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专题 08 一线三等角相似、三垂直模型压轴题专题
（原卷版）
一线三等角概念
“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个
角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”
等，以下称为“一线三等角”。
“一线三等角”的两种基本类型
1. 三等角都在直线的同侧
2.三等角分居直线的两侧
3.在初三各学校的考试和中考试题中，一线三等角的相似属于压轴题的热点题型之一，本专题从中考试题
和初三各名校的试题中，精选一线三等角相似模型的经典好体，并根据角度区别把一线三等角模型细分为
三类题型：三垂直模型、一线三锐角、一线三钝角，适合于初三学生进行压轴题专项突破时使用。
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类型一：三垂直模型
1.（雅礼）如图，点 是双曲线 上一动点，连接 ，作 ，使 ，当点
在双曲线 上运动时，点 在双曲线 上移动，则 的值为 .
y
B
x
O
A
4 k
y=− (x<0) y=
2.（青竹湖）如图，
∠AOB=90°
，反比例函数
x
的图象过点
A(−1,a)
，反比例函数
x
(k>0,x>0) 的图象过点B，且 AB//x 轴，过点B作 MN//OA ，交x轴于点M ，交y轴于点 N ，交双
k
y=
x ΔOBC
曲线 于另一点，则 的面积为 .
y
N
C
A B
O M x
3．（广益）如图，点A，B在反比例函数y＝ （k＞0）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为
1，OA⊥AB，则k的值为 ．
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4．（长沙中考2020）在矩形ABCD中，E为 上的一点，把 沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上
的点F．
（1）求证：
（2）若 ，求EC的长；
（3）若 ，记 ，求 的值．
5.（广益）矩形 中， ， ，将矩形折叠，使点 落在点 处，折痕为 ．
（1）如图1，若点 恰好在边 上．
①求证：△ ∽△ ；②求 的长；
（2）如图2，若 是 的中点， 的延长线交 于点 ，求 的长．
A D A D
E E
P
B C B C
P F
图1 图2
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6．（长郡）如图，在平面直角坐标系中， 为原点，已知点 是射线 上一点， ，点 是
轴正半轴上一点， ，连接 ， 经过点 且与 相切于点 ，与边 相交于另一点 ．
(1)若圆心 在 轴上，求 的半径；
(2)若圆心 在 轴的上方，且圆心 到 轴的距离为 ，求 的半径；
(3)在（2）的条件下，若 ，点 是经过点 ， ， 的抛物线上的一个动点，点 为 轴上的一个
动点，若满足 的点 共有 个，求点 的横坐标的取值范围．
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7.（麓山国际）有一边是另一边的 倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的
夹角叫做智慧角．
（1）已知Rt△ABC为智慧三角形，且Rt△ABC的一边长为 ，则该智慧三角形的面积为 ；
（2）如图①，在△ABC中，∠C＝105°，∠B＝30°，求证：△ABC是智慧三角形；
（3）如图②，△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，A（3，0），点B，C在函数y＝
上（x＞0）的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为 ．当△ABC是直角三角形时，求k的
值．
类型二：一线三锐角
8.（师大梅溪湖）如图，在△ABC中， ， ， ， ， ，则
CD的长为________.（提示，作辅助线构造一线三等角的相似）
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5．（青竹湖）如图，在△ABC中，∠B＝∠ACB＝45°，AB＝6 ，点D是BC上一点，作DE⊥AD交射
线AC于E，DF平分∠ADE交AC于F．
（1）求证：AB•CF＝BD•CD；
（2）如图2，当∠AED＝75°时，求CF的长；
（3）若CD＝3BD，求 ．
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10.（广益）如图1，已知直线 （k为常数，k≠0）与x轴相交于点A，点B与点A关于y轴对称
点C在y轴的正半轴上， ，连接AC，BC。
（1）求△ABC的面积及sin∠ACB；
（2）如图2，已知P，Q分别是线段AC，BC上的一动点，且始终满足∠POQ=60°。
①求AP·BQ的值及△CPQ面积的最大值；
②当△AOP与△OQP的面积相等时，抛物线 经过P，Q两点，经过点P的直线
满足：
对于任意的实数x，都有 成立。记 ，若函数 与x轴相交于M，N两点，且线段MN≤1，
求a的取值范围。
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类型三：一线三钝角
11.（2016年长沙中考）如图，直线l：y=﹣x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P，Q是直线l上的两
个动点，且点P在第二象限，点Q在第四象限，∠POQ=135°．
（1）求△AOB的周长；
（2）设AQ=t＞0，试用含t的代数式表示点P的坐标；
（3）当动点P，Q在直线l上运动到使得△AOQ与△BPO的周长相等时，记tan∠AOQ=m，若过点A的二
次函数y=ax2+bx+c同时满足以下两个条件：
①6a+3b+2c=0；
②当m≤x≤m+2时，函数y的最大值等于 ，求二次项系数a的值．
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12．（2023·浙江宁波·校考三模）点C在 的延长线上，且 ，
（1）如图（1），若 ，求证： ；
【思考探究】
（2）如图（2），若 ， ，若 ，求 的值；
【拓展延伸】
（2）如图（3），连接 ，若 ， ，若 ，求n的值．
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