文档内容
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专题 09 特殊三角形（含勾股定理）
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（4大模块知识梳理）
知识模块一：等腰三角形
知识模块二：等边三角形
知识模块三：直角三角形
知识模块四：勾股定理
03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（10大考点）
考点一： 分类讨论思想在特殊三角形中的应用
考点二： 利用特殊三角形的性质求解
考点三： 特殊三角形的判定
考点四： 特殊三角形性质与判定综合
考点五： 与特殊三角形性质有关的折叠问题
考点六： 与特殊三角形性质有关的多结论问题
考点七：与特殊三角形性质有关的规律探究问题
考点八： 利用勾股定理及其逆定理求解
考点九： 利用勾股定理及其逆定理与网格问题
考点十： 用勾股定理逆定理解决实际生活问题
考点十一： 特殊三角形与函数综合
04 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。（5大重难点）
重难点一：手拉手模型
重难点二： 赵爽弦图
重难点三：利用等面积法探究线段关系（维维尼亚模型）
重难点四：求最短路径问题
重难点五：勾股树模型
05 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（5大易错点）
易错点一：等腰三角形腰上的高，中线误用三线合一定理
易错点二：机械的运用勾股定理逆定理求解
易错点三：等腰三角形中未利用分类讨论思想求解
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知识模块一：等腰三角形
知识点一：等腰三角形的定义
定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的
角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
知识点二：等腰三角形的性质
等腰三角形性质：
1）等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴，
①当腰和底边不相等的等腰三角形只有1条对称轴，
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②当腰和底边不相等的等腰三角形只有3条对称轴.
2）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.
3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）.
【注意】“三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是顶角的角平分线，底边上的高和底边上的中线.
知识点三：等腰三角形的判定
等腰三角形的判定：
1）定义法：两边相等的三角形是等腰三角形；
2）定理法：有两个角相等的三角形是等腰三角形，即这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
【总结】证明两个角相等的方法：
1）如果角在同一个三角形中，先考虑“等边对等角”来证明.
2）如果角不在同一个三角形中，可证明两个三角形全等来解决.
【易错易混】
1）底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．（即顶
角36°，底角72°）.
2）等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相
等关系的重要依据．
3）等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶
角还是底角，需要分类讨论.
知识模块二：等边三角形
知识点一：等边三角形的定义
定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形.
知识点二：等边三角形的性质
1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴；
2）等边三角形的三条边相等；
3）三个内角都相等，并且每个内角都是60°.
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知识点三：等边三角形的判定
等边三角形的判定：
1）定义法：三边相等的三角形是等边三角形；
2）三个角都相等的三角形是等边三角形.
3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
【补充】
1）等边三角形具有等腰三角形的一切性质.
2）等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．
3）在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．
√3
4）等边三角形面积的求解方法：
S
正三角形
=
4
边长2
知识模块三：直角三角形
知识点一：直角三角形的定义
定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
知识点二：直角三角形的性质
性质 直角三角形两个锐角互 直角三角形斜边上的中线等于斜边 在直角三角形中，30°角所对的
余. 的一半. 直角边等于斜边的一半.
图示 A A A
D
30°
C B C B
C B
几何 在△ABC，∠C=90° 在△ABC，∠C=90°，CD为AB边的 在 △ ABC ， ∠ C=90° ，
描述 中点，∴∠A+∠B=90° ∠B=30°，
∴∠A+∠B=90°
∴AB=2AC
1 1
面积公式：S= ab= cm (其中：c为斜边上的高，m为斜边长)
2 2
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m
b
c
a
知识点二：直角三角形的判定
判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形.
2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
4）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形是直角三角
形.
知识模块四：勾股定理
知识点一：勾股定理的内容
文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
变式：a2=c2−b2，b2=c2−a2，
, , .
c=√a2+b2 a=√c2−b2 b=√c2−b2
【易错点】
1）勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股
定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形；
2）如果已知的两边没有指明边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求
解时必须进行分类讨论，以免漏解．
3）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关
系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2．
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知识点二：勾股定理的证明
方法一：如图一，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以 为边长的小正方形和一个以c为边长
1
的大正方形.即 4S +S =S ，所以4× ab+(b−a) 2=c2，化简可证．
Δ 正 方 形EFGH正 方 形ABCD 2
方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
1
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S=4× ab+c2=2ab+c2
2
大正方形面积为 ，所以
S=(a+b) 2=a2+2ab+b2 a2+b2=c2
方法三：如图三，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形.
