文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
专题 08 一线三等角相似、三垂直模型压轴题专题
（解析版）
一线三等角概念
“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个
角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”
等，以下称为“一线三等角”。
“一线三等角”的两种基本类型
1. 三等角都在直线的同侧
2.三等角分居直线的两侧
3.在初三各学校的考试和中考试题中，一线三等角的相似属于压轴题的热点题型之一，本专题从中考试题
和初三各名校的试题中，精选一线三等角相似模型的经典好体，并根据角度区别把一线三等角模型细分为
三类题型：三垂直模型、一线三锐角、一线三钝角，适合于初三学生进行压轴题专项突破时使用。
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
类型一：三垂直模型
1.（雅礼）如图，点 是双曲线 上一动点，连接 ，作 ，使 ，当点
在双曲线 上运动时，点 在双曲线 上移动，则 的值为 .
y
B
x
O
A
【解答】解：过A作AC⊥y轴于点C，过B作BD⊥y轴于点D，∵点A是反比例函数y＝ （x＜0）上的
一个动点，点B在双曲线y＝ 上移动，∴S△AOC ＝ ×|﹣8|＝4，S△BOD ＝ |k|，∵OB⊥OA，
∴∠BOD+∠AOC＝∠AOC+∠OAC＝90°，∴∠BOD＝∠OAC，且∠BDO＝∠ACO，
∴△AOC∽△OBD，∵OA＝2OB，∴ ＝（ ）2＝ ，∴ ＝ ，∴|k|＝2．
∴k＜0，∴k＝﹣2，故答案为：﹣2．
4 k
y=− (x<0) y=
2.（青竹湖）如图，
∠AOB=90°
，反比例函数
x
的图象过点
A(−1,a)
，反比例函数
x
(k>0,x>0) 的图象过点B，且 AB//x 轴，过点B作 MN//OA ，交x轴于点M ，交y轴于点 N ，交双
k
y=
x ΔOBC
曲线 于另一点，则 的面积为 .
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
y
N
C
A B
O M x
【解答】解：∵反比例函数 的图象过点A（﹣1，a），∴a＝﹣ ＝4，
∴A（﹣1，4），过A作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，∴AE＝4，OE＝1，∵AB∥x轴，∴BF＝4，
∵∠AOB＝90°，∴∠EAO+∠AOE＝∠AOE+∠BOF＝90°，∴∠EAO＝∠BOF，∴△AEO∽△OFB，
∴ ＝ ，∴OF＝16，∴B（16，4），∴k＝16×4＝64，∵直线OA过A（﹣1，4），
∴直线AO的解析式为y＝﹣4x，∵MN∥OA，∴设直线MN的解析式为y＝﹣4x+b，∴4＝﹣4×16+b，
∴b＝68，∴直线MN的解析式为y＝﹣4x+68，∵直线MN交x轴于点M，交y轴于点N，
∴M（17，0），N（0，68），解 得， 或 ，∴C（1，64），
∴△OBC的面积＝S△OMN ﹣S△OCN ﹣S△OBM ＝ ﹣ ﹣ ＝510，
故答案为510．
3．（广益）如图，点A，B在反比例函数y＝ （k＞0）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为
1，OA⊥AB，则k的值为 ．
【解答】解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥AM于N，∵∠OAB＝90°，∴∠OAM+∠BAN
＝90°，∵∠AOM+∠OAM＝90°，∴∠BAN＝∠AOM，∴△AOM∽△BAN，∴ ＝ ，
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵点A，B在反比例函数y＝ （k＞0）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，∴A（2，
），B（k，1），∴OM＝2，AM＝ ，AN＝ ﹣1，BN＝k﹣2，∴ ＝ ，解得k ＝2（舍去），k
1 2
＝8，
∴k的值为8，故答案为：8．
4．（长沙中考2020）在矩形ABCD中，E为 上的一点，把 沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上
的点F．
（1）求证：
（2）若 ，求EC的长；
