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第 26 讲 Y=sin(wx+b)的图像与性质
【基础知识全通关】
1.用五点法作函数 的图象
用“五点法”作 的简图，主要是通过变量代换，设 ，由
z取 来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.
y Asin(x)
【微点拨】用“五点法”作 图象的关键是点的选取，其中横坐标成
等差数列，公差为 .
2.函数 中有关概念
表示一个振动量时，A叫做振幅， 叫做周
期， 叫做频率， 叫做相位，x=0时的相位 称为初相.
3.由 得图象通过变换得到 的图象
（1）振幅变换：
(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长
(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍得到的(横坐标不变)，它的值域[-A，A]，最大值是A，
最小值是-A.若A<0可先作y=-Asinx的图象，再以x轴为对称轴翻折.A称为振幅.
（2）周期变换：
函数 的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短 或伸长 到原来的 倍(纵坐标不变).若 则可用诱导公式将
符号“提出”再作图. 决定了函数的周期.
（3）相位变换：
函数 (其中 )的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左
(当ϕ＞0时)或向右(当ϕ＜0时)平行移动 个单位长度而得到.(用平移法注意讲清方
向：“左加右减”).
【微点拨】一般地，函数 的图象可以看作是
用下面的方法得到的：
ϕ ϕ
(1)先把y=sinx的图象上所有的点向左( >0)或右( <0)平行移动 个单位；
(2) 再把所得各点的横坐标缩短 或伸长 到原来的 倍(纵坐标不
变)；
(3) 再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍(横坐标不变).
【考点研习一点通】
考点一：三角函数 的图象
π
3
例1.画出函数y=sin(x+ )，x∈R的简图.
【解析】
法一：(五点法)：
列表
π 2π 7π 5π
x
6 3 6 3
π π 3π
0 π
3 2 2
x+π
0 1 0 -1 0
3
sin(x+ )
描点画图：
法二：(图象变换)
π π
3 3
函数y=sin(x+ )，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动 个单位长度
而得到.
【变式1-1】已知函数 ．
（1）作出函数的简图；
（2）指出其振幅、周期、初相、值域．
【解析】（1）
列表：
x
0y 0 2 0 －2 0
描点画图，如下图所示：
把 之间的图象向左、右扩展，即可得到它的简图．
（2）振幅为2，周期为4π，初相是 ，最大值为2，最小值为―2，故值域是[―2，2]．
【变式1-2】如何由函数y=sin x的图象得到函数 的图象？
【解析】 解法一：
．
解法二：
．
【总结】本题用了由函数y=sin x（x∈R）的图象变换到函数 （x∈R）
的两种方法，要注意这两种方法的区别与联系．
考点二：三角函数 的解析式
例2.如图，它是函数 ， 的图象，由图中条件，写出该函数解析式.
【点拨】由图可以确定图象的振幅、周期，由此求出 ，再由题
π
意知，点( 4 ，5)在此函数的图象上，由此求出ϕ.
【解析】 A=5，
π
4
由点( ，5)在此函数的图象上，则
法一：(单调性法)
∵点 在递减的那段曲线上
∴
由 得
∴
∵ .
法二：(最值点法)
π
4
将最高点坐标( ，5)代入 得
∴
∴ 取 .法三：(起始点法)
y Asin(x)
函数 的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标 x 正是由
解得的，故只要找出起始点横坐标 x ，就可以迅速求得角ϕ.由图象求得
0
，∴
法四：(平移法)
π
2
由图象知，将 的图象沿x轴向左平移 个单位，就得到本题图象，故所求
函数为 ，即 .
2
y 5sin x
3
【总结】错解：
将 代入该式得： ，
由 ，得
∵ 或
∴ 或 .
代入点坐标时，通常利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标带入解析式，再结合图
形的上升、下降趋势变化求出ϕ.
