文档内容
考点 26 三角函数的图象与性质（3 种核心题型+基础保分练
+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正
弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在上的性质．
【知识点】
1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，， (π ， 0) ，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，， (π ，－ 1) ，，(2π，
1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R { x | x ≠ kπ＋}
值域 [ － 1,1] [ － 1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调递增区间 [2 k π － π ， 2 k π]
单调递减区间 [2 k π ， 2 k π ＋ π]
对称中心 ( k π ， 0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x ＝ k π常用结论
1．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称
中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期．
2．奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)．
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
【核心题型】
题型一 三角函数的定义域和值域
三角函数值域的不同求法
(1)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．
(2)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域．
(3)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域．
【例题1】（2024·陕西·模拟预测）函数 的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【分析】令 ，则 ，设 ，再结合
三角函数的性质即可得解.
【详解】函数 的定义域为 ，
令 ，则 ，
设 ，可得 ，
当 时， 有最大值为2，
所以函数 的最大值为2.故选：D.
【变式1】（2023·河南·二模）已知偶函数 的图象的
相邻两条对称轴间的距离为 ，则函数 在区间 上的值域为 .
【答案】
【分析】根据对称轴可得 ，根据偶函数可得 ，进而由 得
，由余弦函数的性质即可求解.
【详解】因为函数 的图象的相邻两条对称轴间的距离为 ，所以函
数 的最小正周期为 ，则 ，解得 ，
所以 ，又 为偶函数，所以 ， ，
解得 ， ，因为 ，所以 ，
故 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故 .
故答案为：【变式2】（2023·上海嘉定·三模）函数 ， 的值域是 .
【答案】
【分析】利用二倍角的余弦公式得出 ，由 的范围得出 的范围，再利用
余弦函数的基本性质可得出答案.
【详解】 ，且 ， ，
， ，
因此函数 在 的值域是 .
故答案为： .
【变式3】（2024·重庆·模拟预测）已知函数 的最小正
周期为 ，且
(1)求 的解析式；
(2)设 求函数 在 内的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据最小正周期确定 的值，再根据特殊值求解 ，即可得函数解析式；
（2）利用三角恒等变换化简函数 ，再结合正弦型函数的性质求解值域即可.【详解】（1）由周期 ， ，
又 得 ，即 ，因为 ，所以 ，
从而 ．
（2）由题意 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
从而 ，则 ，所以 的值域为 ．
题型二 三角函数的周期性与对称性
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为 y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，
而偶函数一般可化为y＝Acos ωx的形式．
(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝
Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解．
【例题2】（2023·山东·模拟预测）已知 ，则下列结论错误的是
（ ）
A． 是周期函数
B． 在区间 上单调递增
C． 的图象关于 对称
D．方程 在 有2个相异实根
【答案】B
【分析】根据函数周期性定义可判断A；根据特殊值，即 时，函数无意义判断B；结合正弦函数的对称性判断C；求出方程 在 上的根，判断D.
【详解】函数 ，定义域为 ，
对于A， ，故 是周期函数，A正确；
对于B，当 时， ，则 ，
此时 无意义，故B错误；
对于C，当 时， ，
即 的图象关于 对称，
由于 的定义域为 也关于 对称，
故 的图象关于 对称，C正确；
对于D，令 ，即 ，
则 ，或 ，
即 ，或 ，
则当 时， ，
即方程 在 有2个相异实根，D正确，
故选：B
【变式1】（2024·贵州毕节·三模）已知函数 的最小正周期为 ，
则函数 图象的一条对称轴方程为 ．
【答案】 （答案不唯一，符合 均为正确答案）
【分析】求出 ，求出 即可求出对称轴方程.【详解】因为函数 的最小正周期为 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
令 ，所以 ，
所以 .
故答案为： .
【变式2】（2024·北京海淀·二模）已知函数 .
（i）若 ，则函数 的最小正周期为 .
（ii）若函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 .
【答案】
【分析】根据二倍角公式即可结合周期公式求解，利用二次函数的性质即可求解最值.
