文档内容
第 09 讲 幂函数
（6 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析
充分条件的判定及性质 必要条件的判定及性质 比较指数幂的大小 判断
2024年天津卷，第2题,5分
一般幂函数的单调性
2023年天津卷，第3题,5分 比较指数幂的大小、比较对数式的大小
2022年天津卷，第6题,5分 比较指数幂的大小、比较对数式的大小
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握幂函数的定义，能够灵活掌握幂函数的性质
2.能掌握幂函数的图像与综合性质
3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图解决单调性与比较大小的问题
4.会解灵活运用幂函数的奇偶性与单调性，解决综合性问题
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般考查范围比较灵活。
知识讲解
知识点.幂函数
1.概念:形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数
2.幂函数的图像及性质.1 1
y=
x
,
y=x2
, y=x2, y=x3, y=x
y=x y=x2 y=x3 1 y=x−1
y=x2
定义域 R R R [0,+∞） { x| xϵR且x≠0 }
值域 R [0,+∞） R [0,+∞） {y| yϵR且y≠0 }
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
单调性 增 x∈[0,+∞ ） 时 ， 增 增 x∈(0,+∞)时，减；
增； x∈(-∞，0)时，增.
x∈(-∞，0]时，
减.
3.幂值的大小比较
(1)直接法:当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较.
(2)转化法:当幂指数不同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小.
(3)中间值法:当底数不同且幂指数也不同而不能运用单调性比较大小时，可选取适当的中间值与两数分别
比较，从而达到比较大小的目的.
4.幂函数性质的应用
利用幂函数的性质解不等式，实际上就是利用幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小
关系，解不等式(组)求参数范围时，注意分类讨论思想的应用.
考点一、幂函数的解析式
1.（2024·广东广州·模拟预测）若幂函数f (x)=(m2−m−1)x2m−3在(0,+∞)上单调递增，则实数m的值
为（ ）
A．2 B．1 C．−1 D．−2
【答案】A
【分析】根据条件，利用幂函数的定义和性质，即可求出结果.
【详解】因为幂函数f (x)=(m2−m−1)x2m−3在(0,+∞)上是增函数，
所以¿，解得m=2.
故选：A.2.（2023·四川成都·一模）已知幂函数f (x)=xα的图象过点P(3,9)，则α=（ ）
1
A． B．1 C．2 D．3
2
【答案】C
【分析】根据题意可得3α=9，求解即可.
【详解】因为幂函数f (x)=xα的图象过点P(3,9)，所以3α=9，解得α=2.
故选：C.
1
1.（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知幂函数 f (x)=(2m2−m)x m− 2在区间(0,+∞)上单调递增，
则m=（ ）
1
A．-2 B．1 C．− D．-1
2
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义及性质分类讨论计算即可.
1
【详解】由题意有2m2−m=1，解得m=1或m=− ，
2
1
①当m=− 时，f (x)=x−1，在区间(0,+∞)上单调递减，不合题意；
2
1
②当m=1时，
f
(x)=x2，在区间(0,+∞)上单调递增，符合题意.
故选：B
1
2.（23-24高三上·青海西宁·阶段练习）若幂函数f(x)=xα的图象经过点(4, )，则α2= ．
2
1
【答案】 /0.25
4
【分析】先由题意解出α值，进而解出α2即可.
1 1
【详解】因为f(x)=xα的图象经过点(4, )，则4α= ，则22α=2−1，
2 2
1 1
所以α=− ，所以α2= .
2 4
1
故答案为： .
4
3.（2024·山东日照·二模）已知幂函数的图象过点(2,4)，则函数的解析式为（ ）
A．y=2x B．y=x2 C．y=log x D．y=sinx
2
【答案】B
【分析】先用待定系数法设出函数解析式，再代入点的坐标计算出参数，即可得到答案.【详解】设幂函数的解析式为y=xα，由于函数过点(2,4)，故4=2α，解得α=2，该幂函数的解析式为
y=x2；
故选：B
考点二、 幂函数的定义域
1.（2022·上海·模拟预测）下列函数定义域为R的是（ ）
1 1 1
A． y=x − 2 B．y=x−1 C． y=x3 D． y=x2
【答案】C
【详解】化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案．
1
− 1
【解答】y=x 2= ，定义域为¿，
√x
1
y=x−1=
，定义域为¿，
x
1
y=x3=√3 x ，定义域为R，
1
y=x2=√x ，定义域为¿．
故选：C．
3
2.（23-24高三上·上海静安·期中）函数 y=(3x−2) − 4的定义域为 .
