文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
专题20 全等与相似模型之手拉手模型
全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。全等三角形、相似三角形与其它知
识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，
熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就手拉手模型进行梳理及对应试题分析，
方便掌握。
.........................................................................................................................................................................................2
模型1.手拉手模型（全等模型）...................................................................................................................2
模型2.手拉手模型（相似模型）.................................................................................................................12
..................................................................................................................................................26
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
模型1.手拉手模型（全等模型）
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，
也叫旋转型全等。其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为
“左手”，第二个顶点记为“右手”。
等线段，共顶点，旋转前后的图形大小，形状不发生变化，只是位置不同而已。解题是通过三角形全等进
行解决。SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。
1）双等边三角形型
条件： ABC和 DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。
△ △
证明： ∵ ABC和 DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°
∴∠BCA+∠△ACE=∠△ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP
（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
2）双等腰直角三角形型
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
条件： ABC和 DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。
结论：△①△ACD△≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。
证明： ∵ ABC和 DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°
∴∠BCA+∠△ACE=∠△ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP
（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。
3）双等腰三角形型
条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。
证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，
又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
4）双正方形形型
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。
结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。
证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°
∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°，
过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP
（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。
例1．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，点A，B，C在同一条直线上， ， 均为等边三
角形，连接 和 ， 分别交 、 于点M，P， 交 于点Q，连接 ， ，下面结论：①
；② ；③ 为等边三角形；④ 平分 ；⑤ ．其中结论
正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据等边三角形的性质即可证得 故①正确；根据 结合三角形外角性
质即可得出 ，故②正确；根据等边三角形的性质易证
，得到 结合 即可得到 为等边三角形，故③正确；根据全等三角
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
形性质，得到点 到 ， 的距离相等，，从而可得点 在 的角平分线上，故④正确；已有的
条件无法求 的度数，故⑤错误；从而解题．
【详解】解： 、 为等边三角形，
， ， ， ， ，
在 和 中， ， ，故①正确；
， ， ，
，故②正确；
在 和 中， ， ， ，
为等边三角形，故③正确； ， ，
点 到 ， 的距离相等，即 边上的高相等，
点 在 的角平分线上，即 平分 ；故④正确；
已有的条件无法求 的度数，故⑤错误；综上所述：正确的结论有4个；故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，四点共圆的性质，三角形外角
性质，角度的运算，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．
例2．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰 中， ， ，点 ， 分别
在 ， 上， ，连接 ， ，取 中点 ，连接 ．
(1)求证： ， ；(2)将 绕点 顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出 与 的位置关系：___________________；②求证： ．
【答案】(1)见解析(2)① ；②见解析
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】（1）先证明 得到 ， ，根据直角三角形斜边中线性质得到
，根据等边对等角证明 ，进而可证明 ；
（2）①延长 到点 ，使 ，连结 ，延长 到 ，使 ，连接 并延长交 于
点 ．同（1）证明 得到 ，然后利用三角形的中位线性质得到 ，
则 ，进而证明 即可得到结论；
②延长 到点 ，使 ，连接 ．先证明 ，得到 ， ，进
而 ， ．证明 得到 即可得到结论．
【详解】（1）证明：在 和 中， ， ， ，
， ， ．
是 斜边 的中点， ， ，
， ． ，
， ． ；
（2）解：① ；理由如下：延长 到点 ，使 ，连结 ，延长 到 ，使 ，
连接 并延长交 于点 ．证明 （具体证法过程跟②一样）． ，
是 中点， 是 中点， 是 中位线， ，
， ， ，
， ．故答案为： ；
②证明：延长 到点 ，使 ，连接 ．
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ．
， ．在 和 中，
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
， ， ， ， ， ，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的判定与性质、三角
形的中位线性质、平行线的判定与性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与
运用，灵活添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．
例3．（2023·山东·九年级专题练习）已知， 为等边三角形，点 在边 上．
【基本图形】如图1，以 为一边作等边三角形 ，连结 ．可得 （不需证明）．
【迁移运用】如图2，点 是 边上一点，以 为一边作等边三角 ．求证： ．
【类比探究】如图3，点 是 边的延长线上一点，以 为一边作等边三角 ．试探究线段 ，
， 三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由．
