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第 17 讲 全等三角形
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 全等三角形及其性质
题型01 利用全等三角形的性质求角度
题型02 利用全等三角形的性质求长度
题型03 根据全等的性质判断正误
题型04 利用全等三角形的性质求解
题型05 利用全等的性质证明线段之间的数量/位置关系
考点二 全等三角形的判定
题型01 添加一个条件使两个三角形全等
题型02 添加一个条件仍不能证明全等
题型03 灵活选用判定方法证明全等
题型04 结合尺规作图的全等问题
题型05 全等三角形模型-平移模型
题型06 全等三角形模型-对称模型
题型07 全等三角形模型-一线三等角模型
题型08 全等三角形模型-旋转模型
题型09 构造辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法
题型10 构造辅助线证明两个三角形全等-截长补短法
题型11 构造辅助线证明两个三角形全等-作平行线
题型12 构造辅助线证明两个三角形全等-作垂线
题型13 利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题
考点三 角平分线的性质
题型01 利用角平分线的性质求长度
题型02 利用角平分线的性质求面积
题型03 角平分线的判定定理
题型04 利用角平分线性质定理和判定定理解决多结论问题
题型05 三角形的三条角平分线的性质定理的应用方法
考点四 全等三角形的应用
题型01 利用全等三角形的性质与判定解决高度测量问题
题型02 利用全等三角形的性质与判定解决河宽测量问题
题型03 利用全等三角形的性质与判定解决动点问题
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考点要求 新课标要求 命题预测
全等三角形 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的
及其性质 对应边、对应角.
在中考中，全等三角形
掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角 主要以选择题、填空题
形全等； 和解答题的简单类型为
掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角 主．常结合四边形综合
考查．
形全等；
全等三角形
掌握基本事实:三边分别相等的两个三角形全等；
的判定
证明定理两角分别相等且其中一组等角的对边相
等的两个三角形全等；
探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角
边”定理.
探索并证明角平分线的性质定理:角平分线上的点
角平分线的
到角两边的距离相等;反之，角的内部到角两边距离相等的
性质
点在角的平分线上
全等三角形
的应用
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考点一 全等三角形及其性质
全等图形概念：能完全重合的两个图形叫做全等图形.
特征：①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.④周长、面积相等.
全等三角形概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
【补充】两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做
对应角.
表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”.书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位
置上.
全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换.
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全等三角形的性质：1）对应边相等，对应角相等.
2）全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．
3）全等三角形的周长相等、面积相等．
1. 形状相同的两个图形不一定是全等图形，面积相同的两个图形也不一定是全等图形.
2. 通过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形.
题型01 利用全等三角形的性质求角度
【例1】（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）已知△AEC≌△ADB，若∠A=50°,∠ABD=40°，则∠1的
度数为（ ）
A．40° B．25° C．15° D．无法确定
【变式1-1】（2023·浙江金华·校联考三模）如图，已知△ABC≌△AED，∠A=75°，∠B=30°，则
∠ADE的度数为（ ）
A．105° B．80° C．75° D．45°
【变式1-2】（2023·浙江台州·统考一模）如图，△ADE≌△ABC，点D在边AC上，延长ED交边BC于
点F，若∠EAC=35°，则∠BFD= ．
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题型02 利用全等三角形的性质求长度
【例2】（2023·广东·校联考模拟预测）如图，△ABC≅△BAD，A的对应顶点是B，C的对应顶点是D，
若AB=8，AC=3，BC=7，则AD的长为（ ）
A．3 B．7 C．8 D．以上都不对
【变式2-1】（2023·湖南长沙·校联考二模）如图，△ABC≌△≝¿，DE=5，AE=2，则BE的长是（
）
A．5 B．4 C．3 D．2