1 1 1
S = (a+b)⋅(a+b)，S =2S +S =2× ab+ c2，化简得证a2+b2=c2
梯形 2 梯形 ΔADE ΔABE 2 2
b a A a
D
a
c
c b b
c
c
b c c E
a a
a b B b C
图一 图二 图三
知识点三：勾股数
勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即满足关系a2+b2=c2的3个正整数a，
b，c称为勾股数.
勾股数需要满足的两个条件：1）这三个数均是正整数；
2）两个较小数的平方和等于最大数的平方.
常见的勾股数：1）3，4，5；2）6，8，10；3）5，12，13等.
知识点四：勾股定理逆定理
内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边.
【补充说明】
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1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法；
2）勾股定理的逆定理通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的
平方和a2+b2与较长边的平方c2作比较，①若a2+b2=c2时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；
②若a2+b2c2时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形
考点一： 分类讨论思想在特殊三角形中的应用
1．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ．
2．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，∠BAC=∠DAE=40°，将
△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，当AD⊥BC时，∠BAE的度数是 ．
3．（2011·山东济南·中考真题）已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长是 ．
考点二： 利用特殊三角形的性质求解
1．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，将△ABC沿其底
1
边中线AD向下平移，使A的对应点A'满足A A'= AD，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ．
3
2．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点
F，若AD=4，则EF= ．
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3．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径，若∠B=25°，则
∠CAD °．
考点三： 特殊三角形的判定
1．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF=∠C．
(1)求证：∠BDF=∠A；
(2)若∠A=45°，DF平分∠BDE，请直接写出△ABC的形状．
2．（2023·广东广州·中考真题）如图，在正方形ABCD中，E是边AD上一动点（不与点A，D重合）．
边BC关于BE对称的线段为BF，连接AF．
(1)若∠ABE=15°，求证：△ABF是等边三角形；
(2)延长FA，交射线BE于点G；
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①△BGF能否为等腰三角形？如果能，求此时∠ABE的度数；如果不能，请说明理由；
②若AB=√3+√6，求△BGF面积的最大值，并求此时AE的长．
3．（2024·广东潮州·一模）如图所示，△ABC和△≝¿都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DFE=90°,D是
AB的中点，CF⊥FG,EG=√2．
(1)求证：∠CDF=45°；
(2)求AB的长．
考点四： 特殊三角形性质与判定综合
1．（2024·山东东营·中考真题）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=3．
(1)问题发现
如图1，将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系是
______，AD与BE的位置关系是______；
(2)类比探究
将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系、位置
关系与（1）中结论是否一致？若AD交CE于点N，请结合图2说明理由；
(3)迁移应用
如图3，将△CAB绕点C旋转一定角度得到△CDE，当点D落到AB边上时，连接BE，求线段BE的长．
2．（2024·江苏常州·中考真题）将边长均为6cm的等边三角形纸片ABC、≝¿叠放在一起，使点E、B分
别在边AC、DF上（端点除外），边AB、EF相交于点G，边BC、DE相交于点H．
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(1)如图1，当E是边AC的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________；
(2)如图2，若EF∥BC，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；
(3)如图3，当AE>EC，FB>BD时，AE与FB有怎样的数量关系？试说明理由．
3．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，点D，E分别在
AB，CB上，DB=EB，连接AE，CD，取AE中点F，连接BF．
(1)求证：CD=2BF，CD⊥BF；
(2)将△DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出BF与CD的位置关系：___________________；
②求证：CD=2BF．
考点五： 与特殊三角形性质有关的折叠问题
1．（2024·湖北·中考真题）在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，
使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H．
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(1)如图1，求证：△DEP∽△CPH；
(2)如图2，当P为CD的中点，AB=2，AD=3时，求GH的长；
(3)如图3，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由．
2．（2021·吉林·中考真题）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD是斜边AB上的中
线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．
（1）若AB=a．直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；
（2）若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如图②，判断四边形ADFC的形
状，并说明理由；
（3）若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．
