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专题 08 三角形及全等三角形
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（2大模块知识梳理）
知识模块一：三角形
知识模块二：全等三角形
03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（10大基础考点）
考点一：三角形的稳定性
考点二：与五线有关的计算
考点三：与五线有关的作图问题
考点四：利用三角形三边关系求解
考点五：三角形内角和定理与外角和定理的综合考点六：利用全等三角形的性质求解【热考】
考点七：全等三角形证明方法的合理选择
考点八：利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题考点九：利用全等三角形解决实际问题
考点十：全等三角形与相似三角形综合
04 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。（5大重难点）
重难点一：添加辅助线证明两个三角形全等-构造平行线
重难点二：添加辅助线证明两个三角形全等-构造垂线
重难点三：添加辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法
重难点四：添加辅助线证明两个三角形全等-截长补短法
重难点五：与全等三角形有关的基础模型-一线三等角【热考】
重难点六：与全等三角形有关的基础模型-手拉手模型【热考】
05 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，冲刺高分。（4大易错点）
易错点1：对三角形的高理解不到位
易错点2：与三角形高有关的分类讨论问题
易错点3：在等腰三角形中，忽略三边关系而致错【失分点】
易错点4：未掌握全等三角形的判定定理
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知识模块一：三角形
知识点一：三角形的相关概念
三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
三角形的表示：用符号“Δ”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”.
【补充】三角形的表示方法中“Δ”代表“三角形”,后边的字母为三角形的三个顶点，字母的顺序可以自
由安排， 即∆ABC, ACB等均为同一个三角形.
三角形的稳定性: 三角形∆ 三条边确定之后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳
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定性.
【补充】四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样
多边形就具有稳定性了.
三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．
三角形三边关系的应用：
1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形．
2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b
3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形．
知识点二：与三角形的有关线段（掌握）
类型 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
从三角形的一个顶点向它的对 三角形一个内角的平分线与它的对
文字 三角形中，连接一个顶点和它对边
边所在的直线作垂线，顶点和 边相交，这个角的顶点与交点之间
语言 中点的线段．
垂足之间的线段． 的线段．
图形
语言
∵AD是∆ABC中BC边的高 ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线
∴∠ADB=∠ADC=90° 1
∴∠BAD=∠DAC= ∠BAC
性质 2
S =S =
∴BD=CD △ABD △ADC
S
△ABC
用途
1）线段垂直．2）角度相等． 1）线段相等．2）面积相等． 角度相等．
举例
类型 三角形的中位线 三角形的垂直平分线
文字
连接三角形两边中点的线段 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线
语言
图形
语言
∵DE是∆ABC的中位线 ∵直线l是AB的垂直平分线
性质 1 ∴PA=PB, AC=BC, ∠PCA=∠PCB=90°
∴DE= BC DE∥BC
2
用途
1）线段平行．2）线段关系． 1）线段相等．2）角度相等．
举例
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知识点三：与三角形有关的角（掌握）
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．
推论：直角三角形的两个锐角互余.
三角形的内角和定理的应用：
1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数；
2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数；
3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数.
三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．
三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
知识模块二：全等三角形
知识点一：全等三角形的概念
全等图形的概念：能完全重合的两个图形叫做全等图形.
特征：①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.④周长、面积相等.
全等三角形的概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
【补充】
1）全等三角形是特殊的全等图形，同样的，判断两个三角形是否为全等三角形，主要看这两个三角形的
形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关.
2）形状相同的两个图形不一定是全等图形，面积相同的两个图形也不一定是全等图形.
全等三角形的表示：全等用符号“≌”，读作“全等于”.
【补充】书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上. 如△ABC和△DEF全等，记作
△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF.
全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换.
常见的全等变换：平移变换、翻折变换、旋转变换，即过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等
图形.
知识点二：全等三角形的性质与判定
全等三角形的性质：1）全等三角形的对应边相等，对应角相等.
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2）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等．
3）全等三角形的周长相等，面积相等（但周长或面积相等的三角形不一定是全等三角
形）.
全等三角形的判定：
1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；
2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；
【易错】
①只有两边及其夹角分别对应相等，才能判定两个三角形全等，“边边角”不能判定三角形全等；
A D
例:
B C E F
②在书写过程中，要按照边角边对应顺序书写，即对应顶点的字母写在对应的位置上.
3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；
4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或
“AAS”）；
5）斜边、直角边：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或
“HL”）．
【总结】从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个
元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的
边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路.
