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202届高考数学三轮冲刺保温练卷：直线与平面垂直关系的判定
一、选择题（共20小题；）
1. 设 l，m 是两条不同的直线，α 是一个平面，则下列命题正确的是 ()
A. 若 l⊥m，m⊂α，则 l⊥α B. 若 l⊥α，l∥m，则 m⊥α
C. 若 l∥α，m⊂α，则 l∥m D. 若 l∥α，m∥α，则 l∥m
2. 如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六
边形的两条边．则能保证该直线与平面垂直的是 ()
A. ①③ B. ② C. ②④ D. ①②④
3. 过一条直线与一个平面垂直的平面有 ()
A. 1 个 B. 2 个 C. 无数个 D. 1 个或无数个
4. “直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直”是“直线 l 与平面 α 垂直”的 ()
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 充要条件 D. 既非充分条件又非必要条件
5. 若直线 a，b 与直线 l 所成的角相等，则 a，b 的位置关系是 ()
A. 异面 B. 平行
C. 相交 D. 相交、平行、异面均有可能
6. 给定空间中的直线 l 及平面 α，条件“直线 l 与平面 α 内两条相交直线都垂直”是结论“直
线 l 与平面 α 垂直”的 ()
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
7. 在正方体 AC 的六个平面中，与 A A 垂直的面的个数是 ()
1 1
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 已知平面 α 及 α 外一条直线 l，则下列命题正确的有 ()
①若 l 垂直于 α 内的两条平行线，则 l⊥α；
②若 l 垂直于 α 内的所有直线，则 l⊥α；
③若 l 垂直于 α 内的两条相交直线，则 l⊥α；
④若 l 垂直于 α 内的任意一条直线，则 l⊥α．
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
9. 在下列四个正方体中，能得出 AB⊥CD 的是 ()
A. B.C. D.
10. 若平面 α 与平面 β 不垂直，那么平面 α 内能与平面 β 垂直的直线有 ()
A. 0 条 B. 1 条 C. 2 条 D. 无数条
11. 已知 l，m 是两条不同的直线，α 是一个平面，则下列命题中正确的是 ()
A. 若 l∥α，m⊂α，则 l∥m B. 若 l∥α，m∥α，则 l∥m
C. 若 l⊥m，m⊂α，则 l⊥α D. 若 l⊥α，l∥m，则 m⊥α
12. 设 α，β，γ 为不同的平面，m，n，l 为不同的直线，则 m⊥β 的一个充分条件为 ()
A. α⊥β，α∩β=l，m⊥l B. α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ
C. α⊥γ，β⊥γ，m⊥α D. n⊥α，n⊥β，m⊥α
13. 设 a ，a ，b ，b ，c ，c 都是非零实数，不等式 a x2+b x+c >0 的解集为 A，不等式
1 2 1 2 1 2 1 1 1
a b c
a x2+b x+c >0 的解集为 B，则“A=B”是“ 1= 1= 1>0”的 ()
2 2 2 a b c
2 2 2
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件
14. 如图甲所示，在正方形 SG G G 中， E 、 F 分别是边 G G 、 G G 的中点， D 是
1 2 3 1 2 2 3
EF 的中点，现沿 SE 、 SF 及 EF 把这个正方形折成一个几何体（如图乙所示），使 G 、
1
G 、 G 三点重合于点 G ，则下面结论成立的是 ()．
2 3
A. SD⊥ 平面 EFG B. GF⊥ 平面 SEF
C. SG⊥ 平面 EFG D. GD⊥ 平面 SEF
15. 如 图 ， 三 棱 柱 ABC−A B C 中 ， ∠BAC=90∘， BC ⊥AC， 过 C 作
1 1 1 1 1
C H⊥平面ABC，垂足为 H，则 H 必在 ()
1A. 直线 AB 上 B. 直线 BC 上 C. 直线 CA 上 D. △ABC 内部
16. 如图，PA 垂直于以 AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于 A，B 的任意一点，
AE⊥PC 垂足为 E，点 F 是 PB 上一点，则下列判断中不正确的是 ()
A. BC⊥平面PAC B. AE⊥EF
C. AC⊥PB D. 平面AEF⊥平面PBC
17. 过平面 α 外一点 A 引线段 AB，AC 以及垂段 AO，若 AB 与 α 所成角是 30∘，AO=6，
AC⊥BC，则线段 BC 长的范围是 ()
A. (0,6) B. (6,+∞) C. (0,6√3) D. (6√3,+∞)
18. 如图，正方体 ABCD−A B C D 绕其体对角线 BD 旋转 θ 之后与其自身重合，则 θ 的
1 1 1 1 1
值可以是 ()
