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专题 22 全等与相似模型之对角互补模型
全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综
合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本
解题模型，再遇到该类问题就信心更足。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
.........................................................................................................................................................................................1
模型1.对角互补模型（全等型：90°-90°）..................................................................................................1
模型2.对角互补模型（全等型：60°-120°）................................................................................................4
模型3.对角互补模型（全等型：α—180°-α）..............................................................................................7
模型4.对角互补模型（相似模型）.............................................................................................................10
..................................................................................................................................................15
-
模型1.对角互补模型（全等型：90° 90°）
对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。
对角互补模型（90°— 90°型）主要分异侧型和同侧型两大类，处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，
构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。
1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.
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结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝ OC，③ .
证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，
又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，
根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，∴∠CON＝45°，OM=ON，
又∵OD＋OE＝OM-DM+ON+NE，∴OD＋OE=OM+ON=2ON= OC，
∵△MCD≌△NCE，∴S =S ，∴
MCD NCE
2）“斜边等腰直角三角形△ +直角△三角形”模型（同侧型）
条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②OE－OD＝ OC，③ .
证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，
又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，
∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，
∴∠CON＝45°，OM=ON，又∵OE－OD＝ON+NE-（DM-OM），∴OE－OD=ON+OM=2ON= OC，
∵△MCD≌△NCE，∴S =S ， .
MCD NCE
△ △
例1．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）综合与实践
已知，在Rt ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕点D旋转，它的
两边分别交△AC，CB（或它们的延长线）于点E，F．
（1）【问题发现】如图1，当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于点E时（如图1），
①证明：△ADE≌△BDF；②猜想：S DEF+S CEF＝ S ABC．
△ △ △
（2）【类比探究】如图2，当∠EDF绕点D旋转到DE与AC不垂直时，且点E在线段AC上，试判断
S DEF+S CEF与S ABC的关系，并给予证明．
△ △ △
（3）【拓展延伸】如图3，当点E在线段AC的延长线上时，此时问题（2）中的结论是否成立？若成立，
请给予证明；若不成立，S DEF，S CEF，S ABC又有怎样的关系？（写出你的猜想，不需证明）
△ △ △
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图1 图2 图3
例2．（2024·陕西·一模）问题提出(1)如图1，将直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线AC
上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC于点E，线段PB和线段PE相等吗？请证明；
问题探究(2)如图2，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条
直角边交DC的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
问题解决(3)继续移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角
边交DC的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
例3．（2024·河南·一模）已知 ，点 是 的角平分线 上的任意一点，现有一个直角
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绕点 旋转，两直角边 ， 分别与直线 ， 相交于点 ，点 .
（1）如图1，若 ，猜想线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由.
（2）如图2，若点 在射线 上，且 与 不垂直，则（1）中的数量关系是否仍成立？如成立，请
说明理由；如不成立，请写出线段 ， ， 之间的数量关系，并加以证明.
（3）如图3，若点 在射线 的反向延长线上，且 ， ，请直接写出线段 的长度.
-
模型2.对角互补模型（全等型：60° 120°）
对角互补模型（60°— 120°型），处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋
转的构造，构造手拉手全等。
1）“等边三角形对120°模型”（1）
条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③ .
证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，
又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°，
∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，
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∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM= OC，NC=MC= OC。
又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC，
△MCD≌△NCE，∴S =S ，∴
MCD NCE
∵
△ △
。
2）“等边三角形对120°模型”（2）
条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D，
结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③ .
证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，
又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60°
∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，
∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM= OC，NC=MC= OC。
又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC，
∵△MCD≌△NCE，∴S =S ，∴
MCD NCE
△ △
。
3）“120°等腰三角形对60°模型”
条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°，PA平分∠BPC。 结论：PB+PC= PA；
证明：将△PAC绕点A顺时针旋转120°至△QAB，即△PAC≌△QAB，
∴∠ACP=∠ABQ，∠CAP=∠BAQ，AP＝AQ，PC＝QB；
∵∠BAC=120°，∠BPC=60°，∴∠ACP+∠ABP=180°，∴∠ABQ+∠ABP=180°，故P、B、Q共线。
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又∵∠BPC=60°，PA平分∠BPC，∴∠APQ=60°，∵AP＝AQ，∴∠AQP=60°，
根据勾股定理易证：PQ= PA，又∵PQ=PB+QB=PB+PC，∴PB+PC= PA。
例1．（2024重庆八年级期末）如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个60°
角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．
（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理
由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说
明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给
于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
例2．（2024广东中考一模）如图，已知 ，在 的角平分线 上有一点 ，将一个
角的顶点与点 重合，它的两条边分别与射线 相交于点 .
