第14讲二次函数与幂函数（原卷版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型（新高考专用）

第 14 讲 二次函数与幂函数 【基础知识全通关】 知识点一 幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 知识点二 二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x)(x－x)(a≠0)，x，x 为f(x)的零点. 1 2 1 2 (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛 物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数；在上是增函数 在上是减函数 【特别提醒】 1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0，当时，恒有f(x)<0. 【考点研习一点通】 考点01：二次函数的解析式 1.已知二次函数 ，满足 且方程 有两个相等实根． （1）求函数 的解析式； （2）当且仅当 时，不等式 恒成立，试求 ， 的值． 考点02：二次函数图象的识别 y log xa0 a1 ya1x2 x 2.对数函数 a 且 与二次函数 在同一坐标系内的图像 不可能是（ ） A． B． C． D． 考点03：二次函数的单调性问题 3.已知函数 ， .（1）若函数 是区间 上的单调函数，求实数 的取值范围； （2）求函数 在区间 上的最小值. 考点04：二次函数的最值问题 4.已知二次函数 的两个零点分别是0和5，图象开口向上，且 在区间 上 的最大值为12． （1）求 的解析式； （2）设函数 在 上的最小值为 ，求 的解析式． 考点05：二次函数的恒成立问题 5.已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，求实数a的取值范围． 考点06：二次函数与函数零点问题 f(x) x2 ax1(a 0) 6.已知函数 .f(x) [0,) x f(x)4 （1）若 的值域为 ，求关于 的方程 的解； a2 g(x)[f(x)]2 2mf(x)m2 1 [2,1] m （2）当 时，函数 在 上有三个零点，求 的 取值范围. 考点07：一元二次不等式恒成立问题 7. 设函数 ．若对于 ， 恒成立，求m的取值 范围． 考点08：二次函数的综合应用 8.已知函数 ( 为常数， ). （1）讨论函数 的奇偶性； （2）当 为偶函数时，若方程 在 上有实根，求实数 的 取值范围. 考点09 ：幂函数的概念 9.已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数. 考点10 ：幂函数的图象 yxa y  xb y  xc y  xd 10.若四个幂函数 ， ， ， 在同一坐标系中的部分图象如图，则 a b c d 、 、 、 的大小关系正确的是（ ） A．ab1 B．a1b 0bc 0d c C． D． 考点11 ：幂函数的性质 11.已知定义在 上的幂函数 （ 为实数）过点 ，记 ， ， ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D．考点12：幂函数综合问题 f x  p2 3p3  x p2 3 2 p 1 2 12.（2020·江西省南康中学高一月考）已知幂函数 满足 f 2 f 4 ． f x （1）求函数 的解析式； gx f 2xmf x,x1,9 gx m （2）若函数 ，是否存在实数 使得 的最小值为 m 0？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由； hxn f x3 a,bab hx a,b （3）若函数 ，是否存在实数 ，使函数 在 上的 a,b n 值域为 ？若存在，求出实数 的取值范围；若不存在，说明理由．【考点易错】 易错01 幂函数的图象与性质 1.已知α∈，.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______. 【变式1-1】已知点(m,8)在幂函数f (x)＝(m－1)xn的图象上．设a＝f ，b＝f (ln π)，c＝f (2)，则a，b，c的大小关系是( ) A．a0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( ) 【变式3-1】如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为 直线x＝－1.下面四个结论中正确的是( ) A． b2<4ac B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0 D．5af(cx) D．与x有关，不确定 易错05 二次函数的最值问题 5.已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，x∈[－1，2]． (1)若a＝1，求f(x)的最大值与最小值； (2)f(x)的最小值记为g(a)，求g(a)的解析式以及g(a)的最大值． 【变式5-1】若函数f(x)＝ax2＋20x＋14(a＞0)对任意实数t，在闭区间[t－1，t＋1]上总存在 两实数x，x，使得|f(x)－f(x)|≥8成立，则实数a的最小值为________． 1 2 1 2 易错06 二次函数中的恒成立问题 6.已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值 范围是________． 【变式6-1】设函数f (x)＝ax2－2x＋2，对于满足10，则实数a的取值范围为________． 【巩固提升】 1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝( ) A. B．1 C. D．2 2．若幂函数f(x)＝x(m，n∈N*，m，n互质)的图象如图所示，则( ) A．m，n是奇数，且<1 B．m是偶数，n是奇数，且>1 C．m是偶数，n是奇数，且<1 D．m是奇数，n是偶数，且>1 3．定义域为R的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x2－x，则当x∈[－ 2，－1]时，f(x)的最小值为( ) A．－ B．－ C．－ D．0 4．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，g(x)＝f(f(x))，若g(x)的值域为[2，＋∞)，f(x)的值域为[k， ＋∞)，则实数k的最大值为( ) A．0 B．1 C．2 D．4 5．函数f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是幂函数，对任意的x ，x∈(0，＋∞)，且x≠x ， 1 2 1 2 满足>0，若a，b∈R，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值( ) A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 6．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，若对任意实数x ，x 都有f≥，则f(x)的图象可 1 2 能是( )7.．已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，如果使f(x)≤kx对任意实数x∈(1，m]都成立的m的最大值是 5，则实数k＝________. 8．已知函数f(x)＝－x2＋2bx＋c，设函数g(x)＝|f(x)|在区间[－1，1]上的最大值为M. (1)若b＝2，试求出M； (2)若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k的最大值． 9．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求a，b的值； (2)若b<1，g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上单调，求m的取值范围．