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专题 13 全等模型-倍长中线与截长补短模型
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三
角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.倍长中线模型
【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添
加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角
形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【常见模型及证法】
1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.
证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则 ；若连结EC，则
；
2、中点型:如图2， 为 的中点.
证明思路：若延长 至点 ，使得 ，连结 ，则 ;
若延长 至点 ，使得 ，连结 ，则 .
3、中点+平行线型：如图3, ，点 为线段 的中点.
证明思路：延长 交 于点 (或交 延长线于点 )，则 .
例1．（2023·江苏徐州·模拟预测）（1）阅读理解：
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如图①，在 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围．
可以用如下方法：将 绕着点 逆时针旋转 得到 ，在 中，利用三角形三边的关系
即可判断中线 的取值范围是______；
（2）问题解决：如图②，在 中， 是 边上的中点， 于点 ， 交 于点 ，
交 于点 ，连接 ，求证： ；
（3）问题拓展：如图③，在四边形 中， ， ， ，以 为顶点作
一个 的角，角的两边分别交 、 于 、 两点，连接 ，探索线段 ， ， 之间的数量
关系，并说明理由．
例2．（2023·贵州毕节·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得
到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．
(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并
说明理由．
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例3．（2022·山东·安丘市一模）阅读材料：如图1，在 中，D，E分别是边AB，AC的中点，小亮在
证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使 ，连
接CF，证明 ，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．
类比迁移：（1）如图2，AD是 的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，且 ，求证：
．
小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图2，延长AD至点M，使 ，连接MC，……请根据小亮的思路完成证明过程．
方法运用：（2）如图3，在等边 中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线
段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，F是线段BE的中点，连接DF、CF．请你判断线段DF与AD
的数量关系，并给出证明．
例4．（2022·河南商丘·一模）阅读材料
如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等
于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，再证四边形
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DBCF是平行四边形即得证． (1)类比迁移：如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点
F，且AE＝EF，求证：AC＝BF．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图2，延长AD至点M，使MD＝FD，连接MC，……请根据小明的思路完成证明过程．
(2)方法运用：如图3，在等边△ABC中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段
CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE．F是线段BE的中点，连接DF，CF．请你判断线段DF与AD的
数量关系，并给出证明；
模型2.截长补短模型
【模型解读】
截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，
可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。
截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。
【常见模型及证法】
（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。
例：如图，求证BE+DC=AD
方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE
（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等
例：如图，求证BE+DC=AD
方法：①延长DC至点M处，使CM=BE，证DM=AD；②延长DC至点M处，使DM=AD，证CM=BE
例1．（2023·重庆·九年级专题练习）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，
CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．
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例2．（2023·广东肇庆·校考一模）课堂上，老师提出了这样一个问题：
如图1，在 中， 平分 交 于点D，且 ，求证： ，小明的
方法是：如图2，在 上截取 ，使 ，连接 ，构造全等三角形来证明．
(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段 构造全等三
角形进行证明．辅助线的画法是：延长 至F，使 =______，连接 请补全小天提出的辅助线的画法，
并在图1中画出相应的辅助线；
(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在 的内部， 分别平分 ，且 ．求证：
．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；
(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在 中， ，点D在边 上， ，那么 平分 小东判断这个
命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．
例3．（2023·广西·九年级专题练习）在四边形ABDE中，C是BD边的中点．
(1)如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为 ；
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（直接写出答案）；(2)如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、
DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．
例4．（2023·广东·九年级期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形 中，对角线 平分
， ．求证： ．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在 上截取 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长 到点 ，使得 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接 ，当 时，探究线段 ， ， 之间
的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形 中， ， ，过
点D作 ，垂足为点E，请直接写出线段 、 、 之间的数量关系．
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课后专项训练：
1．（2023秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，
则AD的长可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·浙江湖州·二模）如图，在四边形 中， ， ， ， ， ，
点 是 的中点，则 的长为（ ）．
A．2 B． C． D．3
3．（2022·广东湛江·校考二模）已知：如图， 中，E在 上，D在 上，过E作 于F，
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， ， ，则 的长为 ___________．
4．（2023秋·江西九江·八年级校考期末）如图，在 ABC中，点D是BC的中点，若AB＝5，AC＝13，
AD＝6，则BC的长为 ． △
5．（2023秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）（1）阅读理解：如图1，在 中，若 ， ．
求 边上的中线 的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长 至 ，使 ，连接 ．利用
全等将边 转化到 ，在 中利用三角形三边关系即可求出中线 的取值范围，在这个过程中小
聪同学证三角形全等用到的判定方法是___________，中线 的取值范围是___________；
（2）问题解决：如图2，在 中，点 是 的中点， ． 交 于点 ， 交 于
点 ．求证： ；
（3）问题拓展：如图3，在 中，点 是 的中点，分别以 为直角边向 外作
和 ，其中 ， ， ，连接 ，请你探索 与
的数量与位置关系．
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6．（2023·黑龙江大庆·统考三模）如图，四边形 中， °， 为边 上一点，连
接 ， ， 为 的中点，延长 交 的延长线于点 ， 交 于点 ，连接 交 于
点 ．
(1)求证 ；(2)若 ， ，求证：四边形 为矩形．
7．（2023·广东云浮·八年级统考期中）（1）阅读理解：如图①，在 中，若 ，求 边
上的中线 的取值范围．可以用如下方法：将 绕着点D逆时针旋转 得到 ，在