【详解】当 时， ,所以最小正周期为 ，
，
当 时， ，且二次函数开口向下，
要使得 在区间 上的最小值为 ，则需要 ，
且当 时取最小值，故 ，解得 ，
故答案为： ，
【变式3】（2023·黑龙江·三模）已知函数 的图象是由
的图象向左平移 个单位长度得到的．(1)若 的最小正周期为 ，求 图象的对称轴方程，与 轴距离最近的对称轴的方
程；
(2)若 图象相邻两个对称中心之间的距离大于 ， 且 ，求 在
上的值域．
【答案】(1)对称轴方程 ，最近的对称轴方程为
(2)
【分析】（1）由周期求出 ，即可得到函数解析式，再根据余弦函数的性质求出函数的对
称轴；
（2）依题意可得 ，即可求出 范围，从而求出 的值，再根据余弦函数的性质计
算可得.
【详解】（1）由 ，得 ，所以 ，
令 ，解得 ，
所以函数的对称轴方程为 ，
取 ，得 ，取 ，得 ，
因为 ，所以与 轴距离最近的对称轴方程为 ．
（2）设 的最小正周期为 ，因为 图象相邻两个对称中心之间的距离大于 ，
所以 ，即 ，由 ， ，解得 ．
又 且 ，所以 ．所以 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，即 在 上的值域为 ．
题型三 三角函数的单调性
(1)已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个
整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性
弄错．
(2)已知三角函数的单调区间求参数
先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
命题点1 求三角函数的单调区间
【例题3】（2022·全国·一模）设函数 ，其中 ， ，若
， ，则 在 上的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 的对称中心、零点求得 ，进而求得 ，结合三角函数单调区间的求法
求得正确答案.
【详解】据题意可以得出直线 和点 分别是的图象的一条对称轴和一个对称中
心，
所以 ，
即 （ ），所以 ；又由 得 ，
即 （ ），
，所以 ，所以 ；
由 得 的单调减区间为 （ ），
所以 在 上的单调减区间是 .
故选：C
【变式1】（2024高三·江苏·专题练习）函数 的单调递增区间是
.
【答案】
【分析】由整体代入法得对应的不等式组，解不等式组即可得解.
【详解】因为 ，由 有：
.
故答案为： .
【变式2】（23-24高三下·北京西城·开学考试）函数 的单调递增
区间为 .
【答案】 ，
【分析】利用三角变换公式可得 ，利用整体法可求函数的单调区间.【详解】 ，
令 ， ，
故 ，故 的单调增区间为 ， ，
故答案为： ， .
【变式3】（2024·山西临汾·三模）已知函数 的
图象可由函数 的图象平移得到，且关于直线 对称．
(1)求 的值；
(2)求函数 的单调递增区间．
【答案】(1)
(2) 和 ．
【分析】（1）根据题意求出振幅和周期，再由正显函数的对称轴解出 ，进而得到
，再代入 解出即可；
（2）先由图象平移得到 ，法一换元法整体代入求增区间；法二由正弦函数的递增区
间结合条件中 范围求出即可.
【详解】（1）依题知函数 与函数 有相同的振幅和周期，所以 ，因为函数 的图象关于直线 轴对称，
所以 ，
即 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
．
（2）
法一：因为 ，所以 ，
因为 在 单调递增，
故 的单调递增区间为 和 ．
法二：
由 ，
得 ，
又因为
所以 的单调递增区间为 和 ．
命题点2 根据单调性求参数
【例题4】（2024·湖北鄂州·一模）已知函数 的一条对称轴为 ，且 在 上单调，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】先利用函数对称轴可得 ，又由在 上为单调函数，列不等
式可得 间的不等关系，进而可得 的最大值.
【详解】函数 一条对称轴为 ，
，
， 的对称轴可以表示为
，
令 ，则 ， 在 上单调，
则 ，使得 ，解得 ，由 ，得 ，
当 时， 取得最大值为 .
故选：C．
【变式1】（2024·河南·三模）在 中， ， 的最大值为 ．若函数
在区间 上单调递增，则 的最大值为 ．
【答案】2
【分析】由已知在 中， ，由 利用不等式可得 ，然后利用正弦函数的单调性与区间的关系列不等式即可.
【详解】因为 ，故 为锐角，
且 ，
又 ，
所以 ，所以 的最大值为 ，
即 ，
当且仅当 时，即 ，等号成立，
函数 ，
因为 ，所以 ，
要使 在区间 上单调递增，则 ，
所以 ，
所以 的最大值为 .
故答案为： .
【变式2】（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数 在区间
上单调递减，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先根据区间 上的长度不大于半个周期求出 ，再根据 的范围确定所满足的范围，由 在区间 上单调递减，得到 的取值范围.
