文档内容
第 2 课时 定点与定值问题
题型一 定点问题
例1 (12分)(2020·全国Ⅰ)已知A，B分别为椭圆E：＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上
顶点，AG·GB＝8.P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为
D.
(1)求E的方程；
(2)证明：直线CD过定点．
规范解答
(1)解 依据题意作图，如图所示，
由椭圆方程E：＋y2＝1(a>1)可得，
A(－a,0)，B(a,0)，G(0,1)，
∴AG＝(a,1)，GB＝(a，－1)，
∴AG·GB＝a2－1＝8，∴a2＝9，即a＝3，
∴E的方程为＋y2＝1.[3分]
(2)证明 设P(6，y)，
0
则直线AP的方程为y＝(x＋3)，
即y＝(x＋3)，[4分]
联立直线AP的方程与椭圆方程可得
整理得(y＋9)x2＋6yx＋9y－81＝0，
解得x＝－3或x＝，
将x＝代入直线y＝(x＋3)可得y＝，
∴点C的坐标为.[6分]
同理可得点D的坐标为，[8分]
∴直线CD的方程为y－＝，
整理可得y＋＝＝，
整理得y＝x＋＝，
故直线CD过定点.[12分]第一步：确定曲线方程(一般根据待定系数法或定义法)．
第二步：设直线方程并与曲线方程联立，得关于x或y的一元二次方程．
第三步：写出根与系数的关系(或求出交点坐标)．
第四步：将第三步得出的关系代入题目条件，解决范围、最值或定点、定值等问题．
第五步：反思回顾，考虑方程有解条件和图形完备性．
跟踪训练1 (2019·北京)已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)．
(1)求抛物线C的方程及其准线方程；
(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y
＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
(1)解 由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)，得p＝2.
所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.
(2)证明 抛物线C的焦点为F(0，－1)．
设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)．
由
得x2＋4kx－4＝0.
Δ＝16k2＋16>0恒成立．
设M(x，y)，N(x，y)，则xx＝－4.
1 1 2 2 1 2
直线OM的方程为y＝x.
令y＝－1，得点A的横坐标x ＝－.
A
同理得点B的横坐标x ＝－.
B
设点D(0，n)，则DA＝，
DB＝，
DA·DB＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2＝－4＋(n＋1)2.
令DA·DB＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，
得n＝1或n＝－3.
综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0，－3)．
题型二 定值问题
例2 (2020·新高考全国Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2,1)．
(1)求C的方程；
(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值.
(1)解 由题设得＋＝1，＝，解得a2＝6，b2＝3.
所以C的方程为＋＝1.
(2)证明 设M(x，y)，N(x，y)．
1 1 2 2
若直线MN与x轴不垂直，
设直线MN的方程为y＝kx＋m，代入＋＝1，
得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.
于是x＋x＝－，xx＝.①
1 2 1 2
由AM⊥AN，得AM·AN＝0，
故(x－2)(x－2)＋(y－1)(y－1)＝0，
1 2 1 2
整理得(k2＋1)xx＋(km－k－2)(x＋x)＋(m－1)2＋4＝0.
1 2 1 2
将①代入上式，可得(k2＋1)－(km－k－2)·＋(m－1)2＋4＝0，
整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0.
因为A(2,1)不在直线MN上，
所以2k＋m－1≠0，
所以2k＋3m＋1＝0，k≠1.
所以直线MN的方程为y＝k－(k≠1)．
所以直线MN过点P.
若直线MN与x轴垂直，可得N(x，－y)．
1 1
由AM·AN＝0，
得(x－2)(x－2)＋(y－1)(－y－1)＝0.
1 1 1 1
又＋＝1，所以3x－8x＋4＝0.
1
解得x＝2(舍去)，x＝.
1 1
此时直线MN过点P.
令Q为AP的中点，即Q.
若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边，
故|DQ|＝|AP|＝.
若D与P重合，则|DQ|＝|AP|.
综上，存在点Q，使得|DQ|为定值．
思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即
可得出定值．
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条
件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形
即可求得．
跟踪训练2 (2020·滨州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F，
1
F，A为椭圆C上一点，AF⊥FF，且|AF|＝.
2 2 1 2 2
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A ，A ，过A ，A 分别作x轴的垂线l ，l ，椭圆C的一条
1 2 1 2 1 2
切线l：y＝kx＋m与l，l 分别交于M，N两点，求证：∠MF N为定值．
1 2 1
(1)解 由AF⊥FF，|AF|＝，得＝.
2 1 2 2
又e＝＝，a2＝b2＋c2，所以a2＝9，b2＝8，
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)证明 由题意可知，l 的方程为x＝－3，l 的方程为x＝3.
1 2
直线l分别与直线l，l 的方程联立得M(－3，－3k＋m)，N(3,3k＋m)，
1 2
所以F1M＝(－2，－3k＋m)，F1N＝(4,3k＋m)，
所以F1M·F1N＝－8＋m2－9k2.
联立
得(9k2＋8)x2＋18kmx＋9m2－72＝0.
因为直线l与椭圆C相切，
所以Δ＝(18km)2－4(9k2＋8)(9m2－72)＝0，
化简得m2＝9k2＋8.
所以F1M·F1N＝－8＋m2－9k2＝0，
所以F1M⊥F1N，故∠MF N为定值.
1
课时精练
1．(2021·成都模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F(－，0)，F(，0)，且
1 2
经过点A.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点B(4,0)作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，记点P关于x轴对称
的点为P′.证明：直线P′Q经过x轴上一定点D，并求出定点D的坐标．
(1)解 由椭圆的定义，可知
2a＝|AF|＋|AF|＝＋＝4.
1 2
解得a＝2.又b2＝a2－()2＝1.
