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强化训练 11 统计中的综合问题
1．为确保食品安全，某市质检部门检查了1 000袋方便面的质量，抽查总量的2%，在这个
问题中，下列说法正确的是( )
A．总体是指这1 000袋方便面
B．个体是1袋方便面
C．样本是按2%抽取的20袋方便面
D．样本容量为20
答案 D
解析 总体是指这1 000袋方便面的质量，A中说法错误；个体是指1袋方便面的质量，B
中说法错误；样本是指按照2%抽取的20袋方便面的质量，C中说法错误；样本容量为20，
D中说法正确．
2．总体由编号为01,02，…，39,40的40个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，
选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选
出来的第5个个体的编号为( )
50 44 66 44 21 66 06 58 05 62 61 65 54 35 02 42 35 48 96 32
14 52 41 52 48 22 66 22 15 86 26 63 75 41 99 58 42 36 72 24
58 37 52 18 51 03 37 18 39 11
A．23 B．21 C．35 D．32
答案 B
解析 随机数表第1行的第6列和第7列数字为6,4，所以从这两个数字开始，由左向右依
次选取两个数字如下，64,42,16,60,65,80,56,26,16,55,43,50,24,23,54,89,63,21,45，…，其中落
在编号01,02，…，39,40内的有16,26,24,23,21，…，故第5个编号为21.
3．设样本数据x ，x ，x ，…，x ，x 的平均数和方差分别为2和8，若y＝2x＋m(m为非
1 2 3 19 20 i i
零常数，i＝1,2,3，…，19,20)，则y，y，y，…，y ，y 的平均数和标准差为( )
1 2 3 19 20
A．2＋m,32 B．4＋m,4
C．2＋m,4 D．4＋m,32
答案 B
解析 设样本数据x的平均数为，方差为s2，标准差为s，则新样本y＝2x＋m的平均数为2
i i i
＋m，方差为22s2，标准差为2s，所以＝2＋m＝4＋m，s2＝8，所以标准差为s＝2，所以2s
＝2×2＝4.
4．为检测某药品服用后的多长时间开始有药物反应，现随机抽取服用了该药品的 1 000人，其服用后开始有药物反应的时间(分钟)与人数的数据绘成的频率分布直方图如图所示．若将
直方图中分组区间的中点值设为解释变量x(分钟)，这个区间上的人数为y(人)，易见两变量
x，y线性相关，那么一定在其线性回归直线上的点为( )
A．(1.5,0.10) B．(2.5,0.25)
C．(2.5,250) D．(3,300)
答案 C
解析 由频率分布直方图可知，第一个区间中点坐标，x ＝1.0，y ＝0.10×1 000＝100，第二
1 1
个区间中点坐标，x ＝2.0，y ＝0.21×1 000＝210，第三个区间中点坐标，x ＝3.0，y ＝
2 2 3 3
0.30×1 000＝300，第四个区间中点坐标，x ＝4.0，y ＝0.39×1 000＝390，则＝(x ＋x ＋x
4 4 1 2 3
＋x)＝2.5，＝(y＋y＋y＋y)＝250，则一定在其线性回归直线上的点为(，)＝(2.5,250)．
4 1 2 3 4
5．(多选)每年的台风都对泉州地区的渔业造成较大的经济损失．某保险公司为此开发了针
对渔船的险种，并将投保的渔船分为Ⅰ，Ⅱ两类，两类渔船的比例如图所示．经统计，2019
年Ⅰ，Ⅱ两类渔船的台风遭损率分别为15%和5%.2020年初，在修复遭损船只的基础上，
对Ⅰ类渔船中的20%进一步改造．保险公司预估这些经过改造的渔船2020年的台风遭损率
将降为3%，而其他渔船的台风遭损率不变．假设投保的渔船不变，则下列叙述中错误的是(
)
A．2019年投保的渔船的台风遭损率为10%
B．2019年所有因台风遭损的投保的渔船中，Ⅰ类渔船所占的比例不超过80%
C．预估2020年Ⅰ类渔船的台风遭损率会小于Ⅱ类渔船的台风遭损率的两倍
D．预估2020年经过进一步改造的渔船因台风遭损的数量少于Ⅱ类渔船因台风遭损的数量
答案 ABC
解析 设全体投保的渔船为t艘.2019年投保的渔船的台风遭损率为60%·15%＋40%·5%＝
11%，故A错；2019年所有因台风遭损的投保的渔船中，Ⅰ类渔船所占的比例为＝>，故B
错；预估2020年Ⅰ类渔船的台风遭损率为20%·3%＋80%·15%＝12.6%>2×5%，故C错；
预估2020年经过进一步改造的渔船因台风遭损的数量t·60%·20%·3%少于Ⅱ类渔船因台风遭