【详解】因为 在区间 上单调递减，所以 ，
则 ，即 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ， ，
因为 在区间 上单调递减，
，所以 ，解得 ，
所以 的取值范围为 ．
故答案为： .
【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数 在区间 上单调，
其中 为正整数， ，且 .
(1)求 图象的一条对称轴；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由函数 在区间上的单调性，根据题意和最小正周期的定义，求得，再结合 ，即可确定对称轴；
（2）根据函数 对称轴及函数值确定 的表达式，再结合最小正周期确定 的可
能取值，分类讨论，即可求解．
【详解】（1）解：因为函数 在区间 上单调，
所以函数 的最小正周期 ，
又因为 ，所以 ，
即直线 为 图象的一条对称轴．
（2）解：由（1）最小正周期 ，可得 ，
因为 ，所以 或 或 ，
又因为 为 图象的一条对称轴，可得 ，
因为 ，可得 或 ，
若 ，则 ，
即 ，
此时不存在整数 ，使得 或 或 ；
若 ，则 ，
即 ，
此时不存在整数 ，使得 或 ，
当 时，可得 ，此时 ，
因为 ，所以 .【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2022高三上·河南·专题练习）函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由对数的真数大于零，二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式
组可求得结果.
【详解】要使 有意义，需满足 ，
解得 且 ．
所以定义域为 .
故选：B．
2．（2024·陕西·模拟预测）已知函数 ，则 的图像（ ）
A．关于直线 对称 B．关于直线 对称
C．关于 中心对称 D．关于 中心对称
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换公式化简函数 ，再结合余弦函数的图象性质逐项判断即得.
【详解】
，
对于A， ，函数 关于直线 对称，A正确；对于B， ，函数 关于直线 不对称，B错误；
对于C， ，函数 关于 不成中心对称，C错误；
对于D， ，函数 关于 中心对称，D错误.
故选：A
3．（2024·河北·二模）已知函数 ，若对任意的
，当 时， 恒成立，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，根据 在 上单调递减列不等式组求解
即可.
【详解】当 时，由 得 ，
所以 在 上单调递减，
即 在 上单调递减，
不妨设 ，则问题转化成 在 上单调递减，
所以 ，其中 ，解得 .
故选：D.4．（2024·重庆·二模）若函数 在 上单调递增，则 的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦型函数的单调性建立不等式，解不等式即可求解．
【详解】令 ， ，
解得 ， ，
由于 在 上单调递增，
所以 ，
即 ， ，
因为 ，所以当 时， 的最小值为 ．
故选：B．
二、多选题
5．（2024·云南·模拟预测）已知函数 的图象关于点 成
中心对称，则（ ）
A． 在区间 上单调递减
B． 在区间 上有两个极值点
C．直线 是曲线 的对称轴
D．直线 是曲线 的切线
【答案】ABD【分析】直接利用函数的对称性求出函数的关系式，根据余弦函数的单调性即可判断A；
根据极值点的定义即可判断B；根据余弦函数的对称性即可判断C；根据导数的几何意义即
可判断D.
【详解】由题意得： ，所以 ，
即 ，又 ，所以 ，
故 ，
对于A，当 时， ，
所以 在 上是单调递减，故A正确；
对于B，当 时， ，
由余弦函数的图象知：有两个极值点，故B正确；
对于C，当 时， ，
所以直线 不是曲线 的对称轴，故C不正确；
对于D， ，
令 ，得 ，
从而得： 或 ，
所以函数 在点 处的切线斜率为 ，
切线方程为： ，即 ，故D正确.故选：ABD.
6．（23-24高三上·广西·开学考试）已知 ，则（ ）
A． 的最小正周期为
B． 的图象的对称轴方程为
C．
D． 在 上单调递减
【答案】AC
【分析】利用余弦函数的周期性质、对称性、单调性判断ABD；计算函数值判断C.
【详解】对于A， 的最小正周期为 ，A正确；
对于B，由 ，得 ，B错误；
对于C， ，C正确；
对于D，当 时， ，显然 ，
因此函数 在 上不单调，D错误.
故选：AC
三、填空题
7．（22-23高三上·吉林·阶段练习）函数 的部分图
象如图所示，则函数 的解析式为 .【答案】
【分析】由最大最小值可得 的值，再由周期求出 ，最后根据五点法求出 的值，可得
的解析式.
【详解】设 的最小正周期为 ，由图可知 ，
，由 得， ， .
， ，
.
