值域和单调区间.
【解析】设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4.
log
1
∵ y= 2t为减函数，且0<t≤4，
log 4
1
)
∴ y≥ 2 =-2，即函数的值域为[-2，+∞ .
log
1
再由：函数y= 2(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0，即-1<x<3.
log
1
(
∴ t=-x2+2x+3在 -1，1）上递增而在[1，3)上递减，而y= 2t为减函数.
log
1
)
∴ 函数y= 2(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3 .
11. 判断下列函数的奇偶性.
(1) (2) .
【解析】由
所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称又
所以函数 是奇函数；
【总结】此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性
质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等
变形.
（2）【解析】由 所以函数的定义域为R关于原点对称，又
即f(-x)=-f(x)；所以函数 .
【总结】此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，
要求掌握.
12．已知函数 为奇函数，函数 .
(1)求函数 的定义域.
(2)当 时，关于 的不等式 有解，求 的取值范围.
【解析】（1）由 为奇函数得
即解得
解得
的定义域为 .
（2）不等式 等价于
即 在 有解，故只需
函数 在 上单调递增
的取值范围是 .