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专题 4.4 一次函数的应用
1. 能根据图象、表格或实际问题等信息，用待定系数法确定一次函数表达式。
教学目标 2. 学会从实际问题中抽象出一次函数模型，并用其解决简单问题，培养建模能力。
3. 能通过函数图象获取信息，体会数形结合思想及函数与方程、不等式的联系。
1.重点
（1）核心是掌握用待定系数法确定一次函数表达式的方法。
（2）关键是能建立一次函数模型，结合其性质或图象解决实际问题。
教学重难点 2.难点
（1）难以从复杂实际问题中准确分析变量关系，抽象出对应的一次函数模型。
（2）不易灵活结合函数的“数”（表达式）与“形”（图象），解决决策类等综合
问题。知识点01 一次函数的实际应用
1）数学建模的一般思路
数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既
合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、
抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.
2）正确认识实际问题的应用
在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后
根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.
注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.
3）选择最简方案问题
分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，
寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.
【即学即练1】
1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）在期中考试总结会议上，学校决定购买A，B两种奖品共120件，对
表现优异的学生进行奖励．已知A种奖品的价格为32元/件，B种奖品的价格为15元/件．
(1)请直接写出购买两种奖品的总费用y（元）与购买A种奖品的数量x（件）之间的关系式；
(2)当购买了30件A种奖品时，总费用是多少元？
(3)若购买的A种奖品不多于50件，则总费用最多是多少元？
【答案】(1) ；
(2)2310元；
(3)总费用最多是2650元．
【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，理解题意，确定函数关系式是解本题的关键；
（1）由总费用等于购买两种奖品的费用之和建立函数关系式即可；
（2）把 代入（1）中的解析式计算即可；
（3）利用一次函数的性质解答即可；
【详解】（1）解：根据题意，得：
，
即购买两种奖品的总费用y（元）与购买A种奖品的数量x（件）之间的关系式为 ；
（2）当 时， ，
答：当购买了30件A种奖品时，总费用是2310元；
（3）由题意，得 ，由（1）可知为 ，
∵ ，
∴y随x的增大而增大，
∴当 时，y有最大值为 ，
答：若购买的A种奖品不多于50件，则总费用最多是2650元．
2．（24-25八年级下·广东广州·期末）某建筑公司现有 ， 两工地需要租车运土， 工地需要12台，
工地需要18台；租车公司现有甲型车10台，乙型车20台可供选择，每天租金价格如右表．
甲型车租金 乙型车租金
工地 800元/台 600元/台
工地 600元/台 300元/台
(1)设 工地租甲型车 台，租乙型车______台；则 工地租甲型车______台，租乙型车______台（用含
的式子表示）．
(2)设该公司每天的总租金为 元，请求出 与 的函数解析式并写出 的取值范围．
(3)在（2）条件下，公司如何租车才能使得每天总租金最少？最少租金是多少？请说明理由．
【答案】(1) ； ；
(2)
(3) 工地租甲型车10台，租乙型车2台；则 工地租乙型车18台，才能使得每天总租金，最少租金是
14600元
【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、用代数式表示式
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用：
（1）根据A，B两工地租车方案，即可求解；
（2）根据租金等于每天的租金价格乘以车的数量，列出函数的关系式，即可求解；
（3）根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设 工地租甲型车 台，租乙型车 台；则 工地租甲型车 台，租乙型车
台；
故答案为： ； ；
（2）解： ，
即 与 的函数解析式为 ；
（3）解：∵ ，
∴y随x的增大而减小，
∵ ，当 时，y取得最小值，最小值为14600，
即 工地租甲型车10台，租乙型车2台；则 工地租乙型车18台，才能使得每天总租金，最少租金是
14600元．
知识点02 一元一次方程与一次函数的关系
1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0
2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解；
y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解.
【即学即练2】
1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，一次函数 的图象与 轴的交点坐标为 ，
则下列说法：① ， ；② 随 的增大而减小；③关于 的一元一次方程 的解为 ；
④当 时， ．其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
【答案】B
【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、判断一次函数的
增减性
【分析】本题考查一次函数的图像与性质、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，熟
练掌握一次函数图像和性质，利用数形结合的思想解答是解题关键．根据一次函数图像所在象限及与坐标
轴的交点可判断①②错误，③正确，根据一次函数图像在 轴上方时与 轴交点横坐标可判断④正确，综
上即可得答案．
【详解】解：∵一次函数 的图象经过一、二、三象限，
∴ ， ， 随 的增大而增大，故①②错误，
∵一次函数与 轴交于点 ，
∴关于 的一元一次方程 的解为 ，当 时， ，故③④正确，
故选：B．
题型01 一次函数的应用之分配方案问题【典例1】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）A城有肥料 ，B城有肥料 ．现要把这些肥料全部运
往C，D两乡．从A城往C，D两乡运肥料的费用分别为 元/t和 元/t；从B城往C，D两乡运肥料的费
用分别为 元/t和 元/t．现C乡需要肥料 ，D乡需要肥料 ，
(1)设从A城调运x吨肥料到C乡（ ），补充完整下列表格
A地 B地
C地 x ②
D地 ① ③
① ② ③
(2)怎样调运，可使总运费最少？请写出具体方案及计算过程
【答案】(1)① ；② ；③
(2)从A城乡运往C乡 吨，运往D乡0吨；从B城运往C乡 吨，运往D乡 吨，此时总运费最少
为 元
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据表格结合题意求解即可；
（2）先求出运费 关于 的函数关系式，再由一次函数的性质分析求解．
【详解】（1）解：由题意得A地向D地调运 ，则 乡还需要 ，则 地调运
到C地，则 地剩余 调运到D地，
故答案为：① ；② ；③ ；
（2）解：设总运费为y元，由题意得：
（ ），
∵在函数 中， ，
∴y随x的增大而减小，
∴ 时，总运费y有最小值 ，
此时， ， ， ，
答：从A城乡运往C乡 吨，运往D乡0吨；从B城运往C乡 吨，运往D乡 吨，此时总运费最少，
最小值为 元．
