2025年中考数学几何模型综合训练（通用版）专题19全等与相似模型之一线三等角（K字）模型解读与提分精练（学生版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2025中考复习资料

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 专题 19 全等与相似模型之一线三等角（K 字）模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综 合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本 解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 .........................................................................................................................................................................................2 模型1.一线三等角模型（全等模型）...........................................................................................................2 模型2.一线三等角模型（相似模型）.........................................................................................................11 ..................................................................................................................................................19 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样 才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法 的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中 提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点， 因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在 几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解 每一个题型，做到活学活用！ 模型1.一线三等角模型（全等模型） 1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线 段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 1）一线三等角（K型图）模型（同侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件： ，AE=DE； 结论： ，AB+CD=BC。 2）一线三等角（K型图）模型（异侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件： ，AE=DE； 结论： ，AB-CD=BC。 1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴ ， ∴ ， ，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2）（异侧型）证明：∵ ，∴∠ECD=∠ABE， ∵ ，∠AED=∠AEB+∠CED， ， 2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴ ， ∴ ， ，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 例1．（2024·山东烟台·中考真题）在等腰直角 中， ， ，D为直线 上任意一 点，连接 ．将线段 绕点D按顺时针方向旋转 得线段 ，连接 ． 【尝试发现】（1）如图1，当点D在线段 上时，线段 与 的数量关系为________； 【类比探究】（2）当点D在线段 的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段 与 的数量关 系并证明； 【联系拓广】（3）若 ， ，请直接写出 的值． 例2．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（点D 不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E． （1）当∠BDA=115°时，∠EDC=______°，∠AED=______°； （2）线段DC的长度为何值时， ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中， ADE的形 状可以是等腰三角形吗？若可以，△求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由． △ 3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 例3．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】（1）如图1，已知 和 ， ， ， ， ．用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由． 【模型应用】（2）如图2，在正方形 中，点E，F分别在对角线 和边 上， ， ．用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】（3）如图3，在正方形 中，点E在对角线 上，点F在边 的延长线上， ， ．用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由． 例4．（23-24八年级上·重庆綦江·期末）（1）如图①， ，射线 在这个角的内部，点B、C 分别在 的边 、 上，且 ， 于点F， 于点D．求证： ； （2）如图②，点B、C分别在 的边 、 上，点E、F都在 内部的射线 上， 、 分别是 、 的外角．已知 ，且 ．求证： ； （3）如图③，在 中， ， ．点D在边 上， ，点E、F在线段 上， 4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ．若 的面积为17，求 与 的面积之和． 例5．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点A在y轴正半轴， 点C在x轴正半轴， 交y轴于点E．(1)如图1，若点B坐标为 ，直接写 出点A的坐标 ，点C的坐标 ；(2)如图2， 若点B坐标为 ，过点B作 交x轴于点D，设 的长为d，请用含m的式子表示d；(3)如图3，若点 B为第三象限内任意一点，过点 B作 交x轴于点 D，判断 和 的数量关系，并给出证明． 模型2.