考点一：三角形的稳定性
1．（2023·吉林·中考真题）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ．
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2．（2022·广东·中考真题）下列图形中具有稳定性的是（ ）．
A．三角形 B．长方形 C．正方形 D．平行四边形
3．（2024·吉林长春·一模）四边形结构在生活实践中有着广泛的应用，如图所示的升降机，通过控制平行
四边形形状的升降杆，使升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是（ ）
A．平行四边形的对边相等 B．平行四边形的对角相等
C．四边形的不稳定性 D．四边形的内角和等于360°
考点二：与五线有关的计算
1．（2024·山东德州·中考真题）如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，AD=4，S =12，则BE
△ABC
的长为（ ）
A．1.5 B．3 C．4 D．6
2．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，在△ABC中，AC=2√2，∠ACB=120°，D是边AB的中点，E
是边BC上一点，若DE平分△ABC的周长，则DE的长为（ ）
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√5 √2+1
A． B． C．√2 D．√3
2 2
3．（2021·辽宁阜新·中考真题）如图，直线AB//CD，一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD
上，EG平分∠CEF，则∠1的度数为 °．
1
4．（2024·山东济南·中考真题）如图，在正方形ABCD中，分别以点A和B为圆心，以大于 AB的长为
2
半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线EF，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交直线EF于点G
（点G在正方形ABCD内部），连接DG并延长交BC于点K．若BK=2，则正方形ABCD的边长为
（ ）
5 3+√5
A．√2+1 B． C． D．√3+1
2 2
5．（2024·四川巴中·中考真题）如图， ▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是BC的中点，
AC=4．若 ▱ABCD的周长为12，则△COE的周长为（ ）
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A．4 B．5 C．6 D．8
考点三：与五线有关的作图问题
1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知：△ABC．
(1)尺规作图：画出△ABC的重心G．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，连接AG，BG．已知△ABG的面积等于5cm2，则△ABC的面积是______cm2．
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的7×5网格，每个小正方形的顶点叫做格点．
△ABC的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图1中，BD平分∠ABC交边AC于点D，先画出△ABC的角平分线AE，再在射线BD上画点F，连
1
接AF，使得AF= BD；
2
(2)在图2中，先画△ABC的高AH，再画∠AHC的平分线HP．
3．（2024·吉林·模拟预测）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小
正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点上，点G是图③中边AC上的任意一点：只用无刻度的直尺
按下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
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(1)在图①中作边BC上的高AD；
(2)在图②中作△ABC的中位线EF，使点E、F分别在边AC、AB上；
(3)在图③中△ABC的边AB上找到一点H，使AH=AG．
考点四：利用三角形三边关系求解
1．（2023·江苏盐城·中考真题）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三
角形的是（ ）
A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12
2（2023·山东·中考真题）在△ABC中，BC=3,AC=4，下列说法错误的是（ ）
A．1<AB<7 B．S ≤6
△ABC
C．△ABC内切圆的半径r<1 D．当AB=√7时，△ABC是直角三角形
3．（2023·河北·中考真题）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．
当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
考点五：三角形内角和定理与外角和定理的综合
1．（2024·天津·中考真题）如图，Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=40°，以点A为圆心，适当长为半径画
1
弧，交AB于点E，交AC于点F；再分别以点E,F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧（所在圆的
2
半径相等）在∠BAC的内部相交于点P；画射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC的大小为（ ）
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A．60∘ B．65∘ C．70∘ D．75∘
2．（2024·四川凉山·中考真题）如图，△ABC中，∠BCD=30°，∠ACB=80°，CD是边AB上的高，
AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是 ．
3．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D．交AB于点E．连接
CE．若CE=CA，∠ACE=40°，则∠B的度数为 ．
考点六：利用全等三角形的性质求解
1．（2024·四川资阳·中考真题）第14届国际数学教育大会（JCME−14）会标如图1所示，会标中心的图
案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，
△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH=1：3，则
sin∠ABE=（ ）
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√5 3 4 2√5
A． B． C． D．
5 5 5 5
2．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在△ABC中，点A的坐标为(0,1)，点B的坐标为(4,1)，点C的坐标
