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专题 2.15 函数的图象-重难点题型精讲
1．利用描点法作函数的图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称
性等)．
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)――→y＝－f(x)．
②y＝f(x)――→y＝f(－x)．
③y＝f(x)――→y＝－f(－x)．
④y＝ax(a＞0且a≠1)――→y＝log x(x＞0)．
a
(3)翻折变换
①y＝f(x)――→y＝|f(x)|．
②y＝f(x)――→y＝f(|x|)．
(4)伸缩变换
①y＝f(x)
→y＝f(ax)．②y＝f(x)
→y＝af(x)．
【题型1 函数图象的识别】
【方法点拨】
函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
(5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象．
【例1】（2022春•纳雍县期末）函数f（x）＝|x|•22﹣|x|在区间[﹣2，2]上的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
sinx
【变式 1-1】（2022
春•慈溪市月考）函数f(x)=x3
⋅ （e 是自然对数的底数）的图象大致是
ex+e−x
（ ）
A．B．
C．
D．
【变式1-2】（2022•龙岩模拟）已知函数 { 2x−1，x≥0 ，则函数的图象是（ ）
f(x)=
−x2−2x，x＜0
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2022春•丽江期末）函数 ex+e−x的图像可能是（ ）
f(x)=
x3A． B．
C． D．
【题型2 已知函数图象判断解析式】
【方法点拨】
研究已知函数图象的特征和变化趋势，得出所给图象的一些函数性质，进而判断符合条件的函数解析式.
【例2】（2022•乳山市开学）已知函数f（x）在区间[﹣ ， ]上的大致图象如图所示，则f（x）的解析式
可能为（ ） π π
A．f（x）＝xsinx+cosx B．f（x）＝xsinx﹣cosx
C．f（x）＝sinx﹣xcosx D．f（x）＝sinx+xcosx
【变式2-1】（2022春•密云区期末）已知函数f（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能为
（ ）
lnx lnx
A．f（x）= −x+1 B．f（x）= +x−1
x x
C．f（x）＝xlnx﹣x+1 D．f（x）＝xlnx+x﹣1【变式2-2】（2020•许昌一模）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数
形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数的性质，也常用函
数的解析式来研究函数图象的特征，已知函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能是（
）
A．f（x）＝（4x+4﹣x）|x| B．f（x）＝（4x﹣4﹣x）log |x|
2
C．f（x）＝（4x+4﹣x）log❑ |x| D．f（x）＝（4x+4﹣x）log |x|
1 2
2
【变式2-3】（2022春•霍林郭勒市期末）已知函数f（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式可
能为（ ）
A．f（x）＝x+sinx B．f（x）＝x2sinx
C．f（x）＝x2+sinx D．f（x）＝xsinx
【题型3 借助动点探究函数图象】
【方法点拨】
(1)定量计算法：根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象．
(2)定性分析法：采用“以静观动”，即判断动点处于不同位置时图象的变化特征，从而做出选择.
1 √3
【例3】（2021秋•东莞市期末）如图，质点M在单位圆周上逆时针运动，其初始位置为M （ ，−
0
2 2
），角速度为2，则点M到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（ ）A．
B．
C．
D．
【变式3-1】（2021春•苏州期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．
如图，在鳖臑A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，AB＝BD＝CD，点P在棱AC上运动．设CP的
长度为x，△PBD的面积为S，则S＝f（x）的大致图象是（ ）A． B．
C． D．
【变式3-2】（2021秋•河北月考）如图，直线l的解析式为y＝﹣x+4，它与x轴和y轴分别相交于A，B两
点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动．它与x轴
和y轴分别相交于C，D两点，运动时间为 t秒（0≤t≤4），以CD为斜边作等腰直角三角形 CDE
（E，O两点分别在CD两侧）．若△CDE和△OAB的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的
图象大致是（ ）
A． B．C． D．
4
【变式3-3】（2021秋•南宁月考）如图，△ABC中，AB＝6，BC＝8，tan∠B= ，点D是边BC上的一
3