（1）如图1，当 绕点 旋转到 与 垂直时，请猜想 与 的数量关系，并说明理由；
（2）当 绕点 旋转到 与 不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理
由；
（3）如图3，当 绕点 旋转到点 位于 的反向延长线上时，求线段 与 之间又有怎
样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.
例3．（23-24九年级上·重庆江津·期中）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，
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∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．
（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；
（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：
BE+CF= AB．（3）如图3，若∠EDF的两边分别交AB、AC的延长线于E、F两点，（2）中的结论还成
立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出线段BE、AB、CF之间的数量关系．
模型3.对角互补模型（全等型：α—180°-α）
对角互补模型（α—180°-α型）处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转
的构造，构造手拉手全等。
1）“α对180°-α模型”
条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。
证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，
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∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。
∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。
注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。
2）“蝴蝶型对角互补模型”（隐藏型对角互补）
条件：AP=BP，∠AOB=∠APB，结论：OP平分∠AOB的外角。
证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠AOB=∠APB，∴∠A=∠B。
∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。
例1．（2024·福建厦门·九年级校考期中）如图， （ 是常量）．点P在 的平分线上，且
，以点P为顶点的 绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中， 的两边分别与 ，
相交于M，N两点，若 始终与 互补，则以下四个结论：① ；② 的值不
变；③四边形 的面积不变；④点M与点N的距离保持不变．其中正确的为（ ）
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③
例2．（2023春·江苏·八年级专题练习）感知：如图①， 平分 ， ， ．
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判断 与 的大小关系并证明．
探究：如图②， 平分 ， ， ， 与 的大小关系变吗？请
说明理由．应用：如图③，四边形 中， ， ， ，则 与 差是多
少（用含 的代数式表示）
例3．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）如图（1）~（3），已知 的平分线OM上有一点P，
的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设 ，
．
(1)如图（1），当 时，试猜想PC与PD， 与 的数量关系（不用说明理由）；
(2)如图（2），当 ， 时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由．
(3)如图（3），当 时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；
若不成立，请说明理由．
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模型4.对角互补模型（相似模型）
四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，
从而证明两个三角形相似.
1）对角互补相似1
条件：如图，在Rt ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点，
△
结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE OHF；②
证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∼△
∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°，
∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE OHF，∴ ，
∼△
C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴
∵∠
∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB ACB，∴ ，∴
2）对角互补相似 2 ∼△
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝ .
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结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG DCF；②CE＝CD·
. ∼△
证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°，
∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°，
∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG DCF，∴ ，
∼△
∵CF=OG，∴ ，∵在Rt COG中， ，∴CE＝CD·
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝△90°，∠BOC＝ .
结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE COD；②CE＝CD· .
证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90∼°△，
∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO，
∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°，
∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE COD，∴ ，∵在Rt OCF中， ，∴CE＝CD· .
3）对角互补相似3
∼△ △
条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。
结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE DCF；②A、B、C、D四
点共圆。 ∼△
证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。
∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°，
∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE DCF；
∼△
例1．（2024·江苏淮安·一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，我们做以下探究．
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在 中， ， ， 是 边上一点，且 ( 为正整数）， 、 分别是边
和边 上的点，连接 ，且 ．
【初步感知】（ ）如图 ，当 时，兴趣小组探究得出结论： ，请写出证明过程．
【深入探究】（ ） 如图 ，当 ，试探究线段 ， ， 之间的数量关系，请写出结论并证明；
请通过类比、归纳、猜想，探究出线段 ， ， 之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必
证明）．
【拓展运用】（ ）如图 ，点 为靠近 的四等分点，连接 ，设 的中点为 ，若 ，求
点 从点 运动到点 的过程中，请直接写出点 运动的路径长．
例2．（23-24九年级上·山西临汾·期中）综合与探究
问题解决：如图1， 中， ，过点C作 于点D，小明把一个三角板
的直角顶点放置在点D处，两条直角边分别交线段 于点 E ，交线段 于点 F，在三角板绕着点D旋
转的过程中，若点E是 的中点，则点F也是 的中点吗？（注：可以用知识：直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半）
“阳光”小组的解答是：若点E是 的中点，则点F也是 的中点．
理由如下：∵ 于点 D， ．
∵点 E 是 的中点， ．
， ． 是等边三角形． ，
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． ．
又 ， ．
．即若点E是 的中点，则点F也是 的中点．
反思交流（1）“群星”小组认为在这个题中，可以去掉条件“ ”，其他条件不变（如图2），若
点E是 的中点，则点F也是 的中点．请你根据条件证明这个结论；
拓广探索（2）去掉条件“ ”，其他条件不变旋转过程中，若 （如图3），那么等式
成立吗？请说明理由；（3）去掉条件“ ”，其他条件不变．若点 E 是 上任意一点
（如图4），（2）中的结论还成立吗？请说明理由．
例3．（2023·河南信阳·统考二模）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°， ，CD⊥AB于点D，点E
△
是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．
（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则 ＝ ；
（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则 ＝ （用含m，n的代数式表示）；
②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；
（3）拓展应用：若AC＝ ，BC＝2 ，DF＝4 ，请直接写出CE的长．
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例4．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图1，等边 中， 为 边上的一点，且 ，
分别为 上的两个动点，始终保持 .