为(3,4)，点D在第一象限（不与点C重合），且△ABD与△ABC全等，点D的坐标是 ．
3．（2024·四川遂宁·中考真题）如图1，△ABC与△A B C 满足∠A=∠A ，AC=A C ，BC=B C ，
1 1 1 1 1 1 1 1
∠C≠∠C ，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在△ABC中，AB=AC，点D,E在线
1
段BC上，且BE=CD，则图中共有“伪全等三角形”（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
考点七：全等三角形证明方法的合理选择
1．（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接
EA、EC．
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(1)求证：△EAB≌△ECB；
(2)若∠AEC=45°，求证：DC=DE．
2．（2023·四川绵阳·中考真题）如图， ▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且
AE=CF．
(1)求证：BE∥DF；
(2)过点O作OM⊥BD，垂足为O，交DF于点M，若△BFM的周长为12，求四边形BEDF的周长．
3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，△ABC中，∠ACB=90°，点O为AC边上一点，以点O为圆心，
OC为半径作圆与AB相切于点D，连接CD．
(1)求证：∠ABC=2∠ACD；
(2)若AC=8，BC=6，求⊙O的半径．
考点八：利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题
1．（2024·山东泰安·中考真题）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以顶点A，C为圆心，大于
1
AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线MN分别与BC，AC交于点E和点F；以点A
2
1
为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于 HG的
2
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长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，若射线AP恰好经过点E，则下列四个结论：①∠C=30°；②
1
AP垂直平分线段BF；③CE=2BE；④S = S ．其中，正确结论的个数有（ ）
△BEF 6 △ABC
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024·北京·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，O为对角线的交点.将菱形ABCD绕
点O逆时针旋转90°得到菱形A'B'C'D'，两个菱形的公共点为E，F，G，H.对八边形BFB'GDH D'E
给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点O到该八边形各顶点的距
离都相等；
④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等。上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
3．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把
△ADE以A为中心顺时针旋转，点M为射线BD、CE的交点．若AB=√3，AD=1．以下结论：①
3−√3
BD=CE；②BD⊥CE；③当点E在BA的延长线上时，MC= ；④在旋转过程中，当线段MB最短
2
1
时，△MBC的面积为 ．其中正确结论有（ ）
2
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点九：利用全等三角形解决实际问题
1．（2024·山东·中考真题）【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离
【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具
【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点B．测量A，B两点间的距离以及
∠PAB和∠PBA，测量三次取平均值，得到数据：AB=60米，∠PAB=79°，∠PBA=64°．画出示意
图，如图
【问题解决】（1）计算A，P两点间的距离．
（参考数据：sin64°≈0.90，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：
如图2，选择合适的点D，E，F，使得A，D，E在同一条直线上，且AD=DE，∠≝=∠DAP，当F，
D，P在同一条直线上时，只需测量EF即可．
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（2）乙小组的方案用到了________．（填写正确答案的序号）
①解直角三角形 ②三角形全等
【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案．
2．（2024·四川宜宾·中考真题）宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正
面是长江）．某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点C、D，在地标广
场上选择两个观测点A、B（点A、B、C、D在同一水平面，且AB∥CD）．如图2所示，在点A处测得
点C在北偏西18.17°方向上，测得点D在北偏东21.34°方向上；在B处测得点C在北偏西21.34°方向上，
测得点D在北偏东18.17°方向上，测得AB=100米．求长江口的宽度CD的值（结果精确到1米）．（参
考数据：sin18.17°≈0.31，cos18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，sin21.34°≈0.36，
cos21.34°≈0.93，tan21.34°≈0.39）
3．（2024·河北石家庄·模拟预测）小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的
测量方案：先在池塘外的空地上任取一点O，连接AO，CO，并分别延长至点B，点D，使OB=OA，
OD=OC，连接BD．
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(1)如图1，①求证：AC=BD；②若∠A=35°，∠AOC=90°，则∠D=______°．
(2)如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长CO至点D，使OC=OD，
过点D作AC的平行线DE，延长AO至点F，连接EF，测得∠≝=120°，∠OFE=90°，DE=5m，
EF=9m，请求出池塘宽度AC．
考点十：全等三角形与相似三角形综合
1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边AD上，DE=2AE,F是BE