3．（2024·河北张家口·模拟预测）如图，将等腰直角三角形纸片ABC对折，折痕为CD．展平后，再将点
B折叠在边AC上（不与A、C重合），折痕为EF，点B在AC上的对应点为M，设CD与EM交于点P，
连接PF．已知BC=4．
(1)若M为AC的中点，求CF的长；
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(2)随着点M在边AC上取不同的位置，
①△PFM的形状是否发生变化？请说明理由；
②求△PFM的周长的取值范围．
考点六： 与特殊三角形性质有关的多结论问题
1．（2023·湖北·中考真题）如图，△BAC,△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，
∠BAC=∠DEB=∠AEF=90°，点E在△ABC内，BE>AE，连接DF交AE于点G,DE交AB于点H，
连接CF．给出下面四个结论：①∠DBA=∠EBC；②∠BHE=∠EGF；③AB=DF；④AD=CF．其
中所有正确结论的序号是 ．
2．（2024·山东济南·中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD=2，动点P以每秒1
个单位长度的速度从点B出发，沿折线BC−CA匀速运动，到达点A后停止，连接DP．设点P的运动时间
为t(s)，DP2为y．当动点P沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示．有以下四个结论：
①AB=3；②当t=5时，y=1；③当4≤t≤6时，1≤ y≤3；④动点P沿BC−CA匀速运动时，两个时刻t ，
1
分别对应 和 ，若 ，则 ．其中正确结论的序号是（ ）
t (t y
2 1 2 1 2 1 2 1 2
A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④
3．（2024·山东泰安·中考真题）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以顶点A，C为圆心，大于
1
AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线MN分别与BC，AC交于点E和点F；以点A
2
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1
为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于 HG的
2
长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，若射线AP恰好经过点E，则下列四个结论：①∠C=30°；②
1
AP垂直平分线段BF；③CE=2BE；④S = S ．其中，正确结论的个数有（ ）
△BEF 6 △ABC
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点七： 与特殊三角形性质有关的规律探究问题
1．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线l的表达式为y=x，点A 的坐标为
1
(√2,0)，以O为圆心，OA 为半径画弧，交直线l于点B ，过点B 作直线l的垂线交x轴于点A ；以O为圆
1 1 1 2
心，OA 为半径画弧，交直线l于点B ，过点B 作直线l的垂线交x轴于点A ；以O为圆心，OA 为半径画
2 2 2 3 3
弧，交直线l于点B ，过点B 作直线l的垂线交x轴于点A ；……按照这样的规律进行下去，点A 的横坐
3 3 4 2024
标是 ．
2．（2024·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，将等边△OAB绕点A旋转180°得到△O AB ，
1 1
再将△O AB 绕点O 旋转180°得到△O A B ，再将△O A B 绕点A 旋转180°得到△O A B ，按此规
1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 3
律进行下去，若点B的坐标为(−2,0)，则点B 的坐标为 ．
2024
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3．（2024·河南商丘·三模）如图，在平面直角坐标系中，点O，O₁，A，A₁，B，B₁，C，C₁，……都
是平行四边形的顶点，点A，B，C，……在x轴的正半轴上，
，平行四边
∠AOO =30°，OA=√3，AB=2√3，BC=3√3，OO =2，A A =4，BB =6，⋯
1 1 1 1
形按此规律依次排列，则第8个平行四边形对称中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
(36√3,4) (36,4√3) (36,4) (4,36)
考点八： 利用勾股定理及其逆定理求解
1．（2024·西藏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别
1
交BC，BA于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC的内部相交
2
于点P，作射线BP交AC于点F．已知CF=3，AF=5，则BF的长为 ．
2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交与点O，点E
OF 5
在BC延长线上，OE与CD相交与点F．若∠ACD=2∠OEC， = ，则菱形ABCD的面积为
FE 6
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．
3．（2024·江苏南通·中考真题）如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，⊙A与BC相切于点D．
(1)求图中阴影部分的面积；
(2)设⊙A上有一动点P，连接CP，BP．当CP的长最大时，求BP的长．
考点九： 利用勾股定理及其逆定理与网格问题
1．（2024·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系
xOy，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为(7,8)，(2,8)，(10,4)，(5,4)．
(1)以点D为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△A B C ，画出△A B C ；
1 1 1 1 1 1
(2)直接写出以B，C ，B ，C为顶点的四边形的面积；
1 1
(3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线AE平分∠BAC，写出点E的坐标．
2．（2024·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，F，G均在格点上．
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（1）线段AG的长为 ；
（2）点E在水平网格线上，过点A，E，F作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与AE，AF的
延长线相交于点B，C，△ABC中，点M在边BC上，点N在边AB上，点P在边AC上．请用无刻度的直
尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，P，使△MNP的周长最短，并简要说明点M，N，P的位置是
如何找到的（不要求证明） ．