一线三等角模型（相似模型） “一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”， 5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定 理也可），从而得到两个三角形相似． 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角 型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3， ∴△ACE∽△BED。 ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明： ∵∠1+∠C=∠2+∠DEB （外角定理）， ∠1=∠2，∴∠C=∠DEB ，∵∠1=∠3， ∴△ACE∽△BED。 6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∵ C 为 AB 的 中 点 ， ∴ AE=EB ， ∴ ， ∴ ， ∵ ∠ 2=∠ 3 ， ∴△BED∽△ECD ② 一 线 三 直 角 变 异 型 1 ： 条 件 ： 如 图 2 ， ∠ ABD=∠ AFE=∠ BDE=90°. 结 论 ： △ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 例1．（2023·山东东营·统考中考真题）如图， 为等边三角形，点 ， 分别在边 ， 上， ，若 ， ，则 的长为（ ） A． B． C． D． 例2．（2023·黑龙江·统考中考真题）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操 作： 第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形 ，然后把纸片展平； 第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕 ，如图②． 根据以上的操作，若 ， ，则线段 的长是（ ） 7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．3 B． C．2 D．1 例3．（2024·湖北武汉·校考模拟预测）【试题再现】如图1， 中， ， ，直 线 过点 ，过点 、 分别作 于点 ， 于点 ，则 （不用证明）． (1)【类比探究】如图2，在 中， ，且 ，上述结论是否成立？若 成立，请说明理由：若不成立，请写出一个你认为正确的结论． (2)【拓展延伸】①如图3，在 中， ，且 ，猜想线段 、 、 之间有什么数量关系？并证明你的猜想． ②若图1的 中， ， ，并将直线 绕点 旋转一定角度后与斜边 相交，分 别过点 、 作直线 的垂线，垂足分别为点 和点 ，请在备用图上画出图形，并直接写出线段 、 、 之间满足的一种数量关系（不要求写出证明过程）． 例4．（2023·浙江宁波·二模）【基础巩固】如图1，P是 内部一点，在射线 上取点D、E，使得 ．求证： ； 【尝试应用】如图2，在 中， ， ，D是 上一点，连接BD，在BD上取点 E、F，连接 ，使得 ．若 ，求CE的长； 【拓展提高】如图3，在 中， ， ，D是 上一点，连接BD，在BD上取 点E，连接CE．若 ， ，求 的正切值． 8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 例5．（2023·河北沧州·校考二模）如图，在 中， ， ，点D是线段 上的 一点，连接 ，过点B作 ，分别交 、 于点E、F，与过点A且垂直于 的直线相交于点 G，连接 ，下列结论错误的是（ ） A． B．若点D是AB的中点，则 C．当B、C、F、D四点在同一个圆上时， D．若 ，则 9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 1．（2024·重庆·中考真题）如图，在正方形 的边 上有一点 ，连接 ，把 绕点 逆时针旋 转 ，得到 ，连接 并延长与 的延长线交于点 ．则 的值为（ ） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁朝阳·八年级统考期末）如图， 中， ， ， 为线段 上一动点 （不与点 ， 重合），连接 ，作 ， 交线段 于 ，以下四个结论： ① ；②当 为 中点时， ；③当 为等腰三角形时， ； ④当 时， ．其中正确的结论的个数是（ ） A． B． C． D． 10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 3．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，已知点 ，A与 关于y轴对称，连结 ，现将线 段 以 点为中心顺时针旋转 得 ，点 B的对应点 的坐标为（ ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：如图，等腰直角 ， ， ， 点D为 外一点， ，连接CD， ， ，BC的长为 ． 5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知 ， ， ， ， 和 都 是等腰直角三角形，图中阴影部分的面积为 ． 6．（2024·广东汕头·一模）如图，为了测盘凹档的宽度，把一块等腰直角三角板（ ， ）放置在凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，若 ，测得 ， ，则该凹槽的宽度 的长为 ． 11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 7．（2024·江苏苏州·二模）如图，将平行四边形 绕点A逆时针旋转得到平行四边形 ，使点E 落在边 上， 且点 D 巧合是 的中点， 若 则 的值为 ． 8．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，将一张正方形纸片 折叠，折痕为AE，折叠后，点B的对应 BC AD2 2 EG 点落在正方形内部的点F处，连接 并延长交 于点G．若 ， ，则 的长为 ． 9．（2024·四川成都·一模）已知等边ABC的边长为5，点M在边AB上运动，点N在直线 上运动，将 沿着 翻折，使点A落在直线 上的点 处，若 ，则 ． ABC MN A AN  10．（23-24八年级下·山东滨州·期末）小明酷爱数学，勤于思考，善于反思，在学习八年级上册数学知识 之后，他发现“全等三角形”和“轴对称”两章中许多问题有关联，问题解决的方法相通．于是他撰写了 一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助小明完成相关内容．“一线三垂直”模型的探索与拓展 【模型呈现】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为 ，且它 们的顶点在同一条直线上，所以称为“一线三垂直模型”．若有—组对应边长相等时，则模型中必定存在 全等三角形． 12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 例如：如图1， ，过点C作任意一条直线m， 于点D， 于点E，则三个直角的 顶点都在同一条直线m上，这就是典型的“一线三垂直”模型；如果 ，那么由 ，可得 ，又因为 ，所以可得 ． 【模型应用】问题1：如图2，在 中， ， ，点D为 上一点，连接 ． 过点B作 于点E，过点C作 交 的延长线于点F．若 ， ，求 的长． 问题2：如图3，在平面直角坐标系中， ， ．