(1)若 ，求证：① ，② ；
(2)①如图2，若 ，试探究 之间的数量关系，请写出证明过程；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出 之间的数量关系的一般结论（用含有 的代数式直接写出，
不用证明）；(3)如图3， 为 边上的中点， ，连接 ，当点 分别在线段 上运
动时，当 时，直接写出线段 扫过的图形的面积.
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1.（2024·江苏·校考一模）如图，已知四边形 的对角互补，且 ， ， ．
过顶点C作 于E，则 的值为（ ）
A． B．9 C．6 D．7．2
2．（2024·安徽六安·三模）在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如图，在直角三角形纸片
内剪取一个直角 ，点 ， ， 分别在 ， ， 边上．
请完成如下探究：（1）当 为 的中点时，若 ，
（2）当 ， 、 时 ， 的长为
3．（2023·山西临汾·统考二模）在菱形 中， ，对角线 交于点 ，
分别是 边上的点，且 与 交于点 ，则 的值为 ．
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4．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图， 为等边三角形，边长为4，点 为 的中点，
，其两边分别交 和 的延长线于 ，则 ．
5．（23-24九年级上·湖北孝感·阶段练习）（情景呈现）画 ，并画 的平分线 ．
（I）把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点 上，使三角尺的两条直角边分别与 的两边 ，
垂直，垂足为 ， （如图1）．则 ；若把三角尺绕点 旋转（如图2），则 ________ ．
（选填：“<”、“>”或“=”）
（理解应用）（2）在（1）的条件下，过点 作直线 ，分别交 ， 于点 ， ，如图3．
①图中全等三角形有________对．（不添加辅助线）②猜想 ， ， 之间的关系为________．
（拓展延伸）（3）如图4，画 ，并画 的平分线 ，在 上任取一点 ，作
， 的两边分别与 ， 相交于 ， 两点， 与 相等吗？请说明理由．
6．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）已知 是 中 的角平分线，点 ， 分别在边 ， 上，
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， ， 与 的面积之和为 ．
(1)当 ， ， 时，如图1，若 ， ，则 ______，
______；
(2)如图2，当 时，①求证： ；②直接写出 与 ， 的数量关系；
(3)如图3，当 ， ， ， 时，请直接写出 的大小．
7．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）如图， ， 平分 ，点P为 上一个动点，过
点P作射线 交 于点E．以点P为旋转中心，将射线沿逆时针方向旋转 ，交 于点F．
(1)根据题意补全图1；(2)如图1，若点E在OA上，用等式表示线段OE、OP和OF之间的数量关系，并证
明；(3)如图2，若点E在OA的反向延长线上，直接写出线段OE、OP和OF之间的数量关系．
8．（2024·吉林长春·一模）【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．
我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图所示， 是 的平分线，
P是 上任一点，作 ， ，垂足分别为点D和点E．将 沿 对折，我们发现
与 完全重合．由此即有：角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等．
已知：如图所示， 是 的平分线，点P是 上的任意一点， ， ，垂足分别为
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点D和点E．
求证： ．
分析：图中有两个直角三角形 和 ，只要证明这两个三角形全等，便可证得 ．
（1）请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．
【定理应用】（2）如图②，已知 是 的平分线，点P是 上的任意一点，点D、E分别在边
上，连结 ， ．若 ， ，则 的长为
______．
（3）如图③，在平行四边形 中， ， 平分 交 于点E，连结 ，将 绕
点E旋转，当点C的对应点F落在边 上时，若 ，则四边形 的面积为______．
9．（2024·北京·一模）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是BC边的中点，作射线DE，与边AB交于
点E，射线DE绕点D顺时针旋转120°，与直线AC交于点F．（1）依题意将图1补全；（2）小华通过观
察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有DE=DF．小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，
形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：由点D是BC边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE=DF；
想法2：利用等边三角形的对称性，作点E关于线段AD的对称点P，由∠BAC与∠EDF互补，可得∠AED
与∠AFD互补，由等角对等边，可证DE=DF；
想法3：由等腰三角形三线合一，可得AD是∠BAC的角平分线，由角平分线定理，构造点D到AB，AC
的高，利用全等三角形，可证DE=DF…….