5π 3π 2π 3π
A. B. C. D.
6 4 3 5
19. 关于直线 a，b 以及平面 M，N，下列命题中正确的是 ()
A. 若 a∥M，b∥M，则 a∥b B. 若 a∥M，b⊥a，则 a⊥M
C. 若 b⊂M，a⊥b，则 a⊥M D. 若 a⊂M，a⊥N，则 M⊥N
20. 在正方体 ABCD−A B C D 中，O 是底面 ABCD 的中心，M,N 分别是棱 DD ，
1 1 1 1 1
D C 的中点，则直线 OM ()
1 1
A. 是 AC 和 MN 的公垂线 B. 垂直于 AC ，但不垂直于 MN
C. 垂直于 MN ，但不垂直于 AC D. 与 AC，MN 都不垂直
二、填空题（共5小题；）
21. 在 四 棱 锥 P−ABCD 中 ， 底 面 ABCD 是 矩 形 ， AB=2， BC=a， 又 侧 棱
PA⊥底面ABCD，则当 a= 时，BD⊥平面PAC．
22. 空间四边形 ABCD 的四条边相等，则对角线 AC 与 BD 的位置关系为 ．23. 在正方体 ABCD−A B C D 中，O 是底面 ABCD 的中心，E，F，G，H 分别是 A A ，
1 1 1 1 1
BB ，CC ，DD 的中点，请写出一个与 A O 垂直的平面： ．
1 1 1 1
24. 已知平面 α，β 和直线 m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β．当满足
条件 时，有 m⊥β．
25. 如图梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90∘，AD:BC:AB=2:3:4，E，F 分别是 AB，
CD 的中点，将四边形 ADFE 沿直线 EF 进行翻折，给出四个结论：
① DF⊥BC；
② BD⊥FC；
③ 平面DBF⊥平面BFC；
④ 平面DCF⊥平面BFC．
在翻折过程中，可能成立的结论是 ．（填写结论序号）
三、解答题（共5小题；）
√2
26. 在四面体 ABCD 中，AC=BD，E，F 分别为 AD，BC 的中点，且 EF= AC，
2
∠BDC=90∘，求证：BD⊥平面ACD．
27. 已知 α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l．求证：l⊥γ．
28. 如图，在正方体 ABCD−A B C D 中，O 是 AC 的中点，E 是线段 D O 上一点，且
1 1 1 1 1
∣D E∣=λ∣EO∣．
1
（1）求证：DB ⊥平面CD O；
1 1
（2）若 平面CDE⊥平面CD O，求 λ 的值．
1
29. 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD−A B C D 中，点 E 是棱 BC 的中点，点 F 是棱
1 1 1 1
CD 上的动点．试确定点 F 的位置，使得 D E⊥平面AB F．
1 130. 如图，在三棱锥 S−ABC 中，∠ABC=90∘，D 是 AC 的中点，且 SA=SB=SC．
（1）求证：SD⊥平面ABC；
（2）若 AB=BC，求证：BD⊥平面SAC．答案
第一部分
1. B
2. A 【解析】①③能保证这条直线垂直于该平面内的两条相交直线，②④中的两直线有可能是平行
的．
3. D 【解析】当直线与已知平面垂直时，过该直线有无数个平面与已知平面垂直，当直线与已知平
面不垂直时，有且只有一个过该直线的平面与已知平面垂直．
4. B 【解析】因为直线 l 在平面 α 内，也可以与平面 α 内的无数条直线垂直，
所以“直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直”不是“直线 l 与平面 α 垂直”的充分条件；