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)证明 由题意，设直线l的方程为x＝my＋4(m≠0)．
设P(x，y)，Q(x，y)，则P′(x，－y)．
1 1 2 2 1 1
由消去x，可得(m2＋4)y2＋8my＋12＝0.
∵Δ＝16(m2－12)>0，
∴m2>12.
∴y＋y＝，yy＝.
1 2 1 2
∵k ＝＝.
P′Q
∴直线P′Q的方程为y＋y＝(x－x)．
1 1
令y＝0，可得x＝＋my＋4.
1
∴x＝＋4＝＋4＝＋4＝1.
∴D(1,0)．
∴直线P′Q经过x轴上定点D，其坐标为(1,0)．
2．(2020·西安模拟)设F ，F 为椭圆C：＋＝1(b>0)的左、右焦点，M为椭圆上一点，满足
1 2
MF ⊥MF ，已知△MF F 的面积为1.
1 2 1 2
(1)求椭圆C的方程；
(2)设C的上顶点为H，过点(2，－1)的直线与椭圆交于R，S两点(异于H)，求证：直线HR
和HS的斜率之和为定值，并求出这个定值．
解 (1)由椭圆定义得|MF |＋|MF |＝4，①
1 2
由MF ⊥MF 得
1 2
|MF |2＋|MF |2＝|FF|2＝4(4－b2)，②
1 2 1 2
由题意得 ＝|MF |·|MF |＝1，③
1 2
由①②③，可得b2＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)依题意，H(0,1)，显然直线RS的斜率存在且不为0，
设直线RS的方程为y＝kx＋m(k≠0)，
代入椭圆方程并化简得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
由题意知，Δ＝16(4k2－m2＋1)>0，
设R(x，y)，S(x，y)，xx≠0，
1 1 2 2 1 2
故x＋x＝，xx＝.
1 2 1 2
k ＋k ＝＋＝＋
HR HS
＝2k＋(m－1)＝2k＋(m－1)
＝2k－＝.∵直线RS过点(2，－1)，∴2k＋m＝－1，
∴k ＋k ＝－1.故k ＋k 为定值－1.
HR HS HR HS
3．(2018·北京)已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两
个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.
(1)求直线l的斜率的取值范围；
(2)设O为原点，QM＝λQO，QN＝μQO，求证：＋为定值．
(1)解 因为抛物线y2＝2px过点(1,2)，
所以2p＝4，即p＝2.
故抛物线C的方程为y2＝4x.
由题意知，直线l的斜率存在且不为0.
设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)，
由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.
依题意知Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，
解得k<0或0|FF|＝2，
1 2
所以点Q的轨迹为以F ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆，故2a＝4，a＝2,2c＝2，c＝1，b2
1 2
＝a2－c2＝3.
曲线C的方程为＋＝1.
(2)证明 由(1)可设A(－2,0)，B(2,0)，点M的坐标为(1，m)，直线MA的方程为y＝(x＋2)，
将y＝(x＋2)与＋＝1联立整理得，
(4m2＋27)x2＋16m2x＋16m2－108＝0，
设点D的坐标为(x ，y )，则－2x ＝，
D D D
故x ＝，则y ＝(x ＋2)＝，
D D D
直线MB的方程为y＝－m(x－2)，
将y＝－m(x－2)与＋＝1联立整理得，
(4m2＋3)x2－16m2x＋16m2－12＝0，
设点E的坐标为(x ，y )，则2x ＝，
E E E
故x ＝，则y ＝－m(x －2)＝，
E E E
HD的斜率为k＝＝＝－，
1
HE的斜率为k＝＝＝－，
2
因为k＝k，所以直线DE经过定点H(4,0)．
1 2
5.(2020·华中师大附中月考)如图，已知椭圆C ：＋y2＝1的左、右顶点分别为A ，A ，上、
1 1 2
下顶点分别为B，B，记四边形ABAB 的内切圆为圆C .
1 2 1 1 2 2 2
(1)求圆C 的标准方程；
2
(2)已知圆C 的一条不与坐标轴平行的切线l交椭圆C 于P，M两点．
2 1
(ⅰ)求证：OP⊥OM；
(ⅱ)试探究＋是否为定值．
(1)解 因为A ，B 分别为椭圆C ：＋y2＝1的右顶点和上顶点，则 A ，B 的坐标分别为
2 1 1 2 1
(2,0)，(0,1)，可得直线AB 的方程为x＋2y＝2.
2 1
则原点O到直线AB 的距离为d＝＝，则圆C 的半径r＝d＝，
2 1 2
故圆C 的标准方程为x2＋y2＝.
2(2)(ⅰ)证明 可设切线l：y＝kx＋b(k≠0)，P(x，y)，M(x，y)，
1 1 2 2
将直线l的方程代入椭圆C 可得x2＋2kbx＋b2－1＝0，由根与系数的关系得，
1
则yy＝(kx＋b)(kx＋b)＝k2xx＋kb(x＋x)＋b2＝，
1 2 1 2 1 2 1 2
又l与圆C 相切，可知原点O到l的距离
2
d＝＝，整理得k2＝b2－1，
则yy＝，所以OP·OM＝xx＋yy＝0，
1 2 1 2 1 2
故OP⊥OM.
(ⅱ)解 由(ⅰ)知OP⊥OM，
①当直线OP的斜率不存在时，显然|OP|＝1，|OM|＝2，此时＋＝；
②当直线OP的斜率存在时，设直线OP的方程为y＝kx，
1
代入椭圆方程可得＋kx2＝1，则x2＝，
故|OP|2＝x2＋y2＝(1＋k)x2＝，
同理|OM|2＝＝，
则＋＝＋＝.
综上可知，＋＝为定值．