【变式1】（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）“工欲善其事，必先利其器”．某校为开好劳动教育课
准备购置一批劳动工具，学校与店主商量后，店主给出了以下两种购买方案（二选一）：
方案一劳动工具 元 件，运费 方案二劳动工具 元 件，免费送货上
元； 门．若学校购买 件劳动工具，按方案一购买的付款总金额为 元，按方案二购买的付款总金额为 元．
(1)请分别写出 与 之间的函数解析式；
(2)请你为该学校选择合适的购买方案．
【答案】(1) ， ；
(2)当购买劳动工具少于 件时，选择方案二；当购买劳动工具等于 件时，两种方案均可；当购买劳动工
具超过 件时，选择方案一．
【分析】本题考查了一次函数的应用，读懂题意，列出函数关系式是解题的关键．
（ ）根据题意列出函数关系式即可；
（ ）令 ，即 ，解得 ，再分 和 进行分析即可．
【详解】（1）解：由题意得 ， ；
（2）解：令 ，即 ，
解得： ；
令 ，即 ，解得： ；
令 ，即 ，解得： ；
∴当购买劳动工具少于 件时，选择方案二；
当购买劳动工具等于 件时，两种方案均可；
当购买劳动工具超过 件时，选择方案一．
【变式2】（24-25八年级下·全国·假期作业）某化妆品公司每月付给销售人员的工资有两种方案．方案一：
没有底薪，只拿销售提成；方案二：底薪加销售提成．设x（件）是销售商品的数量，y（元）是销售人员
的月工资．如图， 为方案一的函数图像， 为方案二的函数图像．已知方案二中每件商品的销售提成比
方案一少30元．根据图中信息解答下列问题（注：销售提成是指从销售每件商品得到的销售额中提取一定
数量的费用）：
(1)求 对应的函数表达式．
(2)方案二中每月付给销售人员的底薪是多少元？
(3)小李是该化妆品公司的销售人员，他选择哪种方案才能使月工资更多？
【答案】(1)
(2)方案二中每月付给销售人员的底薪是3600元(3)当销售件数少于120时，选择方案二才能使月工资更多；当销售件数等于120时，选择两种方案所得到
的月工资一样；当销售件数多于120时，选择方案一才能使月工资更多
【分析】（1）设 对应的函数表达式为 ，由待定系数法就可以求出解析式；
（2）由题意得方案二中每件商品的销售提成为 元，设 对应的函数表达式为
，利用待定系数法求得 ，因此方案二中每月付给销售人员的底薪为3600元；
（3）由 建立方程，先求出两种工资方案所得到的工资数额相等时x的值，再观察图像即可得出销售
方案．
【详解】（1）解：设 对应的函数表达式为 ．
由题图，得 ，
解得 ，
对应的函数表达式为 ．
（2）（2） 方案二中每件商品的销售提成比方案一少30元，
设 对应的函数表达式为 ．
把 代入，得 ，
解得 ，
方案二中每月付给销售人员的底薪是3600元．
（3）（3）由（1）知， ．由（2）知， ．
令 ，解得 ．
当销售数量为120件时，两种方案所得到的月工资相等．
由题图可得，当销售件数少于120时，选择方案二才能使月工资更多；当销售件数等于120时，选择两种
方案所得到的月工资一样；当销售件数多于120时，选择方案一才能使月工资更多．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次方程的运用，设计方案的运用，
解答时认真分析，弄清函数图像的意义是关键．
【变式3】（24-25八年级下·北京大兴·期末）某公司拟采购一批车辆，现面临传统燃油（汽油）车与氢能
源车两种选型方案．该公司对两种车型在购置及整个生命周期使用过程中的费用进行了系统性分析：若总
费用只受购车费用和行驶过程中燃料使用费用影响，其他因素忽略不计（即总费用=购车费用+行驶过程中
燃料使用费用），调研信息如下：
设车辆行驶路程为 （单位：万公里），总费用为 （单位：万元）
①下表是调研中的两组数据：
车辆类型 传统燃油车 氢能源车
行驶路程 （万公里） 10 10
总费用 23 28②两类车型各自的总费用 与行驶路程 的函数关系的图象如图所示，两函数图象交于点 ，且与 轴分
别交于点 ，点 ．
结合上述调研信息，回答问题：
(1)传统燃油车购车费用是___________万元；
(2)根据车辆行驶路程的变化，怎样选择车型使总费用较低．
【答案】(1)
(2)当 时，选传统燃油车总费用较低；当 时，两种车总费用一样；当 时，选氢能源车总
费用较低
【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法，一次函数图象的性质是关键．
（1）根据两类车型各自的总费用 与行驶路程 的函数关系的图象，
（2）运用待定系数法算出各自总费用与行驶路程的函数解析式 ， ，当两种车总
费用相等时，即 ，得到行驶路程，结合图形判定即可求解．
【详解】（1）解： ，即当 时，传统燃油车的总费用为 万元，氢能源车的总费用
为 万元，
∴传统燃油车购车费用是 万元；
（2）解：设传统燃油车总费用与行驶路程的解析式为 ，
把 代入得， ，
解得， ，
∴传统燃油车总费用与行驶路程的解析式为 ，
同理，设氢能源车总费用与行驶路程的解析式为 ，
把 代入得， ，
解得， ，
∴氢能源车总费用与行驶路程的解析式为 ，
当 时， ，
解得， ，∴当 时，选传统燃油车总费用较低；
当 时，两种车总费用一样；
当 时，选氢能源车总费用较低．
题型02 一次函数的应用之最大利润问题
【典例2】（24-25八年级下·山西大同·期末）“父亲节”即将来临，父亲的爱是伟大的！某花店购进康乃
馨和玫瑰两种鲜花，康乃馨，玫瑰的进货单价分别为2元/枝、3元/枝，售价分别为8元/枝、6元/枝，某店
主计划购进两种鲜花共300枝，其中康乃馨不大于200枝．设该花店计划购进康乃馨x枝，两种鲜花全部
销售后可获利润y元．
(1)求出y与x之间的函数关系式．
(2)该花店如何进货才能获得最大利润？
【答案】(1)
(2)购进康乃馨200枝、玫瑰100枝时才能获得最大利润
【分析】（1）根据利润=销售康乃馨的利润+销售玫瑰的利润计算即可；
（2）根据一次函数的增减性和x的取值范围计算即可．
本题考查一次函数的应用，写出y与x之间的函数关系式、掌握一次函数的增减性是解题的关键．
【详解】（1）解： ，
∴y与x之间的函数关系式 ．
（2）解： y与x之间的函数关系式 ， ，
∴y随x的增大而增大，
∵ ，
∴当 时y值最大，
（枝）．
答：购进康乃馨200枝、玫瑰100枝时才能获得最大利润．
【变式1】（2024九年级·陕西西安·专题练习）港务区苗木种植专业户老王承包了30亩地，分别种植柏树
苗和松树苗，有关成本、销售额见下表：
种植种类 成本（万元/亩） 销售额（万元/亩）
柏树苗 2.4 3
松树苗 2 2.5
设种植柏树苗x亩，出售柏树苗和松树苗的总利润为y万元．
(1)求y与x的函数表达式；
(2)今年，他继续用这30亩地全部种柏树苗和松树苗，计划投入成本不超过70万元，若每亩的种植成本和
销售额不变，他应如何安排种植才能获得最大收益？（收益＝销售额﹣成本）
【答案】(1)(2)他应该种植25亩柏树苗，种植5亩松树苗才能获得最大收益
【分析】本题考查了一次函数的应用，表示出与总收益的函数关系式，找出题中等量关系并列出方程是解
题的关键．
（1）设种植柏树苗x亩，则种植松树苗 亩，根据收益=销售额-成本列出函数解析式；
（2）根据总成本列出不等式求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性解答即可．
【详解】（1）解：设种植柏树苗x亩，则种植松树苗 亩，
，
∴y与x的函数表达式为 ；
（2）解：根据题意得， ，
解得： ，
由（1）知， ，
∵ ，
∴y随x的增大而增大，
∴当 时，获得最大收益．
答：他应该种植25亩柏树苗，种植5亩松树苗才能获得最大收益．
【变式2】（24-25八年级下·宁夏吴忠·期末）某商场计划用不超过1800元购进甲、乙两种不同品牌的水杯
共50个，已知甲、乙两种品牌水杯的进价和售价如下表所示：
甲品牌水
价格\品牌 乙品牌水杯
杯
进价（元/个） 40 30
售价（元/个） 50 35
设购进甲品牌水杯x个，两种品牌的水杯全部销售完后可获利y元．
(1)写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)采用怎样的购进方案可以使获利最多，最多为多少?