2
【答案】( ,+∞)
3
【分析】定义域即使得式子有意义，列出不等式即可.
3 2
【详解】由 y=(3x−2) − 4，使得式子有意义，则3x−2>0，则定义域为(
3
,+∞).
2
故答案为：( ,+∞)
3
1.（23-24 高三下·上海松江·阶段练习）若函数f (x)=x−m2+2m+3(m∈Z)的定义域为 R，且
f (x+1)=f (−x−1)，则实数m的值为
【答案】1
【分析】利用函数的定义域求出m的取值集合，再利用偶函数的特性求解即得.
【详解】由函数f(x)=x−m2+2m+3的定义域为R，得−m2+2m+3>0，解得−10⇒m≠1，
因为其图像关于y轴成轴对称，则m=7.
故选：C．
考点 三 、 幂函数求值
1.（2024高三·全国·专题练习）若幂函数y=f (x)的图象经过点(2,√2)，则f (16)＝（ ）
1
A．√2 B．2 C．4 D．
2
【答案】C
【分析】利用已知条件求得幂函数解析式，然后代入求解即可.
1
【详解】设幂函数y=f (x)=xα，因为f (x)的图象经过点(2,√2)，所以2α=√2，解得α= ，
2
1 1
所以 f (x)=x2，所以 f (16)=162=4 .
故选：C
2.（22-23高三上·福建宁德·阶段练习）已知函数y=log (x−3)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，
a
点P在幂函数y=f (x)的图象上，则f (4)=（ ）
A．−2 B．2 C．1 D．−1
【答案】B
【分析】令x−3=1便可得到函数y=log (x−3)+2图象恒过点P(4,2)，将点P(4,2)代入幂函数f(x)=xm
a
中，解得y=f(x)的解析式，然后计算f (4)的值.
【详解】函数y=log (x−3)+2中，令x−3=1，解得x=4，此时y=log 1+2=2，
a a
所以函数y的图象恒过定点P(4,2)，又点P在幂函数y=f (x)=xm的图象上，
所以4m=2，解得m=0.5，所以f (x)=x0.5，
f (4)=40.5=2.
故选：B.1. （2023·全国·模拟预测）已知函数f (x)=¿，若f (a)=2，则a的值为（ ）
A．2或−√2 B．2或√2 C．√2或−√2 D．1或√2
【答案】A
【分析】根据分段函数的解析式，讨论a的范围，明确方程，解出即可.
【详解】当a≥1时，log a+1=2，解得a=2，
2
当a<1时，a2=2，得a=−√2，
所以a的值是2或−√2．
故选：A.
2.（23-24高三上·四川眉山·期中）已知幂函数f (x)=(m2+m−1)xm的图象与坐标轴没有公共点，则
f (√2)=
1
【答案】 /0.5
2
【分析】利用幂函数的定义及性质计算即可.
【详解】由题意可知m2+m−1=1⇒m=1或m=−2，
又当m=1时，f (x)=x与坐标轴有交点，不符合题意；
1 1
所以m=−2，此时 f (x)=x−2 ⇒f (√2)= = .
(√2) 2 2
1
故答案为：
2
3.（22-23高三上·江苏盐城·阶段练习）若函数y=ax−2+3（a>0且a≠1)的图象恒过定点Q，且点Q在
幂函数f(x)=xm的图象上，则f(4)= .
【答案】16
【分析】先求出函数所过定点坐标，再将其代入幂函数中，求出幂函数解析式，得到答案.
【详解】y=ax−2+3恒过点(2,4)，故Q(2,4)，
将其代入f(x)=xm中，2m=4，解得m=2，
故f(x)=x2，所以f(4)=42=16.
故答案为：16
考点 四 、 幂函数的图像
t
1.（2024·天津·模拟预测）下列图象中，不可能成为函数f (x)=x3+ 的图象的是（ ）
xA． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先得到函数f (x)为奇函数，图象关于原点对称，讨论参数t，再利用导数讨论函数的单调性和讨论
函数值的正负得到答案.