故答案为：
8．（2024高三·上海·专题练习）已知集合 ， ，
则两集合间的关系是： ；
【答案】
【详解】由题意，集合 ，
又由集合 ，所以
故答案为：
9．（2023·北京昌平·二模）若函数 的最大值为2，则
， 的一个对称中心为 .
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据辅助角公式求出A，再由余弦型函数求出对称中心.
【详解】由 知， ，
解得 ，所以 ，
令 ，可得 ，
即函数 的对称中心为 ，
则满足条件的点如 ， 等都可以.
故答案为： ； （答案不唯一）
四、解答题
10．（2024·全国·模拟预测）已知函数 .
(1)求 的最小正周期与图象的对称中心；
(2)在 中， ，求 周长的取值范围.
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）易得 ，再利用正弦函数的性质求解；
（2）由 结合正弦定理得到外接圆的半径，从而有周长
，再利用正弦函数的性
质求解.
【详解】（1）解：由题意得 ，，
所以 的最小正周期 ；
令 ，则 ，
故 图象的对称中心为 .
（2）由 ，得 ，
又 ，所以 ，
所以 ，则 ，则 .
设 的内角 所对的边分别为 ，
由正弦定理得 ，
， ，
则周长 ，
，
因为 ，所以 ，
故 ，因此 .
11．（2022·上海宝山·模拟预测）已知函数 ，其中(1)若 且直线 是 的一条对称轴，求 的递减区间和周期；
(2)若 ，求函数 在 上的最小值；
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）根据题设中的对称轴可得 ，根据其范围可求其值，再根据
公式和整体法可求周期及减区间.
（2）利用三角变换和整体法可求函数的最小值.
【详解】（1）可知 ，
因为直线 是 图象的一条对称轴，故 ，
解得 ，而 ，故 ，则 ，
则周期 ，
再令 ，则 ，
故 的递减区间为 .
（2）可知因为 ，故 ，
则在 即 取 最小值，其最小值为 .
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024·云南·二模）函数 的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由周期公式直接求解可得.
【详解】由周期公式得 .
故选：A
2．（2024·湖北鄂州·一模）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，将集合 化简，然后结合交集的运算即可得到结果.
【详解】 ，
而 ，故 ，
故选：B．3．（2024·天津河东·一模）关于函数 ，下列结论正确的为（ ）
A． 的最小正周期为 B． 是 的对称中心
C．当 时， 的最小值为0 D．当 时， 单调递增
【答案】B
【分析】利用正切函数的最小正周期的计算方法判断A，利用对称中心的计算方法判断B，
举反例判断C，D即可.
【详解】对于A，易知 ，则 的最小正周期为 ，故A错误，
对于B，易知 ， ，解得 ， ，当 时， ，
此时对称中心为 ，故B正确，
对于C，当 时， ，故 的最小值不为0，故C错误，
对于D，易知 ， ，故当 时， 并非单调递增，故D错
误.
故选：B
4．（2024·宁夏·二模）设函数 ，若对于任意的 ，都有
，则 的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】B
【分析】由题意可得 是函数的最小值， 是函数的最大值，可知 的最小
值就是函数的半周期长．【详解】若对于任意的 ，都有 ，
则 是函数 的最小值， 是函数 的最大值， 的最小值即为函数
的半周期长，
而函数 的最小正周期 ，因此 ．
故选：B
5．（2024·四川自贡·一模）函数 的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性及诱导公式，结合特殊值即可求解.
【详解】由 ，解得 ,
所以函数 的定义域为 ,
所以 ,
所以 为偶函数，函数的图象关于 轴对称，排除选项B，而 ，排除选项C，
，排除选项A，
故选：D.
6．（2024·山东·二模）将函数 的图象向左平移 个单位长度得到
函数 的图象，若 为 图象的一条对称轴，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题先根据三角函数图像平移的规则求出 ，再根据正弦函数的对称轴求出
和整数k的关系式，再对k取值即可求解.
【详解】由题意得： ，
又因为 是 的一条对称轴，
所以 ，
即 ，下面结合选项对整数k取值（显然k取负整数）：
时， ；
时， ；
时， ；
时， .
故选：B.7．（2024·陕西渭南·二模）关于函数 ，给出如下结论：
① 的图象关于点 对称
② 的图象关于直线 对称
③ 的最大值是3
④ 是函数 的周期
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据 是否成立即可判断①；根据 是否成
立即可判断②；令 ，再结合二次函数的性质即
可判断③；根据 是否成立即可判断④.
