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专题 3.1 导数的概念及运算-重难点题型精讲
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x 处的导数
0
一般地，称函数y＝f(x)在x＝x 处的瞬时变化率
0
lim＝lim为函数y＝f(x)在x＝x 处的导数，记作f′(x)或y′|x＝x，即f′(x)＝lim＝lim．
0 0 0 0
(2)导数的几何意义
函数f(x)在点x 处的导数f′(x)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x ，y)处的切线的斜率(瞬时速度就是
0 0 0 0
位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y＝f′(x)(x－x)．
0 0 0
(3)函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝lim为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax
f′(x)＝axln_a
(a>0且a≠1)
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝log x
a
f′(x)＝
(x>0，a>0且a≠1)
f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝
3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝(g(x)≠0)．
4．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′＝y′·u′，即y对x的导数等于y
x u x
对u的导数与u对x的导数的乘积．
【题型1 利用导数的定义解题】
【方法点拨】
利用导数的定义，转化求解即可.
lim f(x −Δx)−f(x )
【例1】（2022•庐阳区校级开学）已知函数f（x）在x＝x 处的导数为12，则 0 0
0 Δx→0 =
3Δx
（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣36 D．36
【变式 1-1】（2022 春•哈尔滨期末）已知 f'（x）是函数 f（x）的导函数，若 f'（2）＝4，则
lim f(2+2x)−f(2)
（ ）
x→0 =
x
A．4 B．2 C．8 D．﹣8
【 变 式 1-2 】 （ 2022 春 • 尖 山 区 校 级 期 末 ） 已 知 f （ x ） 是 定 义 在 R 上 的 可 导 函 数 ， 若
lim f(3−Δx)−f(3+Δx)
，则f'（3）＝（ ）
Δx→0 =4
Δx
1
A．0 B．﹣2 C．1 D．−
2
【变式1-3】（2022春•北海期末）已知函数 f(x)= 1 x3+2 ，则 Δ
l
x
i
→
m
0
f(1+Δx)−f(1)
= （ ）
3
Δx
A．1 B．5 C．7 D．6【题型2 导数的运算】
【方法点拨】
常见形式及具体求导6种方法：
连乘形式 先展开化为多项式形式，再求导
三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
分式形式 先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导
对数形式 先化为和、差形式，再求导
复合函数 先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元
【例2】（2022•临洮县开学）下列求导运算正确的是（ ）
1 1 1
A．(x+ )'=1+ B．（log x）'=
x x2 2 xln2
C．（3x）′＝3x•log e D．（x2cosx）'＝﹣2xsinx
3
【变式2-1】（2022春•新源县期末）记函数f（x）的导函数为f'（x）．若f（x）＝exsinx，则f'（x）＝（
）
A．exsinx﹣excosx B．exsinx+excosx
C．excosx D．ex+cosx
lnx
【变式2-2】（2022•河南开学）已知函数f(x)= −ax2，若f'（1）＝﹣1，则a＝（ ）
x
1 1
A．﹣1 B．− C． D．1
2 2
【变式2-3】（2022秋•渝中区校级月考）已知函数f（x）＝3x﹣2f'（1）lnx，则f'（1）＝（ ）
A．ln3 B．2 C．3 D．3ln3
【题型3 求切线方程（斜率、倾斜角）】
【方法点拨】
求曲线过点P的切线方程的方法：
(1)当点P(x，y)是切点时，切线方程为y－y＝f′(x)·(x－x)．
0 0 0 0 0
(2)当点P(x，y)不是切点时，可分以下几步完成：
0 0
第一步：设出切点坐标P′(x，f(x))；
1 1
第二步：写出过点P′(x，f(x))的切线方程y－f(x)＝f′(x)(x－x)；
1 1 1 1 1
第三步：将点P的坐标(x，y)代入切线方程求出x；
0 0 1
第四步：将x 的值代入方程y－f(x)＝f′(x)(x－x)可得过点P(x，y)的切线方程．
1 1 1 1 0 0π
【例3】（2021•广东模拟）函数y=xcos2x在点( ，0)处的切线方程是（ ）