（3）若 ，记 ，求 的值．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠D=90°，∴∠AFB+∠BAF=90°，∵△AFE是 ADE
翻折得到的，∴∠AFE=∠D=90°，∴∠AFB+∠CFE=90°，∴∠BAF=∠CFE，∴△ABF∽△FCE． △
（2）解：∵△AFE是 ADE翻折得到的，∴AF=AD=4，∴BF= ，
△
∴CF=BC-BF=AD-BF=2，由（1）得 ABF∽△FCE，∴ ，∴ ，∴EC= ．
△
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（3）解：由（1）得 ABF∽△FCE，∴∠CEF=∠BAF= ，∴tan +tan = ，
△
设CE=1，DE=x，∵ ，∴AE=DE+2EC=x+2，AB=CD=x+1，AD=
∵ ABF∽△FCE，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
△
∴ ，∴x2-4x+4=0，解得x=2，∴CE=1，CF= ，EF=x=2，
AF= AD= = ，∴tan +tan = = ．
5.（广益）矩形 中， ， ，将矩形折叠，使点 落在点 处，折痕为 ．
（1）如图1，若点 恰好在边 上．
①求证：△ ∽△ ；②求 的长；
（2）如图2，若 是 的中点， 的延长线交 于点 ，求 的长．
A D A D
E E
P
B C B C
P F
图1 图2
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，∴∠BPE+∠BEP＝90°，
由折叠知，∠DPE＝∠BAD＝90°，∴∠BPE+∠CPD＝90°，∴∠BEP＝∠CPD，∵∠B＝∠C＝90°，
∴△EBP∽△PCD；
②∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝8，BC＝AD＝12，由折叠知，PE＝AE，DP＝
AD＝12，在Rt△DPC中，CP＝ ＝4 ，∴BP＝BC﹣CP＝12﹣4 ，在Rt△PBE中，PE2﹣
BE2＝BP2，∴AE2﹣（8﹣AE）2＝（12﹣4 ）2，∴AE＝18﹣6 ；
（2）如图，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．则四边形AGHD是矩形，设EG＝x，则BG＝4﹣
x，∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴∠EPG＝∠PDH，∴△EGP∽△PHD，∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ，∴PH＝3EG＝3x，DH＝AG＝4+x，
在Rt△PHD中，PH2+DH2＝PD2，∴（3x）2+（4+x）2＝122，解得x＝ （负值已经舍弃），
∴BG＝4﹣ ＝ ，在Rt△EGP中，GP＝ ＝ ，∵GH∥BC，∴△EGP∽△EBF，
∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴BF＝3．
6．（长郡）如图，在平面直角坐标系中， 为原点，已知点 是射线 上一点， ，点 是
轴正半轴上一点， ，连接 ， 经过点 且与 相切于点 ，与边 相交于另一点 ．
(1)若圆心 在 轴上，求 的半径；
(2)若圆心 在 轴的上方，且圆心 到 轴的距离为 ，求 的半径；
(3)在（2）的条件下，若 ，点 是经过点 ， ， 的抛物线上的一个动点，点 为 轴上的一个
动点，若满足 的点 共有 个，求点 的横坐标的取值范围．
【解答】解：（1）∵圆心A在x轴上， A经过点O且与QP相切于点P，∴PQ⊥x轴，OP为直径，
⊙
∵tan∠POC＝1， ，∴PQ＝OP，∵在Rt△OPQ中， ．
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴OP＝18．∴ A的半径为9；
（2）如图所⊙示，过点A作AM⊥x轴于点M，过点Q作QB⊥x轴于B，连接AP，
∵PQ是 A的切线，∴AP⊥PQ，则∠APQ＝90°，∵AM⊥x轴，QB⊥x轴，∴∠AMP＝∠PBC＝90°，
⊙
∴∠PAM＝90°﹣∠APM＝∠QPB，∴△APM∽△PBQ，∴ ，∵tan∠POC＝1，QB＝18 ，
∴OB＝QB＝18，∵AM＝2，设MP＝MO＝x，∴PB＝18﹣2x，∴ ，解得x＝3或x＝6，
∴MO＝3或MO＝x，∴A（3，2）或A（6，2），∴AP＝ ＝ 或AP＝ ＝2 ．
∴半径为 或2 ．
（3）
∵OP＜10，∴BO＝3，P（6，0），∴A（3，2），∵tan∠POC＝1，设D（a，a），∵ ，