【变式2-2】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨工业大学附属中学校校考一模）如图，△ABC≌△BAD，点A和
点B，点C和点D是对应点，如果AB＝8cm，BD＝7cm，AD＝6cm，那么BC的长是（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
题型03 根据全等的性质判断正误
【例3】（2022·天津河西·统考二模）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，点A的对应点为
D，AC交DE于点P，连结EC，AD，则下列结论一定正确的是（ ）
A．ED=CB B．∠EBA=60°
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C．∠EPC=∠CAD D．△ABD是等边三角形
1
【变式3-1】（2018·内蒙古鄂尔多斯·统考一模）如图，M在BC上，MB= MC，如果△ABC绕点M按顺
2
时针方向旋转180°后与△FED重合，则以下结论中不正确的是（ ）
A．△ABC和△FED的面积相等 B．△ABC和△FED的周长相等
C．∠A+∠ABC=∠F+∠FDE D．AC∥DF，且AC=DF
【变式3-2】（2022·广东深圳·校考一模）如图，△ABC≌△A′B′C，且点B′在AB边上，点A′恰好在BC的
延长线上，下列结论错误的是( )
A．∠BCB′＝∠ACA′ B．∠ACB＝2∠B
C．∠B′CA＝∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′
【变式3-3】（2023·山东淄博·统考二模）如图，△ABC≌△≝¿，点E在AC上，B，F，C，D四点在同
一条直线上．若∠A=40°,∠CED=35°，则下列结论正确的是（ ）
A．EF=EC,AB=FC B．EF≠EC,AE=FC
C．EF=EC,AE≠FC D．EF≠EC,AE≠FC
题型04 利用全等三角形的性质求解
k
【例4】（2023·广东深圳·统考二模）如图，A，B是反比例函数y= (x>0)图象上两点，C(−2,0)，
x
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D(4,0)，△ACO≌△ODB，则k= ．
【变式4-1】（2022·北京海淀·校考模拟预测）图中的小正方形边长都相等，若△MNP≌△MFQ，则点Q
可能是图中的 ．
【变式4-2】（2023·江苏扬州·统考二模）三个能够重合的正六边形的位置如图，已知A点的坐标是
(√3,−3)，则B点的坐标是 ．
【变式4-3】（2023·广东广州·统考二模）如图，直线y=−2x+2与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线
AP⊥ AB于点A，若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三
角形与△AOB全等，则AD的长为 ．
【变式4-4】（2023·河南三门峡·统考二模）如图，Rt△ABC≌Rt△≝¿，∠C=∠F=90°，AC=2，
BC=4，点D为AB的中点，点E在AB的延长线上，将△≝¿绕点D顺时针旋转α度(0<α<180)得到
△DE'F，当△BDE'是直角三角形时，AE'的长为 ．
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【变式4-5】（2023·浙江·模拟预测）如图，已知Rt△ABC≌Rt△≝¿，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，
BC=EF=4，△≝¿绕着斜边AB的中点D旋转，DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P、Q．当
△BDQ为等腰三角形时，AP的长为 ．
题型05 利用全等的性质证明线段之间的数量/位置关系
【例5】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，AB、EF相交于点G，且△AFG≌△BEG，D在AF上，
C在EB延长上，连接DC，若AD=BC，证明：CD=2AG．
【变式5-1】（2023上·江西上饶校考阶段练习）如图，已知△ABE≌△CDF，且B，E，F，D四点在同
一直线上，线段AE和线段CF在位置和数量上存在什么关系?并说明理由．
【变式5-2】（2023上·山西吕梁阶段练习）如图，已知△ABF≌△DEC，A，F，C，D四点在同一条直
线上．
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(1)求证：AC=DF；
(2)判断BF与EC的位置关系，并证明．
考点二 全等三角形的判定
一、全等三角形的判定
1.边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；
2.边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；
3.角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；
4.角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或
“AAS”）；
5.对于特殊的直角三角形：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角
边”或“HL”）．
从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元
素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的
边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路.
