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第十三讲：三角函数图象及性质
【考点梳理】
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
y=sinx x∈[0，2π]
(1)在正弦函数 ， 的图象中，五个关键点是：
．
y=cosx， x∈[0，2π] 的图象中，五个关键点是：
(2)在余弦函数
．
y=Asin(wx+ϕ)
的图象与性质
2、
2π
T=
w
（1）最小正周期： .
y=Asin(wx+ϕ)
（2）定义域与值域： 的定义域为R，值域为[-A,A].
（3）最值（
A>0，w>0
）.
y=Asin(wx+ϕ)
对于 ，
π
{ 当wx+ϕ= +2kπ(k∈Z)时，函数取得最大值A;
2
π
当wx+ϕ=− +2kπ(k∈Z)时，函数取得最小值−A;
2
（4）对称轴与对称中心.（
A>0，w>0
）
y=Asin(wx+ϕ)
对于 ，
π
{当wx +ϕ=kπ+ (k∈Z)，即sin(wx +ϕ)
0 2 0
¿±1时，y=sin(wx+ϕ)的对称轴为x=x
0
当wx +ϕ=kπ(k∈Z)，即sin(wx +ϕ)=0
0 0
时，y=sin(wx+ϕ)的对称中心为(x ,0).
0（5）单调性.（
A>0，w>0
）
y=Asin(wx+ϕ)
对于 ，
π π
{wx+ϕ∈[− +2kπ, +2kπ](k∈Z)⇒增区间；
2 2
π 3π
wx+ϕ∈[ +2kπ, +2kπ](k∈Z)⇒减区间.
2 2
（6）平移与伸缩
由 的图象变换得到 ( ， )的图象的两种方法
(1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移
【典型题型讲解】
考点一：三角函数的性质
【典例例题】
例1．（多选）（2022·广东汕头·高三期末）对于函数 ，x∈R，则（ ）
A．f(x)的最大值为1 B．直线 为其对称轴
C．f(x)在 上单调递增 D．点 为其对称中心
例2．（2022·广东珠海·高三期末）关于函数 ，下列说法正确的是（ ）A．函数 的图象可由函数 的图象向左平移 个单位得到
B． 的图象关于直线 对称
C． 的表达式可以改写为
D．若函数 在 的值域为 ，则m的取值范围是
【方法技巧与总结】
y=Asin(wx+ϕ) y=Acos(wx+ϕ)(A>0,w>0)
与
研究三角函数的性质，关键式将函数化为
的形式利用正余弦函数与复合函数的性质求解.
【变式训练】
1．（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数 ，则该函数的增区间为（ ）
A． B．
C． D．
2.（2022·广东茂名·一模）函数 在区间 上的最大值为______
3.已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为奇函数 B． 为偶函数
C． 为奇函数 D． 为偶函数
4.设函数 ，若 时， 的最小值为 ，则（ ）
A．函数 的周期为
B．将函数 的图象向左平移 个单位，得到的函数为奇函数C．当 ， 的值域为
D．函数 在区间 上的零点个数共有6个
5．设函数 ， ，其中 ， .若 ， ，且 的最
小正周期大于 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
6.若函数 ， ， ，又 ， ，且 的最小值为 ，
则 的值为（ ）
A． B． C．4 D．
7.（2022·广东湛江·一模）已知函数 ， ， ，
且 在区间 上有且只有一个极大值点，则 的最大值为___________.
8．（2021·广东佛山·一模）已知函数 .从下面的两个条件中任选其中一个：
① ；②若 ，且 的最小值为 ， ，求解
下列问题：
(1)化简 的表达式并求 的单调递增区间；
(2)已知 ，求 的值.
考点二：三角函数的图象
【典例例题】
例1．（2022·广东·金山中学高三期末）为了得到函数 的图象，可以将函数
的图象（ ）A．向右平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
例2．（多选）（2022·广东中山·高三期末）已知函数 的部分图
象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数 的图象关于点 对称 B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 在 上单调递减
D．函数 图象向右平移 个单位可得函数 的图象
【方法技巧与总结】
1.图象变换过程中务必分清式相位变换，还是周期变换.变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的
系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.
y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)
2.已知函数 的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最
低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定ϕ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个
零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.