【变式2-1】函数 的图象如下图，确定A、ω、 的值，确定其一个函数解析。
【点拨】 本题主要考查正弦型函数 解析式的求法及识图能
力，由图知A=3， ，则 ， 可由点 或
或 确定。
【解析】
方法一：（逐一定参法）
由图象知，振幅A=3，又 ，
∴ 。由点 ，令 ，得 。
∴ 。
方法二：（待定系数法）
由图象知A=3，又图过点 和 ，根据五点作图法原来（以上两点可判为“五
点法”中的第三点和第五点），有 ，解得ω=2， 。
∴ 。
【总结】如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数式 中的参数A和ω，再选取“第一零点”（即五点作图法中的第一个点）的数据代入“ ”
（要注意正确判断哪一点是“第一零点”）求得 。
【变式2=2】（1）已知函数 的图象如下图①所示，求解析式：
（2）函数 的图象如下图②所示，确定A、ω、 的值，确定其一个函数
解析式。
【解析】 （1）∵T=(2+1)×4=12，∴ 。
∵C点为第四点，∴ ，∴ 。
∵ ，∴ 。
又∵点 在图象上，∴ 。
∴A=2，∴ 。
（2）由题图知，振幅A=3，又 ，
∴ 。由点 ，令 ，得 。
∴ 。
【总结】（1）若已知“五点”之外的某点坐标，可将其代入方程 中求
出 ，但必须判断出该点坐标是在“五点”当中的哪两点之间。若在第一、二两点之间，
则 ；若在第二、三两点之间，则 ；若在第三、四两点之间，则
或 ；若第四、五两点之间，则 或 。
（2）如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数式 中的参数A
和ω，再选取“第一零点”（即五点作图法中的第一个点）的数据代入“ ”
（要注意正确判断哪一点是“第一零点”）求得 。
【变式2-3】已知函数 （A＞0，ω＞0， ）的图象的一个最高
点为 ，由这个最高点到相邻最低点，图象与x轴交于点（6，0），试求函数的解
析式．
【解析】由已知条件知 ，又 ，
∴T=16， ，∴ ．
∵图象过点（6，0），∴ ，∴ （k∈Z），
又 ，∴令k=1可得 ，
∴ ．
考点三：函数 的性质的综合运用
例3．函数 的图象如图所示，试依图推出：
（1） 的最小正周期；
（2） 时x的取值集合；
（3）使 的x的取值集合；
（4） 的单调递增区间和递减区间；
（5）使 取最小值时的x的取值集合；
（6）图象的对称轴方程；
（7）图象的对称中心；
（8）要使 成为偶函数，应对 的图象作怎样的平移变换？
【点拨】先由图象得到函数的最小正周期，后面的问题可迎刃而解。
【解析】 （1） 。
（2）在一个周期 中，使 的x是 ，π， 。
故所求的x的取值集合是 。（3）使 的x的取值集合是 。
（4） 的单调递增区间是 ；
单调递减区间是 。
（5） 取最小值时x的取值集合是 。
（6）对称轴方程是 。
（7）对称中心是 。
（8）要使 成为偶函数，可以把其图象向左平移 个单位长度。
【总结】 较强的作图、识图能力是一项重要的数学能力，为数形结合解题提供了可能，在
利用 的性质解题时，一定要与y=sin x的性质结合，更离不开对定义的
理解和掌握。
【变式3-1】已知函数 的图象过点 ，图象上与点
最近的一个最高点是 ．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数 的递增区间．
【解析】（1）依题意得： ，周期 ,,故 ，又图象过点 ，
，解得： ，即
．
（2）由
得：
故函数 的递增区间为： ．
【变式3-2】已知函数 的图象过点 ，图象上与点
最近的一个最高点是 。
（1）求函数的解析式；
（2）求函数 的递增区间。
【解析】（1）依题意得： ，周期 ,
,故 ，又图象过点 ，
，解得： ，即。
（2）由
得：
故函数 的递增区间为： 。
【考点易错】
1．已知函数 的最小正周期为 ，为了得到函数
的图象，只要将 的图象（ ）
A． 向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【点拨】对于不同三角函数图象之间的平移变换，一定要根据诱导公式将二者之间变换清
楚．
【答案】A
【解析】
由题知 又 ，所以 所以
==
显然将 的图象向左平移 个单位长度便可得到 的图
象．故选A．
2.函数 （A＞0，ω＞0， ）的图象如图所示，为了得到
y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】C
【解析】由图象可知A=1，T=π，∴
∴ ，又因为
∴ ，
∵ ，∴
∴∴将函数f（x）向左平移 可得到
故选C．
3.已知函数 （其中 ）的周期为 ，且
图象上一个最低点为 .