【答案】(1) ； 且 为整数
(2)
【分析】本题考查一次函数的实际应用，函数的区间最值问题，能够根据实际情况列出一次函数是解决本
题的关键．
（1）根据题意可知：总利润=甲品牌销售利润＋乙品牌销售利润，根据等量关系列出函数关系式即可；
（2）根据计划用不超过1800元，计算出最多可购入的甲品牌数量，根据一次函数的增减性可计算出利润
的最高值．
【详解】（1）解：由题意得 ；
与 的函数关系式为: ；由题意得 ，
解得 ，
∴ 且 为整数；
（2）解： 中 ，
随 的增大而增大，
当 时，y最大，
最大值为 ，此时 ，
当购进甲品牌30个，购进乙品牌20个时获利最多，最多为400元．
【变式3】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）“中国乳都”呼和浩特，以乳业为发展引擎，凭借优
质乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中酸奶是深受大众喜爱的乳制饮品之一．某超市销售甲、乙两种品牌
酸奶，结合以下材料解决问题．
内容
某超市销售甲、乙两种品牌的酸奶，甲种酸奶的进价为8元/罐；乙种酸奶的进货
总金额 （单位：元）与进货量 （单位：罐）之间的关系如图所示，经过试
销，甲、乙两种品牌酸奶的销售价分别为12元/罐和15元/罐．
材
料
一
材
某日，该超市销售甲、乙两种品牌的酸奶共800罐，其中乙种品牌的销售量不低
料
于150罐，且不高于400罐．
二
任
务 （1）根据图像求出 与 的函数关系式．
一
任 （2）若购进的两种酸奶全部售完，设销售完甲、乙两种品牌的酸奶所获得的总利
务 润为 元，求出 （单位：元）与乙种品牌酸奶的进货量 （单位：罐）之间的
二 函数关系式，并为该超市设计出获得最大利润的销售方案．
【答案】（1） （2） ，甲品牌酸奶的进货量为400罐，乙品牌酸奶的进货量为400罐
时，获得的利润最大
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
（1）设 与 的函数表达式为 ，代入 即可求解；（2）设乙品牌酸奶的进货量 罐，则甲品牌酸奶的进货量 罐，用含 的式子表示利润，根据一次
函数的性质分析其最大值即可．
【详解】解：（1）依题意，设 与 的函数表达式为 ，
把 代入解析式，
得 ，
∴ 与 的函数表达式为 ；
（2）依题意，乙品牌酸奶的进货量 罐，则甲品牌酸奶的进货量 罐，
∵乙品牌的收购量不低于150罐，且不高于400罐，
∴ ，
由（1）得 ，
则 ，
∵ ，
∴ 随 的增大而增大，
∵ ，
∴当 时， 最大，最大值为 元，
（罐），
即甲品牌酸奶的进货量为 罐，乙品牌酸奶的进货量为 罐时，获得的利润最大．
题型03 一次函数的应用之行程问题
【典例3】（24-25七年级下·江苏南京·开学考试）汽车由南京驶往相距 的上海，它的平均速度为
．
(1)写出汽车距上海的路程s（单位： ）与行驶的时间t（单位：h）的函数关系式；
(2)指出自变量t的取值范围；
(3)当汽车行驶 时，汽车距离上海多远？
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，找出s与t的函数关系式．
（1）根据汽车与上海的距离 南京与上海的距离 汽车的行驶时间 速度列出函数关系式即可；
（2）根据南京与上海的距离以及汽车行驶速度求出汽车到达上海所需的时间，结合实际意义进一步确定t
的取值范围即可；
（3）将 代入（1）的函数关系式中进行计算，即可得出答案．
【详解】（1）解： ．（2）解：∵ ，
∴t的取值范围是： ．
（3）解：当 时， ．
答：当汽车行驶 时，汽车距离上海 ．
【变式1】（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）如图，甲、乙两人分别从同一公路上的A、B两地同时出发
骑车前往C地，两人行驶的路程 与甲行驶的时间 之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信
息解答下列问题：
(1)求甲在 的时间段内的函数关系式；
(2)在 的时间段内，当 为何值时甲、乙两人相距5千米．
【答案】(1)
(2)当 为3小时或5小时时甲、乙两人相距5千米
【分析】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想和分类讨论的思想是解答本题的关键．
（1）根据函数图象中的数据，可以计算出甲在 的时间段内y与x之间的函数关系式；
（2）根据题意，可知存在两种情况甲、乙两人相距5千米，然后分别计算出即可．
【详解】（1）解：设甲在 时，y与x之间的函数关系式是 ，
∵点 在该函数图象上，
，
解得 ，
即甲在 时，y与x之间的函数关系式是 ；
（2）解：设乙在 时，y与x之间的函数关系式是 ，
∵点 在函数图象上，
∴ ，
解得 ．
即乙在 时，y与x之间的函数关系式是 ，
相遇之前两人相距 ，则 ，解得 ．
相遇之后且甲到达C地之前相距 ，则 ，
解得 ．
答：当 为3小时或5小时时甲、乙两人相距5千米．
【变式2】（24-25八年级下·安徽合肥·开学考试）一辆轿车从A地驶往B地，到达B地后立即返回A地，
返回速度是原来的 倍，往返共用t小时．一辆货车同时从A地驶往B地，速度是 到达B地后停
止．两车同时出发，匀速行驶，设轿车行驶的时间为 ，两车离开A地的距离为 ，轿车行驶过程
中y与x之间的函数图象如图所示．
(1)轿车从A地驶往B地的速度为 ， ；
(2)在图中画出货车从A地行驶到B地的函数图象，并求货车从A地行驶到B地时y与x之间的函数关系式；
（写出自变量取值范围）
(3)当轿车从B地返回A地的途中与货车相遇时，求相遇处到A地的距离．
【答案】(1)80，5
(2)见解析，
(3)相遇处到A地的距离为
【分析】本题主要考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，正确理解题意，根据图象得到做题所需信
息是解题关键．
（1）由图象可知，轿车从A地驶往B地一共行驶了 ，所用时间为 ，根据速度 路程 时间即可
求出轿车从A地驶往B地的速度，根据图象即可得到t的值；
（2）根据时间 路程 速度可求出货车到达B地所需时间，以此确定函数图象过 和 两点，根
据路程 速度 时间即可写出y与x之间的函数关系式；
（3）由题意可得轿车返回速度为 ，设a小时后，轿车从B地返回A地的途中与货车相遇，根据
“货车走过的路程 轿车从B地出发后的路程 ”列出方程，求得a ，则相遇处到A地的距离就是
货车走过的路程．
【详解】（1）解：由图象可知，轿车从A地驶往B地一共行驶了 ，所用时间为 ，
∴轿车从A地驶往B地的速度为 ，
由图象可知，轿车往返共用 ；
故答案为：80，5；（2）∵货车同时从A地驶往B地，速度是 到达B地后停止，
∴货车到达B地所需时间为 ，
∴货车从A地行驶到B地的函数图象过 和 ，
，
函数图象如图所示，
（3）∵轿车返回速度是原来的 倍，
∴轿车返回速度为 ，
设a小时后，轿车从B地返回A地的途中与货车相遇，
根据题意得： ，
解得： ，
∴相遇处到A地的距离为 ．
【变式3】（25-26八年级上·全国·期末）如图①，一条直的公路上依次有A，B，C三个汽车站，
， ，一辆汽车上午8：00 从距离A站 的P地出发，匀速向C站行驶，途中休
息一段时间后，按原速继续前进，当到达B站时接到通知，要求中午12：00前到达C站．设汽车出发
后离A站 ，图②中折线 表示接到通知前y与x之间的函数关系．
(1)根据图象可知，接到通知前汽车行驶的速度为 ；
(2)求线段 对应的函数表达式（不写自变量的取值范围）；
(3)接到通知后，若汽车仍按照原来的速度行驶，则能否按时到达？如果不能按时到达，那么速度至少提高
到多少可按时到达？请说明理由．【答案】(1)80
(2)
(3)不能，速度至少提高到 ，理由见解析
【分析】本题考查了函数图象，一次函数解析式，一次函数的应用，从图象中获取正确的信息是解题的关
键
（1）由图象可知，休息前汽车行驶的路程为 千米，时间为 小时，根据速度 路程 时间解题．
（2）先求出点G的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（3）由题意知，接到通知后，汽车仍按原速行驶，则全程总时间为 小时，由 ，判断并求出速
度即可．
【详解】（1）解：由图象可知，休息前汽车行驶的速度为： （千米/小时）．
（2）解：休息后按原速度继续前进行驶的时间为： ，
点 的坐标为 ，
设线段 所表示的 与 之间的函数关系式为 ，
则： ，解得 ，
线段 所表示的 与 的函数关系式为： ．
（3）解：若汽车按原速行驶，则不能按时到达，速度至少提高到 ．
理由如下：由（1），得接到通知前汽车行驶的速度为 ．
接到通知后，若汽车仍按照原来的速度行驶，
