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思维导图 3.4.1 三角函数的性质（1）（精讲）（基础版）考点呈现
例题剖析
考点一 周期
【例1-1】（2022·上海·曹杨二中）函数 的最小正周期是___________.
【答案】
【解析】函数 的最小正周期 .故答案为：
【例1-2】（2022·江苏南通）“ω＝2”是“π为函数 的最小正周期”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当“ω＝2”时，“函数f（x）＝sin（2x﹣ ）的最小正周期为π”
当函数f（x）＝sin（ωx﹣ ）的最小正周期为π”，故ω＝±2，
故“ω＝2”是“π为函数 的最小正周期”的充分不必要条件；故选：A．
【一隅三反】
1．（2022·陕西·西安市鄠邑区第二中学）下列函数中最小正周期为 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】对于A， 为 把 轴下方的图像翻折上去，最小正周期变为 ，正确；
对于B， 的最小正周期为 ，错误；
对于C， 的最小正周期为 ，错误；
对于D， 最小正周期为 ，错误.故选：A.
2（2022·四川·高三阶段练习）若函数 的图象经过点 ，则 的最
小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意可得 ，则 ，得 .
因为 ，所以 ， .故选：A.
3．（2022·河南焦作·一模）下列函数中，最小正周期为 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A项， ，故A不符合；B项， ，故B不符合；
C项， ，故C不符合；D项， ，故D符合.故选：D
4．（2022·内蒙古包头·一模）函数 的最小正周期和最大值分别是（ ）
A． 和2 B． 和 C． 和 D． 和2
【答案】C【解析】因为 所以函数 的最小正周期为 ；
又 ，所以 所以函数 的最大值为 .故选：C.
考点二 对称性
【例2-1】（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）下列直线中，函数 的对称轴是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 且 ，则对称轴方程为 且 ，
显然 时对称轴为 ，不存在 有对称轴为 、 、 .故选：B.
【例2-2】（2022·海南·模拟预测）函数 的图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，则 ，
所以函数 的图象的对称中心为 ，故AB不是函数图象的对称中心；
令 ，则 ，故 不是函数图象的对称中心；令 ，则 ，故 是函数图象的对称中心.故选：D.
【例2-3】（2022·陕西商洛·一模（理））已知直线 是函数 ）图象的一
条对称轴，则f（x）的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】因先 ，所以 ，解得 ，又 ，所以
，从而f（x）的最小正周期为 .故选：C
【一隅三反】
1．（2022·四川雅安）函数 的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由余弦函数性质，有 ，即 ，∴当 时，有 .故选：B
2．（2022·吉林长春·三模（文））函数 图象的一个对称中心为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 ，可得当 时， ，当 时，
当 时， ，所以 为 的一个对称中心
故选：D
3．（2021·浙江·宁波市北仑中学高一期中）已知函数 ，则（ ）
A． 的最小正周期为 ，对称中心为
B． 的最小正周期为 ，对称中心为
C． 的最小正周期为 ，对称中心为
D． 的最小正周期为 ，对称中心为
【答案】D
【解析】因为函数 ，所以 的最小正周期为 ，对称中心为 ，
故选：D
4．（2022·陕西咸阳）函数 的图象（ ）
A．关于原点对称 B．关于点 对称
C．关于直线 对称 D．关于点 对称
【答案】D
【解析】函数 中，令 ，解得 ；令 得 ，所以 的图象关于原点 对称，D正确.
代入验证知 错误.故选：D.
5．（2021·全国·高一专题练习）关于函数 描述正确的是（ ）
A．最小正周期是 B．最大值是
C．一条对称轴是 D．一个对称中心是
【答案】D
【解析】由题意得：
选项A：函数的最小正周期为 ，故A错误；
选项B：由于 ，函数的最大值为 ，故B错误；
选项C：函数的对称轴满足 ， ，当 时， ，故C错误；
选项D：令 ，代入函数的 ，故 为函数的一个对称中心，故D
正确；故选：D
6．（2022·江苏省）同时具有性质:①最小正同期是 ；②图象关于直线 对称的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A， ，函数 的周期为： ，故排除A.；
对于B， ，将 代入 得， ，不符题意，故排除B；对于C， ，将 代入 得， ，不符题意，故排除C；
对于D， ，将 代入 得： =1，此时 取得最大值，所以直线
是函数 一条对称轴．
故选：D.
