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专题21 全等与相似模型之半角模型
全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。全等三角形、相似三角形与其它知
识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，
熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方
便掌握。
.........................................................................................................................................................................................1
模型1.半角模型（全等模型）.......................................................................................................................1
模型2.半角模型（相似模型）.....................................................................................................................13
..................................................................................................................................................15
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
模型1.半角模型（全等模型）
半角模型概念：半角模型是指是指有公共顶点，较小角等于较大角的一半，较大的角的两边相等，通过旋
转，可将角进行等量转化，构造全等三角形的几何模型。
1）正方形半角模型
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条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋
DF；④ AEF的周长=2AB；⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG，
∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG；
∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。
∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°，
∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF，
∴ AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°，
∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE，
∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
2）等腰直角三角形半角模型
条件： ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；
结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；
证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG，
∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG；
∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°，
∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，
∴∠ECG=90°，∴GE2＝GC2＋EC2,∴DE2＝BD2＋EC2；
3）等边三角形半角模型（120°-60°型）
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条件： ABC是等边三角形， BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；
结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④ AEF的周长=2AB；
⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。
证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG，
∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG；
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故
∠GDF=∠EDF，
∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF，
∴ AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB，
过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°，
∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF，
∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BFD=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。
4）等边三角形半角模型（60°-30°型）
条件： ABC是等边三角形，∠EAD=30°；
结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝( BD＋EC)2+ ；
证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF，
∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF；
∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°，
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∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°，