则行完全程所需时间为 ．
因为 ，且 ，
所以若汽车仍按照原来的速度行驶，则不能按时到达．
若要使其能按时到达，则速度至少提高到 ．
【变式4】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）一辆货车和一辆轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一条
公路相向而行，匀速驶向各自的目的地乙地和甲地．行驶了一段时间，轿车出现故障停下维修，货车遇到
轿车后立即停下帮助维修，故障排除后，两车立即以各自原速度继续行驶．两车之间的距离 和货车
行驶时间 之间的函数图象如图①所示．(1)货车的速度为________ ，轿车的速度为________ ；
(2)求线段 表达式；
(3)在图②中，画出货车离乙地的距离 和行驶时间 之间的函数图象．
【答案】(1)60；80
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查从函数图象获取信息，一次函数的应用，理解题意是解题的关键．
（1）根据图中信息，找出对应的时间、路程，即可求出速度；
（2）求出点D，E的坐标，利用待定系数法求解；
（3）求出 ， 时对应的s的值，以及货车到达乙地的时间，画出分段函数即可．
【详解】（1）解：由图象可知，货车的速度为 ，
轿车的速度为 ；
（2）解：根据题意知，轿车出现故障时行驶了 ，
轿车修好后到达甲地所需时间为 ，
，
，
货车2小时行驶的路程为 ，
，
，
设线段 的函数表达式为 ，
把 ， 坐标代入解析式得： ，
解得 ，
线段 的函数表达式为 ；
（3）解：由题意得，货车到达乙地的时间为 ，
时， ，
时， ，货车离乙地的距离 和行驶时间 之间的函数．
图象如图②：
题型04 一次函数的应用之几何问题
【典例4】（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，在 中， ，动点
以每秒1个单位长度的速度从点 出发，沿折线 方向运动到点 停止．设运动时间为
秒， 的面积为 ．
(1)直接写出 关于 的函数表达式及自变量 的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
(3)直接写出 的面积为3时 的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3) 或
【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及动点问题，三角形面积等，解题的关键是分类讨论思想的应
用．
（1）分两种情况∶当 时，D在边 上， ； 当 时，D在边 上，
；（2）描点画出图象即可；
（3）在 和 中，分两种情况列方程可解得答案．
【详解】（1）解：当 时，D在边 上，
；
当 时，D在边 上，
；
（2）解：当 时， ，
当 时， ；
当 时， ；
描点画出图象如下∶
（3）解：在 中，令 得 ，
解得 ；
在 中，令 得 ，
解得 ．
综上所述，t的值为 或3．
【变式1】（25-26八年级上·重庆渝北·开学考试）如图①，在矩形 中， ， ，点
从点 出发，沿 的路线运动，到点 停止；点 从点 出发，沿 的路
线运动，到点 停止．若点 、点 同时出发，点 的速度为每秒 ，点 的速度为每秒 ， 秒时，
点 、点 同时改变速度，点 的速度变为每秒 ，点 的速度变为每秒 ．图②是点 出发 秒后
的面积 与时间 （秒）的函数关系图象；图③是点 出发 秒后 的面积 与
时间 （秒）的函数关系图象．(1)参照图②，求 及图②中 的值；
(2)当点 出发______秒时，点 的运动路程为 ；
(3)设点 离开点 的路程为 （cm），点 到点 还需要走的路程为 （cm），请分别写出改变速度后，
、 与出发后的运动时间 （秒）的关系式，并求出点 、点 相遇时 的值．
【答案】(1) ， ，
(2)
(3) ， ，
【分析】（ ）由图象②可得，当 时， ，求出 的值，进而可求出 和 的值；
（ ）求出 的值，设当点 出发 秒时，点 的运动路程为 ，进而列出方程即可求解；
（ ）根据题意求出 、 与出发后的运动时间 （秒）的关系式，进而可知点 、点 相遇时 ，
解方程即可求解；
本题考查了动点问题的函数图象，一元一次方程的应用，一次函数的应用。看懂函数图象是解题的关键．
【详解】（1）解：由图象②可得，当 时， ，
解得 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由题意可得， ，
解得 ，
设当点 出发 秒时，点 的运动路程为 ，
则 ，
解得 ，
∴点 出发 秒时，点 的运动路程为 ，
故答案为： ；
（3）解：由题意得， ， ，即 ， ，
当点 、点 相遇时， ，
解得 ．
【变式2】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在长方形 中，
．延长BC到 ，使 ，连接DE，由直角三角形的
性质可知 ．动点 从点 出发，以每秒2个单位的速度沿 向终点 运动，设点 运
动的时间为 秒．
(1)当 时， ____________；
(2)当 ____________时，点 运动到 的角平分线上；
(3)请用含 的代数式表示 的面积 ；
(4)当 时，直接写出点 到四边形 相邻两边距离相等时 的值．
【答案】(1)10
(2)当 时，点 运动到 的角平分线上
(3)
(4) 或5或 时，点 到四边形 相邻两边距离相等
【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线定理、三角形的面积、全等三角形的判定与性质，解题的
关键是综合运用以上知识．
（1）根据题意，列式计算即可；
（2）根据角平分线定义可得 ，得 ，进而可得 的值；
（3）根据题意分3种情况讨论：①当点 在 上运动时，②当点 在 上运动时，③当点 在 上运
动时，分别用含 的代数式表示 的面积 即可；
（4）当 时，点 在 、 边上运动，根据题意分情况讨论：①当点 在 上，点 到 边
的距离为8，点 到 边的距离也为8，②当点 在 上，点 到 边的距离为8，点 到 边的距
离也为8，③当点 在 上且 到 与 距离一样时，分别求解即可．
【详解】（1）解： ，动点 从点 出发，以每秒2个单位的速度沿 向终点 运动，
∴点P运动的路径长为 ，∵ ，
∴ ，
故答案为：10．
（2）如图，作 的角平分线交 于 ，
，
四边形 是矩形，
∴ ，
，
，
，
，
，
，解得 ．
当 时，点 运动到 的角平分线上；
故答案为：14；
（3）根据题意分3种情况讨论：
①当点 在 上运动时， ，
；
②当点 在 上运动时，
；
③当点 在 上运动时，
；
综上， ；
（4）解：当 时，点 在 边上运动，根据题意分情况讨论：
①当点 在 上，且点 到 与 距离一样时，
点 到 边的距离为8，
点 到 边的距离也为8，
即 ，，解得 ；
②当点 在 上，且 到 与 距离一样时，如图，过 作 于点 ，
则 ，即 ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
；
③当点 在 上，则 到 与 距离一样时，如图，过点 作 于点 ，
设 ，则 ，
，
，
解得： ，
，
．
综上所述： 或5或 时，点 到四边形 相邻两边距离相等．题型05 一次函数的应用之梯度计费问题
【典例5】（25-26八年级上·全国·期中）某市出租车收费标准为，两公里付起步价9元，超过两公里但是
不超过八公里的路程每公里付2元，超过八公里的路程每公里付3元（不足一公里按照一公里计算，如2.3
公里按照3公里收费），设出租车行驶路程为 ，应付车费为 ．
(1)写出当 为整数（ ）时，车费 与行驶路程 的函数关系式；
(2)若小明要乘坐出租车去距家7.2公里的电影院看电影，应付给司机多少钱？
【答案】(1) （ ）；
(2)21元．
【分析】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据不同的路程段确定车费的计算方式．
（1）根据出租车收费标准，当 （ 为整数）时，计算车费 与行驶路程 的函数关系式；
（2）先根据不足一公里按一公里计算的规则确定行驶路程，再代入（1）中函数关系式计算车费．
【详解】（1）解：当 （ 为整数）时，起步价9元，超过2公里的部分为 公里，这部分每
公里2元．
所以车费 ，化简可得 ，
答：车费 与行驶路程 的函数关系式 （ ）；
（2）解：因为不足一公里按照一公里计算，7.2公里按照8公里计算，
把 代入 中，可得 （元）．
答：应付给司机21元．
【变式1】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）某市自来水采用分段收费标准．设居民每月应交水费y
