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第13讲 对数函数
【基础知识网络图】
对数与对数函数
对 数
对数
指对 对数 函 数
的概
互化 运算 的 图
念
运算 性质 像 与
性质
图象与性质
【基础知识全通关】
知识点01对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝log x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是
a
(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1 01时，y>0； 当x>1时，y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
知识点02反函数
对数函数y＝log x(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象
a关于直线y＝x对称．
【知识拓展】
1.换底公式的两个重要结论
(1)logb＝；(2)log m bn＝logb.其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.
a a a
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
3.对数函数y＝logx(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只
a
在第一、四象限.
【考点研习一点通】
考点01：对数函数的概念与图象
y log x
y xa
【典例1】函数 与函数 a 在同一坐标系的图像只可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
y log x
当a1时，对数函数 a 为增函数，当x1时函数 y xa 的值为负.无满足条件
的图像.
y log x
当0a1时，对数函数 a 为减函数，当x1时函数 y xa 的值为正.C满足.
故选：C
1 1
y ,y log x (a 0
【典例2】在同一直角坐标系中，函数 ax a 2 且a 0)的图象可
能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】
1
y
当0a1时，函数y ax 过定点(0,1)且单调递减，则函数 ax 过定点(0,1)且单调
1 1
y log x ( ,0)
递增，函数 a 2过定点 2 且单调递减，D选项符合；当 a1 时，函数
1
y
y ax 过定点(0,1)且单调递增，则函数 ax 过定点(0,1)且单调递减，函数
1 1
y log x ( ,0）
a 2过定点 2 且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.
【典例3】在同直角坐标系中， 与 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
利用函数 的单调性排除选项，以及根据函数 的图象判断
，再利用函数 的对称性排除选项.
【详解】
函数 的单调性与 的单调性一致，两段区间都是单调递增，故排除BC，AD选项中， ，当 时， ，即 ，
而 关于点 对称，因为 ，故排除D.
故选：A
【总结提升】
1.对数函数的解析式同时满足：
①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅
有自变量x.
2. (1)不管a>1还是00，a>0且a≠1)规律：“同正异负”．
a
(1)当01，a>1时，log x>0，即当真数x和底数a同大于(或小于)1时，对
a
数log x>0，即对数值为正数，简称为“同正”；
a
(2)当01或x>1,00时， 单调递増､所以排除选项B.
故选：D．
2．已知函数f(x)＝ 则函数y＝f(1－x)的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由 得到 的解析式，根据函数的特殊点和正负判断即可.
【详解】因为函数 ，
所以函数 ，
当x＝0时，y＝f(1)＝3，即y＝f(1－x)的图象过点(0，3)，排除A；
当x＝－2时，y＝f(3)＝－1，即y＝f(1－x)的图象过点(－2，－1)，排除B；
当 时， ，排除C，
故选：D．
3．如图，直线 与函数 和 的图象分别交于点 ， ，
若函数 的图象上存在一点 ，使得 为等边三角形，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意得 ， ， ，根据等边三角形的性质求得 点的横坐标
，结合 ， 两点的纵坐标和中点坐标公式列方程 ，解方程即可求
得 的值.【详解】
由題意 ， ， .
设 ，因为 是等边三角形，
所以点 到直线 的距离为 ，
所以 ， .
根据中点坐标公式可得
，
所以 ，解得 .
故选：C
4.设函数 ，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减
【答案】D
【解析】
由 得 定义域为 ，关于坐标原点对称，
又 ，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当 时， ，在 上单调递增， 在 上单调递减，
在 上单调递增，排除B；
当 时， ，
在 上单调递减， 在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知： 在 上单调递减，D正确.
故选：D.
f x 0,+
5.设 是定义域为R的偶函数，且在 单调递减，则
1
3 2
A． f （log 4 ）＞ f （2 2）＞ f （2 3）
3
1
2 3
B． f （log 4 ）＞ f （2 3）＞ f （2 2）
3
1
3 2
C． f （2 2）＞ f （2 3）＞ f （log 4 ）
3
1
2 3
D． f （2 3）＞ f （2 2）＞ f （log 4 ）
3
【答案】C
1
【解析】 f x 是定义域为R的偶函数， f(log 3 4 ) f(log 3 4) ．
2 3 2 3
log 4log 31,120 2 3 2 2,log 42 3 2 2，
3 3 3
f x
又 在(0，+∞)上单调递减， 2 3
f(log 4) f 2 3 f 2 2
∴ 3 ，
3 2 1
即 f 2 2 f 2 3 f log 3 4 .
故选C．
6．已知函数 ，若 ，则
的大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，最后根据对数函数的性质，结合基
本不等式、比较法进行判断即可.
【详解】
因为 ，所以 为偶函数，
，
当 时， ，函数单调递增，当 时， ，函数单调递减，
，
因为 ，
故所以 ，则
故选：
7．【多选题】若正实数a，b满足 且 ，下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】
由已知不等式，求出 之间的关系，结合选项一一判断即可．
【详解】
由 有 或 ，
对于选项A，当 或 都有 ，选项A错误；
对于选项B，比如当 时，有
故 不成立，选项B错误；
对于C，因为 ，所以 ，则 ，
选项C正确；
对于选项D，因为 ，所以 ，选项D 正确，
故选：CD．
8．已知函数 满足 ，当 时，函数 ，则
__________．【答案】
【解析】
由 得函数的周期为2，然后利用周期和 对
化简可得 ，从而可求得结果
【详解】
解：由题意，函数 满足 ，化简可得 ，
所以函数 是以2为周期的周期函数，
又由 时，函数 ，且 ，
则
．
故答案为： ．
9．已知函数 ，则不等式 的解集为___________.
【答案】
【解析】
根据分段函数的定义，分段讨论即可求解.
【详解】解： ，
或 ，
解得 或 ，即 ，
不等式 的解集为 .
故答案为： .
log
1
10．求函数y= 2(-x2+2x+3)的值域和单调区间.
【解析】设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4.
log
1
∵ y= 2t为减函数，且00，即-1