若 是以 为腰的等腰直角三角形，请 直接写出所有满足条件的点P的坐标． 【模型迁移】问题3：如图4，已知 为等边三角形，点D，E，F分别在三边上，且 ， ．求证： 是等边三角形． 11．（2023·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一， 请根据以下问题，把你的感知填写出来： 13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ①如图1， 是等腰直角三角形， ，AE=BD，则 _______； ②如图2， 为正三角形， ，则 ________； ③如图3，正方形 的顶点B在直线l上，分别过点A、C作 于E， 于F．若 ， ，则 的长为________． 【模型应用】（2）如图4，将正方形 放在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为 ， 则点C的坐标为________． 【模型变式】（3）如图5所示，在 中， ， ， 于E，AD⊥CE于D， ， ，求 的长． 12．（2024·黑龙江牡丹江·九年级期末）平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点 C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE． (1)当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立， 线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． (2)当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立， 线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． 14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 13．（2024·浙江·校考一模）（1）探索发现：如图1，已知 中， ， ，直线l 过点C，过点A作 ，过点B作 ，垂足分别为D、E．求证： ． （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶 点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为 ，求点M的坐标． （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线 与y轴交于点P，与x轴交于点Q， 将直线 绕P点沿逆时针方向旋转 后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标． 14．（2024·北京校考·一模）已知梯形 中， ∥ ，且 ， ， ． ⑴如图，P为 上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP的长； ⑵如果点P在 边上移动（点P与点 不重合），且满足∠BPE=∠A， 交直线 于点E，同时交直 线DC于点 ．①当点 在线段DC的延长线上时，设 ，CQ=y，求 关于 的函数关系式，并写出 自变量 的取值范围；②写CE=1时，写出AP的长（不必写解答过程） 15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 15．（2024·湖北·中考真题）如图，矩形 中， 分别在 上，将四边形 沿 翻折， 使 的对称点 落在 上， 的对称点为 交 于 ． (1)求证： ．(2)若 为 中点，且 ，求 长． (3)连接 ，若 为 中点， 为 中点，探究 与 大小关系并说明理由． 16．（2023年安徽省九年级数学一模试卷）如图，在 中， ， ， 是线段 上的一点，连接 ，过点 作 ，分别交 ， 于点 ， ，与过点A且垂直于 的直 线相交于点 ，连接 (1)求证： (2)若 是 的中点，求 的值．(3)若 ，求 的值． 16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 17．（2023秋·广东深圳·九年级校考阶段练习）【基础巩固】（1）如图1，在 中， ， ，D是 边上一点，F是 边上一点， ．求证： ； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形ABFC中，点D是 边的中点， ，若 ， ，求线段 的长． 【拓展提高】（3）在 中． ， ，以A为直角顶点作等腰直角三角形 ，点D 在 上，点E在 上．若 ，求 的长． 18．（2024·河南·三模）问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，将两块全等的直角三角 形纸片ABC和DEF 叠放在一起，其中ACBE90， ，AC FE 8，顶点D与边 的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点G．求重叠部分（△DCG）的面积． 17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)小明经过独立思考，写出如下步骤，请你帮助小明补全依据及步骤： 解：∵ ，D是AB的中点，∴DC DBDA．∴ ． （依据： ______________________） 又∵ ，∴FDEB．∴ ．∴_____________________． ∴AGDACB90．∴ ．又∵DC DA，∴G是 的中点，∴DG为ACD中位线． 1 1 1 1 ∴CG AC  84，DG BC  63．∴ ． 2 2 2 2 (2) “希望”学习小组受此问题的启发，将DEF 绕点D旋转，使DEAB交 于点H，DF交AC于点 G，如图2，请解决下列两个问题：①求证：△AHD∽△ABC；②求出重叠部分（DGH ）的面积． (3)“智慧”小组也不甘落后，提出的问题是：如图3，将 绕点D旋转，DE，DF分别交于点M， N，当DMN是以DM 为腰的等腰三角形时，请你直接写出此时重叠部分（ ）的面积是________． 19．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在等腰直角 ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是 中线，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别△与AC、BC的延长线相交，交点分别为点 E、F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．(1)如图1，若CE＝CF，求证：DE＝DF．(2)在∠EDF绕 CD2 CE·CF 点D旋转过程中：①如图2，求证： ；②若CE＝6，CF= 3，求DN的长． 18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 20．（2024·河南周口·三模）在四边形ABCD中，E是边BC上一点，在AE的右侧作 EF  AE，且 AEF ABC 90 ABCD DCF  ，连接 ．(1)如图，当四边形 是正方形时， . ． (2)如图，当四边形 是菱形时，求 DCF （用含 的式子表示）． (3)在（2）的条件下，且 如图，连接AF 交 于点G；若G为边CD的三等分点，请直 接写出BE的长． 19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 20