∴（3﹣a）2+（2﹣a）2＝13，解得：a＝0或a＝5，∴D（5，5），设抛物线解析式为y＝ax2+bx，
将点P（6，0），D（5，5）代入得， ，解得： ，∴y＝﹣x2+6x，
∵点F可能在点O的左边或点P的右边， ，则|K |＝ ，
FM
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
设直线MF： 或 ，联立 ， ，
得 或 ，当 或 ，
解得： 或 ，∴直线 MF： 或 ，令 y＝0，解得： 或
，
∴ 或 ．
7.（麓山国际）有一边是另一边的 倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的
夹角叫做智慧角．
（1）已知Rt△ABC为智慧三角形，且Rt△ABC的一边长为 ，则该智慧三角形的面积为 ；
（2）如图①，在△ABC中，∠C＝105°，∠B＝30°，求证：△ABC是智慧三角形；
（3）如图②，△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，A（3，0），点B，C在函数y＝
上（x＞0）的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为 ．当△ABC是直角三角形时，求k的
值．
【解答】解：（1）如图1，设∠A＝90°，AC≤AB，S△ABC ＝ AC•AB，
①若AC＝ ，
i）AB＝ AC＝2，∴S＝ ，
ii）BC＝ AC＝2，则AB＝ ，∴S＝ ，
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
②若AB＝ ，
i）AB＝ AC，即AC＝ ，∴S＝ ，
ii）BC＝ AB＝2，则AC＝ ∴S＝ ，
③若BC＝ ，若AB＝AC＝ ＝1，∴S＝ ，
若AB＝ AC，AB＝ ， ，S＝ × × ＝ ，
故答案为： 或1或 或 或 ．
（2）证明：如图2，过点C作CD⊥AB于点D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，在Rt△BCD中，∠B＝30°，
∴BC＝2CD，∠BCD＝90°﹣∠B＝60°，∵∠ACB＝105°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝45°，
∴Rt△ACD中，AD＝CD，∴AC＝ ，∴ ，
∴△ABC是智慧三角形．
（3）∵△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，∴BC＝ AB，∵△ABC是直角三角形，
∴AB不可能为斜边，即∠ACB≠90°∴∠ABC＝90°或∠BAC＝90°
①当∠ABC＝90°时，过B作BE⊥x轴于E，过C作CF⊥EB于F，过C作CG⊥x轴于G，如图3，
∴∠AEB＝∠F＝∠ABC＝90°，∴∠BCF+∠CBF＝∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠BCF＝∠ABE，
∴△BCF∽△ABE，∴ ，设AE＝a，则BF＝ AE＝ a，∵A（3，0），
∴OE＝OA+AE＝3+a，∵B的纵坐标为 ，即BE＝ ，
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴CF＝ BE＝2，CG＝EF＝BE+BF＝ ，B（3+a， ），
∴OG＝OE﹣GE＝OE﹣CF＝3+a﹣2＝1+a，∴C（1+a， ），
∵点B、C在在函数y＝ 上（x＞0）的图象上，∴ （3+a）＝（1+a）（ + a）＝k
解得：a ＝﹣2（舍去），a ＝1，∴k＝ ，
1 2
②当∠BAC＝90°时，过C作CM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，如图4，
∴∠CMA＝∠ANB＝∠BAC＝90°，∴∠MCA+∠MAC＝∠MAC+∠NAB＝90°，
∴∠MCA＝∠NAB，∴△MCA∽△NAB，∵BC＝ ，∴2AB2＝BC2＝AB2+AC2，
∴AC＝AB，∴△MCA≌△NAB（AAS），∴AM＝BN＝ ，∴OM＝OA﹣AM＝3﹣ ，
设CM＝AN＝b，则ON＝OA+AN＝3+b，∴C（3﹣ ，b），B（3+b， ），
∵点B、C在在函数y＝ 上（x＞0）的图象上，∴（3﹣ ）b＝ （3+b）＝k
解得：b＝ ，∴k＝18+15 ，综上所述，k的值为 或 。
类型二：一线三锐角
8.（师大梅溪湖）如图，在△ABC中， ， ， ， ， ，则
CD的长为________.（提示，作辅助线构造一线三等角的相似）