【变式训练】
1．（2022·广东广东·一模）将正弦函数图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得到函数的图象．则 图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东韶关·一模）若将函数 的图象向左平移 个单位长度，则平移后的函数图象的一条
对称轴为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东广州·一模）将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，则下列
说法正确的是（ ）
A．若 ，则 是偶函数 B．若 ，则 在区间 上单调递减
C．若 ，则 的图象关于点 对称 D．若 ，则 在区间 上单调递增
4．(多选)（2022·广东·铁一中学高三期末）将函数 的图象向右平移 个单位长
度后得到函数 的图象，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为奇函数 B．
C．当 时， 在 上有4个极值点 D．若 在 上单调递增，则 的最大值为5
5．(多选)（2022·广东东莞·高三期末）已知函数 ，若 且对任意 都有
，则下列结论正确的是（ ）A． B．
C． 的图象向左平移 个单位后，图象关于原点对称
D． 的图象向右平移 个单位后，图象关于 轴对称
6．（多选）（2022·广东清远·高三期末）将函数 图象上所有的点向右平移 个单
位长度后，得到函数 的图象，若函数 ，则（ ）
A． 的最小值是 B． 的图象关于直线 对称
C． 的最小正周期是 D． 的单调递增区间是
7．（多选）（2022·广东惠州·一模）已知函数 （其中 ， ， ）的部分
图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 的图象关于 直线对称 B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 在区间 上单调递增D． 与图象 的所有交点的横坐标之和为
9．（2022·广东茂名·二模）已知函数 的部分图象如图所示．将函数 的图
象向左平移 个单位得到 的图象，则（ ）
A． ） B．
C． D．
10．（2022·广东惠州·二模）已知函数 的部分图象如图所示，
则下列结论中正确的是（ ）A． 的最小正周期为 B．
C． 在 上单调递增 D． 为奇函数
【巩固练习】
一、单选题
1．已知直线 是函数 的图象的一条对称轴，为了得到函数 的图象，
可把函数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
2．已知函数 ，若 ，则 （ ）
A． B．2 C．5 D．7
3．已知函数 ，则下列结论错误的是（ ）
A．函数 的最小正周期是 B．函数 在区间 上单调递减
C．函数 的图象可由函数 的图象向左平移 个单位长度，再向下平移1个单位长度得到
D．函数 的图象关于 对称
4．如图是函数 的图象的一部分，则要得到该函数的图象，只需
要将函数 的图象（ ）A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
二、多选题
5．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 为函数f(x)图象的一条对称轴
B．函数f(x)图象横坐标缩短为原来的一半，再向左平移 后得到
C．函数f(x)在[－ ， ]上单调递增
D．函数 的值域为[－2， ]
6．设函数 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． 的图象关于点 对称 B． 的图象关于直线 对称
C． 在 上单调递减 D． 在 上的最小值为0
7．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）A． B． 的图象关于原点对称
C．若 ，则 D．对 ， ， ，有 成
立
三、填空题
8．写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ___________；已知函数满足：① ；
② ；③函数在 上单调递减；
9．已知函数 的部分图象如图所示，则 ________．
10．已知函数 ，若 ，且 在 上有最大值，没有最小值，
则 的最大值为______．
四、解答题
11．已知函数
(1)求 的值；
(2)求函数 在 上的增区间和值域．12．设 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，函数 ．
(1)若 ，求 的面积；
(2)当 时， 取最大值，求 在 上的值域.
14．已知函数 ， 从下面两个条件：条件① 、条件
② 中选择一个作为已知．(1)求 时函数 的值域；
(2)若函数 图象向右平移m个单位长度后与函数 的图象重合，求正数m的最小值．
15．已知函数 的部分图象如图所示．
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 的图象上所有的点向右平移 个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2
倍（纵坐标不变），得到函数 的图象．当 时，方程 恰有三个不相等的实数根 ，求实数a的取值范围和 的值．
16．设 .
(1)若 ，求 使函数 为偶函数；
(2)在（1）成立的条件下，当 ，求 的取值范围.
17．（已知函数 ．
(1)求函数 的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数 关于点 中心对称，求 在 上的值域．