的中点，点H在CD边上，∠EFH=45°，则FH的长为（ ）．
3√10 3√5 5√5 2√10
A． B． C． D．
4 2 4 3
2．（2024·四川·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，连接BD，过点C作CE⊥AB，垂足
为E，CE交BD于点F，∠1=∠ABC．
(1)求证：∠2=∠3；
(2)若∠4=45°．
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①请判断线段BC，BD的数量关系，并证明你的结论；
②若BC=13，AD=5，求EF的长．
3．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在 ▱ABCD中，∠ABC为锐角，点E在边AD上，连接BE,CE，
且S =S ．
△ABE △DCE
(1)如图1，若F是边BC的中点，连接EF，对角线AC分别与BE,EF相交于点G,H．
①求证：H是AC的中点；
②求AG:GH:HC；
(2)如图2，BE的延长线与CD的延长线相交于点M，连接AM,CE的延长线与AM相交于点N．试探究线
段AM与线段AN之间的数量关系，并证明你的结论．
重难点一：添加辅助线证明两个三角形全等-构造平行线
1．（2024葫芦岛市模拟预测）【问题初探】
（1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点F是AC上一点，点E
是AB延长线上的一点，连接EF，交BC于点D，若ED=DF，求证：BE=CF．
①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段DC上截取DM，使DM=BD，连接
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FM，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论；
②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作EM∥AC交CB的延长线于点M，
利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论；
请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程；
【类比分析】
（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出
了新的问题，请你解答，
如图4，在△ABC中，点E在线段AB上，D是BC的中点，连接CE，AD，CE与AD相交于点N，若
∠EAD+∠ANC=180°，求证：AB=CN；
【学以致用】
（3）如图5，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AF平分∠BAC，点E在线段BA的延长线上
运动，过点E作ED∥AF，交AC于点N，交BC于点D，且BD=CD，请直接写出线段AE，CN和BC之
间的数量关系．
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2．（2024·江苏宿迁·模拟预测）【感知】（1）小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：
1
如图①，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC的一个三等分点，且AE= AC．连结AD，BE交
3
BG
于点G，求 值．
GE
小明发现，过点D作AC的平行线或过E作BC的平行线，利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．请
你根据小明的提示（或按自己的思路）写出求解过程
【尝试应用】
（2）如图②，在△ABC中，D为AC上一点，AB=AD，连结BD，若AE⊥BD，交BD、BC于点E、
F．若AD=9，CD=3，AF=8，则AE的长为 ．
【拓展提高】
（3）如图③，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，点F为CD上一点，BF与AE、AC分别交于
CF 2
点G、M，若 = ，若△BEG的面积为2，则△ABG的面积为 ．
CD 5
重难点二：添加辅助线证明两个三角形全等-构造垂线
1．（2024·山东青岛·中考真题）如图，将正方形ABCD先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方
形绕原点O顺时针方向旋转90°，得到四边形A'B'C'D'，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
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A．(−1,−2) B．(−2,−1) C．(2,1) D．(1,2)
2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．
如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是AC上的一个动点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED交BA延
长线于点F．
请你解决下面各组提出的问题：
(1)求证：AD=AF；
DF AD
(2)探究 与 的关系；
DE DC
AD 1 DF 2 AD 4 DF 8
某小组探究发现，当 = 时， = ；当 = 时， = ．
DC 3 DE 3 DC 5 DE 5
请你继续探究：
AD 7 DF
①当 = 时，直接写出 的值；
DC 6 DE
AD m DF
②当 = 时，猜想 的值（用含m，n的式子表示），并证明；
DC n DE
(3)拓展应用：在图1中，过点F作FP⊥AC，垂足为点P，连接CF，得到图2，当点D运动到使
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AD m AP
∠ACF=∠ACB时，若 = ，直接写出 的值（用含m，n的式子表示）．
DC n AD
3．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8，点E是边AD上的动点，连结
CE，以CE为边作矩形CEFG（点D，G在CE的同侧），且CE=2EF，连结BF．
(1)如图1，当点E为AD边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求BF的长．
(2)如图2，若∠BCE=30°，设CE与BF交于点K．求证：BK=FK．
(3)在点E的运动过程中，BF的长是否存在最大（小）值？若存在，求出BF的最值；若不存在，请说明理
由．
重难点三：添加辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法
1．（2024·吉林长春·一模）【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题：
如图①，在△ABC中，AB=6，AC=8，第三边上的中线AD=x，则x的取值范围是____．
【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法：
（1）如图②，延长AD至点A'，使得DA'=AD，连结A'C，根据“SAS”可以判定△ABD≌__________，