【详解】对于①， ，
，
则 ，
所以 的图象不关于点 对称，故①错误；
对于②， ，所以 的图象关于直线 对称，故②正确；
对于③， ，
令 ，
则 ，
则 ，
当 时， ，
所以 的最大值是3，故③正确；
对于④， ，
所以 不是函数 的周期，故④错误.
所以正确结论的个数为 个.
故选：B.
8．（2024·天津·二模）已知函数 ，
则下列结论正确的是（ ）
A．若 相邻两条对称轴的距离为 ，则 ；
B．若 ，则 时， 的值域为 ；
C．若 在 上单调递增，则 ；
D．若 在 上恰有2个零点，则 .
【答案】D【分析】将 化简为 ，再根据选项逐一判断即可.
【详解】
，
对于A：若 相邻两条对称轴的距离为 ，则最小正周期为 ，故 ，选项
A不正确；
对于B， 若 ，则 ，
当 时， 的值域为 ，选项B不正确；
对于C：若 在 上单调递增，则 ，选项C不正确；
对于D： ，则 ，若 在 上恰有2个零点，
则 ，则 ，选项D正确.
故选：D.
二、多选题
9．（23-24高三上·山西运城·期末）已知函数 ，则（ ）
A． 的一个周期为2 B． 的定义域是
C． 的图象关于点 对称 D． 在区间 上单调递增
【答案】ACD
【分析】
利用正切函数的图象与性质一一判定选项即可.
【详解】对于A，由 可知其最小正周期 ，故A正确；对于B，由 可知 ，
故B错误；
对于C，由 可知 ，
此时 的图象关于点 对称，故C正确；
对于D，由 可知 ，
又 在 上递增，显然 ，故D正确.
故选：ACD
10．（2024·贵州贵阳·二模）函数 的部分图象如图所示，
则（ ）
A．
B． 在 上的值域为
C．函数 的图象关于直线 对称
D．若函数 在区间 上不单调，则实数 的取值范围是【答案】CD
【分析】根据正切型三角函数的图象性质确定其最小正周期，从而得 的值，再根据函数
特殊点求得 的值，从而可得解析式，再由正切型三角函数的性质逐项判断即可.
【详解】函数的最小正周期为 ，则有 ，即 ，
由函数的图象可知： ，即 ，
由图象可知： ，所以 ，因此 不正确；
关于 ， 当 时， ，故 在 处无定义，
故B错误.
因为 ，
所以 ，所以函数 的图象关于直线 对称，C正确；
，
当 时，
，
当 时，
，
当函数 在区间 上不单调时，则有，故D正确.
故选：CD．
11．（2024·海南·模拟预测）已知函数 的一个最大值点为 ，与之
相邻的一个零点为 ，则（ ）
A． 的最小正周期为 B． 为奇函数
C． 在 上单调递增 D． 在 上的值域为
【答案】BC
【分析】根据给定函数性质，求出 的解析式，再结合余弦函数的图象性质逐项判断即
得.
【详解】依题意， 的最小正周期 ， ，
当 时， ，解得 ， ，
当 时， ，解得 ， ，
因此 ，
对于A，函数 的最小正周期为 ，A错误；
对于B， ，此函数为奇函数，B正确；
对于C，当 时， ，由余弦函数的性质知，
函数 在 上单调递增，C正确；
对于D，当 时， ，D错误.
故选：BC
三、填空题12．（2023·全国·模拟预测）函数 的图象的对称中心为
【答案】
【分析】根据 的对称中心为 可求解.
【详解】令 ， ，解得 ，所以对称中心为
.
故答案为: .
13．（2023·上海普陀·一模）若函数 在区间 上是严格增函数，则实数 的
取值范围为 .
【答案】
【分析】解出正切型函数单调区间，则得到 的范围.
【详解】令 ， ，解得 ， ，
令 ，则其一个单调增区间为 ，则实数 的取值范围为 ，
故答案为： .
14．（2022·全国·模拟预测）若函数 在 上单调递减，且在
上的最大值为 ，则 .【答案】 /-0.25
【分析】先根据函数在 上单调递减及周期，确定 ，再根据函数的最大
值求解.
【详解】因为函数 在 上单调递减，
所以 ， ，则 ，
又因为函数在 上的最大值为 ，
所以 ，即 ，
所以 .