损的数量t·40%·5%，故D正确．6．(多选)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元) 2 3 4 5 6
销售额y(万元) 19 25 34 38 44
根据上表可得线性回归方程为y＝6.3x＋a，下列说法错误的是( )
A．回归直线y＝6.3x＋a必经过样本点(2,19)，(6,44)
B．这组数据的样本点中心(，)未必在回归直线y＝6.3x＋a上
C．回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额实际增加6.3万元
D．据此模型预报广告费用为7万元时销售额为50.9万元
答案 ABC
解析 回归直线y＝6.3x＋a，不一定经过任何一个样本点，故A错；由最小二乘法可知，这
组数据的样本点中心(，)一定在回归直线y＝6.3x＋a上，故B错；回归系数6.3的含义是广
告费用每增加1万元，预测销售额增加6.3万元，故C错；＝(2＋3＋4＋5＋6)＝4，＝(19＋
25＋34＋38＋44)＝32，将(4,32)代入y＝6.3x＋a可得a＝6.8，则回归方程为y＝6.3x＋6.8，当
x＝7时，y＝6.3×7＋6.8＝50.9，故D正确．
7．登山族为了了解某山高y(km)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气
温，并制作了对照表：
气温x(℃) 18 13 10 －1
山高y(km) 24 34 38 64
由表中数据，得到线性回归方程y＝－2x＋a(a∈R)，由此估计出山高为72(km)处的气温为
________ ℃.
答案 －6
解析 由题意可得＝10，＝40，所以a＝＋2＝40＋2×10＝60，所以y＝－2x＋60，当y＝72
时，－2x＋60＝72，解得x＝－6.
8．检测600个某产品的质量(单位：g)，得到的频率分布直方图中，前三组的长方形的高度
成等差数列，后三组所对应的长方形的高度成公比为 0.5的等比数列，已知检测的质量在
100.5～105.5之间的产品数为150，则质量在115.5～120.5的长方形高度为________．
答案
解析 由题意知，产品质量在100.5～105.5之间的频率为＝，则前3个矩形的面积和为，后
两个矩形的面积和为.设中间矩形的面积为x，则后两个矩形的面积为x，x，则x＋x＝，所
以x＝，最后一个矩形的面积为，所以长方形的高度为.9．已知一组数据10,5,4,2,2,2，x，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则x所
有可能的取值为________．
答案 －11或3或17
解析 由题意可得这组数据的平均数为＝，
众数为2，若x≤2，可得＋2＝4，可得x＝－11；
若2≤x≤4，则中位数为x，可得2x＝＋2，可得x＝3；
若x≥4，则中位数为4，可得2×4＝＋2，可得x＝17.
10．某一电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是否喜欢西班牙队进行调查，40岁以上
调查了50人，不高于40岁调查了50人，所得数据制成如下列联表：
不喜欢西班牙队 喜欢西班牙队 总计
40岁以上 p q 50
不高于40岁 15 35 50
总计 a b 100
已知工作人员从所有统计结果中任取一个，取到喜欢西班牙队的人的概率为，则有超过
________的把握认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关．
参考公式与临界值表：K2＝.
P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
0
答案 95%
解析 设“从所有人中任意抽取一个取到喜欢西班牙队的人”为事件A，
由已知得P(A)＝＝，
所以p＝25，q＝25，a＝40，b＝60，
K2＝＝≈4.167>3.841，
故有超过95%的把握认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关．
11．成都是全国闻名的旅游城市，有许多很有特色的旅游景区．某景区为了提升服务品质，
对过去100天每天的游客数进行了统计分析，发现这100天每天的游客数都没有超出八千人，
统计结果见下面的频率分布直方图：
(1)估计该景区每天游客数的中位数和平均数；(2)为了研究每天的游客数是否和当天的最高气温有关，从这一百天中随机抽取了5天，统
计出这5天的游客数(千人)分别为0.8,3.7,5.1,5.6,6.8，已知这 5天的最高气温(℃)依次为
8,18,22,24,28.