二、判定两个三角形全等的思路
三、常见的全等三角形模型（基础）
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常见的全等三角形模型（基础）
平移模型 模型分析：此模型特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动的
方向上加（减）公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等．
对称模型 模型分析：所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是
全等三角形的对应顶点，解题时要注意隐含条件，即公共边或公共角相等．
一 线 三 垂 模型解读：一线：经过直角顶点的直线；三垂直：直角两边互相垂直，过直角的两边向
直/一线三等 直线作垂直，利用“同角的余角相等”转化找等角
角
旋转模型 模型解读：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这
两个三角形为旋转型三角形．旋转后的图形与原图形存在两种情况：
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①无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分，一般有一对隐含的等角；
②有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角．
若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截
长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目．
题型01 添加一个条件使两个三角形全等
【例1】（2022·北京·北京市第五中学分校校考模拟预测）如图，已知BE＝DC，请添加一个条件，使得
ABE≌△ACD： ．
△
【变式1-1】（2023·福建龙岩·校考一模）如图，AC，BD相交于点O，OB=OD，要使△AOB≌△COD，
添加一个条件是 ．（只写一个）
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【变式1-2】（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，RtΔABC和RtΔEDF中，∠B=∠D，在不添加任何辅助
线的情况下，请你添加一个条件 ，使RtΔABC和RtΔEDF全等．
【变式1-3】（2022·江苏盐城·统考一模）如图，AE//DF，AE=DF．添加下列条件中的一个：①
AB=CD；②EC=BF；③∠E=∠F；④EC//BF．其中能证明△ACE≌△DBF的是 （只填序号）．
题型02 添加一个条件仍不能证明全等
【例2】（2023·广东珠海·统考二模）如图，在△ABC和△≝¿中，∠B=∠≝¿，AB=DE，添加一个条件
后，仍然不能证明△ABC≅△≝¿，这个条件可能是（ ）
A．∠A=∠D B．AC∥DF C．BE=CF D．AC=DF
【变式2-1】（2022·广东河源·统考二模）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AC∥DF，AC=DF，
添加以下条件，仍不能使 ABC≌ DEF的是（ ）
△ △
A．∠A=∠D B．AB=DE C．AB∥DE D．BF=EC
【变式2-2】（2023·四川成都·统考一模）如图，四边形ABCD是菱形，E、F分别是BC、CD两边上的点，
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不能保证△ABE和△ADF一定全等的条件是（ ）
A．∠BAF=∠DAE B．EC=FC C．AE=AF D．BE=DF
题型03 灵活选用判定方法证明全等
【例3】（2023·江西抚州·统考一模）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列
三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．
(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需
选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或
“AAS”）；
(2)利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．
【变式3-1】（2022·湖北宜昌·统考模拟预测）如图，在ΔABC中，∠B=∠C，过BC的中点D作
DE⊥ AB，DF⊥ AC，垂足分别为点E、F．
(1)求证：DE=DF；
(2)若∠BDE=50°，求∠BAC的度数．
【变式3-2】（2018·江苏·无锡市第一女子中学校考中考模拟）如图，在△ACB和△DCE中，AC=BC，
CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE、BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．
试判断AE、BD之间的关系，并说明理由．
【变式3-3】（2023·江苏南京·校考三模）如图，在▱ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点．
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(1)求证：△ABF≌△CDE；
(2)若∠AFC=2∠D，求证：四边形AFCE是菱形．
【变式3-4】（2020·北京朝阳·三模）如图，在△ABE中，C，D是边BE上的两点，有下面四个关系式：
（1）AB=AE，（2）BC=DE，（3）AC=AD，（4）∠BAC=∠EAD请用其中两个作为已知条件，
余下两个作为求证的结论，写出你的已知和求证（请写具体内容，不要写序号）并证明．
已知：
求证：
证明：
【变式3-5】（2023·上海嘉定·模拟预测）如图，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，CE⊥ AD延长
线于E，且BC=2AE．
(1)求证：AD=CD；
(2)求证：AB2=AD⋅BC．
题型04 结合尺规作图的全等问题
【例4】（2022·江西赣州·统考一模）已知锐角∠AOB，如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作P´Q， 交射线OB于点D，连接CD；（2）
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分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交P´Q于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．MC＝DN B． COM≌△COD