(Ⅰ)求 的解析式；（Ⅱ）当 ，求 的最值.
【答案】(Ⅰ) （Ⅱ）最小值为1，最大值为 ．
【解析】（1）由最低点为
由
由点 在图像上得 即
又 ，
（Ⅱ）
．4．已知函数 其中 ，
（I）若 求 的值；
（Ⅱ）在（I）的条件下，若函数 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于 ，求函
数 的解析式；并求最小正实数 ，使得函数 的图像象左平移 个单位所对应
的函数是偶函数．
【点拨】（1）把所给的式子化简，然后结合平方关系式得出 ，由 ，
，求出 的值．（Ⅱ）由题意求得， ，故 ，进一步求出 的解析式．
【答案】（I） （Ⅱ）
【解析】
（I）由 ，得 ，得
又 ．
（Ⅱ）由（I）得，
依题意，
又 故函数 的图像向左平移 个单位后所对应的函数为
是偶函数当且仅当
即
从而，最小正实数
【总结升华】本题考查了同角三角函数的基本关系式及函数 的性质，属
中等难度题．
5.已知f（x）的定义域为[－π，π]，且f（x）为偶函数，且当 x∈[0，π]时，
．
（1）求f（x）的解析式及f（x）的单调递增区间；
（2）若 ，求x的所有可能取值．
【答案】（1） 和 ；（2）0， ，
【解析】（1）当x∈[―π，0]时，―x∈[0，π]，
由于f（x）为偶函数，则f（－x）=f（x），
故 ，x∈（－π，0]即 ．
画出f（x）的图象
由图象易得f（x）的单调增区间为 和 ．
（2）方程等价于f（x）=0或 ，
当 时f（x）=0；
当0或 时
综上可知x的所有可能取值为0， ， ．
【巩固提升】
1.已知函数 在一个周期内，当 时，取得最大值2，当 时
取得最小值-2，那么( )【答案】B
π
12
【解析】A=2， ，代入点( ，2)得到
2．函数y=2sin2x的图象可看成是由y=sin x的图象按下列哪种变换得到的？（ ）
A．横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍
B．纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的 倍
C．横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍
D．纵坐标变为原来的 倍，横坐标变为原来的2倍
【答案】B
【解析】 ．
3．已知函数 的最小正周期为π，将 的图象向
左平移| |个单位长度，所得图象关于y轴对称，则 的一个值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由T=π ω=2，
，
．∴ ，当k=0时， ．
4．要得到函数y＝sinx的图象，只需将函数y＝ 的图象( )
A．向右平移 个单位 B．向右平移 个单位C．向左平移 个单位 D．向左平移 个单位
【答案】 A
【解析】y＝sinx＝cos ＝cos ＝ ，
∴须将y＝cos 的图象向右平移 个单位．
5．要得到y＝ 的图象，只需将y＝ 的图象( )
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
【答案】B
【解析】y＝sin ＝sin
6．为得到函数 的图象，只需将函数y=sin x的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】C
【解析】 ．
7．函数 的图象为C，
①图象 C 关于直线 对称；②函数 在区间 内是增函数；③由y=3sin2x的图象向右平移 个单位长度可以得到图象C．以上三个结论中，正确结论的个
数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】对于①，当 时， ，因此图象C关
于直线 对称；对于②，由 得
，k∈Z，令k=0，得函数 在区间 内是增函数；对于③，由y=3sin2x的图
象向右平移 个单位长度可以得到 ，故①②正确；③不正确．
8．函数 的图象经 平移后所得的图象关于点 中心对
称．
A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位