(ⅰ)根据以上数据，求游客数y关于当天最高气温x的线性回归方程(系数保留一位小数)；
(ⅱ)根据(ⅰ)中的回归方程，估计该景区这100天中最高气温在20～26 ℃内的天数(保留整
数)．
参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是y＝bx＋a；
其中，b＝＝ ，a＝－b.
参考数据：(x－)(y－)＝70，(x－)2＝232.
i i i
解 (1)左边三个矩形的面积之和为0.32，左边四个矩形的面积之和大于0.5，故中位数在第
四个矩形中，
所以中位数为3＋×1＝3.75.
平均数为0.5×0.07＋1.5×0.09＋2.5×0.16＋3.5×0.24＋4.5×0.18＋5.5×0.14＋6.5×0.07＋
7.5×0.05＝3.82，
所以，该景区这一百天中每天游客数的中位数约为3 750人，平均数约为3 820人．
(2)(ⅰ)＝20，＝4.4，b＝≈0.3，a＝－b＝4.4－0.3×20＝－1.6，
所以y＝0.3x－1.6.
(ⅱ)当最高气温在20～26 ℃内时，
当x＝20时，y＝0.3×20－1.6＝4.4；
当x＝26时，y＝0.3×26－1.6＝6.2.
根据y＝0.3x－1.6得游客数在4.4～6.2内，
直方图中这个范围内方块的面积为(5－4.4)×0.18＋0.14＋(6.2－6)×0.07＝0.262，
天数为0.262×100≈26，
所以，这100天中最高气温在20～26 ℃内的天数约为26天．
12．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应
或开始呈现该疾病对应的相关症状的这一阶段称为潜伏期．各种传染疾病的潜伏期不同，数
小时、数天、甚至数月不等．某市疾病预防控制中心统计了该市200名传染病患者的相关信
息，得到如下表格：
潜伏期(单位：天) [0,2] (2,4] (4,6] (6,8] (8,10] (10,12] (12,14]
人数 17 43 60 50 26 3 1
(1)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，根据上表数据
将如下列联表补充完整，并根据列联表判断是否有99%的把握认为该传染病的潜伏期与患
者年龄有关．
潜伏期≤6天 潜伏期>6天 总计50岁以上(含50岁) 100
50岁以下 55
总计 200
(2)将200名患者的潜伏期超过6天的频率视为该市每名患者潜伏期超过6天发生的概率，每
名患者的潜伏期是否超过6天相互独立．为了深入研究，该市疾病预防控制中心随机调查了
该地区30名患者，其中潜伏期超过6天的人数为X，求随机变量X的均值和方差．
附：
P(K2≥k) 0.05 0.025 0.010
0
k 3.841 5.024 6.635
0
K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
解 (1)由题意得列联表：
潜伏期≤6天 潜伏期>6天 总计
50岁以上(含50岁) 75 25 100
50岁以下 45 55 100
总计 120 80 200
由上表可得K2＝＝18.75>6.635，
所以有99%的把握认为该传染病的潜伏期与患者年龄有关．
(2)由题意可知，一名患者潜伏期超过6天的概率为P＝＝，
随机变量服从X～B，
所以E(X)＝30×＝12.
D(X)＝30××＝.
13．如图是2020年2月15日至3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例的折线统计图．则下
列说法不正确的是( )
A．武汉市新冠肺炎疫情防控取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低
B．2020年2月19日武汉市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数C．2020年2月15日到3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例最多的一天比最少的一天多
1 549人
D．2020年2月19日至3月2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于400人的有8天
答案 C
解析 由折线图数据分析得知ABD正确，1 690－111＝1 579，故C不正确．
14．邢台市物价部门对市区的天一城、北国商城、恒大城、家乐园、中北世纪城 5家商场的
某件商品在7月15号一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间
的一组数据如下表所示：
售价x 8.5 9 m 11 11.5
销售量y 12 n 6 7 5
已知销售量y与售价x之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是y＝－3.2x＋40，且m
＋n＝20，则其中的m＝________.
答案 10
解析 依题意得＝，＝，
代入线性回归方程得＝－3.2×＋40，①
根据题意知m＋n＝20，②
解①②组成的方程组得m＝n＝10.
15．已知一组数据丢失了其中一个，另外六个数据分别是10,8,8,11,16,8，若这组数据的平均
数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为( )
A．12 B．20 C．25 D．27
答案 D
解析 设这个数字是x，则平均数为，众数是8，
若x≤8，则中位数为8，此时x＝－5，
若8E(Y)，所以该县城选择购买一台甲款垃圾处理机器更划算．