【详解】解：在CD上取点F，使 ，
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
， ，由 ， ，
， ，且 ，
， ， ∽ ，
， ， ，
又 ， ，
∽ ， ，
又 ， ， 或 舍去 ，
经检验： 符合题意， ．故答案为：5．
5．（青竹湖）如图，在△ABC中，∠B＝∠ACB＝45°，AB＝6 ，点D是BC上一点，作DE⊥AD交射
线AC于E，DF平分∠ADE交AC于F．
（1）求证：AB•CF＝BD•CD；
（2）如图2，当∠AED＝75°时，求CF的长；
（3）若CD＝3BD，求 ．
【解答】（1）证明：如图1中，
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵DE⊥AD，∴∠ADE＝90°，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDC＝45°，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝
∠ADF+∠FDC，∠B＝∠ADF＝45°，∴∠BAD＝∠FDC，∵∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCF，
∴ ，∴AB•CF＝BD•CD．
（2）解：如图2中，过点A作AH⊥BC于H．
∵∠B＝∠C＝45°，∴AB＝AC＝6 ，∴BC＝ AB＝12，∵AH⊥BC，∴BH＝CH＝6，AH＝BH＝
CH＝6，∵AD⊥DE，∠AED＝75°，∴∠ADE＝90°，∠DAE＝15°，∴∠ADH＝∠DAE+∠C＝60°，
∴∠DAH＝30°，DH＝AH•tan30°＝2 ，∴BD＝6+2 ，CD＝6﹣2 ，∵AB•CF＝BD•CD，
∴6 •CF＝（6+2 ）（6﹣2 ），∴CF＝2 ．
（3）如图2﹣1中，过点A作AH⊥BC于H，过点E作EG⊥CD于G．设BD＝a，则CD＝3a，BC＝
4a．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴AH＝HB＝HC＝2a，DH＝a，∠C＝∠B＝45°，∵∠AHD＝∠ADE＝
∠ DGE ＝ 90° ， ∴ ∠ ADH+∠ EDG ＝ 90° ， ∠ EDG+∠ DEG ＝ 90° ， ∴ ∠ ADH ＝ ∠ DEG ，
∴△ADH∽△DEG，设EG＝CG＝y，CD＝3a，则DG＝3a+y，∴ ，∴ ，解得y＝3a，
∴CG＝EG＝3a，EC＝3 a，
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵CF＝ ＝ a，∴AF＝AC﹣CF＝2 a﹣ a＝ a，EF＝CF+CE＝
a+3 a＝ a，∴ ＝ ．
10.（广益）如图1，已知直线 （k为常数，k≠0）与x轴相交于点A，点B与点A关于y轴对称
点C在y轴的正半轴上， ，连接AC，BC。
（1）求△ABC的面积及sin∠ACB；
（2）如图2，已知P，Q分别是线段AC，BC上的一动点，且始终满足∠POQ=60°。
①求AP·BQ的值及△CPQ面积的最大值；
②当△AOP与△OQP的面积相等时，抛物线 经过P，Q两点，经过点P的直线
满足：
对于任意的实数x，都有 成立。记 ，若函数 与x轴相交于M，N两点，且线段MN≤1，
求a的取值范围。
【解答】解：（1）∵y＝kx+2k＝k（x+2），∴A（﹣2，0），∵OC＝ ，∴OC＝2 ，
在Rt△AOC中，∵tan∠CAB＝ ＝ ，∴∠CAB＝60°，由对称性得，OB＝OA，BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°∴sin∠ACB＝ ，
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴S△ABC ＝ AB•OC＝ ＝4 ；
（2）如图2，
①由（1）知，△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝∠ABC＝60°，∴∠APO+∠AOP＝120°，
∵∠POQ＝60°，∴∠BOQ+∠AOP＝120°，∴∠APO＝∠BOQ，∴△AOP∽△BQO，
∴ ＝ ，∴AP•BQ＝OA•OB＝4，作PD⊥BC于D，∴PD＝PC•sin∠ACB＝ PC，
∵S△CPQ ＝ CQ•PD＝ （AC﹣AP）（BC﹣BQ）＝ （4﹣AP）（4﹣BQ）＝5 ﹣ （AP+BQ）
＝5 ﹣ （AP+ ），∵（a﹣b）2≥0，∴a2+b2﹣2ab≥0，∴a2+b2≥2ab，