【答案】【基本图形】见解析；【迁移运用】见解析；【类比探究】见解析．
【分析】基本图形：只需要证明 得到 ，即可证明；
迁移运用：过点 作 ，交 于点 ，然后证明 得到 ，即可推出
；类比探究：过点 作 ，交 于点 ，然后证明 ，得
到 ，再由 ，即可得到 ．
【详解】基本图形：证明：∵ 与 都是等边三角形，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，∴ ，
在 与 中， ，∴ ，
∴ ，∴ ，∵ ，∴ ；
迁移运用：证明：过点 作 ，交 于点 ，
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵ 是等边三角形，∴ ，
∵ ，∴ ， ，
又∵ ，∴ 为等边三角形，∴ ，
∵ 为等边三角形，∴ ， ，
∵ ， ，∴
，
在 与 中 ，∴ ，∴ ，∴ ；
类比探究：解： ，理由如下：过点 作 ，交 于点 ，
∵ 是等边三角形，∴ ，
∵ ，∴ ， ，
又∵ ，∴ 为等边三角形，∴ ，
∵ 为等边三角形，∴ ， ，
∵ ， ，∴
，
在 与 中 ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与
判定条件是解题的关键．
例4．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，将 绕点A顺时针旋转得到 ，并使C点的对应
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
点D点落在直线 上．(1)如图1，证明： 平分 ；(2)如图2， 与 交于点F，若
，求 的度数；(3)如图3，连接 ，若 ，则 的
长为 ．
【答案】(1)证明见解析；(2) ；(3) ．
【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理及逆定理的应用等知识，解答本
题的关键是掌握旋转的性质．（1）根据 绕点A顺时针旋转得到 ，可得
，即得 ，故 ， 平分 ；（2）设
，根据旋转的性质和三角形外角的性质可得 ，即可解得
；（3）过A作 于H，由已知可得 ，即可得 ，从
而 ，可得 ， 是等腰直角三角形，故 ．
【详解】（1）证明：∵ 绕点A顺时针旋转得到 ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ 平分 ；
（2）解：设 ，∵ ∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，解得 ，∴ ；
（3）解：过A作 于H，如图：
∵ 绕点A顺时针旋转得到 ，∴ ，
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵ ，∴ ，∵ ，
∴ ，∴ ，∵ ，∴ ， ，
∴ ，∴ 是等腰直角三角形，∴ ，故答案为： ．
例5．（2022·浙江湖州·统考中考真题）已知在Rt ABC中，∠ACB＝90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，
．记△ABC的面积为S． △
(1)如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE的面积为 ，正
方形BGFC的面积为 ．①若 ， ，求S的值；②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，
交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如图2所示），求证： ．
(2)如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积
为 ，等边三角形CBE的面积为 ．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在△ABF内），连结EF，
CF．若EF⊥CF，试探索 与S之间的等量关系，并说明理由．
【答案】(1)①6；②见解析(2) ，理由见解析
【分析】（1）①将面积用a，b的代数式表示出来，计算，即可 ②利用AN公共边，发现
△FAN∽△ANB，利用 ，得到a，b的关系式，化简，变形，即可得结论 （2）等边 与等
边 共顶点B，形成手拉手模型，△ABC≌△FBE，利用全等的对应边，对应角，得到：AC＝FE＝
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
b，∠FEB＝∠ACB＝90°，从而得到∠FEC＝30°，再利用 ， ，得到a与b
的关系，从而得到结论
【详解】（1）∵ ， ∴b＝3，a＝4 ∵∠ACB＝90°∴
②由题意得：∠FAN＝∠ANB＝90°，∵FH⊥AB∴∠AFN＝90°－∠FAH＝∠NAB∴△FAN∽△ANB
∴ ∴ ，得： ∴ ．即
（2） ，理由如下：∵△ABF和△BEC都是等边三角形
∴AB＝FB，∠ABC＝60°－∠FBC＝∠FBE，CB＝EB
∴△ABC≌△FBE（SAS）∴AC＝FE＝b ∠FEB＝∠ACB＝90° ∴∠FEC＝30°
∵EF⊥CF，CE＝BC＝a∴ ∴ ∴
由题意得： ， ∴ ∴
【点睛】本题考查勾股定理，相似，手拉手模型，代数运算，本题难点是图二中的相似和图三中的手拉手
全等。
例6．（2024·黑龙江·九年级期中）已知Rt ABC中，AC=BC，∠ACB＝90°，F为AB边的中点，且
DF=EF，∠DFE＝90°，D是BC上一个动点△．如图1，当D与C重合时，易证：CD2＋DB2＝2DF2；
（1）当D不与C、B重合时，如图2，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
（2）当D在BC的延长线上时，如图3，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明．
【答案】（1）CD2+DB2=2DF2 ；（2）CD2+DB2=2DF2，证明见解析
【分析】（1）由已知得 ，连接CF，BE，证明 得CD=BE，再证明 为直
角三角形，由勾股定理可得结论；
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2）连接CF，BE，证明 得CD=BE，再证明 为直角三角形，由勾股定理可得结论．
【详解】解：（1）CD2+DB2=2DF2
证明：∵DF=EF，∠DFE＝90°，∴ ∴ 连接CF，BE，如图
∵△ABC是等腰直角三角形，F为斜边AB的中点
∴ ，即 ∴ ，
又 ∴ 在 和 中 ∴
∴ ， ∴ ∴
∵ ， ∴CD2+DB2=2DF2 ；
（2）CD2+DB2=2DF2 证明：连接CF、BE ∵CF=BF，DF=EF又∵∠DFC+∠CFE=∠EFB+∠CFB=90°
∴∠DFC=∠EFB∴△DFC≌△EFB ∴CD=BE，∠DCF=∠EBF=135°
∵∠EBD=∠EBF－∠FBD=135°－45°=90° 在Rt DBE中，BE2+DB2=DE2 ∵ DE2=2DF2 ∴ CD2+DB2=2DF2
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、△等腰直角三角形的性质、证明三角形全等是解决问题的关
键，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
模型2.手拉手模型（相似模型）
“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样
的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。
手拉手模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
三角形可以重合；3）图形是任意三角形（只要这两个三角形是相似的）。
1）手拉手相似模型（任意三角形）
条件:如图，∠BAC=∠DAE= ， ；
结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE； ；∠BFC=∠BAC.
证明：∵ ，∴ ，∵∠BAC=∠DAE= ，∴△ADE∽△ABC，
∵∠BAC=∠DAE= ，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，
∵ ，∴△ABD∽△ACE，∴ ，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE= ，
2）手拉手相似模型（直角三角形）
条件:如图， ， ；
结论：△AOC∽△BOD； ，AC⊥BD， .
证明：∵ ，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD，
∵ ，∴△AOC∽△BOD，∴ ，∠OAB=∠OBD，
∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴ .
3）手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形）
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点； 结论：△BME∽△CMF； .
条件:
证明：∵M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点，∴ ，∠BMC=∠EMF=90°，
∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴ ，
条件: ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°； .