过点F作FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH= CF= BD，FH= CF= BD，
∵在直角三角形中：FE2＝FH2＋EH2,∴DE2＝( BD＋EC)2+( BD)2；
5）任意角度的半角模型（ - 型）
条件：∠BAC= ，AB=AC，∠DAE= ；
结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°- 。
证明：将△ABD绕点A逆时针 °至△ACF，即△BAD≌△CAF，
∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°- ，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-
。
∵∠BAC= ，∠DAE= ，∴∠BAD+∠EAC= ，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE= ，∴∠DAE=∠FAE= ，
∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。
例1．（2023·广东广州·二模）在正方形 中，点E、F分别在边 上，且 ，连接
．
(1)如图1，若 ， ，求 的长度；(2)如图2，连接 ， 与 、 分别相交于点M、
N，若正方形 的边长为6， ，求 的长；(3)判断线段 三者之间的数量关系并
证明你的结论﹒
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例2．（23-24八年级下·四川达州·阶段练习）倡导研究性学习方式，着力教材研究，习题研究，是学生跳
出题海，提高学习能力和创新能力的有效途径．
(1)【问题背景】已知：如图1，点E、F分别在正方形 的边 上， ，连接 ，则
之间存在怎样的数量关系呢？
（分析：我们把 绕点A顺时针旋转 至 ，点G、B、C在一条直线上．）
于是易证得： 和 ，所以 ．
直接应用：正方形 的边长为6， ，则 的值为 ．
(2)【变式练习】已知：如图2，在 中， ，D、E是斜边 上两点，且 ，请
写出 之间的数量关系，并说明理由．
(3)【拓展延伸】在（2）的条件下，当 绕着点A逆时针一定角度后，点D落在线段BC上，点E落
在线段BC的延长线上，如图3，此时（2）的结论是否仍然成立，并证明你的结论．
例3．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，在 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E都在边BC
上，∠BAD＝15°，∠DAE＝60°．若DE=3，则AB的长为 ．
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例4．（23-24九年级上·江西南昌·期中）（1）如图①，在直角 中， ， ，点D
为 边上一动点（与点B不重合），连接 ，将 绕点A逆时针旋转 ，得到 ，那么
之间的位置关系为__________，数量关系为__________；（2）如图②，在 中， ，
，D，E（点D，E不与点B，C重合）为 上两动点，且 ．求证：
．（3）如图③，在 中， ， ， ， ，
D，E（点D，E不与点B，C重合）为 上两动点，若以 为边长的三角形是以 为斜边的直
角三角形时，求 的长．
例5．（2024·江西·九年级期中）（1）【特例探究】如图1，在四边形 中， ，
， ， ，猜想并写出线段 ， ， 之间的数量关系，证明
你的猜想；
（2）【迁移推广】如图2，在四边形 中， ， ， ．请
写出线段 ， ， 之间的数量关系，并证明；
（3）【拓展应用】如图3，在海上军事演习时，舰艇在指挥中心（ 处）北偏东20°的 处．舰艇乙在指
挥中心南偏西50°的 处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80
海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测
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到甲、乙两舰艇分别到达 ， 处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰
艇之间的距离．
例6．（2022·湖北十堰·中考真题）【阅读材料】如图①，四边形 中， ， ，
点 ， 分别在 ， 上，若 ，则 ．
【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形 ．已知 ，
， ， ，道路 ， 上分别有景点 ， ，且 ，
，若在 ， 之间修一条直路，则路线 的长比路线 的长少
_________ （结果取整数，参考数据： ）．
模型2.半角模型（相似模型）
半角模型特征：①共端点的等线段； ②共顶点的倍半角；
半角模型辅助线的作法：由旋转（或翻折）构造两对全等，从而将边转化，找到边与边的关系（将分散的
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条件集中，隐蔽的关系显现）。
常见的考法包括：90°与45°（正方形、直角三角形）；120°与60°（等边三角形）等。
1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型）
条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45°
结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN；
图1 图2
证明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF，
∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN；
结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN.
证明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF，
∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN；
结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且 ；
A D A D
45° 45°
N N
F F
M M
B E C B E C
图3 图4
证明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°， ，∴∠BAM+∠MAC=45°，
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∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴ 。
同理：△AND∽△AEC， ；即 。
结论：如图4，△AMN∽△AFE且 ．
证明：∵ABCD 是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，