故答案为：
四、解答题
15．（2024·上海金山·二模）已知函数 ，记 ， ， ，
.
(1)若函数 的最小正周期为 ，当 时，求 和 的值；
(2)若 ， ，函数 有零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）利用三角函数的周期公式求得 ，再利用三角函数的值域与周期性求得 ，
从而得解；
（2）根据题意，利用换元法将问题转化为 在 有解，从而利用参变分离法或二次函数根的布分即可得解.
【详解】（1）因为函数 的最小正周期 ，所以 ，
则当 时， ，
所以 ，得 ，
因为 ，所以取 得 ，
（2）解法一：
当 ， 时， ， ，
设 ，
由题意得， 在 有解，化简得 ，
又 在 上单调递减，
所以 ，则 .
解法二：
当 ， 时， ， ，
设 ，
由题意得， 在 有解，
记 ，对称轴为 ，
则由根的分布可得 ，即 ，解得 ，
所以 .16．（2023·广东佛山·一模）已知函数 在区间 上单调，其中 为
正整数， ，且 .
(1)求 图象的一个对称中心；
(2)若 ，求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据单调区间，以及 可得 ，进而可得对称中
心；
（2）先根据单调区间求出 的可能取值，然后根据 得到 和 的关系，根据关
系以及 的可能取值对照验证计算即可.
【详解】（1）因为 在区间 上单调，
且 ， ， ，
所以 ，
所以 图像的一个对称中心是 ；（2）由题设， 的最小正周期 ， ，
故 ，由 ，得 ，
由 为 的一个对称中心，
所以 ， ①.
因为 ，所以 或 ， ， .
若 ②，①-②得 ，
即 .
不存在整数 ， ，使得 .
若 ③，①-③得 ，
即 ，
不存在整数 ， ，使得 ，当 时， .
此时 ，由 ，
得 .
17．（2024·四川成都·模拟预测）已知 ，设 .
(1)求函数 的对称中心；
(2)若 中，角 所对的边分别为 ， ，且 外接圆的半径为， 是 边的中点，求线段 长度的最大值.
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）由方程组消元即得 得表达式，运用辅助角公式将其化成正弦型函数，即
可求得其对称中心；
（2）利用（1）中结论和 求得角 ，由正弦定理和条件求得边 长，利用余弦
定理和线段中点的向量表达式求得 的表达式，最后借助于基本不等式即可求得.
【详解】（1）由 得 .
令 ，解得 ，
所以函数 的对称中心为 .
（2）
如图，由（1）知 ， ，∴ ，
又 外接圆的半径为 ，由正弦定理得： ，
∴由余弦定理 ，得 .又因 ，则 ，
即得：
由 ，解得： ，（当且仅当 时等号成立），
故 ，即 ，此时， .
18．（2020·山西大同·一模）已知 ， ，
(1)求 的最小正周期及单调递增区间；
(2)已知锐角 的内角 的对边分别为 ，且 ， ，求 边上的
高的最大值.
【答案】(1)最小正周期 ，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再根据三角函数的周期性和单调性结合整体思想即
可得解；
（2）根据 求得角 ，设 边上的高为 ，根据三角形的面积公式可得
，再利用正弦定理求得 ，再根据三角形的内角关系及三角函数求出 的最大
值，即可得解.
【详解】（1）解：，
所以函数 的最小正周期 ，
令 ，则 ，
所以函数 单调递增区间为 ；
（2）解：因为 ，
所以 ，
又 ，则 ，
所以 ，所以 ，
设 边上的高为 ，
则 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
，
则
，因为 ，所以 ，
故 ，
所以当 ，即 时， ，
所以 ，
即 边上的高的最大值为 .
19．（2022·福建泉州·模拟预测）已知函数 ， .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 ， ，求 .
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，就 、 、 分类讨论后可得函数的单调
性.
（2）就 、 分类讨论后可得 ，再证明 时，不等式是恒成立的.
【详解】（1） ，
若 时，则 ，
当 时， 恒成立，当且仅当 时等号成立，
故此时 在 为减函数，无增区间.当 时，若 ，则 ；若 ，则 ，
，则 ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，在 上为减函数.
当 时，若 ，则 ， ，则 ，
故 在 上为增函数，在 上为减函数.
（2） 时， 即为 ，
因为任意 时， 恒成立，
故 在 上恒成立，
而 ， ，
若 ，在 ，因为 为不间断函数，
所以存在 ，使得 ，总有 ，
故 在 上为减函数，故 ， ，这与题设矛盾.