△
证明：∵△ABC和ADE是等腰直角三角形，∴ ，∠BAC=∠DAE=45°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE，
∴ ，∠ACE=∠ABD=90°
例1．（2023·江西·一模）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小丽和小亮对等腰只角形
的旋转变换进行研究．
(1)[观察猜想]如图1，△ABC是以AB、AC为腰的等腰三角形，点D、点E分别在AB、AC上．且
DE∥BC，将△ADE绕点A逆时针旋转a（0°≤a≤360°）．请直接写出旋转后BD与CE的数量关系 ；
(2)[探究证明]如图2，△ACB是以∠C为直角顶点的等腰直角三角形，DE∥BC分别交AC与AB两边于点
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
E、点D．将△ADE绕点A逆时针旋转至图中所示的位置时，（1）中结论是否仍然成立．若成立，请给出
证明；若不成立，请说明理由；
(3)[拓展延伸]如图3，BD是等边△ABC底边AC的中线，AE⊥BE，AE∥BC．将△ABE绕点B逆时针旋转
到△FBE，点A落在点F的位置，若等边三角形的边长为4，当AB⊥BE时，求出DF2的值．
【答案】(1)结论BD=CE．证明见解析；
(2)结论不成立．BD与CE的数量关系：BD= CE．证明见解析；(3)28
【分析】（1）结论BD=CE．证明△ABD≌△ACE（ ）；（2）结论不成立．BD与CE的数量关系：
BD= CE．证明△DAB∽△EAC，可得结论；（3）根据条件可得当AB⊥BE时，
，结合等边三角形的性质，可得 ，勾股定理即可求得 ．
【详解】（1）结论BD=CE．理由：如图1中，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（ ），∴BD=EC．故答案为：BD=CE．
（2）结论不成立．BD与CE的数量关系：BD= CE．
理由：∵△ABC，△AED都是等腰直角三角形，∴∠CAB=∠EAD=45°， ，
∵∠DAB=∠EAC，∴△DAB∽△EAC，∴ ，∴BD= CE
（3）如图3，BD是等边△ABC底边AC的中线，AE⊥BE，AE∥BC．
，
将△ABE绕点B逆时针旋转到△FBE，点A落在点F的位置，
当AB⊥BE时，
ABC是等边△，等边三角形的边长为4， ，
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定
理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．
例2．（2024·山东枣庄·二模）综合实践
问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度
存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在 中， ， ，分别取
， 的中点D，E，作 ．如图2所示，将 绕点A逆时针旋转，连接 ， ．
(1)探究发现：旋转过程中，线段 和 的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
(2)性质应用：如图3，当 所在直线首次经过点B时，求 的长．
【答案】(1) ，证明见解析；(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握旋转
前后对应角相等，对应边相等；相似三角形对应角相等，对应边成比例，以及解直角三角形的方法和步骤．
（1）根据中点的定义得出 ， 进而得出 ，易得 ，通过证明
，即可得出结论；（2）根据题意推出 当所在直线经过点B时， ，根据勾股定理
可得 ，根据（1）可得 ，即可求解；
【详解】（1）解：猜想 ，证明如下：
在 中， ， ， ， 的中点分别为D，E，
∴ ， ， ，则 ，
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
， ， ， ， ，
将 绕点A逆时针旋转，连接 ， ，根据旋转的性质可得： ，
， ， ， ；
（2）解： ，分别取 ， 的中点D，E，
， ， ， ，
∴当 所在直线经过点B时， ， ，
在 中，根据勾股定理可得： ，由（1）可得： ，
，解得： ；
例3．（2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一
个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片 和 中，
， ， ．
【初步感知】（1）如图1，连接 ， ，在纸片 绕点 旋转过程中，试探究 的值．
【深入探究】（2）如图2，在纸片 绕点 旋转过程中，当点 恰好落在 的中线 的延长线上
时，延长 交 于点 ，求 的长．
【拓展延伸】（3）在纸片 绕点 旋转过程中，试探究 ， ， 三点能否构成直角三角形．若能，
直接写出所有直角三角形 的面积；若不能，请说明理由．
【答案】（1） 的值为 ；（2） ；（3）直角三角形 的面积分别为4，16，12，
【分析】（1）根据 ， ， ．证明 ，
17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，继而得到 ， 即
，再证明 ，得到 ．
（2）连接 ，延长 交 于点Q，根据(1)得 ，得到 ，根据中线 得到
，继而得到 ，结合 ，得到
即 ，得到 ，再证明 ，得证矩形 ，再利用勾
股定理，三角形相似的判定和性质计算即可．（3）运用分类思想解答即可．
【详解】（1）∵ ， ， ．∴ ，
∴ ， ，
∴ 即 ，∵ ∴ ，∴ ．
（2）连接 ，延长 交 于点Q，根据(1)得 ，∴ ，
∵ 是中线∴ ，∴ ，
∵ ，∴ 即 ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴四边形 是平行四边形，
∵ ∴四边形 矩形，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
设 ，则 ，∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，解得 ；∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，解得 ．
（3）如图，当 与 重合时，此时 ，此时 是直角三角形，
故 ；
如图，当 在 的延长线上时，此时 ，此时 是直角三角形，
故 ；
如图，当 时，此时 是直角三角形，过点A作 于点Q，
∵ ，∴ ，∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形，∴ ，∴ ，故 ；
如图，当 时，此时 是直角三角形，过点A作 于点Q，交 于点N，
∴ ， ，∴ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，
19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，解得 ；
故 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全
等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，矩
形的判定和性质，中位线定理是解题的关键．
例4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知
识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
(1)发现问题：如图1，在 和 中， ， ， ，连接 ， ，
延长 交 于点 ．则 与 的数量关系：______， ______ ；
(2)类比探究：如图2，在 和 中， ， ， ，连接 ，
，延长 ， 交于点 ．请猜想 与 的数量关系及 的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3， 和 均为等腰直角三角形， ，连接 ， ，且点
， ， 在一条直线上，过点 作 ，垂足为点 ．则 ， ， 之间的数量关系：
______；
(4)实践应用：正方形 中， ，若平面内存在点 满足 ， ，则 ______．
【答案】(1) ， (2) ， ，证明见解析(3) (4) 或
【分析】（1）根据已知得出 ，即可证明 ，得出 ， ，
进而根据三角形的外角的性质即可求解；（2）同（1）的方法即可得证；（3）同（1）的方法证明
，根据等腰直角三角形的性质得出 ，即可得出结论；
（4）根据题意画出图形，连接 ，以 为直径, 的中点为圆心作圆，以 点为圆心， 为半径作圆，
20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
两圆交于点 ，延长 至 ，使得 ，证明 ，得出 ，勾股定理
求得 ，进而求得 ，根据相似三角形的性质即可得出 ，勾股定理求得
，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，∴ ，
又∵ ， ，∴ ，∴ ， 设 交于点 ，
∵ ∴ ，故答案为： ， ．
（2）结论： ， ；
证明：∵ ，∴ ，即 ，
又∵ ， ，∴ ∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴
，
（3） ，
理由如下，∵ ，∴ ，即 ，
又∵ 和 均为等腰直角三角形∴ ，∴ ，∴ ，
在 中， ，∴ ，∴ ；
（4）解：如图所示，连接 ，以 为直径, 的中点为圆心作圆，以 点为圆心， 为半径作圆，两圆
21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
交于点 ，延长 至 ，使得 ，则 是等腰直角三角形，
∵ ,∴ ，
∵ ，∴ ∴ ，∴ ，
∵ ，在 中， ，
∴ ∴
过点 作 于点 ，设 ，则 ，
在 中， ，在 中，
∴ ∴ 解得： ，则 ，
设 交于点 ，则 是等腰直角三角形，∴
在 中， ∴ ∴
又 ， ∴ ∴
∴ ，∴ ∴ ，
在 中，
∴ ，
综上所述， 或 故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，直
径所对的圆周角是直角，熟练运用已知模型是解题的关键．
例5．（2024·山西·模拟预测）综合与实践
问题背景：在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知 和 均为等边三角
22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
形，O是 和 的中点，将 绕点O顺时针旋转．
猜想证明：(1)如图①，在 旋转的过程中，当点E恰好在 的延长线上时， 交 于点H，试判
断 的形状，并说明理由；(2)如图②，在 旋转的过程中，当点E恰好落在边 上时，连接
，试猜想线段 与线段 的数量关系，并加以证明；(3)如图③，若 ，连接 ，设
所在直线与 所在直线交于点M，在 旋转的过程中，当点B，F，E在同一直线上时，在M，O
两点中的其中一点恰好是另一点与点C构成的线段的中点，请直接写出此时 的长．
【答案】(1) 为等腰三角形，理由见详解(2) ，证明见详解(3)1或2
【分析】（1）根据等边三角形的性质以及外角定理得到 ，则 ，即可求证；
（2）连接 ，证明 ，则 ，即 ；（3）如图①，当点
在同一直线上，连接 ，先证明 ，继而得到 ，则 ，则
，可得 ，故 ，即可求解 ；如图②，当点O为 中点时，
，在 中，由勾股定理得 ，则 ，而此时 三点共
线，故点B和点E重合，由点M是直线 与直线 的交点，得到 三点重合，故此时 的长为
的长．
【详解】（1）解： 为等腰三角形，理由：∵ 为等边三角形，∴ ， ，
∵O是 的中点∴ ，∵ 是等边三角形，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ 为等腰三角形；
23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2）解： ，
证明如下：连接 ，∵ 均是等边三角形，∴ ，
∵点O为 的中点，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴
；
（3）解：情况一，如图①，当点 在同一直线上，连接 ，
∵点O为 中点，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵点M为 的中点，点O为 中点，∴ ，∴ ，即 ，解得： ；
情况二：∵ 为等边三角形，∴ ，∵点O为 中点， ，∴ ，
，
如图②，当点O为 中点时， ，
∵等边 边长为2，∴在 中， ，∴ ，
∵此时 三点共线，∴点B和点E重合，又∵点M是直线 与直线 的交点，∴ 三点重合，
∴此时 的长为 的长，即 ，综上所述，此时 的长为1或2．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角
24关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
形的判定与性质等知识点，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键．
例6．（2024·山东济南·模拟预测）
(1)问题发现：如图1，矩形 与矩形 相似，且矩形 的两边分别在矩形 的边 和
上， ，连接 ．线段 F与 的数量关系为 ；
(2)拓展探究：如图2，将矩形 绕点A逆时针旋转，其它条件不变．在旋转的过程中，（1）中的结论
是否仍然成立，请利用图2进行说理．
(3)解决问题：当矩形 的边 时，点E为直线 上异于D，C的一点，以 为边作正方形
，点H为正方形 的中心，连接 ，若 ， ，直接写出 的长．
【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析．(3) 的长为 或
【分析】本题考查了相似多边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：
（1）延长 ，交 于H，连接 ，利用矩形的性质与判定可证明四边形 是矩形，得出
， ，利用相似多边形的性质得出 ，进而得出 ，在
中，由勾股定理得： ，即可求解；（2）如图2，连接 、 ，利用相似多边形的性
质、旋转的性质可证明 ，得出 ，利用矩形的性质，勾股定理可求出 ，
即可得出结论；
（3）分点E在线段 上，点E在线段 延长线上，利用相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】（1）解：如图1，延长 ，交 于H，连接 ，
∵四边形 和四边形 都是矩形，∴ ，
∴ ，∴四边形 是矩形，∴ ， ，
∵矩形 与矩形 相似， ，∴ ，
∴ ，即 ，
25关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，故答案为： ．
（2）解：（1）中的结论仍然成立 理由如下：如图2，连接 、 ，
∵矩形 与矩形 相似，∴ ，由旋转可得： ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ；
（3）解：①如图3，当点E在线段 上时，连接 、 ，
∵四边形 ，四边形 为正方形，∴ ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ；
②如图4，当点E在线段 延长线上时，连接 、 ，
∵四边形 ，四边形 为正方形，∴ ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，综上所述， 的长为 或 ．
例7．（2024·广东深圳·二模）如图，在等腰直角 中， ，D为 上一点，E为 延长
线上一点，且 ， ，则 ．
26关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助
线，构造相似三角形是解题的关键．过点E作 ，交 的延长线于点H，先证明 ，
得到 ， ，同时计算 ，因此得到 ，再证明 ，即
可得到答案．
【详解】过点E作 ，交 的延长线于点H，
， ， ， ，
， ， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ，
．故答案为： ．
27关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1．（23-24九年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，在 中， ，过点C作 于点D，
过点B作 于点M，连接 ，过点D作 ，交 于点N． 与 相交于点E，若点E
是 的中点，则下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的有
（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】本题考查的是全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质；证
明 是等腰直角三角形，从而证明 ， ，根据全等三角形的性质即可证明
结论，证明 是等腰直角三角形，可得 ， ，可得
，即可证明结论．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴ 是等腰直角三角形，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
28关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ 是等腰直角三角形，∴ ，∴ ，故①②③正确，
过点 作 于点 ，则 ，
∵ ， ，∴ ，∵点E是 的中点，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，故④正确，故选：A．
2．（2022·湖南·中考真题）如图，点 是等边三角形 内一点， ， ， ，则
与 的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将 绕点B顺时针旋转 得 ，连接 ，得到 是等边三角形，再利用勾股定理
的逆定理可得 ，从而求解．
【详解】解：将 绕点 顺时针旋转 得 ，连接 ，
， ， ， 是等边三角形， ，
29关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵ ， ， ， ，
与 的面积之和为 ．故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利用旋转将