（元），用水量x（立方米）．
用水量x（立方米） 应交水费y（元）
不超过12立方米 每立方米3.5元
超过12立方米 超过的部分每立方米4.5元
(1)求每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式；
(2)若某户居民某月交水费78元，则该户居民用水多少立方米？
【答案】(1)
(2)该户居民用水20立方米
【分析】本题考查一次函数的应用．
（1）根据表格中的数据，可以写出每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式；
（2）先判断该户居民用水量的范围，然后根据（1）中的关系式，即可计算出该户居民用水多少立方米．
【详解】（1）解：由题意可得，
当 时， ，当 时， ，
由上可得，每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式是 ；
（2）解：∵ ，
∴该户居民用水超过12立方米，
设该户居民用水a立方米，
则 ，
解得 ，
答：该户居民用水20立方米．
【变式2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）为了增强公民的节水意识，郑州市制定了居民用水“阶梯式
水价”收费标准，具体如下：
年用水量 收费标准
不超过 部分 元
超过 ，不超过 部分 元
超过 部分 元
小明同学是郑州市居民，他家用水符合居民用水“阶梯式水价”收费标准．
(1)小明同学家 年用水 ，应交水费 元．写出 与 之间的关系式；
(2)小明家 年交了 元水费，求 年小明家用了多少
(3)请你从居民用水收费方面提出你的一点建议，并简单说明原因．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查一次函数的应用，根据“阶梯式水价”收费标准，写出各阶梯y与x之间的关系式是解
题的关键．
（1）根据第一阶梯收费标准计算即可；
（2）根据“阶梯式水价”收费标准，写出各阶梯 与 之间的关系式，当 时，求出对应 的值即可；
（3）适当调整各阶梯的水量标准，既能减轻居民经济负担，又能引导居民合理用水，从这方面提出合理
的建议即可．
【详解】（1）解：当 时， 与 之间的关系式为 ．
（2）当 时， 与 之间的关系式为 ，
当 时， 与 之间的关系式为 ，当 时，解得 舍去)，
当 时，解得 ，
年小明家用了 水．
（3）建议：适当调整各阶梯的水量标准；
原因：随着生活水平提升和用水设备普及，部分家庭用水量增长较快．若阶梯水量标准过低，大量家庭易
进入高收费阶梯，增加经济负担；适当调整标准可平衡居民用水成本与节水意识，既减轻负担又引导合理
用水．
【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）为鼓励市民节约用电，西安市电力公司对城乡居民用户
采取按月用电量分档收费办法．现提供一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示：
居民电费专用发票
计费期限：一个月
用电量 （度） 电价（元/度）
第一档： 0.50
第二档：
0.55
第三档： 0.80
本月实用金额：106.5 （大写）壹佰零陆元
（元） 伍角
根据以上提供信息解答下列问题：
(1)如果月用电量用 度来表示，实付金额用 元来表示，当 时，写出实付额 元与月用电量
度之间的函数关系式；
(2)请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量；
(3)若小强和小华家一个月的实际用电量分别为120度和250度，则实付金额分别为多少元
【答案】(1)
(2)这个家庭本月的实际用电量为210度
(3)小强和小华家这一个月实付金额分别为60元和128.5元
【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是要根据用电量的多少分阶梯求出实付电费与用电量之
间的函数关系．
（1）当 时，成一次函数关系，实付金额等于 度内的用电付出金额与超出 度的用电付
出金额的和，然后即可得到y与x的函数关系式；
（2）先计算出 元的用电量超出 度，然后把实付金额代入函数关系式进行计算即可得解；
（3）根据用电度数判断出适合的函数关系式，然后把用电度数代入关系式进行计算即可得解．【详解】（1）解：当 时，则
，
答：当 时， 与 之间的函数关系式为 ；
（2）解：∵ 度电费为： ，
度电费为： ，
，
该家庭本月用电量属于第二档，令 ，则 ，
解的 ，
答：这个家庭本月的实际用电量为210度．
（3）解：当 时，则 ；
，
把 代入 得 元；
当 时，则 ，
当 时，则 元．
答：小强和小华家这一个月实付金额分别为60元和128.5元．
题型06 已知直线与坐标轴交点求方程的解
【典例6】（25-26八年级上·全国·单元测试）一次函数 的图象如图所示，则关于 的方程
的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，方程 的解即为一次函数 的函数
值 为0时对应的 的值，利用数形结合的思维解答是解题的关键．
【详解】解：由图象知，当 时 ，∴关于 的方程 的解为 ，
故答案为： ．
【变式1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知关于x的方程 的解为 ，则一次函数
的图象与x轴的交点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数 的图象与x轴的交点的横坐标为
的解，由此可解．
【详解】解： 关于x的方程 的解为 ，
一次函数 的图象与x轴的交点坐标为 ．
故答案为： ．
【变式2】（25-26八年级上·全国·课前预习）一次函数 ，当 时， ，这条直线与
x轴的交点的坐标是 ，因此，方程 的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐
标都满足函数关系式 是解题的关键．代入 求出 的值，进而可得出这条直线与 轴的交点坐
标，于是得到方程 的解．
【详解】解：当 时， ，
解得： ，
这条直线与 轴的交点是 ．
方程 的解是 ，
故答案为： ； ， ．
【变式3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知一次函数 的图象如图所示，利用图象回答下列
问题：（1）关于 的方程 的解为 ；
（2）关于 的方程 的解为 ；
（3）关于 的方程 的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程综合，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
根据函数图象作答即可．
【详解】解：由图知，一次函数 过点 ，
则（1）关于 的方程 的解为 ；
（2）关于 的方程 的解为 ；
（3）关于 的方程 的解为 ．
故答案为： ； ； ．
题型07 利用图象法解一元一次方程
【典例7】（24-25八年级下·陕西安康·期末）一次函数 （k，b为常数，且 ）的图象如图所
示，则关于x的方程 的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，解题关键是运用数形结合思想求解．
结合函数图象得出一次函数图象经过点 ，即可求解．
【详解】解：方程 的解就是一次函数 函数值为 时，自变量x的值，观察图象可知一
次函数图象经过点 ，
∴ 的解为
故答案为： ．
【变式1】（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，一次函数 与 的图象相交于点
，则关于 的方程 的解是 ．【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，数形结合是解题的关键．先利用 求出交点 的坐标，
然后根据一次函数图象的交点坐标进行判断．
【详解】解：把 代入 得 ，
解得 ，
∴一次函数 与 的图象的交点 为 ，
∴关于 的方程 的解是 ．
故答案为： ．
【变式2】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，直线 与 相交于点 ，则关于x的
方程 的解是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的综合应用，解题关键是理解方程 的解，即为
直线 与 的交点的横坐标的值．结合图像可知，方程 的解，即为直线 与
的交点的横坐标的值，即可获得答案．
【详解】解： 直线 与 相交于点 ，
方程 的解，即为直线 与 的交点的横坐标的值，