C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位
【答案】D
【 解 析 】 设 平 移 后 得 ． 当 时 ， y=0 ， ∴，∴ ，k=0， ，故向右平移 个单位．
9．函数 的最小值为―2，其图象上相邻的最高点
与最低点的横坐标之差是3π，又图象过点（0，1），则这个函数的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【 解 析 】 由 已 知 得 A=2 ， T=2×π=6π ， 又 ， 所 以 ， 故
，又图象过点（0，1），所以 ， ，因为 ，
所以 ，所以 ，选B．
10．函数f(x)＝2sin ，当f(x)取得最小值时，x的取值集合为( )
A．{x|x＝4kπ－ π，k∈Z} B．{x|x＝4kπ＋ π，k∈Z}
C．{x|x＝4kπ－ ，k∈Z} D．{x|x＝4kπ＋ ，k∈Z}
11．已知a是实数，则函数 的图象不可能是（ ）【答案】D
【解析】当a=0，图象如C；当0＜a＜1，图象如A；当1＜a＜2，图象如B；在D中，就
振幅看a＞1，就周期看0＜a＜1．
12．若函数 对于任意的 都有 成立，则
的最小值为（ ）
A． 1 B． 2 C． D．4
【答案】B
【解析】“对于任意的 都有 成立”的含义是 是函数的最
小值， 是函数的最大值， 是使得函数取得最小值的一个自变量， 是使得函数取
得最大值的一个自变量，那么， 的最小值应为半个周期．因为函数 的最小
正周期为4，所以 的最小值为2．
13．有下列四种变换方式：
①向左平移 ，再将横坐标变为原来的 ；②横坐标变为原来的 ，再向左平移 ；③
横坐标变为原来的 ，再向左平移 ；④向左平移 ，再将横坐标变为原来的 ．
其中能将正弦曲线y=sin x的图象变为 的图象的是________．
【答案】①②
【解析】对于①， ，故
①正确；对于②，
，故②正确．
12 ． 如 图 是 函 数 的 图 象 的 一 部 分 ， 则
A=________， =________， =________．
【答案】2 2
【解析】由图象最高点及最低点的纵坐标可知A=2．由图象可得半周期
， 所 以 ， ω=2 ， 所 以 ， 当 时 ， y=0 ， 即
，又因为 ，所以 ．
14．函数 （A，ω， 为常数，A＞0，ω＞0）在区间[－π，0]上的图象
如下图所示，则ω=________．
【答案】3【解析】 ，∴ ．
15 ． 函 数 的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 则
．
【答案】
【解析】根据函数图象可得 ，所以 ，计算得
所以 ，且函数周期为8．
所以
16．已知函数 （A＞0，ω＞0）的图象过点 ，图象与P点最近
的一个最高点坐标为 ，
（1）求函数解析式；
（2）指出函数的增区间；（3）求使y≤0时，x的取值范围．
【解析】（1） ，∴T=π，A=5，∴ ，由 ，∴
．
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ， ．
∴增区间为 ．
（3）∵ ，∴ ．
∴ ．
π
x=
f(x)=sin(2x+ϕ) (−π<ϕ<0),y=f(x) 8
17．设函数 图象的一条对称轴是直线 .
(Ⅰ)求ϕ；
y=f (x)
(Ⅱ)求函数 的单调增区间.
π π
∵x= 是函数 y=f(x) ∴sin(2× +ϕ)=±1,
8 8
【解析】(Ⅰ) 的图象的对称轴，
3π
∵−π<ϕ<0,ϕ=− .
43π 3π
ϕ=− ,因此y=sin(2x− ).
4 4
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
由题意得： ，
所以函数 的单调增区间为
18．已知函数 ， 的图象关于点
对称，且在区间 上是单调函数，求 的值．
【解析】由 ，得 ，因为 ，所以
又 的图象关于点 对称，所以 ，即 ，
结合 ，可得，
当 时， 在 上是减函数；
当 时， 在 上是减函数；
当 时， 在 上不是单调函数；
所以，综上得 ．