与 的面积之和转化为 ，是解题的关键．
3．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，在 中， ，点D是边
上的一个动点，连接 ，过点C作 ，使 ，连接 ，点F是 的中点，连接 并延
长，交 边所在直线于点G，若 ，则 的长为 ．
【答案】 或
【分析】分点G在 上，和在 延长线上，两种情况讨论，当点G在 上，连接 ，证明
，可得 ，再由等腰三角形的性质可得 ，设 ，则
，由勾股定理可得 ，即可求解；当点G在 延长线上，连接 ，同
理可证 ，得 ， ，由 是等腰直角三角形， 点是 的中点，得
到 是 的垂直平分线，推出 ，设 ，则 ， ，利用勾股定理即可
求解．
【详解】解：如图，当点G在 上，连接 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
30关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∵点F是 的中点，∴ ，即 ，
是等腰直角三角形， 点是 的中点， 是 的垂直平分线，
，设 ，∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，解得： ，即 ；
如图，当点G在 延长线上，连接 ，同理可得： ， ，
∴ ，∴ ，
是等腰直角三角形， 点是 的中点， 是 的垂直平分线， ，
设 ，则 ， ， ， ，
， ，即 ，解得： ， ，
综上， 的长为 或 故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，证明
， 是解题的关键．
4.（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，等腰直角 中， ， ，过点 作
， ，连接 ，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，则 长为 ．
【答案】 /
【分析】利用勾股定理及等面积法求得 ， ， ，过点 作
交 于 ，由等腰直角三角形的性质及三角形内角和定理可证得 ， ， ，易知
，可得 ， ，则 ，进而由等腰三角形的性
质可得 ．
31关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】解：∵ ， ， ，∴ ，
∵ ，则 ，∴ ，
则 ，过点 作 交 于 ，则 ，
∵ 是等腰直角三角形，∴ ，
∵ ， ，则 ，∴ ，
又∵ ，则 ，则由三角形内角和可知： ，
∴ ，∴ ，∴ ， ，则 ，
∵ ，则 ，∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质等知识，添加辅助
线构造全等三角形是解决问题的关键．
5．（2024·河南周口·模拟预测）如图， 是等边三角形， ，点E是 的平分线 上的一
动点，连接 ，将点E绕点C顺时针旋转 得到点F，连接 ， ．若 是直角三角形，则线
段 的长为
【答案】 或
【分析】根据等边三角形的性质和角平分线的定义可得 ， ，再根据旋转的性质可得
32关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
， ，利用等量代换可得 ，证得 ，可得
， ， ，由 是直角三角形，分类讨论：
或 进行求解即可．
【详解】解：∵ 是等边三角形， 平分 ，∴ ， ，
∵将点E绕点C顺时针旋转 得到点F，∴ ， ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ， ， ，
∵ 是直角三角形，当 ，在 中， ，∴
，
当 时，在 中， ，即 ，∴ ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、
勾股定理、锐角三角函数及旋转的性质，熟练掌握相关定理证得 ，进行分类讨论是解题的
关键。
6．（2024·山东泰安·三模）将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形 ，点A、C、D的对应点分别
为 、 、 ．如图，当 过点C时，若 ， ，则 的长为 ．
33关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】 /
【分析】本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质、旋转变换的性质．连接 ，根据勾股定
理求出 ，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】解：如图，连接 ，
由题意得， ， ，由勾股定理得， ， ，
由勾股定理得， ， ， ， ，
， ，即 ，解得， ．故答案为： ．
7．（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，将 绕点A逆时针旋转到 的位置，使点 落
在 上， 与 交于点E若 ，则 （从“ ”中选择
一个符合要求的填空）； ．
34关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据旋转的性质得出 ，即可推出 ；通过证明 ，得出
，求出 ，设 ， ，则 ， ，证明 ，得出
，则 ，即可求解．
【详解】解：∵将 绕点A逆时针旋转得到 ，∴ ，
∴ ，即 ，
∵将 绕点A逆时针旋转得到 ，∴ ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，即 ，解得： ，
∵四边形 是平行四边形， ，∴ ，∴ ，
设 ， ，则 ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
整理得： ，把 代入 解得： 故答案为： ， ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握
相关性质定理，掌握相似三角形对应边成比例．
35关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
8．（2024·上海徐汇·九年级统考期末）如图，在Rt ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，点D为斜边BC上一
点，且BD=3CD，将△ABD沿直线AD翻折，点B的△对应点为B′，则sin∠CB′D= ．
【答案】 /
【分析】先证明A、B′、C、D四点共圆，推出∠CB′D=∠CAD，过点D作DE⊥AC于点E，利用平行线分
线段成比例定理得到AE=3CE，由勾股定理得到AD= ，再由正弦函数即可求解．
【详解】解：∵∠CAB=90°，AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，
由折叠的性质得∠AB′D=∠B=45°，∴∠AB′D=∠ACD=45°，∴A、B′、C、D四点共圆，
∴∠CB′D=∠CAD，
过点D作DE⊥AC于点E，∵∠CAB=90°，∴DE∥AB，∵BD=3CD，∴AE=3CE，
∵∠ACB=45°，∴△DEC是等腰直角三角形，∴DE=CE，设DE=CE=a，则AE=3CE=3a，
在Rt ADE中，AD= ，
△
∴sin∠CB′D= sin∠CAD= ． 故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的知识，正弦函数，折叠的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确
题意，找出所求问题需要的条件．
9．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】（1）在数学活动课上，王老师给出下面问题：如图
1， 和 是等边三角形，点B、C、E不在同一条直线上，请找出图中的全等三角形并直接写出
36关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
结论________________；（写出一对即可）
上面几何模型被称为“手拉手”模型，面对题目时我们也会“寻模而入，破模而出”．
【类比分析】（2）如下图，已知四边形 中， ， ， 是 的
平分线，且 ．将线段 绕点E顺时针旋转 得到线段 ．当 时，连接 ，试判断线
段 和线段 的数量关系，并说明理由；①小明同学从结论出发给出如下解题思路：可以先猜测线段
和线段 的数量关系，然后通过逆用“手拉手”模型，合理添加辅助线，借助“全等”来解决问题；
②小玲同学从条件入手给出另一种解题思路：可以根据条件 ，则 ，再通过“手拉手”
模型，合理添加辅助线，构造与 全等的三角形来解决问题．
请你选择一名同学的解题思路（也可另辟蹊径）来解决问题，并说明理由．
【拓展延伸】（3）如下图， 中，当 时，点D、E为 、 上的点， ，
，若 ， ，求线段 的长．
【答案】（1） ；（2） ，理由见解析；（3）
【分析】（1）利用 证明 即可；（2）过点 作 平分 交 于 ，先证明四
边形 是平行四边形，可得 ，再证明 是等边三角形，推出 ，再证得
即可；（3）设 ，以 、 为边作 ，连接 ，将 绕点 逆时
针旋转 得 ，连接 ，可得 是等边三角形， ， ，再得出
，利用勾股定理建立方程求解即可得出答案．