∴ + ≥2• • ＝4，即AP+ ≥4，∴当AP＝2时，S△CPQ 最大＝5 ﹣4 ＝
；
②如图3，
∵S△AOP ＝S△OQP ，∴ OA•PG＝ •PH，∴OA•AP•sin60°＝OQ•OP•sin60°，∴2AP＝OP•OQ，
∵△AOP∽△BQO， ＝ ，∴OP＝ •OQ，∴2AP＝ •OQ2，∴OQ＝2，∴P（﹣1， ）
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
如图4，
由题意得，b＝0，a+c＝ ，﹣m+n＝ ，∴y ＝ax2+（ ），y ＝mx+（m+ ），
1 2
∵对于任意的实数x，都有y ≥y 成立，∴ax2﹣mx﹣（m+a）＝0，Δ＝m2+4a（m+a）＝0，
1 2
∴m＝﹣2a，∴w＝ax2+（ ）+mx+（m+ ）＝ax2+（ ）﹣2ax﹣2a+
＝ax2﹣2ax+（2 ﹣3a），当ax2﹣2ax+（2 ﹣3a）＝0时，设M（b，0），N（c，0），∴b+c＝2，
bc＝ ，∵MN≤1，∴MN2≤1，∴（b﹣c）2≤1，即（b+c）2﹣4bc≤1，∴4﹣4•
≤1，
又a＞0，∴0＜a≤ ．
类型三：一线三钝角
11.（2016年长沙中考）如图，直线l：y=﹣x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P，Q是直线l上的两
个动点，且点P在第二象限，点Q在第四象限，∠POQ=135°．
（1）求△AOB的周长；
（2）设AQ=t＞0，试用含t的代数式表示点P的坐标；
（3）当动点P，Q在直线l上运动到使得△AOQ与△BPO的周长相等时，记tan∠AOQ=m，若过点A的二
次函数y=ax2+bx+c同时满足以下两个条件：
①6a+3b+2c=0；
②当m≤x≤m+2时，函数y的最大值等于 ，求二次项系数a的值．
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【解答】解：（1）在函数y＝﹣x+1中，令x＝0，得y＝1，∴B（0，1），令y＝0，得x＝1，
∴A（1，0），则OA＝OB＝1，AB＝ ，∴△AOB周长为1+1+ ＝2+ ．
（2）∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∴∠PBO＝∠QAO＝135°，设∠POB＝x，则∠OPB＝
∠AOQ＝135°﹣x﹣90°＝45°﹣x，∴△PBO∽△OAQ，∴ ＝ ，∴PB＝ ＝ ，
过点P作PH⊥OB于H点，则△PHB为等腰直角三角形，∵PB＝ ，∴PH＝HB＝ ，
∴P（﹣ ，1+ ）．
（3）由（2）可知△PBO∽△OAQ，若它们的周长相等，则相似比为1，即全等，∴PB＝OA，
∴ ＝1，∴t＝1，同理可得Q（1+ ，﹣ ），∴m＝ ＝ ﹣1，∵抛物线经过点A，
∴a+b+c＝0，又∵6a+3b+2c＝0，∴b＝﹣4a，c＝3a，对称轴x＝2，取值范围 ﹣1≤x +1，
若a＞0，则开口向上，由题意x＝ ﹣1时取得最大值 ＝2 +2，即（ ﹣1）2a+（ ﹣1）b+c
①
＝2 +2，解得a＝ ．
若a＜0，则开口向下，由题意x＝2时取得最大值2 +2，即4a+2b+c＝2 +2，解得a＝﹣2 ﹣
②2．
综上所述所求a的值为 或﹣2 ﹣2．
12．（2023·浙江宁波·校考三模）点C在 的延长线上，且 ，
（1）如图（1），若 ，求证： ；
【思考探究】
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2）如图（2），若 ， ，若 ，求 的值；
【拓展延伸】
（2）如图（3），连接 ，若 ， ，若 ，求n的值．
【解答】解：（1）∵ ， ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ．
（2）如图，过点E作 ，交 于点F，
∵ ，∴ ， ，∴ ，
∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，
由（1）可得： ，∴ ，设 ，则 ， ，
∴ ，∴ ，故答案为： ．
（3）如图，延长 至点F，使得 ，连接 ，
则 ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，
17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
设 ，则 ， ， ，∴ ，
∴ ，又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．
18