方程 的解为 ．
故答案为： ．
【变式3】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，一次函数 与 的图象交于点
，则关于x的方程 的解为 ．【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，两一次函数图象的交点满足两函数解析式．利用P点坐标
满足两函数解析式，从而得到 为关于x的方程 的解．
【详解】解： 一次函数 与 的图象交于点 ，
即 时， ，
关于x的方程 的解为
故答案为：
一、单选题
1．（25-26八年级上·全国·单元测试）一次函数 的图象如图所示，则关于 的一元一次方程
的解为 （ ）
A． B． C．2 D．0
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数与方程，根据一次函数图象可得一次函数 的图象经过 点，
进而得到方程的解．
【详解】解：根据图象可得，一次函数 的图象经过 点，
因此关于x的方程 的解 ，
故选：D．
2．（2025·江苏淮安·二模）弹簧原长（不挂重物） ，弹簧总长 与重物质量 的关系如表所
示：弹簧总长 11 12 13 14
重物重量 0.5 1.0 1.5 2.0
当重物质量为 （在弹性限度内）时，弹簧总长 是（ ）
A．17 B．17.5 C．18 D．18.5
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是求出弹簧长度与重物质量的关系式．根据表格观察
可发现：重量每增加1千克，弹簧增长2厘米，满足一次函数关系，根据待定系数法求解析式即可得解．
【详解】解：设L与x的关系式为： ，
把 ， 代入解析式得 ，
解得 ，
∴L与x的关系式为 ，
当 时， ，
故选：C．
3．（25-26九年级上·河北唐山·开学考试）如图，一次函数 的图象经过点 ，则方程
的解是（ ）
A．4 B．1 C．3 D．2
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，由一次函数 的图象经过点 ，可得当 时，
，从而得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数 的图象经过点 ，
∴当 时， ，
∴方程 的解是 ，
故选：D．4．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，李爷爷要围一个矩形菜园 ，菜园的一边利用足够长的墙，
用围成的另外三边的总长恰好为 ，设边 的长为 ，边 的长为 （ ），则 与 之间的
函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数表达式，解题关键是掌握找准等量关系．根据题中等量关系
列出一次函数表达式，即可求解．
【详解】解：根据题意得，菜园三边长度的和为 ，
即 ，
所以 ，
由 得， ，即 ，
当 时，即 ，解得 ，
所以 ，
故选：B．
5．（2025·青海玉树·模拟预测）一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，
设普通列车行驶的时间为 （单位： ）．两车之间的距离为 （单位： ）．图中的折线表示 与 之
间的函数关系．下列结论： ； 普通列车出发 与动车相遇； 普通列车行驶 时，动车到达
终点乙地； 经过 或 两车相距 ，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】本题考查一次函数图像的应用，熟练掌握图像相关数据是解题的关键.
折线分三段：第一段两车相向而行，第二段背向而行至动车到达乙地，第三段普通列车行至甲地（动车停
止）．
①t时刻是相遇后两车相距180千米的时刻，用3小时加两车共行驶180千米的时间即可.
②初始时刻 ，即为两地距离，相遇时两车距离为0，由图像得到相遇时刻；
③全程除以动车速度即为动车到达终点时间；
④设经过 ，两车相距 ，列方程解答验证是否是 或 ．
【详解】解：由图象可得，
普通列车的速度为： ，
动车的速度为： ，
，故 正确，符合题意；
普通列车出发 与动车相遇，故 正确；符合题意；
，
即普通列车行驶 时，动车到达终点乙地，故 错误，不符合题意；
设经过 ，两车相距 ，
相遇前： ，得 ；
相遇后： ，得 ；
即经过 或 两车相距 ，故 正确，符合题意；
故选：B．
二、填空题
6．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）直线 与 轴的交点的坐标是 ，则关于 的方程
的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据一次函数与一元一次方程的关系即可求解，熟
练掌握两者之间的关系是解题的关键．
【详解】解：∵直线 与 轴的交点坐标是 ，
∴当 时， ，
∴方程 的解是 ，
故答案为： ．
7．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）若关于 的方程 的解为 ，则直线 一定经过点 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据方程可知当 ， ，从而可判断直线经
过点 ．
【详解】解：由方程可知：当 时， ，
故将 代入直线 ，得 ，
∴直线 的图象一定经过点 ．
故答案为： ．
8．（24-25八年级下·宁夏吴忠·期末）某水库的水位在一个时间段内持续上涨，初始水位高度为 ，水位
以每小时 的速度匀速上升，则水库的水位 与上涨时间 之间的函数关系式是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查列函数关系式，根据题中水位以每小时 的速度匀速上升列出关系式为解题的关
键．
根据“高度等于速度乘以时间加上初始高度”列出关系式即可．
【详解】解：根据题意可得： ．
故答案为： ．
9．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，一次函数 为常数且 与正比例函数
为常数且 的图象交于点 ，则关于 的方程 的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的交点问题．
根据交点作答即可．
【详解】解： 一次函数 为常数且 与正比例函数 （ 为常数且 的图象交
于点 ，
关于 的方程 的解是 ，
即关于 的方程 的解是 ．
故答案为： ．
10．（2025·山东淄博·模拟预测）如图，折线 描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离 与行驶时间 之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是
．
汽车在行驶途中停留了 小时；
汽车在整个行驶过程的平均速度是 ；
汽车共行驶了 ；
汽车出发 离出发地 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据图像依次判断即可．
【详解】 ，汽车在行驶途中停留了 小时，结论正确；
总路程 ，汽车在整个行驶过程的平均速度是 ，结论正确；
汽车共行驶了 ，结论错误；
汽车行驶3小时后的速度 ，出发 离出发地 ，结论正确．
故答案为： ．
三、解答题
11．（25-26八年级上·全国·课前预习）已知一次函数 的图象如图所示．
(1)关于x的方程 的解是________；
(2)关于x的方程 的解是________；
(3)关于x的方程 的解是________．
【答案】(1)
(2)(3)
【分析】此题主要考查了一次函数与方程，关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到正确答案．
（1）一次函数 的图象与 轴交点横坐标的值即为方程 的解；
（2）根据一次函数图象可得一次函数 的图象经过 点，进而得到方程的解；
（3）根据一次函数图象可得一次函数 的图象经过 点，进而得到方程的解．
【详解】（1）解： 一次函数 的图象与 轴相交于点 ，
关于 的方程 的解是 ．
故答案为： ；
（2）解：根据图象可得，一次函数 的图象经过 点，
因此关于 的方程 的解 ，
故答案为： ；
（3）解：根据图象可得，一次函数 的图象经过 点，
因此关于 的方程 的解 ，
故答案为： ．
12．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）我国是世界上严重缺水的国家之一，为了增强居民节约用水意
识，某市准备实行新的水费收费标准：每户每月用水量不超过10吨的部分，按每吨3元收费，超过10吨