若 ，在 ，因为 为不间断函数，
所以存在 ，使得 ，总有 ，
故 在 上为减函数，故 ， ，这与题设矛盾.
故 ，此时 ，
当 时， ，当 时， ，
设 ，则 ，
因为 在 上均为增函数，
故 在 上为增函数，
而 ， ，
故存在 ，使得 时， ，
使得 时， ，故 在 为减函数，在 上为增函数，
故 ，总有 ，
故当 时， ，
故 在 上为增函数，在 上为减函数，故 ，
综上， .
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）函数 的两条相邻的对称轴的距离为
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 的图象关于点 对称C． 的图象关于直线 对称
D． 在 上单调递增
【答案】C
【分析】根据已知条件化简得 ，即可判断A；求出 ，即可
判断B；求出 ，即可判断C；求出函数的单调递增区间为 ，即
可判断D.
【详解】由题知， ，
由两条相邻的对称轴的距离为 ，得函数的最小正周期为 ，解得 ，
所以 ，故A错误；
因为 ，所以 ，
所以 的图像不关于点 对称，故B错误；
当 时， ， 的图象关于直线 对称，故C正确；
令 ，得 的单调递增区间为 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 上不具有单调性，故D错误.
故选：C.2．（2024·江苏南通·二模）已知函数 （ ）在区间 上单
调递增，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件，利用辅助角公式得到 ，再利用 的图象与性质，
得到 的单调增区间，再根据条件，可得到 ，即可求出结果.
【详解】因为 ，又 ，
由 ，得到 ，
所以函数 的单调增区间为 ，
依题有 ，则 ，得到 ，
故选：B.
3．（2024·安徽马鞍山·三模）已知函数 的一个零点是 ，且
在 上单调，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】整理可得 ，以 为整体，根据单调性分析可得
，再结合零点分析求解.
【详解】因为 ，
，且 时，
可得 ，且 ，
若 在 上单调，则 ，解得 ，
又因为 的一个零点是 ，则 ，解得 ，
所以 .
故选：B.
4．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数 满足：对 ，有
，若存在唯一的 值，使得 在区间 上单
调递减，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由对 ，有 ，可得 ，
，结合 在区间 上单调递减，可得，又 ，可得 是其唯一解，则有 ，再结合正弦函数的性质
即可得解.
【详解】由对 ，有 ，
即可得 ，即 ，
则 ，
可得 ，
即 ，即 ，
则 ，
由 在区间 上单调递减，
故 ，即 ，
由存在唯一的 值，使其成立，故 ，即有 ，
则 ， ，即 .
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于对存在唯一的 值的理解，结合 ，
，且 ，可得 ，则需 .
二、多选题
5．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数 的图象向左平移 个单位后
得到 的图象，则下列结论正确的是（ ）A．
B． 的图象关于 对称
C． 的图象关于 对称
D． 在 上单调递增
【答案】BCD
【分析】根据平移可得 ，即可根据诱导公式求解A，代入表达式求解函
数值即可求解BC，利用整体法即可求解D.
【详解】 ，故
A错误；
由 ，故B正确；
由 ，得C正确；
由 ，令 ，得 ，
,
当 时， ，故D正确.
故选:BCD.
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ， 且有两个零点 ，则下列结论正确的是（ ）
A．当 时， B．
C．若 ，则 D．
【答案】ACD
【分析】A选项，作单位圆，利用面积得到 ；BC选项，画出 ，
， 且 与 的函数图象，数形结合判断BC选项；D选项，
由 ，推出 ，根据零点范围可
得符号判断.
【详解】A选项，设 ，作出单位圆，与 轴交于 点，则 ，
过点 作 垂直于 轴，交射线 于点 ，连接 ，
由三角函数定义可知 ， ，
设扇形 的面积为 ，则 ，即 ，故 ，
当 时，有不等式 ，A正确；B选项，画出 ， ， 且 与 的函数图象，如下：
可以看出 ， ，故 ，B不正确；
C选项， 的最小正周期为 ，由图象可知 ，故 ，C正确；
D选项，由 ，
，
因为 ， ，故 ，
而 ，
但 ，且 在 为增函数，
故 ，故 ，D正确．
故选：ACD．
【点睛】思路点睛：处理函数零点问题思路：（1）利用方程思想，如一次函数，二次函数
等，可令函数值为0，直接进行求解；
（2）转化为两函数图象的交点问题来解决；
（3）研究函数单调性，结合零点存在性定理来进行求解.三、填空题
7．（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数 ，（ ， ，
）的大致图象如图所示，将函数 的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再
向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则函数 的一个单调递增区间为
.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】先根据 的部分图象得到函数的周期、振幅、初相，进而求出 的解析式，
再根据函数图象的伸缩变换和平移变换得到 的解析式，后可求 的单调递增区间.