C．若OM＝MN．则∠AOB＝20° D．MN＝3CD
△
【变式4-1】（2022·湖北襄阳·统考一模）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为边BC上一点，CD＝AC，
连接AD．
(1)用尺规作∠ADE＝∠B，射线DE交线段AC于点E（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若AB＝5，BD＝3，求AE的长．
【变式4-2】（2022·湖南长沙·长沙市北雅中学校考二模）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点
O，小雅按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO，AB于点M，N；②以点O
为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点M'；③以点M'为圆心，以MN长为半径作弧，在∠COB内部
交前面的弧于点N'；④过点N'作射线ON'交BC于点E．
(1)根据小雅的作图方法，得到∠COE=∠OAB．证明过程如下：
M'ON'
由作图可知，在 MAN和 中， ，
∴△MAN≌△M'ON'（_____________）（此处填理论依据），
△ △
∴∠COE=∠OAB．
(2)若AB=6，求线段OE的长．
【变式4-3】（2022·湖南长沙·模拟预测）人教版初中数学教科书上册第35-36页告诉我们作一个三角形与
已知三角形全等的方法：
已知：△ABC．
求作：△A'B'C'，使得△A'B'C'≌△ABC．
作法：如图．
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（1）画B'C'=BC；
（2）分别以点B'，C'为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A'
；
（3）连接线段A'B'，A'C'，则△A'B'C'即为所求作的三角形．
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：
证明：由作图可知，在△A'B'C'和△ABC中，
¿
∴△A'B'C'≌______．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号）
①AAS；②ASA；③SAS；④SSS
题型05 全等三角形模型-平移模型
【例5】（2023·陕西西安·模拟预测）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，
∠ABC=∠≝¿．给出下列三个条件：①AC=DF，②BC=EF，③∠BAC=∠EDF．
(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件序号为______，你判定
△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；
(2)请用（1）中所选条件证明△ABC≌△DEF；
(3)△≝¿可看作是由△ABC沿AC方向平移得到的，过B作BM⊥ AC于M，当AB=10，BM=8，
△ABD是以BD为腰的等腰三角形时，直接写出平移距离AD的长．
【变式5-1】（2020·江苏常州·统考一模）如图，将Rt△ABC沿BC所在直线平移得到△DEF．
(1)如图①，当点E移动到点C处时，连接AD，求证：△CDA≌△ABC；
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(2)如图②，当点E移动到BC中点时，连接AD、AE、CD，请你判断四边形AECD的形状，并说明理由．
【变式5-2】（2019·河北石家庄·统考一模）如图1，△ABC与△DBC全等，且∠ACB=∠DBC=90°，
AB=6，AC=4.如图2，将△DBC沿射线BC方向平移得到△D B C ，连接AC ∥AC .
1 1 1 1 1
（1）求证：BD =AC 且BD ∥AC ；
1 1 1 1
（2）△DBC沿射线BC方向平移的距离等于__________时，点A与点D 之间的距离最小.
1
图1 图2
题型06 全等三角形模型-对称模型
【例6】（2023·湖南衡阳·校考一模）如图，AC平分∠BAD，CB⊥ AB，CD⊥ AD，垂足分别为B，
D．
(1)求证：△ABC≌△ADC；
(2)若AB=4，CD=3，求四边形ABCD的面积．
【变式6-1】（2021·西藏拉萨·校考一模）如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交
于点O，
（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数．
【变式6-2】（2023·甘肃白银·统考一模）如图，△ABC是等边三角形，D,E 在直线BC上，DB=EC．
求证：∠D=∠E ．
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【变式6-3】（2022·辽宁大连·统考二模）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC．AD，BC交于点O．求证：
OC＝OD．
题型07 全等三角形模型-一线三等角模型
【例7】（2021·浙江湖州·统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy，四边形OABC为正方形，若点B
（1，4），则点A的坐标为（ ）
(5 3) ( 3 5)
A．（3，1） B． , C． − , D．（4，1）
2 2 2 2
【变式7-1】（2022·四川成都·统考二模）如图所示，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°．直线l经过点
A，过点B作BE⊥l于点E，过点C作CF⊥l于点F．若BE=2,CF=5，则EF= ．
【变式7-2】（2022上·江苏南京·南京市第二十九中学校考阶段练习）如图，AE⊥ AB，且AE=AB，
BC⊥CD，且BC=CD，请按照图中所标注的数据计算FH的长为 ．
【变式7-3】（2021上·黑龙江佳木斯·九年级桦南县第四中学校考期中）在△ABC中，∠ACB=90°，
AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
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(1)当直线MN绕点C旋转到图1位置时，求证：DE=AD+BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，
并加以证明；
(3)当直线MN绕点C旋转到图3位置时，DE、AD、BE之间的等量关系是___（直接写出答案，不需证
明）．
【变式7-4】（2020·山西晋中·统考一模）阅读材料：