【详解】解：（1） ．理由如下：如图1，
37关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
和 是等边三角形， ， ， ，
，即 ，
在 和 中， ， ；
（2）如图2，过点 作 平分 交 于 ，
四边形 中， ， ， ， ， ，
平分 ， ， ， ， ，
四边形 是平行四边形， ， 平分 ， ，
， 是等边三角形， ， ，
， ，即 ，由旋转得： ， ，
， ， ；
（3）如图3，以 、 为边作平行四边形 ，连接 ，
则 ， ， ， ，
设 ，则 ， ， ，
又 ， 是等边三角形，将 绕点 逆时针旋转 得 ，连接 ，
是等边三角形， ， ， ，
， ，即 ， ，即 的长为 ．
【点睛】本题是几何综合题，考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，旋转变换的性质，全等三角
形的判定和性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题关键．
10．（23-24九年级下·四川达州·开学考试）已知， 与 都是等腰直角三角形，
， ，连接 ， ．
38关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)如图 ，求证 ；(2)如图 ，点 在 内， ， ， 三点在同一直线上，过点 作
的高 ，证明： ；(3)如图 ，点 在 内， 平分 ， 的延长线与 交
于点 ，点 恰好为 中点，若 ，求线段 的长．
【答案】(1)见详解(2)见详解(3)
【分析】本题是三角形的综合问题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角
形的性质和直角三角形斜边中线的性质等知识点，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）由“ ”可证 ，可得 ；（2）同理知： ，先根据等腰三角形三线
合一的性质得 ，再由直角三角形斜边中线的性质得 ，最后由线段的和可得结论；
（3）连接 ，设 ，则 ， ， ，由（1）知 ，得
，证明 ，得 ，计算 ，列方程即可解
答．
【详解】（1）证明： 与 都是等腰直角三角形， ，
， ，
， ， ， ；
（2）证明： ， ， ， ，
， ，由（1）可知： ，
点 在 内， ， ， 三点在同一直线上，
（3）解：如图 ，连接 ，
平分 ， ， ， ， ， ，
设 ，则 ， ， ，由（1）知 ， ，
39关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
， ， ， ，
是 的中点， ， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ；
11．（2023·河南新乡·模拟预测）问题发现：如图1，在△ABC中，AB＝AC， ，D为BC边
上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，则：
(1)①∠ACE的度数是 ；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是 ．
拓展探究：(2)如图2，在△ABC中，AB＝AC， D为BC边上一点（不与点B，C重合），将
线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，CD之间得数量
关系，并说明理由；
解决问题：(3)如图3，在Rt DBC中，DB＝3，DC=5，∠BDC＝90°，若点A满足AB＝AC，∠BAC＝
90°，请直接写出线段AD的△长度．
【答案】(1)60°，AC＝DC+EC(2)∠ACE＝45°，BD2+CD2＝2AD2，见解析(3)AD＝ 或AD＝4
【分析】（1）证明 BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；（2）根据全等三角形的性质得到
BD=CE，∠ACE=∠△B，得到∠DCE=90°，根据勾股定理计算即可；（3）如图3，作AE⊥CD于E，连接
40关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
AD，根据勾股定理得到BC= = ，推出点B，C，A，D四点共圆，根据圆周角定理得到
∠ADE=45°，求得 ADE是等腰直角三角形，得到AE=DE，根据勾股定理即可得到结论．
（1）解：∵在△A△BC中，AB＝AC，∠BAC=60°，
∴AC=AB=BC，根据旋转性质得：∠B=∠BAC＝∠DAE＝60°，AD=AE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中， ，∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B＝60°，BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝EC+CD，∴AC＝BC＝EC+CD；
故答案为：60°，AC＝DC+EC；
（2）解：BD2+CD2＝2AD2，理由如下：由（1）得，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，∴∠DCE＝90°，∴CE2+CD2＝ED2，
在Rt ADE中，AD2+AE2＝ED2，又AD＝AE，∴BD2+CD2＝2AD2；
（3）△解：作AE⊥CD于E，连接AD，∵在Rt DBC中，DB＝3，DC＝5，∠BDC＝90°，∴BC＝
△
，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴AB＝AC＝ ，∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠BDC＝∠BAC＝90°，∴点B，C，A，D四点共圆，∴∠ADE＝∠ABC=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝DE，∴CE＝5﹣DE，
∵AE2+CE2＝AC2，∴AE2+（5﹣AE）2＝17，∴AE＝1，或AE＝4，∴AD＝ 或AD＝4 ．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判
定定理和性质定理是解题的关键．
12．（2024·河南新乡·模拟预测）问题发现：如图1，在△ABC中，AB＝AC， ，D为BC边
41关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，则：
(1)①∠ACE的度数是 ；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是 ．
拓展探究：(2)如图2，在△ABC中，AB＝AC， D为BC边上一点（不与点B，C重合），将
线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，CD之间得数量
关系，并说明理由；
解决问题：(3)如图3，在Rt DBC中，DB＝3，DC=5，∠BDC＝90°，若点A满足AB＝AC，∠BAC＝
90°，请直接写出线段AD的△长度．
【答案】(1)60°，AC＝DC+EC(2)∠ACE＝45°，BD2+CD2＝2AD2，见解析(3)AD＝ 或AD＝4
【分析】（1）证明 BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；（2）根据全等三角形的性质得到
BD=CE，∠ACE=∠△B，得到∠DCE=90°，根据勾股定理计算即可；（3）如图3，作AE⊥CD于E，连接
AD，根据勾股定理得到BC= = ，推出点B，C，A，D四点共圆，根据圆周角定理得到
∠ADE=45°，求得 ADE是等腰直角三角形，得到AE=DE，根据勾股定理即可得到结论．
（1）解：∵在△A△BC中，AB＝AC，∠BAC=60°，
∴AC=AB=BC，根据旋转性质得：∠B=∠BAC＝∠DAE＝60°，AD=AE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中， ，∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B＝60°，BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝EC+CD，
∴AC＝BC＝EC+CD；故答案为：60°，AC＝DC+EC；
（2）解：BD2+CD2＝2AD2，理由如下：由（1）得，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，∴∠DCE＝90°，∴CE2+CD2＝ED2，
在Rt ADE中，AD2+AE2＝ED2，又AD＝AE，∴BD2+CD2＝2AD2；
△
42关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（3）解：作AE⊥CD于E，连接AD，
∵在Rt DBC中，DB＝3，DC＝5，∠BDC＝90°，∴BC＝ ，
△
∵∠BAC＝90°，AB＝AC ∴AB＝AC＝ ，∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠BDC＝∠BAC＝90°，∴点B，C，A，D四点共圆，