若直线 l 与平面 α 垂直，则直线 l 与平面 α 内的所有直线都垂直，
所以“直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直”是“直线 l 与平面 α 垂直”的必要条件．
5. D
6. C
7. B
8. D 【解析】②③④正确．
9. A 【解析】第一个正方体中易得 CD⊥AB
10. A
【解析】若存在 1 条，则 α⊥β，与已知矛盾．
11. D 【解析】由题意，A中，若 l∥α，m⊂α，则 l∥m 或 l 与 m 异面，所以不正确；
B中，若 l∥α，m∥α，则 l∥m 或 l 与 m 相交或异面，所以不正确；
C中，若 l⊥m，m⊂α，则 l⊥α 或 l 与平面 α 斜交或平行，所以不正确；
D中，若 l⊥α，l∥m，则 m⊥α 是正确的，故选D．
12. D 【解析】对于选项A，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件 m⊂α，故不正确；
对于选项B，因为 α 与 β 可能平行，也可能相交，所以 m 与 β 不一定垂直，故不正确；
对于选项C，因为 α 与 β 可能平行，也可能相交，所以 m 与 β 不一定垂直，故不正确；
对于选项D，由 n⊥α，n⊥β，可得 α∥β，而 m⊥α，则 m⊥β，故正确
13. B
14. C
15. A
【解析】
如图所示，连接 AC ，
1
因为 ∠BAC=90∘，
所以 CA⊥AB．
又 BC ⊥AC，
1所以 AC⊥平面ABC ．
1
因为 C H⊥平面ABC，
1
所以 CA⊥C H．
1
所以 CA⊥平面C BH．
1
又 平面ABC ∩平面C BH=BC ，
1 1 1
所以平面 ABC 与平面 C BH 是同一个平面．
1 1
所以 H 必在直线 AB 上．
16. C 【解析】对于A，PA 垂直于以 AB 为直径的圆所在平面，而 BC⊂ 底面圆面，则
PA⊥BC，
又由圆的性质可知 AC⊥BC，且 PA∩AC=A，
则 BC⊥平面PAC．所以A正确；
对于B，由A可知 BC⊥AE，由题意可知 AE⊥PC，且 BC∩PC=C，所以 AE⊥平面PCB，
而 EF⊂平面PCB，所以 AE⊥EF，所以B正确；
对于C，由B可知 AE⊥平面PCB，因而 AC 与 平面PCB 不垂直，所以 AC⊥PB 不成立，
所以C错误；
对于D，由A，B可知，BC⊥平面PAC，BC⊂平面PCB，由面面垂直的性质可得
平面AEF⊥平面PBC．所以D正确；
综上可知，C为错误选项．故选：C．
17. C 【解析】如图，
AO⊥α，则 AO⊥BC，又 AC⊥BC，
所以 BC⊥平面AOC，则 BC⊥OC，
在 Rt△AOB 中，由已知可得 OB=6√3，
则在平面 α 中，要使 △OCB 是以 OB 为斜边的直角三角形，
则 BC∈(0,6√3)．
18. C 【解析】如图，
正方体 ABCD−A B C D 中，对角线 BD 垂直于平面 AB C，且三角形 AB C 为等边三角
1 1 1 1 1 1 1
形，正方体绕对角线旋转 120∘ 能与原正方体重合．19. D
20. A
第二部分
21. 2
22. 垂直
【解析】取 AC 中点 E，连 BE 、 DE．
由 AB=BC 得 AC⊥BE．
同理 AC⊥DE，所以 AC⊥ 面 BED．
因此，AC⊥BD．
23. 平面 BDG（平面 C HF 、平面 AHF 、平面 EB D 均可，答案不唯一）
1 1 1
24. ②④
25. ②③
【解析】因为 BC∥AD，AD 与 DF 相交不垂直，所以 BC 与 DF 不垂直，则①错误；
