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专题 13 全等模型-倍长中线与截长补短模型
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三
角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.倍长中线模型
【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添
加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角
形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【常见模型及证法】
1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.
证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则 ；若连结EC，则
；
2、中点型:如图2， 为 的中点.
证明思路：若延长 至点 ，使得 ，连结 ，则 ;
若延长 至点 ，使得 ，连结 ，则 .
3、中点+平行线型：如图3, ，点 为线段 的中点.
证明思路：延长 交 于点 (或交 延长线于点 )，则 .
例1．（2023·江苏徐州·模拟预测）（1）阅读理解：
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如图①，在 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围．
可以用如下方法：将 绕着点 逆时针旋转 得到 ，在 中，利用三角形三边的关系
即可判断中线 的取值范围是______；
（2）问题解决：如图②，在 中， 是 边上的中点， 于点 ， 交 于点 ，
交 于点 ，连接 ，求证： ；
（3）问题拓展：如图③，在四边形 中， ， ， ，以 为顶点作
一个 的角，角的两边分别交 、 于 、 两点，连接 ，探索线段 ， ， 之间的数量
关系，并说明理由．
【答案】（1） ；（2）见详解；（3） ，理由见详解
【分析】（1）根据旋转的性质可证明 ， ，在 中根据三角形三
边关系即可得出答案；（2）延长FD至M，使DF=DM，连接BM，EM，可得出 ，根据垂直平分
线的性质可得出 ，利用三角形三边关系即可得出结论；
（3）延长AB至N，使BN=DF，连接CN，可得 ，证明 ，得出
，利用角的和差关系可推出 ，再证明 ，得出
，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵
∴ ∴
在 中根据三角形三边关系可得出： ，即
∴ 故答案为： ；
（2）延长FD至M，使DF=DM，连接BM，EM，
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同（1）可得出 ，∵ ∴
在 中， ∴ ；
（3） ，理由如下：延长AB至N，使BN=DF，连接CN，
∵ ∴
∴ ∴
∵ ∴
∴ （SAS）∴
∴ ∴ ．
【点睛】本题考查的知识点有旋转的性质、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形三
边关系、角的和差等，解答此题的关键是作出辅助线，构造出与图①中结构相关的图形．此题结构精巧，
考查范围广，综合性强．
例2．（2023·贵州毕节·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得
到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．
(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并
说明理由．
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【答案】(1)见解析(2)AC=BF，理由见解析
【解析】（1）解：如图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，
在 ADC和 EDB中∵ ，∴ ADC≌ EDB（SAS）．∴BE=AC=3．
△ △ △ △
∵AB-BE