的部分，按每吨5元收费，设某户月用水量为 吨，应交水费为 元．
(1)求出应交水费 （元）与用水量 （吨）之间的函数关系式；
(2)已知居民甲上个月交水费40元，求居民甲上月用水多少吨？
【答案】(1) ；
(2) 吨
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的解法的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．
（1）根据每吨3元和总水费=前10吨的水费+超出10吨部分的水费两种情况就可以表示出y（元）与x
（吨）之间的函数关系式；
（2）先判断居民甲上月用水超过 吨，在根据总费用为40元建立方程求出其解即可．
【详解】（1）解：当 时，
；
当 时，
由题意，得： ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴居民甲上月用水超过 吨，
由题意，得： ，
解得： ，即居民甲上月用水 吨．
13．（24-25八年级下·重庆巴南·期末） 城有肥料200吨， 城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往
、 两乡．从 城运往 、 两乡运肥料的费用分别是每吨20元和25元，从 城往 、 两乡运肥料
的费用分别为每吨15元和24元，现在 乡需要肥料240吨， 乡需要肥料260吨．
(1)若从 城运往 乡所需运费是从 城运往 乡所需运费的一半，求从A城运往D乡的肥料为多少吨？
(2)怎样调运化肥，可使总运费最少？最少运费是多少？
【答案】(1)从 城运往 乡的化肥为110吨
(2)从 城运往 乡化肥0吨，从A城运往 乡化肥200吨，从 城运往 乡化肥240吨，从 城运往 乡
化肥60吨时，总运费最少，为10040元
【分析】本题考查了一次函数的应用，难点在于表示出运往各地的化肥吨数．
（1）设从 城运往 乡化肥 吨，从 城运往 乡化肥 吨，从 城运往 乡化肥 吨，从
城运往 乡化肥 吨，根据题意得： ，求解即可．
（2）设从 城运往 乡化肥 吨，从 城运往 乡化肥 吨，从 城运往 乡化肥 吨，
从 城运往 乡化肥 吨，总运费为y，然后根据总运费的表达式列式整理，再根据运往各地的肥料
数不小于0列式求出x的取值范围，根据一次函数的增减性解答即可..
【详解】（1）解：设从 城运往 乡化肥 吨，从 城运往 乡化肥 吨，从 城运往 乡化肥
吨，从 城运往 乡化肥 吨；
由题意得： ，解得： ，
（吨）
答：从A城运往D乡的化肥为110吨：
（2）解：设从 城运往 乡化肥 吨，从 城运往 乡化肥 吨，从 城运往 乡化肥
吨，从 城运往 乡化肥 吨；
由题意得：利润 ，
， 随 增大而增大．
又
当 时，总运费最少，最少为 （元）
答：从A城运往C乡化肥0吨，从A城运往D乡化肥200吨，从B城运往C乡化肥240吨，从B城运往D
乡化肥60吨时，总运费最少，为10040元．
14．（24-25八年级下·江苏南通·期中）某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元 ；乙种产
品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位： ）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种
产品的售价分别为12元 和18元 ．(1)求y关于x的函数解析式；
(2)若该经销商购进甲、乙两种产品共 ，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于 ，且不
高于 ，经销商该如何进货，才能使总利润最大？最大利润为多少元？
【答案】(1)
(2)购进甲产品200千克，乙产品400千克时利润最大，最大利润为2600元
【分析】本题考查了一次函数的应用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）分两种情况，利用待定系数法求解即可；
（2）分两种情况，根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：当 时，设 ，
根据题意可得， ，
解得 ，
；
∴当 时，设 ，
根据题意可得， ，
解得 ，
．
∴
综上所述，y关于x的函数解析式为 ；
∴
（2）解：根据题意可知，设购进乙种产品x千克，则购进甲种产品 千克，
当 时，乙种产品进价为 (元/千克)，
，
，
随x的增大而减小，
∵
当 时，w的最大值为 (元)；
∴
∴当 时， ，
，
随x的增大而增大，
∵
当 时，w的最大值为 (元)，
∴
综上，购进甲产品200千克，乙产品400千克时利润最大，最大利润为2600元．
∴
15．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在 中， ， ， ．动点P以
每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿折线 运动，到达B点时停止运动，设点P的运动时间
为 秒 ， 的面积为y．
(1)求y关于t的函数表达式，并注明自变量 的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质；
(3)当 的面积等于4时，结合函数图像，求 的值．
【答案】(1)
(2)图像见解析，函数的一条性质：该函数的最大值为6
(3)2或
【分析】本题考查了一次函数的应用、勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的几何应用是解题关键．
（1）分两种情况：① ，先求出 的长，再利用三角形的面积公式即可得；② ，先求出
的长，再利用三角形的面积公式可得 的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得；
（2）先根据（1）的结论，画出两段一次函数的图像，再写出一条性质即可得；
（3）分两种情况： 和 ，求出 时， 的值即可得．
【详解】（1）解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，由题意可知，点 从点 运动到点 所需时间为 秒，从点 运动到点 所需时间为 秒，
①当 时，点 在 上运动，
则 ，
∴ 的面积 ；
②如图，当 时，点 在 上运动，
过点 作 于点 ，
则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的面积 ；
综上， ．
（2）解：在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图像如下：
该函数的一条性质：该函数的最大值为6．
（3）解：当 时，则 ，解得 ，符合题设；
当 时，则 ，解得 ，符合题设；综上， 的值为2或 ．
16．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图①所示桌面 长
为 ，小球 与木块 （大小、厚度忽略不计）同时从 出发向 沿直线路径做匀速运动，速度较快
的小球 到达 处的挡板 后被弹回（忽略转向时间），沿原来路径和速度返回，遇到木块 后又被反弹向
挡板 ，如此反复，直到木块 到达 ，同时停止．设小球的运动时间为 ，木块 与小球之间的距离为
，图②是 与 的部分函数关系图像，结合图像回答下列问题．
(1)小球 第一次到达挡板 的时间是______s，小球 的速度为______ ，木块 的速度为______ ；
(2)小球 第一次返回时，求 与 的函数关系式；
(3)当小球 从出发至第一次 、 相遇时，小球 与木块 距离为 时，直接写出 的值为______ ．
【答案】(1)16； ；
(2)
(3)当小球P从出发至第一次P、Q相遇时，小球P与木块Q距离为 时， 或 ．
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．
（1）依据题意，观察函数图象，可得，小球P第一次到达挡板l的时间是 ，进而可得小球P的速度为
，求出速度和，然后计算出 点的速度，故可判断得解；
（2）先求解 ，再利用待定系数法计算可以得解；
（3）依据题意，先求出小球P运动 前的函数关系式，然后把 代入解析式和（2）中解析式计算
即可．
【详解】（1）解：由题意，观察函数图象，可得，
小球P第一次到达挡板l的时间是 ，
∴小球P的速度为 ，
由题意， ，
又 ，
∴ ，
∴木块Q的运动速度 ．故答案为：16； ；
（2）解：由（1）得： ，
设小球P第一次返回时， ，
将 ， 代入得，
解得 ，
∴ ．
（3）解：由题意，设小球P运动 前的函数关系式为 ，
函数过 ，
∴ ，
∴ ，
∴此时函数为 ，
，又令 ，
∴ ，