∴∠AFE=∠AMN；
又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图3证明知： ，∴ 。
2）半角模型（含120-60°半角模型）
图5
条件：如图5，已知∠BAC＝120°， ；
结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；② ；③ （ ）。
证明：∵ ，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC，
∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴ ，即： ，
同理：△CAE∽△CBA，∴ ，即： ，即：△ABD∽△CAE∽△CBA； ，
∴ ，∵AD=AE=DE，∴
例1．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且
∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF，有以下结论：①△ABM∽△NEM；②△AEN是
等腰直角三角形；③当AE=AF时， ；④BE+DF=EF；⑤若点F是DC的中点，则CE CB．
其中正确的个数是( )
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A．2 B．3 C．4 D．5
例2．（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，
如图1所示，点A为公共顶点，点D在 的延长线上， ， ．若将
固定不动，把 绕点A逆时针旋转a（ ），此时线段 ，射线 分别与射线
交于点M，N．(1)当 旋转到如图2所示的位置时，①求证： ；
②在图2中除 外还有哪些相似三角形，直接写出；③如图2，若 ，求 的长；
(2)在旋转过程中，若 ，请直接写出 的长_________（用含d的式子表示）．
例3．（2024·辽宁·模拟预测）（1）如图，等腰 中， ， ， 、 在线段
上，且 ， ， ，求 的长．
（2）如图，在 中， ，如果 ， 在直线 上， 在 上， 在 的右侧，
，若 ， ，求 的长．（3）如图，在 中，若 ， 、 是线段
上的两点， ，若 ， ，探究 与 的数量关系．
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例4．（2023·辽宁沈阳·统考二模）在菱形 中， ．点 ， 分别在边 ， 上，且
．连接 ， ．（1）如图1，连接 ，求证： 是等边三角形；（2） 平分
交 于点 ．
①如图2， 交 于点 ，点 是 的中点，当 时，求 的长．
②如图3， 是 的中点，点 是线段 上一动点（点 与点 ，点 不重合）．当 ，
时，是否存在直线 将 分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为
1∶3．若存在，请直接写出 的值；若不存在，请说明理由．
例5．（2024·山东烟台·一模）如图①，在正方形 中，点N、M分别在边 、 上，连结 、
、 ． ，将 绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到 ．易证：
，从而得 ．
【实践探究】（1）在图①条件下，若 ， ，则正方形 的边长是_________．
（2）如图②，点M、N分别在边 、 上，且 ．点E、F分别在 、 上， ，
连接 ，猜想三条线段 、 、 之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】（3）如图③，在矩形 中， ， ，点M、N分别在边 、 上，连结
， ，已知 ， ，求 的长．
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1．（2024·福建南平·二模）已知正方形 的边长为6，E，F分别是 ， 边上的点，且
，将 绕点D逆时针旋转 ，得到 ．若 ，则 的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．6.5
2．（2024·重庆·一模）如图，正方形 中， 是 上一点， 是 延长线上一点， ，连
接 为 中点，连接 ．若 ，则 （ ）
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A． B． C． D．
3．（2023·江苏宿迁·三模）如图，平面直角坐标系中，长方形 ，点A，C分别在y轴，x轴的正半轴
上， ， ， ， 、 分别交 ， 于点D、E，且 ，则 的长为
（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．（23-24九年级下·湖北襄阳·期中）如图所示，边长为4的正方形 中，对角线 ， 交于点
O，E在线段 上，连接 ，作 交 于点F，连接 交 于点H，则下列结论：①
；② ；③ ；④若 ，则 ，正确的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
5．（2024·山东淄博·二模）如图， 正方形 的边长为4， 点 M 在 CB 延长线上， 作
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交 延长线于点 N，则 的长为 ．
6．（2024·吉林·二模）已知： 正方形 中， ，它的两边分别交CB， 于点 ，
， 于点 ， 连结 ， 则下列结论 ① ； ② ； ③
； ④ 当 时， ，其中结论一定正确的序号是 ．
7．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）如图，在矩形 中， ， ， ， 分别为， 边
上的点．若 ， ，则 的长为 ．
8．（2023·上海宝山·校考一模）如图，在△ABC中，AB=AC ，点D、E在边BC上，∠DAE=∠B=30°，
且 ，那么 的值是 ．
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9．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）已知四边形 中， ， ， ，
， ， 绕B点旋转，它的两边分别交 ， （或它们的延长线）于E，
F．当 绕B点旋转到 时，如图1，易证 ．（不用证明）(1)当 绕B点旋
转到 时，如图2，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明； (2)当 绕B点旋转到
时，如图3，（1）中结论是否成立？若不成立，线段 ， ， 又有怎样的数量关系？请给
予证明．
10．（2024·广西·模拟预测） 实践与探究：小明在课后研究正方形与等腰直角三角形叠放后各个线段间的
数量关系．已知正方形 的边长为6，等腰 的锐角顶点A与正方形 的顶点A重合，将
此三角形绕A点旋转， ， 两边分别交直线 ， 于M，N，旋转过程中，等腰 的边
与正方形没有交点．(1)如图1，当M，N分别在边 ， 上时，小明通过测量发现 ，他
给出了如下的证明：过A作 交 延长线于G，连接 ，如图2，易证 ，则有
．请你帮助小明后续证明； (2)如图3，当M，N分别在 ， 的延长线上时，请直接写出