∴∠ADE＝∠ABC=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝DE，∴CE＝5﹣DE，
∵AE2+CE2＝AC2，∴AE2+（5﹣AE）2＝17，∴AE＝1，或AE＝4，∴AD＝ 或AD＝4 ．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判
定定理和性质定理是解题的关键．
13．（2024·浙江绍兴·校考一模）【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作
等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，连接BD，CE，试猜想
BD与CE的大小关系，不需要证明．
【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝5，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD2的
值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD全等的三角形，将BD进行转化再计算，请
你准确的叙述辅助线的作法，再计算；
【变式思考】（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，
则CD＝ ．
【答案】（1）BD＝CE；（2）BD2＝54；（3）8
43关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】（1）首先根据等式的性质证明∠EAC=∠BAD，则根据SAS即可证明△EAC≌△BAD，根据全等
三角形的性质即可证明；（2）在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，
AE=AB，连接EA、EB、EC，证明△EAC≌△BAD，证明BD=CE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理
即可求解；
（3）先证明△ABC是等边三角形，再把△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE，连接DE，则可得
△CDE是等边三角形，再证△BDE是直角三角形，运用勾股定理求出DE的长，从而可得CD的长．
【详解】解：（1）BD＝CE．理由是：
∵∠BAE＝∠CAD， ∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△EAC和△BAD中， ， ∴△EAC≌△BAD， ∴BD＝CE；
（2）如图2，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连接EA、
EB、EC．
∵∠ACD＝∠ADC＝45°， ∴AC＝AD，∠CAD＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝
∠BAD，
在△EAC和△BAD中， ，∴△EAC≌△BAD，∴BD＝CE．
∵AE＝AB＝5， ∴BE＝ ，∠ABE＝∠AEB＝45°，
又∵∠ABC＝45°， ∴∠ABC+∠ABE＝45°+45°＝90°，
∴ ，∴ ．
（3）如图，∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，
44关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
把△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE，连接DE，则BE＝AD，△CDE是等边三角形，
∴DE＝CD，∠CED＝60°，∵∠ADC＝30°， ∴∠BED＝30°+60°＝90°，
在Rt BDE中，DE＝ ＝ ＝8， ∴CD＝DE＝8．
△
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，正确理解题目之间的联系，构造全等三角形是解决本题关键．
14．（2024·江西·中考真题）综合与实践：如图，在 中，点D是斜边 上的动点（点D与点A
不重合），连接 ，以 为直角边在 的右侧构造 ， ，连接 ， ．
特例感知（1）如图1，当 时， 与 之间的位置关系是______，数量关系是______；
类比迁移（2）如图2，当 时，猜想 与 之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
拓展应用（3）在（1）的条件下，点F与点C关于 对称，连接 ， ， ，如图3．已知 ，
设 ，四边形 的面积为y．①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；②当 时，请
直接写出 的长度．
【答案】（1） ， （2） 与 之间的位置关系是 ，数量关系是 ；
（3）①y与x的函数表达式 ，当 时， 的最小值为 ；②当
时， 为 或 .
【分析】（1）先证明 ， ， ，可得 ；再结合全等三角形的
性质可得结论；（2）先证明 ， ，结合 ，可得
；再结合相似三角形的性质可得结论；（3）①先证明四边形 为正方形，如图，过
作 于 ，可得 ， ，再分情况结合勾股定理可得
45关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
函数解析式，结合函数性质可得最小值；②如图，连接 ， ， ，证明 ，
可得 在 上，且 为直径，则 ，过 作 于 ，过 作 于 ，
求解正方形面积为 ,结合 ，再解方程可得答案.
【详解】解：（1）∵ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ， ，∴ ；
∴ ， ，∴ ，
∴ ，∴ 与 之间的位置关系是 ，数量关系是 ；
（2） 与 之间的位置关系是 ，数量关系是 ；理由如下：
∵ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ；∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ 与 之间的位置关系是 ，数量关系是 ；
（3）由（1）得： ， ， ，∴ ， 都为等腰直角三角形；
∵点F与点C关于 对称，∴ 为等腰直角三角形； ，
∴四边形 为正方形，如图，过 作 于 ，
∵ ， ，∴ ， ，
当 时，∴ ，∴ ，
46关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
如图，当 时，此时 ，同理可得： ，
∴y与x的函数表达式为 ，当 时， 的最小值为 ；
②如图，∵ ，正方形 ，记正方形的中心为 ，∴ ，
连接 ， ， ，∴ ，∴ 在 上，且 为直径，∴
，
过 作 于 ，过 作 于 ，∴ ， ，
∴ ，∴ ，∴正方形面积为 ,
∴ ，解得： ， ，经检验都符合题意，如图，
综上：当 时， 为 或 .
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的
判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，二次函数的性质，圆的确定及圆周角定理的应用，本题难
度大，作出合适的辅助线是解本题的关键.
15．（2024·广东深圳·模拟预测）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点A旋转一个角度
，再将旋转后的多边形以点A为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段
的比为k，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作 顺 ；若逆时针旋转，记作
逆 ．
例如：如图①，先将 绕点B逆时针旋转 ，得到 ，再将 以点B为位似中心缩小到
原来的 ，得到 ，这个变换记作 逆 ．
47关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)如图②， 经过 顺 得到 ，用尺规作出 ．（保留作图痕迹）
(2)如图③， 经过 逆 得到 ， 经过 顺 得到 ，连接 ．
求证：四边形AFDE是平行四边形．(3)如图④，在 中， ， ， ．若 经
过（2）中的变换得到的四边形 是正方形，请直接写出 的长．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】（1）旋转 ，可作等边三角形 ， ，从而得出 点和点 对应点 ， 进而作出图形；
（2）根据 和 位似， 与 位似得出 ， ， ，进而
推出 ，从而 ，进而得出 ，同理可得： ，从而推出四边形
是平行四边形；（3）要使 是正方形，应使 ， ，从而得出
，从而得出 ，从而 ，于是作等边 ，
保证 ，作直径 ，保证 ，这样得出作法．并求出 的长．
【详解】（1）解：如图1，1．以B为圆心， 为半径画弧，以C为圆心， 为半径画弧，两弧在
的上方交于点D，分别以A，C为圆心，以 为半径画弧，两弧交于点E，
2．延长 至 ，使 ，延长 至 ，使 ，连接 ，则 就是求作的三角形；
