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第 6 讲 函数的图像
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.利用描点法作函数的图像
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周
期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点
等)，描点，连线.
2.利用图像变换法作函数的图像
(1)平移变换
(2)对称变换
y＝f(x)的图像――→y＝ － f ( x )的图像；
y＝f(x)的图像――→y＝ f ( － x ) 的图像；
y＝f(x)的图像――→y＝ － f ( － x )的图像；
y＝ax(a>0，且a≠1)的图像――→y＝log x(a>0，且a≠1)的图像.
a
(3)伸缩变换
y＝f(x)――――――――――――→y＝f(ax).
y＝f(x)――――――――――――→y＝Af(x).
(4)翻折变换
y＝f(x)的图像――――――――――――→y＝ | f ( x ) |的图像；
y＝f(x)的图像――――――――――――→y＝ f ( | x |) 的图像.
二、考点和典型例题
1、函数的图像
【典例1-1】（2021·全国·高三专题练习）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． 和C． 和 D． 和
【答案】B
【详解】
如图所示：
函数的单调递增区间是 和 ．
故选：B.
【典例1-2】（2022·天津·汉沽一中高三阶段练习）已知函数 若
( 互不相等)，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
作出函数 的图象，如图所示:设 ，则 .
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即 .
当 时，解得 或 ，所以 .
设 ，
因为函数 在 上单调递增，所以 ，即 ，
所以 .
故选：D.
【典例1-3】（2021·全国·高三专题练习）如图，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，
太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的
函数称为圆O的一个“太极函数”，则（ ）
A．函数 是圆O： 的一个太极函数
B．函数 不是圆O： 的太极函数C．函数 不是圆O： 的太极函数
D．函数 不是圆O： 的太极函数
【答案】A
【详解】
解：两曲线的对称中心均为点 ，且两曲线交于两点，所以 能把圆 一分为二，
如图：
故A正确；同理易知B，C不正确；
函数 为奇函数，且 ， ，如图：
所以函数 是圆O： 的一个太极函数，故D不正确，
故选：A．
【典例1-4】（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知函数的图象如下图1，则如下图2对应的函数有可能是（
）A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
图1：当 时， ，当 时，
当 时 ，于图2不符合，故排除C、D．
∵ 恒成立，于图2不符合，故排除B．
故选：A．
【典例1-5】（2022·安徽淮南·二模（文））函数 的部分图象可能是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】B
【详解】
记 ,则 ,故 , 是奇函数,故图像关于原点对称.此时可排除A,C ,取 ,排除D.
故选:B
2、图像的平移和变换
【典例2-1】（2022·四川绵阳·三模（理））已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递增 B． 的图象关于点 对称
C． 为奇函数 D． 的图象关于直线 对称
【答案】D
【详解】
化简得 ，
的可以看作是函数 先向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到，
先画出 的图象，再进行平移画出 的图象，
明显可见，对于原函数 ，为奇函数，关于点 对称，且在 和 上为单调减函数，
所以， 经过平移后变成的 在 上单调递减，关于 对称，非奇函数也非偶函数，图象
关于直线 对称，所以，D正确；A、B、C错误.
故选：D【典例2-2】（2022·浙江绍兴·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数 ， ，且
的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
解：因为函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称，
所以函数 的图象恒过定点 ，故选项A、B错误；
当 时，函数 在 上单调递增，所以函数 在 上单调递减，
又 在 和 上单调递减，故选项D错误，选项C正确.
故选：C.
【典例2-3】（2022·全国·高三专题练习）将曲线 上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小为
原来的 ，得到曲线 ，则 上到直线 距离最短的点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】将 化为 ，
则将曲线 上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小为原来的 ，
得到曲线 ，即 ，
要使曲线 上的点到直线 的距离最短，
只需曲线 上在该点处的切线和直线 平行，
设曲线 上该点为 ，
因为 ，且 的斜率为 ，
所以 ，解得 或 （舍），
即该点坐标为 .
故选：B.
【典例2-4】（2021·北京四中高三期中）为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像
（ ）
A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】C
【详解】
要得到函数 的图象，则只需要把函数 的图象向左平移 个单位长度，即可.
故选：C．
【典例2-5】（2021·甘肃·静宁县第一中学高三阶段练习（文））已知函数 ，则下
列图象错误的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
当 时， ，表示一条线段，且线段经过 和 两点．
当 时， ，表示一段曲线．函数 的图象如图所示．
的图象可由 的图象向右平移一个单位长度得到，故A正确； 的图象可由 的图象
关于 轴对称后得到，故B正确；由于 的值域为 ，故 ，故 的图象与 的
图象完全相同，故C正确；很明显D中 的图象不正确．
故选：D．3、图像的综合应用
【典例3-1】（2022·福建宁德·模拟预测）函数 的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
A函数为递减的，错误；C函数的值域大于等于0，错误；D函数为二次函数，错误，只有B符合.
故选：B.
【典例3-2】（2022·天津南开·一模）函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【详解】
由题意，函数 ，
因为 ，即函数 的图象过点 ，可排除A、B项；
又因为 ，可排除D项，
故选：C.
【典例3-3】（2022·浙江嘉兴·二模）已知函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是（ ）（
是自然对数的底数）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
解：对于A，函数 的定义域为 ，
由 ，
所以函数 为奇函数，不符合题意；对于B，函数 的定义域为 ，
由 ，
所以函数 为偶函数，符合题意；
对于C，函数 ，
则 ，得 且 ，
故函数 的定义域为 且 ，
结合函数图像可知，不符题意；
对于D，函数 的定义域为 且 ，
结合函数图像可知，不符题意.
故选：B.
【典例3-4】（2022·安徽·安庆一中模拟预测（文））已知函数 在 上的图象如图所示，则函数
的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当 时， ，则 ，故排除AB.
当 时，则 ，
令 ，得 或 ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以 是函数的极小值点， 是函数的极大值点，故C错误；
当 时，则 ，
令 ，得 或 ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以 是函数的极大值点， 是函数的极小值点，故D正确
故选：D.
【典例3-5】（2022·江西上饶·二模（理））函数 的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
当 ， ，函数为奇函数，排除C；
，排除AD；故选：B.
【典例3-6】（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，
比如悬链桥.在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基础的是双曲正弦函数 ，
和双曲余弦函数 .下列结论错误的是（ ）
A．双曲正弦函数图象关于原点中心对称，双曲余弦函数图象关于y轴对称
B．若直线 与双曲余弦函数图象 和双曲正弦函数图象 共有三个交点，则
C．双曲余弦函数图象 总在双曲正弦函数图象 上方
D．双曲正弦函数 导函数的图象与双曲余弦函数图象重合
【答案】B
【详解】
对于A，由于 ，故 为奇函数，其图象关于原点中心对称，
而 ，故 为偶函数，图象关于y轴对称，
故A正确；
对于B，当 时 ， ，故 在 时为增函数，
当 时 ， ，故 在 时为减函数，
因此 的最小值在 时取到，最小值为1；
又 ，故 在R上为增函数，
又因为 ，
由此作出 ， 的大致图象，如图示，由图象可知，当 时，直线 与双曲余弦函数图象 和双曲正弦函数图象 共有2个交点，故B
错误；
对于C，由对B的分析可知，双曲余弦函数图象 总在双曲正弦函数图象 上方，C正确；
对于D，由于 ，故双曲正弦函数 导函数的图象与双曲余弦函数图象重
合，D正确，
故选：B