个动点（点D与点B不重合）过点D作DE⊥AB，垂足为E，点F是AD的中点，连接EF，设△AEF的
面积为y，点D从点B沿BC运动到点C的过程中，D与B的距离为x，则能表示y与x的函数关系的图
象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 利用函数图象研究函数性质】
【方法点拨】
对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：
(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
【例4】（2021秋•昌平区期末）已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，y＝f（x）的图象如图
所示，则下列关系正确的是（ ）A．f（1）＞f（﹣2）＞f（3） B．f（3）＞f（1）＞f（﹣2）
C．f（1）＞f（3）＞f（﹣2） D．f（﹣2）＞f（1）＞f（3）
log x
【变式4-1】（2021秋•绍兴期末）函数f（x）的图象为如图所示的折线段ABC，设g（x）= 3 ，则函
f(x)
数g（x）的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式4-2】（2022春•钦州期末）已知函数f（x）＝|x﹣3|﹣|x+1|，则下列描述中正确的是（ ）
A．函数f（x）的图象关于直线x＝1对称
B．函数f（x）的图象关于点（1，0）对称
C．函数f（x）有最小值，无最大值
D．函数f（x）的图象是两条射线
【变式4-3】（2021秋•吉阳区校级期中）一个偶函数定义在[﹣7，7]上，它在[0，7]上的图象如图，下列
说法正确的是（ ）
A．这个函数仅有一个单调增区间
B．这个函数有两个单调减区间C．这个函数在其定义域内有最大值是7
D．这个函数在其定义域内有最小值是﹣7
【题型5 利用函数图象解不等式】
【方法点拨】
当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，
从而利用数形结合求解．
【例5】（2020秋•南山区校级期中）已知f（x）函数是定义在（﹣3，0）∪（0，3）上的奇函数，当0＜
x＜3时，f（x）的图象如图所示，则不等式f（﹣x）⋅x＞0的解集是（ ）
A．（﹣1，0）∪（1，3） B．（﹣3，﹣1）∪（1，3）
C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣3，﹣1）∪（0，1）
【变式5-1】（2021秋•皇姑区校级月考）已知y＝f（x）是偶函数，y＝g（x）是奇函数，它们的定义域是
f(x)
[﹣3，3]，且它们在[0，3]的图象如图所示，则不等式 ＜0的解集为（ ）
g(x)
A．（1，2） B．（0，1）∪（2，3）
C．（﹣2，﹣1）∪（0，1）∪（2，3） D．（﹣3，﹣2）∪（﹣1，1）∪（2，3）
【变式5-2】（2021秋•承德期中）已知当x≥0时，偶函数y＝f（x）的图象如图所示，则不等式f（2x）＜
0的解集为（ ）
A．（2，4）∪（﹣4，﹣2） B．（﹣2，﹣1）∪（1，2）C．（﹣4，4） D．（1，2）
【变式5-3】（2021秋•榆社县校级月考）设偶函数f（x）的定义域为[﹣5，5]，且x [0，5]时，f（x）的
图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集是（ ） ∈
A．（﹣3，0）∪（3，5] B．（﹣3，0）∪（0，3）
C．[﹣5，﹣3）∪（0，3） D．（0，3）
【题型6 利用函数图象研究函数零点（方程的根）个数问题】
【方法点拨】
对于有关函数零点（方程的根）个数问题，可以通过函数图象来研究函数零点（方程的根），函数y=f(x)
的零点（方程f(x)＝0的根）就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与
g(x)图象交点的横坐标，据此通过函数图象，数形结合求解即可．
{3−x2−2x，x≤1，
【例6】（2022春•昌图县校级期末）已知函数 则函数y＝f（f（x））﹣3的
f(x)= 4
x+ −2，x＞1，
x
零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式6-1】（2021秋•西岗区校级月考）已知函数 { ex ，x≥0 ，若关于x的方程f2（x）+f
f(x)=
lg(−x)，x＜0
（x）+t＝0有三个不同的实根，则t的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣2] B．[1，+∞）
1
C．(−∞， ] D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）
4
【变式6-2】（2022春•淮安期末）已知函数
{|log x|，x＞0，函数F（x）＝f（x）﹣b有四个
f(x)= 3
x2+4x+1，x≤0
不同的零点x ，x ，x ，x ，且满足：x ＜x ＜x ＜x ，则下列结论中不正确的是（ ）
1 2 3 4 1 2 3 4
1
A．0＜b≤1 B． ≤x ≤1 C．x +x ＝﹣4 D．x ⋅x ＝1
3 3 1 2 3 4【变式6-3】（2022•靖远县开学）已知函数f（x）
{|2x+2−1|，x≤0，若关于x的方程[f（x）]2+mf
=
|log x|，x＞0．
2
（x）+4＝0有6个不同的实数根，则m的取值范围是（ ）
13 13
A．（﹣∞，﹣5）∪[− ，﹣4） B．[− ，﹣4）
3 3
13 13
C．（4， ]∪（5，+∞） D．（4， ]
3 3