又当小球运动到 后，结合（3）函数关系式为 ，
∴令 ，
解得 ，
综上，当小球P从出发至第一次P、Q相遇时，小球P与木块Q距离为 时， 或 ．
17．（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习） ， 两地相距 千米．早上 货车甲从 地出发将一批
物资运往 地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与 地联系． 地收到消息后立即派货车乙从 地出
发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了 分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往 地．
两辆货车离开各自出发地的路程 千米 与时间 小时 的函数关系如图所示．(通话等其他时间忽略不计)
(1)求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程 关于 的函数表达式．
(2)因实际需要，要求货车乙到达 地的时间比货车甲按原来的速度正常到达 地的时间晚 个小时，问货
车乙返回 地的速度为每小时多少千米？【答案】(1)
(2)75
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从图象中获取有用的信息．
（1）设函数表达式为 ，把 ， 代入 可解得答案；
（2）求出货车甲、货车乙的速度， ， 两地相距 千米，货车甲在出发后 千米处出现故障，可求
出货车乙赶往事故地所需时间，再算出原计划和实际的时间，进而算出货车乙返回的时间，根据路程除以
时间即可求解．
【详解】（1）解：设货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程 关于 的函数表达式 ，
把 ， 代入 得：
解得： ，
货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程 关于 的函数表达式为 ；
（2）由图可得：货车甲的速度为 千米 时 ，货车乙的速度为 千米 时 ，
货车甲在出发后 千米处出现故障，
， 两地相距 千米， ，
货车乙赶往事故地所需时间为 小时；
，
原计划是 小时，
因实际需要，要求货车乙到达 地的时间比货车甲按原来的速度正常到达 地的时间晚 个小时，
∴乙返回的时间为： 小时；
(千米/时)
答：货车乙返回B地的速度为每小时是 千米
18．（24-25八年级下·新疆喀什·期末）我国是一个缺水国家，节约用水，是我们每一个公民的基本素养之
一．为鼓励居民节约用水，某市对居民用水收费实行“阶梯价”，2022年起年具体收费标准如下表（阶梯
价的含义：用水量不超过144 ，每立方米收费3.15元，用水量在144~240 ，前144 按 3.15元/ ，
144~240 之间按4.05元/ 收费，以此类推）．
价格
年用水量
供水类型 阶梯分类 （元/
（ ）
）
居民生活 第一阶梯 0~144（含） 3.15144~240
第二阶梯 4.05
（含）
用水
第三阶梯 240以上 6.75
(1)设某户居民的年用水量为 ，请按阶梯分类求用水年费用 （元）关于年用水量 （ ）的函数解
析式．
(2)若小米家2024年全年用水量为120 ，则小米家应缴2024年水费多少元？
(3)若小乐家2024年缴水费814.05元，求小乐家2024年全年用水量．
【答案】(1)
(2)小米家应缴2024年水费 元
(3)小乐家2024年全年用水量为
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，列代数式以及有理数的混合运算，关键是根
据图表中的数量关系，列出算式和方程．
（1）分 ， 及 三种情况，利用含 的代数式表示出这户居民的水费 即可；
（2）由于小米家2024年全年用水量为120 ，则按第一阶梯交费，根据总价=单价×数量列式计算即可；
（3）先判断出小乐家2024年的用水量到达第二阶梯，再根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
；
（2）解： （元），
小米家应缴2024年水费 元；
（3）解：设小乐家2024年全年用水量为 ，
， ，
，
，
解得 ，
小乐家2024年全年用水量为 ．
19．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家 ．张华从家出发，先匀速骑行了 到画社，在画社停留了 ，之后
匀速骑行了 到文化广场，在文化广场停留 后，再匀速步行了 返回家．下面图中 表示时
间， 表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
张华离开家的时间
1 4 13 30
张华离家的距离
②填空：张华从文化广场返回家的速度为______ ；
③当 时，请直接写出张华离家的距离 关于时间 的函数解析式；
(2)当张华离开家 时，他的爸爸也从家出发匀速步行了 直接到达了文化广场，那么从画社到文
化广场的途中 两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）
【答案】(1) ； 0.075；
(2) ① ② ③
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题
意，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）①根据图象作答即可；
②根据图象，由张华从文化广场返回家的距离除以时间求解即可；
③当 时，设一次函数解析式为： ，把 ， 代入 ，用待定系数法求
解即可.
（2）先求出张华爸爸的速度，设张华爸爸距家 ，则 ，当两人相遇时有
，列一元一次方程求解即可进一步得出答案．
【详解】（1）解：①画社离家 ，张华从家出发，先匀速骑行了 到画社，
∴张华的骑行速度为 ，
∴张华离家 时，张华离家 ，
张华离家 时，还在画社，故此时张华离家还是 ，
张华离家 时，在文化广场，故此时张华离家还是 ．
故答案为： .② ,
故答案为： ．
③当 时，设一次函数解析式为： ，
把 ， 代入 ，可得出：
，
解得： ，
∴ ，
当 时， ．
（2）解：张华爸爸的速度为： ，
设张华爸爸距家 ，则 ，
当两人从画社到文化广场的途中 两人相遇时，有 ，
解得： ，
∴ ，
故从画社到文化广场的途中 两人相遇时离家的距离是 ．
20．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出
发向乙地，轿车比货车晚出发 小时，如图，线段 表示货车离甲地的距离 （千米）与时间 （小
时）之间的函数关系；折线 表示轿车离甲地的距离 （千米）与时间 （时）之间的函数关系，请根
据图象解答下列问题：
(1)求轿车出发时，货车与甲地的距离；
(2)求线段 对应的函数表达式；
(3)货车行驶多少时间，两车相距30千米？
【答案】(1)90千米
(2)
(3) 小时或 小时或 小时
【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识，从函数图象中正确获取信息是解题关
键．（1）根据函数图象可得货车5小时行驶了300千米，则可得货车的行驶速度，再利用速度乘以时间即可得；
（2）利用待定系数法求解即可得；
（3）设货车行驶 小时，两车相距30千米，先求出直线 的解析式，则可得当货车行驶 小时，货车
与轿车相遇，再分五种情况：① 、② 、③ 、④ 和⑤
，分别建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：由函数图象可知，货车的行驶速度为 （千米/小时），
∵轿车比货车晚出发 小时，
∴ （千米），
答：轿车出发时，货车与甲地的距离为90千米．
（2）解：设线段 对应的函数表达式为 ，
将点 和 代入得： ，解得 ，
所以线段 对应的函数表达式为 ．
（3）解：设货车行驶 小时，两车相距30千米，
由函数图象可知，货车的行驶速度为 （千米/小时），
在 段，轿车的行驶速度为 （千米/小时），
在 段，轿车的行驶速度为 （千米/小时），
设直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，解得 ，
所以直线 的解析式为 ，
联立 ，解得 ，
即当货车行驶 小时，货车与轿车相遇，
①当 时，则 ，解得 ，符合题设；
②当 时，则 ，解得 ，不符题设，舍去；
③当 时，则 ，
解得 ，符合题设；
④当 时，则 ，
解得 ，符合题设；
⑤当 时，则 ，解得 ，不符题设，舍去；
综上，当 或 或 时，两车相距30千米，
答：货车行驶 小时或 小时或 小时，两车相距30千米．