设点 D 在平面 BCF 上的射影为点 P，当 BP⊥CF 时就有 BD⊥FC，而
AD:BC:AB=2:3:4，可使条件满足，所以②正确；
当点 P 落在 BF 上时，DP⊂平面BDF，从而 平面BDF⊥平面BCF，所以③正确；
因为点 D 的投影不可能在 FC 上，所以 平面DCF⊥平面BFC 不成立，即④错误．
第三部分
26. 取 CD 的中点 G，连接 EG，FG．
易证 EG⊥FG，
所以 BD⊥AC．
又因为 BD⊥CD，AC∩CD=C，
所以 BD⊥平面ACD．
27. 方法一：在 γ 内取一点 P，作 PA 垂直于 α 与 γ 的交线，垂足为 A，作 PB 垂直于 β 与
γ 的交线，垂足为 B，因为 α⊥γ，β⊥γ，
所以 PA⊥α，PB⊥β，
因为 α∩β=l，
所以 l⊥PA，l⊥PB，
因为 PA∩PB=P，PA⊂γ，PB⊂γ，
所以 l⊥γ．
方法二：在 α 内作直线 m 垂直于 α 与 γ 的交线，在 β 内作直线 n 垂直于 β 与 γ 的交线，
因为 α⊥γ，β⊥γ，
所以 m⊥γ，n⊥γ，
所以 m∥n，
又 n⊂β，
所以 m∥β，
又 m⊂α，α∩β=l，
所以 m∥l，
所以 l⊥γ．
28. （1） 连接 B D，
1
因为 D D⊥平面ABCD，
1
所以 D D⊥AC，
1
又 AC⊥BD，BD∩DD =D，
1所以 AC⊥平面D DBB ，
1 1
又因为 B D⊂平面D DBB ，
1 1 1
所以 AC⊥B D，
1
同理可证 D C⊥B D，
1 1
又因为 AC∩D C=C，
1
所以 DB ⊥平面CD O．
1 1
（2） 连接 AD ，
1
因为 O 为 AC 的中点，
所以在 △D AC 中，D O⊥AC，
1 1
又因为 D D⊥AC，D O∩D D=D ，
1 1 1 1
所以 AC⊥平面D OD，
1
又因为 DE⊂平面D OD，
1
所以 AC⊥DE，
要使 平面CDE⊥平面CD O，只需 DE⊥平面CD O，即需 DE⊥D O（因为 DE⊥AC，
1 1 1
所以 DE⊥平面CD O），
1
设 D D=2，则 DO=√2，
1
所以在 Rt△D DO 中，OD =√6，
1 1
2√2 2√3
所以 DE= = ，
√6 3
√ (2√3) 2 2√6
所以 D E= 4− = ，
1 3 3
√6
所以 EO= ，
3
D E
所以 1 =2，
EO
因为 ∣D E∣=λ∣EO∣，
1
所以 λ=2．
29. 连接 A B，CD ，
1 1则 A B⊥AB ，A D ⊥AB ，又 A D ∩A B=A ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以 AB ⊥平面A BCD ，
1 1 1
又 D E⊂平面A BCD ，
1 1 1
所以 AB ⊥D E．
1 1
因为 D E⊥平面AB F⇔D E⊥AF，
1 1 1
连接 DE，则 DE 是 D E 在底面 ABCD 内的射影．
1
所以 D E⊥AF⇔DE⊥AF．
1
因为四边形 ABCD 是正方形，E 是 BC 的中点，
所以当且仅当 F 是 CD 的中点时，DE⊥AF，
即当点 F 是 CD 的中点时，D E⊥平面AB F．
1 1
30. （1） 因为 SA=SC，D 是 AC 的中点，
所以 SD⊥AC．
在 Rt△ABC 中，AD=BD，
由已知 SA=SB，
所以 △ADS≌△BDS，
所以 SD⊥BD．
又 AC∩BD−D，AC,BD⊂平面ABC，
所以 SD⊥平面ABC．
（2） 因为 AB=BC，D 为 AC 的中点，
所以 BD⊥AC．
由（1）知 SD⊥BD．
又因为 SD∩AC=D，SD,AC⊂平面SAC，
所以 BD⊥平面SAC．