， ， 之间的数量关系； (3) 在旋转过程中，等腰直角三角形的一边正好经过正方形 边上的
中点P，求出此时 的长．
11．（2024·重庆市育才中学二模）回答问题
（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，
且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明 ABE≌△ADG，再证明
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AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是_______________；
△（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，
且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）【拓展延伸】知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F
在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．
12．（2024·山西吕梁·九年级校考期中）在练习课上，慧慧同学遇到了这样一道数学题：如图，把两个全
等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝30°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC
于点M，N，∠MDN＝60°，连接MN．
探究AM，MN，BN三条线段之间的数量关系．
慧慧分析：可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等，从而探究出AM，
MN，BN三条线段之间的数量关系．
慧慧编题：在编题演练环节，慧慧编题如下：
如图（1），把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝45°，以D为顶点作
∠MDN，交边AC，BC于点M，N， ，连接MN．
（1）先猜想AM，MN，BN三条线段之间的数量关系，再证明．
（2）∠MDN绕点D旋转，当M，N分别在CA，BC的延长线上，完成图（2），其余条件不变，直接写出
AM，MN，BN三条线段之间的数量关系．
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请你解答：请对慧慧同学所编制的问题进行解答．
13．（2024·贵州·模拟预测）如图，在正方形 中， ，E、F分别是 上的点，且
， 分别交 于点M，N，连接 ．(1)如图①，试探究 和 的数量关系和位
置关系；(2)如图②，若点G是 的中点，连接 ，求证： ；(3)在（2）的条件下，若
，求 的面积．
14．（2024·江西南昌·模拟预测）【模型建立】(1)如图1，在正方形 中， ， 分别是边 ，
上的点，且 ，探究图中线段 ， ， 之间的数量关系．
小明的探究思路如下：延长 到点 ，使 ，连接 ，先证明 ，再证明
．① ， ， 之间的数量关系为________；
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②小亮发现这里 可以由 经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像
上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型．
【类比探究】(2)如图2，在四边形 中， ， 与 互补， ， 分别是边 ，
上的点，且 ，试问线段 ， ， 之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由．
【模型应用】(3)如图3，在矩形 中，点 在边 上， ， ， ，求 的长．
15．（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】如图1，在 中， ， ，点D、E在边 上，且 ，
， ，求 的长．
解：如图2，将 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ．
由旋转的特征得 ， ， ， ．
∵ ， ，∴ ．
∵ ，∴ ，即 ．∴ ．
在 和 中， ， ， ，∴___①___．∴ ．
又∵ ，∴在 中，___②___．
∵ ， ，
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∴ ___③___．
【问题解决】上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以
不变应万变．
【知识迁移】如图3，在正方形 中，点E、F分别在边 上，满足 的周长等于正方形
的周长的一半，连结 ，分别与对角线 交于M、N两点．探究 的数量关系
并证明．
【拓展应用】如图4，在矩形 中，点E、F分别在边 上，且 ．探究
的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．
【问题再探】如图5，在 中， ， ， ，点D、E在边 上，且 ．
设 ， ，求y与x的函数关系式．
16．（2024·吉林长春·一模）【问题提出】如图①，在正方形 中， 、 分别是边 和对角线
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上的点， ，从而 ， ______．
【思考探究】如图②，在矩形 中， ， ， 、 分别是边 和对角线 上的点，
，若 ，求 的长．
【拓展延伸】如图③，在菱形 中， ，对角线 ， 交 的延长线于点 ， 、
分别是菱形高 和对角线 上的点， ， ，直接写出 的长．
17．（2024·江西新余·模拟预测）【问题提出】（1）如图①，在正方形 中，点 ， 分别在边
和对角线 上， ，求证： ．
【尝试应用】（2）如图②，在矩形 中， ， ，点 ， 分别在边 和对角线 上，
， ，求 的长．
【拓展提高】（3）如图③，在菱形 中， ， ，点 ， 分别在边 和对角线 上，
， ， ， 的延长线交于点 ，请直接写出 的长．
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18．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有 角的
三角尺放在正方形 中，使 角的顶点始终与正方形的顶点 重合，绕点 旋转三角尺时， 角的
两边 ， 始终与正方形的边 ， 所在直线分别相交于点 ， ，连接 ，可得 ．
【探究一】如图②，把 绕点C逆时针旋转 得到 ，同时得到点 在直线 上．求证：
；
【探究二】在图②中，连接 ，分别交 ， 于点 ， ．求证： ；
【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线 与三角尺 角两边 ， 分别交于点 ， ．
连接 交 于点 ，求 的值．
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