48关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2）证明：∵ 和 位似， 与 位似，∴ ， ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
同理可得： ，∴四边形 是平行四边形；
（3）解：如图2，证明：由上知： ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，要使 是正方形，应使 ， ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴作等边 ，保证 ，作直径 ，保证 ，这样得出作法；
∵ ， ， ，∴ ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，图形的位似，圆周角定理，确定圆的
条件，尺规作图，平行四边形的判定与性质，正方形的判定与性质，解直角三角形等知识，熟练掌握以上
知识点是解决问题的关键，需要较强的分析能力．
16．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探
究：
(1)问题发现：如图1， 在等边 中， 点P是边 上任意一点， 连接 ， 以 为边作等边
， 连接 ． 易证： (2)变式探究：如图2，在等腰 中， ，点P是边 上任
意一点， 以 为腰作等腰 ， 使 ，连接 ．判断 和 的数
量关系，并说明理由：(3)解决问题：如图3，在正方形 中，点P是边 上一点，以 边作正方形
，Q是正方形 的中心， 连接 ．若正方形 的边长为6， 则正方形
49关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
的边长为
【答案】(1) (2) ，理由见解析(3)
【分析】（1）利用 定理证明 ，根据全等三角形的性质解答；（2）先证明
，得到 ，再证明 ，根据相似三角形的性质解答即可；（3）连接
、 ，证明 ，由相似三角形的性质得出 ，可求出 ，根据勾股定理
列出方程，解方程得到答案．
【详解】（1）解： 与 都是等边三角形， ， ， ，
， ，
在 和 中， ， ， ；故答案为： ；
（2）解： 和 的数量关系为： ；理由如下：
在等腰 中， ， ，
在等腰 中， ， ，
， ， ，∴ ， ，
， ， ， ；
（3）解：连接 、 ，如图3所示： 四边形 是正方形， ， ，
50关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
是正方形 的中心， ， ，
， ，
， ， ，
， ，设 ，则 ，
在 中， ，即 ，解得： （舍去），
正方形 的边长 ，故答案为： ．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与
性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形
相似是解题的关键．
17．（2024·湖北黄石·三模）（1）如图①， 和 为等腰直角三角形， ，
求证： ．（2）如图②， ， ，试探究线段 与
线段 的关系，并加以证明．（3）如图③， ， ，求 的最大
值．
【答案】（1）见解析；（2） ，见解析；（3）
【分析】（1）证明 ，则 ；
（2）证明 ，则 ， ，证明 ，则 ，
， 由 ，可得 ，即
；
（3）如图,过点C作 ，在 上取点E使 ，连接 ．由（2）知：
51关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，则 ， ，由勾股定理得， ，则
，即 最大值为 ，进而可求 的最大值．
【详解】（1）证明：∵ ，∴ ，即 ，
又∵ ，∴ ，∴ ；
（2）解： ，证明如下：
∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，即 ，
又∵ ，∴ ，∴ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，即 ；
（3）解：如图,过点C作 ，在 上取点E使 ，连接 ．
由（2）知： ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴由勾股定理得， ，
∵ ，∴ ，∴ 最大值为 ，∴ 的最大值为 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，
三角形三边关系等知识．熟练掌握了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与
性质，勾股定理，三角形三边关系是解题的关键．
18．（2024·湖北武汉·模拟预测）在 中， ， ，且 ．
(1)如图1，若F、G分别是 、 的中点，求证： ．
(2)如图2，若 ， ，连接 ，求 的值．(3)如图3，若 ， ，F、G分别
52关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
是 和 上的动点，且始终满足 ，将 绕A点顺时针旋转一周，则 的最小值为______．
【答案】(1)见解析；(2) ；(3) ．
【分析】（1）根据相似三角形的性质及判定，即可证明结论；（2）连接 ， ，同（1）可得
，继而证明 ，可得 ，设 ，计算得 ，即可证明
，所以 ，求得 ，即可求得答案；（3）连接 ， ，同
（2）可得： ，所以 ，当 时，求得 的最小值，当D点在 上时，求得
的最小值，即得答案．
【详解】（1） ， ， ，
又 ， ， ， ；
（2）连接 ， ，同（1）可得 ， ， ， ，
，
， ，设 ，则 ， ，
， ， ，
， ， ， ， ；
53关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（3）连接 ， ，同（2）可得： ， ，
， ， ， ， ，
，
当 时， 最小，最小值为 ，当D点在 上时， 最小为 ，
．故答案为： ．
【点睛】本题考查了线段的最值问题，图形旋转的性质，相似三角形的判定与性质，三角函数，直角三角
形的性质，添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键．
19．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）问题发现：如图1，在菱形 中， ，点 是对角
线 上一动点，连接 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ， ．求 的度数．
（2）问题探究：如图2，在正方形 中， ，点 是对角线 上一动点，连接 ，将 绕点
逆时针旋转 得到 ，连接 ，当 时，求 的长度；
（3）问题解决：某科技公司现有一块形如矩形 的研发基地，如图3，已知 米，
米，为了响应国家“科教兴国”战略，现需要扩大基地面积．扩建方案如下：点 是对角线 上一动点，
以 为边在 右侧作直角三角形 ，满足 ， ，其中将 修建成新能源研
发区， 为试验区，为保证研发效果，要使研发区（即 的面积最大，求此时试验区（即
的面积．
54关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】（1） ；（2） ；（3） 平方米
【分析】（1）根据菱形的性质推出 ， ，根据旋转的性质得到 ，
从而推出 ，即可判定 ，然后根据全等三角形的性质得到 ；
（2）过点 作 于 ，根据正方形的性质推出 是等腰直角三角形，根据 与 之间的
数量关系求出 的长后求出 和 的长，然后根据勾股定理求出 的长，由旋转的性质可知
是等腰直角三角形，求出 的长后在 中根据勾股定理即可求出结果；
（3）过 作 于 ，过点 作 ，交 延长线于 ，先判定 ，求出
的长后根据相似三角形的性质及 与 的关系求出 的长，设 为 ，用含 的代数式表示出
和 的长，用三角形面积公式列出 关于 的函数关系式，根据二次函数的最值即可求出 面积
最大时的 的值，再求出此时试验区（即 的面积．
【详解】解：（1） 四边形 是菱形， ， ， ，
由旋转可知： ， ， ， ， ；
（2）如图2，过点 作 于 ，
四边形 是正方形， ， 是对角线， ， ， ，
又 ， 是等腰直角三角形，
55关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
， ， ， ， ，
在 中， ，
绕点 逆时针旋转 得到 ， 是等腰直角三角形， ，
在 中， ， ， ；
（3）如图3，过 作 于 ，过点 作 ，交 延长线于 ， ，
四边形 是矩形， 米， 米， ， （米 ，
（米 ， 米， （米 ，
中， ， ， ， ，
又 ， ，又 ， ，
，设 米，则 米，
米， 米， 米，
，
当 时， 面积最大，此时 米， 米，
（米 ， （米 ，
（平方米），
即研发区的面积最大时试验区的面积为 平方米．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查菱形的性质，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与
性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理以及二次函数的应用等知识点，深入理解题意是
解决问题的关键．
56关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
57