得出A'C=AB=6．在△A A'C中，A'C=6，AC=8，A A'=2x，故中线AD的长x的取值范围是
_______．
【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，
把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长
中线”法．
【问题解决】（2）如图③，已知AB=AC，AD=AE，∠BAE+∠CAD=180°，连接BE和CD，点F是
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CD的中点，连接AF．求证：BE=2AF．小明发现，如图④，延长AF至点A'，使F A'=AF，连接A'D，
通过证明△ABE≌△DA' A，可推得BE=A A'=2AF．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长AF至点A'，使F A'=AF，连接A'D，
∵点F是CD的中点，
∴CF=DF．
∵AF=A'F，∠AFC=∠A'FD，
∴ ，
△ACF≌△A'DF(SAS)
∴A'D=AC，∠A'DF=∠ACF，
∴A'D∥AC，∠A'DA+∠CAD=180°．
请你补全余下的证明过程．
【问题拓展】（3）如图⑤，在△ABC和△AEF中， AB=AE，AC=AF，∠BAC+∠EAF=180°，点
M，N分别是BC和EF的中点．若BC=4，EF=6，则MN的取值范围是 ．
重难点四：添加辅助线证明两个三角形全等-截长补短法
1．（2020·湖南湘西·中考真题）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，
BA=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．
探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG=AE，
连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFC≌△BFE，可得出结论，他的结论就是
_______________；
探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=2∠MBN，
∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直
接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由．
探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA=BC，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC=2∠MBN，
∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．
实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处舰艇乙在指挥中心
南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小
时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到
甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距
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离．
2．（2024·云南昆明·一模）如图，在⊙O中，AB是⊙O直径，AB=8，过AO的中点E作AB的垂线交
⊙O于点C和D，P是B´C上一动点．连接PA，PB，PC，PD．
(1)求A´C的长度；
(2)延长AP到点F，连接BF，使得FB2=FA⋅FP．求证：BF是⊙O的切线；
(3)猜想PA，PC，PD间的数量关系，并证明．
重难点五：与全等三角形有关的基础模型-一线三等角
4
1．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=− x+4与坐标轴交于A、B两点，若△ABC是等腰直
3
角三角形，求点C的坐标．
2．（2023·河南周口·三模）（1）问题发现：如图1，在△ABC中，∠ABC=α，将边AC绕点C顺时针旋
转α得到线段CE，在射线BC上取点D，使得∠CDE=α，线段BC与DE的数量关系是______；
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1
（2）类比探究：如图2，若α=90°，作∠ACE=90°，且CE= AC，其他条件不变，写出变化后线段
2
BC与DE的数量关系，并给出证明；
（3）拓展延伸：如图3，正方形ABCD的边长为6，点E是边AD上一点，且AE=2，把线段CE逆时针旋
转90°得到线段EF，连接BF，直接写出线段BF的长．
重难点六：与全等三角形有关的基础模型-手拉手模型
1．（2023·吉林长春·模拟预测）两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如
图2所示的△ABC和△AED，其中∠BAC=∠EAD=90°，点B、C、E依次在同一条直线上，连结CD．
若BC=4，CE=2，则△DCE的面积是 ．
2．（2022·安徽合肥·模拟预测）等腰直角ΔABC与等腰直角ΔCDE的直角顶点C重合．DE与AC相交于
F，CD的延长线交AB于G，连接BD．
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(1)如图1，求证：AC⋅CF=CE⋅CG；
(2)如图2，B，D，E在同一条直线上，取AB的中点M，分别连接MC，ME，求证：MC=ME；
(3)如图3，过A作BD的平行线，过B作AC的平行线，两线相交于H，且点H在CG的延长线上，若
AH
BC=2BH，求 的值．
DE
易错点1：对三角形的高理解不到位
1. 在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，
请你数一数，错误的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
易错点2：与三角形高有关的分类讨论问题
1．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）直角三角形的两条边长分别3和4，这个直角三角形斜边儿上的高
为 ．
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易错点3：在等腰三角形中，忽略三边关系而致错
1．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ．
2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程x2−10x+21=0的两个根，则这个三
角形的周长为（ ）
A．17或13 B．13或21 C．17 D．13
3. 已知一等腰三角形的周长为26，其中一边为6，则这个等腰三角形的腰长是（ ）
A．8 B．6或10 C．6 D．10
易错点4：未掌握全等三角形的判定定理
1．（2021·重庆·中考真题）如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB=∠DBC ，添加一个条件，不能证明
△ABC和△DCB全等的是（ ）
A．∠ABC=∠DCB B．AB=DC
C．AC=DB D．∠A=∠D
26
