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专题 17 全等与相似模型-对角互补模型
全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综
合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本
解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、旋转中的对角互补模型
对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。
思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋
转的构造，构造手拉手全等。
常见的对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60° 对角互补模型、 2α-（180°-2α）对角互补模型。
1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝ OC，③ .
2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型）
条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.
[来源:学科网ZXXK]
结论：①CD＝CE，②OE－OD＝ OC，③ .
3）“等边三角形对120°模型”（1）
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条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③ .
4）“等边三角形对120°模型”（2）
条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D，
结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③ .
5）“120°等腰三角形对60°模型”
条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°。 结论：①PB+PC= PA；
6）“2α对180°-2α模型”
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条件：四边形ABCD中，AP=BP,∠A+∠B=180° 结论：OP平分∠AOB
注意：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。
7）“蝴蝶型对角互补模型”
条件：AP=BP,∠AOB=∠APB 结论：OP平分∠AOB的外角。
例1．（2023·黑龙江黑河·八年级期中）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕
点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①(BE+CF)= BC，② ，
③ AD·EF，④AD≥EF其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2．（2022辽宁九年级期末模拟）已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板
的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA，OB(或它们的反向延长线)相交于点D，E.
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当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图①)，易证：OD＋OE＝ OC；
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，即在图②，图③这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若成
立，请给予证明：若不成立，线段OD，OE，OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
例3．（2022秋·四川绵阳·九年级校联考阶段练习）已知 ， ， 是过点 的直线，
过点 作 于点 ，连接 ．(1)问题发现：如图(1)，过点 作 ，与 交于点 ， 、
、 之间的数量关系是什么？并给予证明．(2)拓展探究：当 绕点 旋转到如图(2)位置时， 、
、 之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
例4．（2022四川宜宾八年级期末）如图1， ， 平分 ，以 为顶点作 ，
交 于点 ， 于点E. （1）求证： ；（2）图1中，若 ，求 的长；
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（3）如图2， ， 平分 ，以 为顶点作 ，交 于点 ， 于点 .若
，求四边形 的面积．
例5．（2022湖北省宜城市八年级期末）如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将
一个60°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．
（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理
由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说
明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给
于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
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例6．（2023·山东·九年级专题练习）如图， ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，
∠EDF=120°，把∠EDF绕点D旋转，使∠EDF△的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．（1）当DF⊥AC时，
求证：BE=CF；
（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由
例7．（2022山东省枣庄市一模）如图，已知 ，在 的角平分线 上有一点 ，将一
个 角的顶点与点 重合，它的两条边分别与射线 相交于点 .
（1）如图1，当 绕点 旋转到 与 垂直时，请猜想 与 的数量关系，并说明理由；
（2）当 绕点 旋转到 与 不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理
由；
（3）如图3，当 绕点 旋转到点 位于 的反向延长线上时，求线段 与 之间又有怎
样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.
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例8.（2023·浙江金华·校考三模）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互
补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM
＝PN恒成立；（2）OM﹣ON的值不变；（3）△OMN的周长不变；（4）四边形PMON的面积不变，其中
正确的序号为_____．
模型2.对角互补模型（相似模型）
【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向
两边做垂线，从而证明两个三角形相似.
【常见模型及结论】
1）对角互补相似1
条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点，
辅助线：过点O作OD⊥AC，垂足为D，过点O作OH⊥BC，垂足为H，
结论：①△ODE∼△OHF；② （思路提示： ）.
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2）对角互补相似 2
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝ .
图1 图2
辅助线：作法1：如图1，过点C作CF⊥OA，垂足为F，过点C作CG⊥OB，垂足为G；
结论：①△ECG∼△DCF；② CE＝CD· .（思路提示： ，CF=OG，在 Rt△COG 中，
）
辅助线：作法2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；
结论：①△CFE∼△COD；②CE＝CD· .（思路提示： ，在Rt△OCF中，
）
3）对角互补相似3
条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。
辅助线：过点D作DE⊥BA，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F；
结论：①△DAE∼△DCF；②ABCD四点共圆。
例1．（2023·成都市·九年级期中）如图所示，在 中， ， ，在
中， ，点P在 上， 交 于点E， 交 于点F．当 时， 的值为
（ ）．
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A．1 B．2 C．3 D．4
例2．（2023·河南南阳·九年级统考阶段练习）如图，在等腰直角 中， ， ，过
点 作射线 ， 为射线 上一点， 在边 上（不与 重合）且 ， 与
交于点 ．（1）求证： ；（2）求证： ；（3）如果 ，求证：
．
例3．（2023·广西河池·校联考一模）综合与实践【问题情境】在 中， ， ，
，在直角三角板 中， ，将三角板的直角顶点 放在 斜边 的中点处，
并将三角板绕点 旋转，三角板的两边 ， 分别与边 ， 交于点 ， ．
【猜想证明】如图 ，在三角板旋转过程中，当 为边 的中点时，试判断四边形 的形状，并说
明理由．【问题解决】如图 ，在三角板旋转过程中，当 时，求线段 的长．
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例4．（2023年江西省南昌市月考）如图，两个全等的四边形 和 ，其中四边形 的顶
点O位于四边形 的对角线交点O．
(1)如图1，若四边形 和 都是正方形，则下列说法正确的有_______．（填序号）
① ；②重叠部分的面积始终等于四边形 的 ；③ ．
(2)应用提升:如图2，若四边形 和 都是矩形， ，写出 与 之间的数量关
系，并证明．
(3)类比拓展:如图3，若四边形 和 都是菱形， ，判断（1）中的结论是否依然成立；
如不成立，请写出你认为正确的结论（可用 表示），并选取你所写结论中的一个说明理由．
例5．（2023.辽宁中考模拟）如图，在Rt ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不
与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋
转90°，交射线CB于点N．（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；（3）点P在
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射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且 ＜ ，请直接写出 的值（用含k的式子表
示）．
例6．（2023浙江中考二模）（1）特例感知：如图1，已知在Rt ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC
边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF；
（2）探索发现：如图2，已知在Rt ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，
点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长；
（3）类比迁移：如图3，已知在 ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点
E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点
F，当AE＝4AF时，求AF的长．
课后专项训练
1．（2022·江苏·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B两点分别在x轴，y轴的正半轴
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上，且OA=OB，点C在第一象限，OC=3，连接BC，AC，若∠BCA=90°，则BC+AC的值为_________．
2．（2023.广东九年级期中）如图， 为等边三角形，以 为边向外作 ，使 ，再
以点C为旋转中心把 旋转到 ，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；② 平分 ；
③ ；④ ．其中正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.（2023·山西临汾·统考二模）在菱形 中， ，对角线 交于点 ，
分别是 边上的点，且 与 交于点 ，则 的值为 ．
4．（2023青岛版九年级月考）如图，在 中， ， ，直角 的顶点
在 上， 、 分别交 、 于点 、 ， 绕点 任意旋转．当 时， 的值为
；当 时， 为 ．（用含 的式子表示）
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5．（2023•西城区校级期中）已知，如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，DE⊥BC，BD
平分∠ABC，试说明AD＝DC．
6．（2023•阜新中考模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，点E，F在AB，AC上，且∠EDF＝90°．求证：BE＝AF；
（2）点M，N分别在直线AD，AC上，且∠BMN＝90°．
①如图2，当点M在AD的延长线上时，求证：AB+AN＝ AM；
②当点M在点A，D之间，且∠AMN＝30°时，已知AB＝2，直接写出线段AM的长．
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7、（2023.重庆九年级期中）已知：如图，在等边△ABC中，点O是BC的中点，∠DOE＝120°，∠DOE
绕着点O旋转，角的两边与AB相交于点D，与AC相交于点E．
(1)若OD，OE都在BC的上方，如图1，求证：OD＝OE．(2)在图1中，BD，CE与BC的数量关系是
．
(3)若点D在AB的延长线上，点E在线段AC上，如图2，直接写出BD，CE与BC的数量关系是 ．
8．（2022山西省吕梁市八年级期末）如图，已知 与 ， 平分 ．
(1)如图1， 与 的两边分别相交于点 、 ， ，试判断线段 与
的数量关系，并说明理由. 以下是小宇同学给出如下正确的解法：解： ．
理由如下：如图1，过点 作 ，交 于点 ，则 ，…
请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．
(2)你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．(3)若 ， ．
①如图3， 与 的两边分别相交于点 、 时，(1)中的结论成立吗？为什么？线段 、 、
有什么数量关系？说明理由．②如图4， 的一边与 的延长线相交时，请回答(1)中的结论是
否成立，并请直接写出线段 、 、 有什么数量关系；如图5， 的一边与 的延长线相交
时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段 、 、 有什么数量关系．
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9．（2022·湖北武汉·八年级校考期末）已知在四边形 中， ， .
(1)如图1．连接 ，若 ，求证： .