我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂
直模型”如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分
别为D、E，我们很容易发现结论：△ADC≌△CEB．
（1）探究问题：如果AC≠BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC∽△CEB．请你说明理由．
1
（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y= x与直线CD交于点M(2,1)，且两直线夹角为α，
2
3
且tanα= ，请你求出直线CD的解析式．
2
（3）拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E为BC边上—个动点，连接AE，将线
段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若△DPC为
直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．
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【变式7-5】（2023下·河南洛阳·统考期中）综合与实践
数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究．
(1)操作发现：如图甲，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且AB=AC，直线l经过点A．小华分别过B、C
两点作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．易证△ABD≌△CAE，此时，线段DE、BD、CE的数量关
系为： ；
(2)拓展应用：
如图乙，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，已知点C的坐标为(−2,0)，点B的坐标为(1,2)．请
利用小华的发现直接写出点A的坐标： ；
(3)迁移探究：
①如图丙，小华又作了一个等腰△ABC，AB=AC，且∠BAC≠90°，她在直线l上取两点D、E，使得
∠BAC=∠BDA=∠AEC，请你帮助小华判断（1）中线段DE、BD、CE的数量关系是否变化，若不变，
请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由；
②如图丁，△ABC中，AB=2AC，∠BAC≠90°，点D、E在直线l上，且∠BAC=∠BDA=∠AEC，
请直接写出线段DE、BD、CE的数量关系．
题型08 全等三角形模型-旋转模型
【例8】（2019·河南·一模）（1）问题发现：如图①，△ABC和△EDC都是等边三角形，点B、D、E在
同一条直线上，连接AE．
①∠AEC的度数为______；
②线段AE、BD之间的数量关系为______；
（2）拓展探究：如图②，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点B、D、E
在同一条直线上，CM为△EDC中DE边上的高，连接AE，试求∠AEB的度数及判断线段
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CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图③，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=36°，点B、D，E在同
一条直线上，请直接写出∠EAB+∠ECB的度数．
【变式8-1】（2022·湖北十堰·统考一模）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°．点E，F分
别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转
90°得到AG，连接GC，HB．
（1）证明：△AHB≌△AGC；
（2）如图2，连接GF，HC，AF交AF于点Q．
①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG=90°；
②若AB=AC=4，当EH的长度为多少时，△AQG为等腰三角形？
【变式8-2】（2022·山东东营·统考二模）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形
(√2 )
OAAB，连接AC，分别以点A，C
1
为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交BC，AD于点E，F．下列结论：
2
①四边形AECF是菱形；②∠CFD=2∠ACF；③AC⋅EF=CE⋅AB；④若AE平分∠BAC，则
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CE=2BE．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
题型05 三角形的三条角平分线的性质定理的应用方法
【例5】（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）如图，双骄制衣厂在厂房O的周围租了三幢楼A、B、
C作为职工宿舍，每幢宿舍楼之间均有笔直的公路相连，并且厂房O与每幢宿舍楼之间也有笔直公路相连，
且BC>AC>AB．已知厂房O到每条公路的距离相等．
（1）则点O为△ABC三条 的交点（填写：角平分线或中线或高线）；
（2）如图，设BC=a，AC=b，AB=c，OA=x，OB= y，OC=z，现要用汽车每天接送职工上下班后，
返回厂房停放，那么最短路线长是 ．
【变式5-1】（2020·河北唐山·统考一模）某地为了促进旅游业的发展，要在如图所示的三条公路a，b，c
围成的一块地上修建一个度假村，要使这个度假村到a，b两条公路的距离相等，且到B，C两地的距离相
等，下列选址方法绘图描述正确的是（ ）
A．画∠CAB的平分线，再画线段BC的垂直平分线，两线的交点符合选址条件
B．先画∠CAB和∠BCA的平分线，再画线段BC的垂直平分线，三线的交点符合选址条件
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C．画三个角∠CAB，∠BCA和∠ABC三个角的平分线，交点即为所求
D．画AB，BC，CA三条线段的垂直平分线，交点即为所求
考点四 全等三角形的应用
利用全等三角形解决实际问题的方法：把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出
示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
题型01 利用全等三角形的性质与判定解决高度测量问题