请你参考上面的想法，帮助小华证明DE=DF（选一种方法即可）；
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（3）在点E运动的过程中，直接写出BE，CF，AB之间的数量关系．
10．（2023·陕西西安·模拟预测）问题提出（1）如图①，在 中， ， ， 平
分 ， ，则点 到 的距离为__________．
问题探究（2）如图②， 中， ， ， ，点 为斜边 上一点，且
， 的两边交 于点 ，交 于点 ，若 ，求四边形 的面积．
问题解决（3）市政部门根据地形在某街道设计一个三角形赏花园如图③， 为赏花园的大致轮廓，
并将赏花园分成 、 和四边形 三部分，其中在四边形 区域内种植 平方米的
月季，在 和 两区域种植薰衣草，根据设计要求： ，点 、 、 分别在边 、
、 上，且 ， ，为了节约种植成本，三角形赏花园 的面积是否存在最小
值，若存在，请求出 面积的最小值；若不存在，请说明由．
11．（23-24九年级上·广东惠州·期中）在 中， ， ．将一块三角板的直角顶点
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放在斜边 的中点 处，将三角板绕点 旋转，三角板的两直角边分别交边 、 于点D、E．
(1)如图①，当 时，则 的值是________．
(2)如图②，当 与 不垂直时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明
理由；(3)如图③，在 内作 ，使得 、 分别交 、 于点 、 ，连接 ．
那么 的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
12．（2023·广东深圳·一模）（1）【探究发现】如图1，正方形 的对角线相交于点O，在正方形
绕点O旋转的过程中，边 与边 交于点M，边 与边 交于点N．证明：
；
（2）【类比迁移】如图2，矩形 的对角线相交于点O，且 ， ，在矩形 ，绕
点O旋转的过程中，边 与边 交于点M，边 与边 交于点N．若 ，求 的长；
（3）【拓展应用】如图3，四边形 和四边形 都是平行四边形，且 ， ，
， 是直角三角形，在 绕点O旋转的过程中，边 与边 交于点M，边
与边 交于点N．当 与 重叠部分的面积是 的面积的 时，请直接写出 的长．
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13．（2023·四川成都·统考中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探
究．
在 中， ，D是 边上一点，且 （n为正整数），E是 边上的动点，
过点D作 的垂线交直线 于点F．
【初步感知】(1)如图1，当 时，兴趣小组探究得出结论： ，请写出证明过程．
【深入探究】(2)①如图2，当 ，且点F在线段 上时，试探究线段 之间的数量关系，
请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段 之间数量关系的一般结论（直
接写出结论，不必证明）
【拓展运用】(3)如图3，连接 ，设 的中点为M．若 ，求点E从点A运动到点C的过程中，
点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．
14．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）【问题探究】（1）如图 ， 、 相交于点 ，连接 、 ，且
，若 ， ， ，则 的长为______ ；（2）如图 ， ，点 是
平分线上的一个定点，点 、 分别在射线 、 上，且 ，求证：四边形
的面积是定值；
【拓展运用】（3）如图 ，某创业青年小李租用一块形如四边形 的田地养蜂、产蜜与售蜜，其中
， ， 米， 米， 米，点 为入口，点 在 上，且 ，
小李计划过点 修一条垂直于 的笔直小路 ，将田地分为两部分，四边形 区域为蜂巢区，四边
形 区域为蜂源植物生长区，在点 处设立售蜜点，为了方便取蜜，计划再沿 修一条笔直的小路
，直接写出小路 的长（小路的宽度忽略不计，结果保留根号）
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15．（2024·四川成都·二模）如图，在矩形 中， （n为正整数），点E是 边上一动点，
P为 中点，连接 ，将射线 绕点P按逆时针方向旋转 ，与矩形的边交于点F．
【尝试初探】（1）在点E的运动过程中，当点F在 边上时，试探究线段 ， 之间的数量关系，
请写出结论并证明；
【深入探究】（2）若 ，在点E的运动过程中，当点F在 边上时，求 的最小值；
【拓展运用】（3）若 ，设 的中点为M，求点E从点B运动到点C的过程中，点M运动的路程
（用含n的代数式表示）．
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