【详解】由题意可知，x≠0，又f (−x)=(−x) 3+ t =− ( x3+ t ) =−f (x)，
−x x
所以f (x)为奇函数，图象关于原点对称，
当t=0时f (x)=x3，结合幂函数的性质可知，D选项符合；
t
当t>0时，若x>0,f (x)=x3+ >0，x<0,f (x)<0，A选项符合；
x
t 3x4−t
当t<0时，f'(x)=3x2− = >0，此时f(x)在(−∞,0)和(0,+∞)上单调递增， B选项符合；
x2 x2
结合选项可知，只有C.选项不可能.
故选：C.
2.（2024·四川南充·二模）已知函数f (x)的图象如图所示，则f (x)的解析式可能是（ ）
1 1 1
A． y=x2 B． y=x − 2 C．y=x3 D． y=x3
【答案】D
【分析】根据幂函数的性质一一判断即可.
1
【详解】对于A：函数 y=x2=√x 的定义域为[0,+∞)，显然不符合题意，故A错误；1
− 1
对于B：函数y=x 2= 的定义域为(0,+∞)，显然不符合题意，故B错误；
√x
对于C：函数y=x3的定义域为R，又y=x3为奇函数，又y=x3在(0,+∞)上函数是下凸递增，故不符合题
意，故C错误；
1 1 1
对于D：函数 y=x3=√3 x 的定义域为R，又 y=x3为奇函数，且 y=x3在(0,+∞)上函数是上凸递增，故D正
确.
故选：D
1.（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数y=xa,y=xb,y=xc在(0,+∞)上的图象分别是下降，
急速上升，缓慢上升，则（ ）
A．c1
n
m
D．m,n是奇数，且 >1
n
【答案】B
m m
【分析】由幂函数性质及0x ，则
n
<1；
m m m m
又 y=xn图象关于y轴对称， ∴y=xn为偶函数， ∴(−x)n =√n (−x) m=xn =√n xm，
又m,n互质，∴m为偶数，n为奇数.
故选：B.
考点 五 、 幂函数过定点
1.（21-22 高三上·河南·阶段练习）已知p：f (x)是幂函数，q：f (x)图象过点(0,0)，则p是q的
（ ）A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】f (x)=x−2是幂函数，但其图象不过点(0,0)，故不充分；
当f (x)图象过点(0,0)时，如f (x)=2x−1不是幂函数，故不必要；
故选：D
2.（2022·四川乐山·一模）已知幂函数f(x)=xα和g(x)=xβ，其中α>β>0，则有下列说法：
①f(x)和g(x)图象都过点(1,1)；
②f(x)和g(x)图象都过点(−1,1)；
③在区间[1,+∞)上，增长速度更快的是f(x)；
④在区间[1,+∞)上，增长速度更快的是g(x).
则其中正确命题的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【答案】A
【分析】由幂函数的性质进行分析判断即可
【详解】幂函数的图象过定点(1,1)，①正确，
在区间[1,+∞)上，α越大y=xα增长速度更快，③正确，
故选：A.
1.（22-23高三上·上海徐汇·期末）当α∈R时，函数y=xα−2的图象恒过定点A，则点A的坐标为
．
【答案】(1,−1)
【分析】根据幂函数恒过定点(1,1)即可求解.
【详解】由于对任意的α∈R，y=xα恒经过点(1,1)，所以函数y=xα−2的图象恒过定点A(1,−1),
故答案为：(1,−1)
2.（22-23高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数f (x)=2+xa（a为不等于0的常数）的图象恒过定点
P，则P点的坐标为 .
【答案】(1,3)
【分析】由幂函数的性质知y=xa的图象恒过(1,1)，即可求出函数f (x)=2+xa的图象恒过的定点.
【详解】因为y=xa的图象恒过(1,1)，
所以f (x)=2+xa的图象恒过定点P(1,3).
故答案为：(1,3)考点 六 、 幂函数的单调性与奇偶性
1.（2024·广西·二模）下列函数中，在(0,2)上单调递增的是（ ）
A．f (x)=√x−1 B．f (x)=x2−2x
1 1
C．f (x)= x D． f (x)=x4
【答案】D
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的定义域及单调性，综合即可得答案.