(2)如图2，点 分别在线段 上，满足 ，求证： ;
(3)若点 在 的延长线上，点 在 的延长线上，如图3所示，仍然满足 ，请写出
与 的数量关系，并给出证明过程．
10．（2023·山东青岛·八年级统考期中）[问题]如图①，点 是 的角平分线 上一点，连接 ，
，若 与 互补，则线段 与 有什么数量关系？
[探究]探究一：如图②，若 ，则 ，即 ， ，又因为 平分
，所以 ，理由是：_______．
探究二：若 ，请借助图①，探究 与 的数量关系并说明理由．
[结论]点 是 的角平分线 上一点，连接 ， ，若 与 互补，则线段 与 的数量
关系是______．
[拓展]已知：如图③，在 中， ， ， 平分 ．求证： ．
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11．（2022·陕西宝鸡·统考二模）问题提出
（1）如图1，四边形ABCD中， ， 与 互补， ，点A到BC边的距离为17，
求四边形ABCD的面积．
问题解决（2）某公园计划修建主题活动区域，如图2所示， ， ， ，在
BC上找一点E，修建两个不同的三角形活动区域，△ABE区域为体育健身活动区域，△ECD为文艺活动表
演区域，根据规划要求， ， ，设EC的长为x(m)，△ECD的面积为 ，求 与 之
间的函数关系式，并求出△ECD面积的最大值．
12．（2023山东中考模拟）如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对
角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在
的直线相交，交点分别为E，F．（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则 的值为 ；
（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求 的值；（3）在（2）的基础上继续
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旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3， 的值是否变化？证明你的结论．
13．（2022秋·河南鹤壁·九年级统考期末）已知在 中， ， ， ， 为
边上的一点．过点 作射线 ，分别交边 、 于点 、 ．
（1）当 为 的中点，且 、 时，如图1， _______：
（2）若 为 的中点，将 绕点 旋转到图2位置时， _______；
（3）若改变点 到图3的位置，且 时，求 的值．
14．（2023·浙江台州·九年级校考阶段练习）【问题情境】如图①，在 中， ，
，点 为 中点，连结 ，点 为 的延长线上一点，过点 且垂直于 的直线交 的
延长线于点 .易知BE与CF的数量关系 ．
【探索发现】如图②，在 中， ， ，点 为 中点，连结 ，点 为
的延长线上一点，过点 且垂直于 的直线交 的延长线于点 .【问题情境】中的结论还成立吗？请
说明理由．【类比迁移】如图③，在等边 中， ，点 是 中点，点 是射线 上一点
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（不与点 、 重合），将射线 绕点 逆时针旋转 交 于点 ．当 时， ______．
15．（2023广东中考模拟）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”
（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；
（2）问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一
点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；
（3）应用拓展；如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A
顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求
出它的面积．
16．（2023年成都市中考模拟）（1）如图，Rt ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC中点，E、F分别
为AB、AC上的动点，且∠EDF＝90°．求证：DE＝DF；（2）如图2，Rt ABC中，∠BAC＝90°，AC＝
4，AB＝3，AD⊥BC，∠EDF＝90°．①求证：DF•DA＝DB•DE；②求EF的最小值．
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17．（2023浙江省绍兴市九年级期中）如图，在Rt ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中
点，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一△动点，且∠PDQ=90°．
（1）当DP⊥AB时，求CQ的长； （2）当BP=2，求CQ的长．
18．（2023·湖北·九年级专题练习）如图，四边形 是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C
重合），连接 ，过点P作 ，交 于点E，已知 ， ．设 的长为x．
(1) ___________；当 时，求 的值；(2)试探究： 是否是定值?若是，请求出这个值；若不是，
请说明理由；(3)当 是等腰三角形时，请求出 的值．
19．（2023秋·山西忻州·九年级校考期末）综合与实践
问题情境：在学习了三角形的相似后，同学们开始了对不同三角形中的相似模型的探究．
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猜想推理：（1）如图1，在等边 中，D为 边上一点，E为 边上一点， ， ，
，则 ______．问题解决：（2）如图2， 是等边三角形，D是 的中点，射线 ，
分别交 ， 于点E，F，且 ，求证： ．（3）如图3， ，
， ，D是 的中点，射线 ， 分别交 ， 于点E，F，且 ，求 的值．
20．（2023广东深圳三模试题）（1）【探究发现】如图1，正方形 的对角线相交于点 ，在正方
形 绕点 旋转的过程中，边 与边 交于点 ，边 与边 交于点 ．证明：
；
（2）【类比迁移】如图2，矩形 的对角线相交于点 ，且 ， ．在矩形 绕点
旋转的过程中，边 与边 交于点 ，边 与边 交于点 ．若 ，求 的长；
（3）【拓展应用】如图3，四边形 和四边形 都是平行四边形，且 ， ，
， 是直角三角形．在 绕点 旋转的过程中，边 与边 交于点 ，边
与边 交于点 ．当 与 重叠部分的面积是 的面积的 时，请直接写出 的长．
20