【例1】（2023·福建厦门·福建省厦门第六中学校考一模）如图是重型卡车的立体图，右图是一个装有货物
的长方体形状的木箱沿着坡面从重型卡车车上卸载的平面示意图．已知重型卡车车身高度AC=3.6m，卡
车卸货时后面支架AB弯折落在地面A'，经过测量A'C=1.8m．现有木箱长ED=4.5m，高EF=2.25m，
宽小于卡车车身的宽度，当木箱底部顶点G与坡面底部点A'重合时，则木箱上部顶点E到地面A'C的距离
为 m．
【变式1-1】（2022·河北邯郸·校考三模）嘉淇为了测量建筑物墙壁AB的高度，采用了如图所示的方法：
①把一根足够长的竹竿AC的顶端对齐建筑物顶端A，末端落在地面C处；
②把竹竿顶端沿AB下滑至点D，使DB＝ ，此时竹竿末端落在地面E处；
③测得EB的长度，就是AB的高度．
以上测量方法直接利用了全等三角形的判定方法 （用字母表示）．
【变式1-2】（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用三角尺测量物体的数学探究”实践活动．
【实践发现】某小组的同学用若干个高度都是1cm的相同长方体小木块垒两堵与地面垂直的木墙，木墙之
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间刚好可以放进一个直角三角尺(∠MCN=90°)，点C在线段AB上，点M和N分别与木墙的顶端重合，
如图所示．
探究1：如图1，当放置的是等腰直角三角尺（含45°的三角尺）时，同学们发现：两堵木墙高度之和等于
两堵墙之间的距离，即AC、BC、AM、BN的数量关系为AC+BC=AM+BN，请你判断同学们的结论
是否正确，并说明理由：
探究2：如图2，当放置的不是等腰直角三角尺时，∠MCN=90°，试探究AC、BC、AM、BN的数量
关系，并证明你的结论．
【变式1-3】（2022·陕西·统考二模）学校有两栋教学楼AB、CD，小强想了解这两栋教学楼的高度，他发
现教学楼CD的高度容易测量，且CD＝18米，而教学楼AB的高度不易测量，于是小强利用所学知识设计
了如下测量方案：如图，小强在两栋教学楼中间空地上的点E处固定一个测角仪EF，且AE＝CE，先测得
教学楼AB顶部B的仰角，然后将测角仪向后转动180°，并调节测角仪的高度到点G时，测角仪刚好能以
同样的仰角观测到教学楼CD的顶端D．已知EF＝2米，GF＝0.8米，求教学楼AB的高度．
题型02 利用全等三角形的性质与判定解决河宽测量问题
【例2】（2023·江苏盐城·校考一模）（1）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想要测量A、
B间的距离，一位同学帮他想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达A、B的点O，分别延长AO、
BO至点M、N，使得MO=AO,NO=BO，再连接MN，则MN的长度即为池塘A、B间的距离．请说明
理由．
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（2）在下面的网格图中有三个点A、B、D，其中点A和点D在网格线的交点处，点B在网格线上，请找
出点C，使得四边形ABCD是平行四边形．（仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不需说明理由）
【变式2-1】（2023·陕西榆林·统考三模）如图，数学实践小组想要测量某公园的人工湖两端A、B之间的
距离，由于条件限制无法直接测得，请你用学过的数学知识帮他们按以下要求设计一种测量方案．
(1)画出测量示意图；
(2)写出测量的数据，线段长度用a、b、c…表示，角度用α、β、γ…表示；(不要求写出测量过程)
(3)根据你测量的数据，计算A、B之间的距离．(用含a、b、c…或α、β、γ…的式子表示)
【变式2-2】（2020·河北·校联考二模）思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小
亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到
达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP
的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是 米．
思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将
△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于
AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．
①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是 ；
②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
③当α＝150°时，若BC＝3，DE＝l，请直接写出PC2的值．
题型03 利用全等三角形的性质与判定解决动点问题
【例3】（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，点P从点B出发，
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以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD边向
点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为 时，
△ABP与△PCQ全等．
【变式3-1】（2020·浙江杭州·模拟预测）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9cm，AC=12cm，
AB=15cm；在△≝¿中，∠E=90°，DE=4cm，DF=5cm，∠A=∠D．现有两个动点P和Q．同时从
点A出发，P沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s；Q沿着边
AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ与△≝¿全等，则点Q
的运动速度为 ．
【变式3-2】（2023·广东湛江·统考一模）如图，在Rt△ABC中，
∠BAC=90°，AC=3，AB=4，BC=5，CD平分∠ACB，如果点P，点Q分别为CD，AC上的动
点，那么AP+PQ的最小值是 ．
【变式3-3】（2022·天津·天津市双菱中学校考模拟预测）如图，在边长为2的正方形ABCD中，动点F，
E以相同的速度分别从点D，C同时出发向点C，B运动（任何一个点到达终点时，两点都停止运动）连接
AE，BF，AE与BF交于点P，过点P分别作PM∥CD交BC于点M，PN∥BC交CD于点N，连接MN，
在运动过程中，
（1）AE和BF的数量关系为 ；
（2）MN长度的最小值为 ．
39