【详解】对于A，f (x)=√x−1，其定义域为[1,+∞)，不符合题意；
对于B，f (x)=x2−2x，在(0,1)上为减函数，不符合题意；
1
对于C，f (x)= ，在(0,2)上单调递减，不符合题意；
x
1
对于D， f (x)=x4=√4 x ，在(0,2)上单调递增，符合题意；
故选：D.
2.（2024·北京朝阳·一模）已知a∈R，则“01，a<1讨论函数f (x)的单调性，进而根据充分性和必要性的概念确定答案.
【详解】对于函数f (x)=(1−a)x3
当a=1时，f (x)=0，为常数函数，
当a>1时，1−a<0，函数f (x)=(1−a)x3在R上单调递减，
当a<1时，1−a>0，函数f (x)=(1−a)x3在R上单调递增，
所以“00)，α为实数，f(x)的导函数为f' (x)，在同一直角
坐标系中，f(x)与f' (x)的大致图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先通过特值代入易得A项符合，对于B, C, D项，通过图象观察分析可得α>1，结合两函数图象
交点的位置舍去C项.
【详解】由f(x)=xα,可得f'(x)=αxα−1
1
对于A，当α=−1时，在第一象限上f(x)=x−1递减，对应f'(x)=−x−2=−
图象在第四象限且递增，故A
x2
项符合；
对于B,C,D,在第一象限上f (x)与f' (x)的图象在(0,+∞)上都单调递增，故α>0且α−1>0，则α>1.
又由f (x)=f'(x)可得x=α>1，即f(x)=xα与f'(x)=αxα−1的图象交点横坐标应大于1，显然C项不符合，
B, D项均符合.
故选：C.
2．（2024高二下·湖南娄底·学业考试）函数y=x3的大致图像是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据幂函数的特点即可求解.
【详解】根据幂函数的特点知选项A的图象为函数y=x3的大致图像.
故选：A.
3．（2024·四川成都·模拟预测）设命题p:∃m∈R，使f (x)=(m−1)xm2−4m+3是幂函数，且在
(0,+∞)上单调递减；命题q:∀x∈(2,+∞),2x>x2，则下列命题为真的是（ ）
A．p∧(¬q) B．(¬p)∧q C．p∧q D．(¬p)∨q
【答案】A
【分析】根据特称命题与全称命题判断命题p,q的真假，从而可得“或”、“且”、“非”命题的真假得
结论.
【详解】对于命题p，当m=2时，函数f (x)=x−1，是幂函数，且在(0,+∞)上单调递减，故命题p为真命
题；
对于命题q，当x=3时，23<32，不满足∀x∈(2,+∞),2x>x2，故命题q为假命题．
所以“p∧(¬q)”为真命题，“(¬p)∧q”为假命题，“p∧q”为假命题，“(¬p)∨q”为假命题．
故选：A．
4．（2024·陕西西安·二模）下列函数中，既是奇函数又在(−∞,+∞)上单调递减的是（ ）
1
A．y= B．y=x3
x
C．y=−x|x| D．y=3−x
【答案】C
【分析】A项，定义域不合题意；B项，单调性不符合；C项，先利用定义判断函数的奇偶性，由函数在
[0,+∞)上单调递减，再结合奇函数图象的对称性可得；D项，特殊取值可判断不是奇函数.
1
【详解】选项A，y= 的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，不符合题意，故A错误；
x
选项B，设f (x)=x3，定义域为R，
因为f (−x)=(−x) 3=−x3=−f (x)，
所以f (x)=x3为奇函数，且在定义域上为增函数，故B错误；
选项C，设f (x)=−x|x|，定义域为R，
由f (−x)=x|−x|=x|x|=−f (x)，故f (x)为奇函数，
当x≥0时，f (x)=−x2，且f (x)=−x2在[0,+∞)上单调递减，又因为函数图象关于原点对称，所以在(−∞,+∞)上单调递减，故C正确；
1
选项D，设f (x)=3−x，则f(1)= ,f(−1)=3，
3
由f(−1)≠−f(1)，知f(x)不是奇函数，故D错误.
故选：C.
{ 1 1 }
5．（2024高三·全国·专题练习）已知α∈ −2,−1,− , ,1,2,3 .若幂函数f(x)=xα为奇函数，且
2 2
在(0,+∞)上递减，则α= .