4
A．4 x+16y﹣ 2＝0 B．4 x﹣16y﹣ 2＝0
C．4πx+8y﹣ π2＝0 D．4πx﹣8y﹣ π2＝0
【变式3π-1】（2π021秋•海淀区校级月考）设函数 f （π x）＝xπ•lnx，则曲线y＝f（x）在点 （1，0）处的
切线方程为（ ）
A．y＝﹣x﹣1 B．y＝x+1 C．y＝﹣x+1 D．y＝x﹣1
【变式3-2】（2022春•白山期末）曲线y＝x4﹣3x在点（1，﹣2）处的切线的倾斜角为（ ）
π π π 2π
A． B． C． D．
6 4 3 3
1
【变式3-3】（2021春•滑县校级月考）已知函数f(x)= x3−2x，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处
3
的切线的斜率是（ ）
√3
A． B．1 C．−√3 D．﹣1
3
【题型4 求切点坐标】
【方法点拨】
求切点坐标的思路：已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜
率，
从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．
π
【例4】（2022春•定远县校级月考）曲线y＝f（x）＝ex的倾斜角为 的切线的切点坐标为（ ）
6
1 √3 1
A．（− ln3， ） B．（ ln3，√3）
2 3 2
1 √3 1
C．（ ln3， ） D．（− ln3，√3）
2 3 2
1
【变式4-1】（2021春•浙江期中）已知f(x)= 的切线斜率等于﹣4，则切点坐标是（ ）
x
1 1 1 1
A．( ，−2)或(− ，2) B．( ，2)或(− ，−2)
2 2 2 2
1 1 1 1
C．( ，4)或(− ，−4) D．( ，−4)或(− ，4)
4 4 4 4
3
【变式4-2】（2021•天心区校级模拟）已知曲线y=√400+x2+ (100−x)(0≤x≤100)在点M处有水平
5切线，则点M的坐标是（ ）
A．（﹣15，76） B．（15，67） C．（15，76） D．（15，﹣76）
【变式4-3】（2021•黄山一模）已知函数f（x）＝x4+ax2+1的图像在点（﹣1，f（﹣1））处的切线与y轴
交于点（0，4），则切点的纵坐标为（ ）
A．7 B．﹣7 C．﹣4 D．4
【题型5 已知切线方程（或斜率）求参数】
【方法点拨】
(1)利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求
出参数的值或取值范围．
(2)求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
①注意曲线上横坐标的取值范围；
②谨记切点既在切线上又在曲线上．
【例5】（2020秋•太原期末）已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为（ ）
1 1
A． B．− C．﹣e D．e
e e
【变式 5-1】（2022春•珠海期末）若曲线 y＝x2+ax+b在点（1，1）处的切线为 3x﹣y﹣2＝0，则有
（ ）
A．a＝﹣1，b＝1 B．a＝1，b＝﹣1 C．a＝﹣2，b＝1 D．a＝2，b＝﹣1
【变式5-2】（2022春•红河州期末）已知曲线y＝x3+ax在x＝1处的切线与直线y＝4x+3平行，则a的值为
（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【变式5-3】（2021秋•渝中区校级月考）若函数f（x）＝2lnx+4x2+bx+5的图象上的任意一点的切线斜率
都大于0，则b的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣8） B．（﹣8，+∞） C．（﹣∞，8） D．（8，+∞）
【题型6 曲线的公切线问题】
【方法点拨】
解决此类问题通常有两种方法：
一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；
二是设公切线l在y＝f(x)上的切点P(x，f(x))，在y＝g(x)上的切点P(x，g(x))，则f′(x)＝g′(x)＝
1 1 1 2 2 2 1 2
.
【例6】（2022春•洛阳月考）若曲线y＝lnx与曲线：y＝x2﹣k有公切线，则实数k的最大值为（ ）7 1 7 1 1 1 1 1
A． + ln2 B． − ln2 C． + ln2 D． + ln2
8 2 8 2 2 2 2 2
【变式6-1】（2022•江苏模拟）若两曲线y＝x2﹣1与y＝alnx﹣1存在公切线，则正实数a的取值范围为（
）
A．（0，2e] B．（0，e] C．[2e，+∞） D．（e，2e]
【变式6-2】（2021秋•滕州市校级期中）已知f（x）＝ex﹣1（e为自然对数的底数），g（x）＝lnx+1，则
f（x）与g（x）的公切线条数（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
1
【变式6-3】（2022秋•赣州月考）若函数f(x)=3x+ −3(x＞0)的图象与函数g（x）＝txex的图象有
x
1
公切线l，且直线l与直线y=− x+2互相垂直，则实数t＝（ ）
2
1 1 1
A． B．e2 C． 或2√e D． 或4√e
e e e