【详解】由图可知 ， 得 ，所以 ，
， ，
所以 ，
由图 ，得 ， ，
又 ，所以 ，
故 ，由题意 ，
令 ， ，得 ，
故函数 的单调递增区间为 ， ，
当 时，函数 的一个单调递增区间为 ，
故答案为： （答案不唯一）
8．（2023·全国·模拟预测）已知函数 的图像关
于点 成中心对称，则函数 在 上的单调递增区间为 .
【答案】
【分析】先由三角函数的二倍角公式，降幂公式，辅助角公式变形求出 ，再由正弦函数
的单调性求出单调区间.
【详解】由题意，得
因为 的图像关于 成中心对称，
所以 ， ，即 ， .又 ，所以 ，所以
.令 ， ，得 ，.取 ，得 .又 ，
所以函数 的单调递增区间为 .
故答案为：
9．（2024·全国·模拟预测）“函数 的图象关于 中心对称”是“ ”
的 条件．
【答案】充分必要
【分析】先由函数 的图象关于 中心对称求得 的值，再解方程 求
得 的值，进而得到二者间的逻辑关系.
【详解】函数 图象的对称中心为 ，
所以由“函数y=tanx的图象关于(x ,0)中心对称”等价于“ ”．
0
因为 等价于 ，即 ．
所以“函数 的图象关于 中心对称”是“ ”的是充分必要条件．
故答案为：充分必要
四、解答题
10．（2022·浙江·模拟预测）已知 ，设函数 ．
(1)若 ，求函数f（x）的单调递增区间；
(2)试讨论函数f（x）在[－a，2a]上的值域．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【分析】（1）由题设写出 的分段函数形式，结合余弦函数的性质分别求出不同分段上
的递增区间.（2）由题设可得 且 ，由正弦函数的性质，讨论端点 的位置
并求出对应的值域范围.
【详解】（1）由题设， ，
所以，根据余弦函数的性质：
当 时， 在 上递增；
当 时， 在 上递增；
（2）由题设， ，则 ，又 ，即 ，
所以 ，
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ；
11．（2024·河北·二模）已知 为实数，用 表示不超过 的最大整数，例如
，对于函数 ，若存在 ，使得 ，则称
函数 是“ 函数”.
(1)判断函数 是否是“ 函数”；
(2)设函数 是定义在 上的周期函数，其最小正周期是 ，若 不是“ 函数”，
求 的最小值；
(3)若函数 是“ 函数”，求 的取值范围.【答案】(1) 是“ 函数”， 不是“ 函数”
(2)1
(3) ，且
【分析】（1）根据“ 函数”的定义即可判断 是否是“ 函
数”.
（2）根据周期函数的定义，结合“ 函数”的条件，进行判断和证明即可.
（3）根据“ 函数”的定义，分别讨论 ， 和 时，满足的条件即可.
【详解】（1）函数 是 函数，设 ，
则 ，
所以存在 ，使得 ，所以函数 是“ 函数”.
函数 ，函数的最小正周期为 ，函数的图象如图所示，
不妨研究函数在 这个周期的图象.
设 ，则 ，
所以 ，
所以函数 不是“ 函数”.
（2）因为 是以 为最小正周期的周期函数，所以 .
假设 ，则 ，所以 ，矛盾.
所以必有 .而函数 的周期为1，且显然不是 函数.
综上所述， 的最小值为1.
（3）当函数 是“ 函数”时，
若 ，则 显然不是 函数，矛盾.
若 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
此时不存在 ，使得 ，
同理不存在 ，使得 ，
又注意到 ，即不会出现 的情形，
所以此时 不是 函数.
当 时，设 ，所以 ，
所以有 ，其中 ，
当 时，因为 ，所以 ，
所以 ，
当 时， ，
因为 ，所以 ，
所以 .
综上所述， ，且 .
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的
信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，
应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，
逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．