【答案】−1
【分析】由幂函数f(x)=xα在(0,+∞)上递减得α<0，又由幂函数f(x)=xα为奇函数，验证即可求解.
1
【详解】因为幂函数f(x)=xα在(0,+∞)上递减，所以α=−2,−1,− ，
2
又幂函数f(x)=xα为奇函数，所以α=−1.
故答案为：−1
6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f (x)=log (x−1)+3的图象经过定点A，且幂函数g(x)的图
a
(1)
象过点A，则g ＝ ．
2
1
【答案】
3
【分析】根据对数函数性质确定A点坐标，根据幂函数定义设g(x)=xα，由条件求α，再求结论.
【详解】因为x=2时，f (2)=3，
所以函数f (x)恒过定点A(2,3)，
设幂函数g(x)=xα，代入点A坐标可得2α=3，
所以α=log 3，
2
所以g(x)=xlog
2
3，
所以g (1) = (1) log 2 3 =(2−1) log 2 3 =2 log 23 1 = 1 .
2 2 3
1
故答案为： .
3
7 ． （ 2022 高 三 · 全 国 · 专 题 练 习 ） 已 知 幂 函 数 y=f(x)的 图 象 过 点 (4,2)， 令
{1 }
a =f(n+1)+f(n),n∈N∗，记数列 的前n项和为S ，则S = ．
n a n 35
n
【答案】5
1
【分析】由题意，根据幂函数的定义可得f(x)=√x，进而 =√n+1−√n，结合裂项相消求和法计算即
a
n
可求解.【详解】设幂函数f(x)=xa，过点(4,2)，
1 1
则2=4a，解得a=
2
，所以 f(x)=x2=√x ，
所以a =f(n+1)+f(n)=√n+1+√n，
n
1 1 √n+1−√n
则 = = =√n+1−√n，
a √n+1+√n (√n+1+√n)(√n+1−√n)
n
1
所以数列{ }的前n项和为
a
n
1 1 1
S = + +⋯+ =(√2−√1)+(√3−√2)+⋯+(√n+1−√n)=√n+1−1，
n a a a
1 2 n
故S =√35+1−1=5.
35
故答案为：5
n
1．（23-24 高三上·广东深圳·期末）已知实数m,n满足(m+1) 3+m=(n−1) 3+n=0，则 =
m
（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【答案】A
【分析】根据题意可得，(m+1) 3+m+1=1，且(n−1) 3+n−1=−1，构造函数f (x)=x3+x，则f (x)为单
调递增的奇函数，可得m+1=−(n−1)，从而求解.
【详解】∵(m+1) 3+m=(n−1) 3+n=0，
∴(m+1) 3+m+1=1，且(n−1) 3+n−1=−1，
令函数f (x)=x3+x，因为其定义域为R，且f (−x)=(−x) 3+(−x)=−(x3+x)=−f (x)，且y=x3,y=x在R
上均单调递增，
则f (x)为单调递增的奇函数，
且f (m+1)=1,f (n−1)=−1，
∴m+1=−(n−1)，即m=−n，
n
显然m≠0,∴ =−1.
m
故选：A.
(1)
2．（2022·全国·模拟预测）设函数f (x)=¿，若f (a)=f (a+1)，则f =（ ）
a
1 1
A． B． C．2 D．6
4 2
【答案】D1
【分析】由题意可得出f (x)在(0,1)和(1,+∞)上为增函数，则00，排除D，故B项正确.
5 5
故选：B.
4．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题p：函数f(x)=x−m2+m在区间(0,+∞)上单调递增，命题q：
m0，解得：0c=0.60.5.
所以b>a>c.
故选：D
5．（·广东·高考真题）若函数y=¿，当x=x 时函数值y>1，则x 的取值范围是（ ）
0 0
A．(−1,1)； B．(−1,+∞)；
C．(−∞,−2)∪(0,+∞)； D．(−∞,−1)∪(1,+∞)．
【答案】D
【分析】分x ≤0与x >0去解不等式，求出x 的取值范围.
0 0 0
1
【详解】当x
0
≤0时，2−x 0−1>1，解得：x
0
<−1，与x
0
≤0取交集，结果为x
0
<−1；当x
0
>0时， x2>1 ，
0
解得：x >1，综上：x 的取值范围是(−∞,−1)∪(1,+∞).
0 0
故选：D