考点三 奇偶性
【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，最小正周期为 的奇函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A． 的最小正周期为 ，不符合；
B．记 ，所以 ，且定义域为 ，所以为偶函数，不符合；
C． ，显然为偶函数，不符合；
D． 最小正周期为 ，且为奇函数，符合，故选：D.
【例3-2】（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知函数 ，则“
”是“函数 为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】根据题意 ；
先判断充分性，因为 ，所以 ，
所以函数 为奇函数，故充分性成立；
再判断必要性，因为 为奇函数，所以 ，
因为 ，所以当 时，解得 ，符合题意；
当 时，解得 ，符合题意，故必要性不成立.故选：A.
【一隅三反】
1．（2022·江西赣州·一模（理））已知 ，则 是（ ）
A．奇函数且周期为π B．偶函数且周期为π
C．奇函数且周期为 D．偶函数且周期为
【答案】A
【解析】 ，故为奇函数，且最小正周期为
故选：A
2．（2022·北京·模拟预测）下列函数中，定义域为 的偶函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，根据指数函数的性质知，函数 为非奇非偶函数，不符合题意；
对于B，函数 满足 为偶函数，但定义域为
，不为 ，不符合题意；对于C，函数 为偶函数，但定义域为 ，不为 ，不符合题意；
对于D，函数 ，定义域为 ，且满足 为偶函数，符合题意.
故选：D.
3．（2022·全国·高三专题练习（文））若函数 是奇函数，则 的一个可能的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】方法一：由于 为奇函数，且定义域为 ，因此必有 ，
即 ，结合选项知D项正确．故选：D.
方法二：由于 是奇函数，所以 对 恒成立，
即 ，整理得 ，
因此 ， ，结合选项知 的一个可能值为 ，故选：D.
4．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ， ，若 ，函数 是偶函数，则
的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】因为 是偶函数，所以 ， . ，又 ，
所以 或 .故选：C.
考点四 单调性
【例4-1】（2022·重庆·模拟预测）函数 的单调递减区间为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ，令 解
得： Z，故f（x）的单调递减区间为
故选：C
【例4-2】（2022·重庆）下列函数中，以 为最小正周期，且在 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于AC选项， ， 的最小正周期为 ，故错误；
对于B选项， 最小正周期为 ，在区间 上单调递减，故错误；
对于D选项， 最小正周期为 ，当 时， 为单调递增函数，故正确.
故选：D
【例4-3】（2022·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝2sin x＋cos x在[0，α]上是增函数，则当α取最大值
时，sin 2α的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】f(x)＝ sin(x＋φ)，其中tan φ＝ ，且φ∈ ，由 ＋2kπ≤x＋φ≤ ＋2kπ，k∈Z，得 －φ＋2kπ≤x≤ －φ＋2kπ，k∈Z，当k＝0时，增区间为 ，所以αmax＝ －φ，所以当α取最大
值时，sin 2α＝sin 2 ＝sin 2φ＝ .故选：A
【一隅三反】
1．（2022·内蒙古包头·高三期末（文））下列区间中，函数 单调递增的区间是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ，令 解得
故选：D
2．（2022·广东汕尾）下列函数中，以 为最小正周期，且在 上单调递减的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A. 是以 为最小正周期，在 上单调递增，故错误；B. 如图所示： ，由图象知：函
数是以 为最小正周期，在 上单调递减，故正确；
C. 如图所示： ，由图象知：是以
为最小正周期，在 上单调递增，故错误；D. 如图所示： ，由图象知：是以 为最小
正周期，在 上单调递增，故错误；
故选：B
3．（2022·云南昆明·一模）已知函数 在 单调递增，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，周期
函数 在 单调递增，则 ,解得
则
函数 的单调递增区间满足
即当 ， ，当 时， ，当 时，
所以 ，则 ，解得
故选：C
4．（2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校模拟预测）已知函数 ，则“函数
在 上单调递增”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要件
【答案】A
【解析】∵ ，∴ ，
由于函数f（x）在 上单调递增，
∴ （ ）解得 ，（ ）
故 只能取 ，即 ，
∴“函数f（x）在 上单调递增”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