中，利用三角形三边的关系即可判断中线 的取值范围是_______；
（2）问题解决：如图②，在 中，D是 边上的中点， 于点D， 交 于点E，DF交
于点F，连接 ，求证： ；
（3）问题拓展：如图③，在四边形 中， ， ， ，以C为顶点作
一个 的角，角的两边分别交 于E、F两点，连接EF，探索线段 之间的数量关系，
并说明理由．
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8．（2023·江苏·九年级假期作业）（1）如图1，AD是 ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接
CE． △
①证明 ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是_______；
（2）如△图2，在 ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接
EF，求证：BE＋△CF＞EF．
9．（2022秋·北京昌平·九年级校联考期中）如图，O为四边形ABCD内一点，E为AB的中点，OA＝OD，
OB＝OC，∠AOB+∠COD＝ ．（1）若∠BOE＝∠BAO，AB＝ ，求OB的长；
（2）用等式表示线段OE和CD之间的关系，并证明．
10．（2022秋·安徽·九年级校联考阶段练习）安安利用两张正三角形纸片，进行了如下探究：
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【探究证明】（1）如图1， 和 均为等边三角形，连接 交 延长线于点 ，求证：
；
【拓展延伸】（2）如图2，在正三角形纸片 的 边上取一点 ，作 交 外角平
分线于点 ，探究 ， 和 的数量关系，并证明；
【思维提升】（3）如图3， 和 均为正三角形，当 ， ， 三点共线时，连接 ，若
，直接写出下列两式分别是否为定值，并任选其中一个进行证明：① ；②
．
11．（2023秋·河南驻马店·八年级统考期末）(1)阅读理解：
问题：如图1，在四边形 中，对角线 平分 ， ．求证： ．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在 上截取 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长 到点 ，使得 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
(2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接 ，当 时，探究线段 ， ， 之间的数量
关系，并说明理由；
(3)问题拓展：如图3，在四边形 中， ， ，过点 作 ，垂足为点
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，请写出线段 、 、 之间的数量关系并说明理由．
12．（2023·浙江衢州·校考一模）如图1，在 中， ， 平分 ，连接 ，
， ．
(1)求 的度数；(2)如图2，连接 ， 交 于E，连接 ，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，点G为 的中点，连接 交 于点F，若 ，求线段 的长．
13．（2023春·广东·九年级专题练习）课堂上，老师提出了这样一个问题：
如图1，在 中， 平分 交 于点D，且 ，求证： ，小明的
方法是：如图2，在 上截取 ，使 ，连接 ，构造全等三角形来证明．
(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段 构造全等三
角形进行证明．辅助线的画法是：延长 至F，使 =______，连接 请补全小天提出的辅助线的画法，
并在图1中画出相应的辅助线；
(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在 的内部， 分别平分 ，且 ．求证：
．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；
(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
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如果在 中， ，点D在边 上， ，那么 平分 小东判断这个
命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．
14．（2023春·广东深圳·九年级校考期中）如图，△ABC为等边三角形，直线l过点C，在l上位于C点右
侧的点D满足∠BDC＝60°。（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，求证：
△AEC≌△CDB；
（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求证：
HG+BD＝CF；（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、
CF、BD的数量关系为 ．
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15．（2022·河南·模拟预测）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，
E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．某同学做了如
下探究，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明 ABE≌△ADG，再证明 AEF≌△AGF，可得出结论，
他的结论应该是______．（2）如图②，若在四边形ABC△D中，AB=AD，∠B+∠△D=180°．E、F分别是BC、
CD上的点，且∠EAF= ∠BAD，上述结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，写出正确的
结论，并说明理由．（3）如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰
艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东
方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/时的速度前进1.5小时后，指挥中心
观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
16．（2022·河南·九年级期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图 1，在 ABC 中，若 AB
＝5，AC＝3，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如△下的解决方法：
延长 AD 到 E，使得 DE＝AD，再连接 BE（或将 ACD 绕点 D 逆时针旋转 180°得到 EBD），把 AB、
AC、2AD 集中在 ABE 中， 利用三角形的三边关△系可得 2＜AE＜8，则 1＜AD＜4． △
【感悟】解题时△，条件中若出现中点、中线字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中 心对称图形，把
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分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
【解决问题】受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图 2，在 ABC 中，D 是 BC 边上的中点，
DE⊥DF，DE 交 AB 于点 E，DF 交 AC 于点 F，连接 EF．（1）求△证：BE＋CF＞EF，
（2）若∠A＝90°，探索线段 BE、CF、EF 之间的等量关系，并加以证明．、
17．（2022·山东东营·中考真题）已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和
点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．
（1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关
系是________．（2）[探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量
关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）[拓展延伸]如图3，当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否
依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
18．（2022·北京·中考真题）在 中， ，D为 内一点，连接 ， ，延长 到
点 ，使得 (1)如图1，延长 到点 ，使得 ，连接 ， ，若 ，求证：
；
(2)连接 ，交 的延长线于点 ，连接 ，依题意补全图2，若 ，用等式表示线段
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与 的数量关系，并证明．
19．（2022·内蒙古·中考真题）下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形 是正方形，点
是边 的中点， ，且 交正方形外角的平分线 于点 ．求证 ．（提示：取
的中点 ，连接 ．）。(1)请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： ；
(2)如图1，若点 是 边上任意一点（不与 、 重合），其他条件不变．求证： ；
(3)在（2）的条件下，连接 ，过点 作 ，垂足为 ．设 ，当 为何值时，四边形
是平行四边形，并给予证明．
20．（2022·江苏·九年级期中）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明
的方法思考：
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(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是 ．
A．SAS；B. SSS；C. AAS；D. HL
(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 ．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件
和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
(3)【初步运用】如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC＝BF．求证AE＝FE．
(4)【灵活运用】如图③，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于
点F，连接EF．试猜想线段BE、CF、EF三者之间的数量关系，并证明你的结论．
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