3．（2024·广东·模拟预测）如图，在6×7的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形ABCD的
顶点均在网格的格点上．
(1)求sinD的值．
(2)操作与计算：用尺规作图法过点C作CE⊥AD，垂足为E，并直接写出CE的长．（保留作图痕迹，不
要求写出作法）
考点十： 用勾股定理逆定理解决实际生活问题
1．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(3,0)，B(0,2)，过点B作y轴的
垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO+PA的最小值为 ．
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2．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，A，B两地被大山阻隔，C地在A地的北偏东60°的方向上，在B地
西北方向上，且A，C两地间距离为20km，若要从A地到B地，现只能沿着的公路先从A地到的C地，再
由C地到B地．计划开凿隧道，使A，B两地直线贯通，求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到B地
的路程将缩短多少？（结果精确到0.1km，参考数据√2≈1.414，√3≈1.732）
3．（2023·海南海口·模拟预测）深秋已至，稻客张师傅在一块四边形（如图）的田地里收割稻谷．已知四
边形ABCD中，∠C=90°，BC=15m，CD=20m，AB=24m，AD=7m，若张师傅的收割价格为0.65
元/m2，请你计算这块田地张师傅应该收费多少元？
考点十一： 特殊三角形与函数综合
1．（2023·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+c经过点P(4,−3)，
与y轴交于点A(0,1)，直线y=kx(k≠0)与抛物线交于B，C两点．
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(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标；
(3)过点M(0,m)作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得
OD⊥OE始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
2．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+b与x轴的正半轴交于点
A，与y轴的负半轴交于点D，点B在x轴的正半轴上，四边形ABCD是平行四边形，线段OA的长是一元
二次方程x2−4x−12=0的一个根．请解答下列问题：
(1)求点D的坐标；
(2)若线段BC的垂直平分线交直线AD于点E，交x轴于点F，交BC于点G，点E在第一象限，AE=3√2，
连接BE，求tan∠ABE的值；
(3)在（2）的条件下，点M在直线DE上，在x轴上是否存在点N，使以E、M、N为顶点的三角形是直角
边比为1 2的直角三角形？若存在，请直接写出△EMN的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，请说明
理由． ∶
k
3．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，过原点O的直线与反比例函数y = (k≠0)的图象交于A(1，2)，
1 x
B两点，一次函数y =mx+b(m≠0)的图象过点A与反比例函数交于另一点C(2，n)．
2
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(1)求反比例函数的解析式；当y >y 时，根据图象直接写出x的取值范围；
1 2
(2)在y轴上是否存在点M，使得△COM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理
由．
1 13 k
4．（2024·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y=− x+ 与反比例函数y= 的
2 2 x
图象交于A，B两点，其中点A的坐标为(a,6)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如图2，连接AO，BO，求△AOB的面积；
(3)作直线AM，BN分别垂直于x轴和y轴，垂足为M，N，AM与BN交于点C，在第一象限内存在一点D
使得∠BDC=90°，连接AD，若点P是AD的中点，连接CP，当CP最大时，求出此时点D的坐标及CP
的值．
重难点一： 手拉手模型
1．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶
点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
(1)问题发现：
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如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：BD=CE；
图1
(2)解决问题：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在
同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间
的数量关系并说明理由.
图2
2．（2024·辽宁大连·一模）【模型定义】
它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他
们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大
手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手．
【模型探究】
（1）如图1，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的
度数为 ；线段BE与AD之间的数量关系是 ．
【模型应用】
（2）如图2，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，求证：AD+CD=BD；
（3）如图3，P为等边△ABC内一点，且PA：PB：PC=3：4：5，以BP为边构造等边△BPM，这
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样就有两个等边三角形共顶点B，然后连接CM，求∠APB的度数是 ．
【拓展提高】
（4）如图4，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=m°，点E为△ABC外一点，点D为BC中点，
∠EBC=∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度数．（用含有m的式子表示）
（5）如图5，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，
连接BD，CE，两线交于点P，请证明BD和CE的数量关系和位置关系．
重难点二： 赵爽弦图
1．（2024·湖北武汉·中考真题）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，
它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．直线MP交正方形
ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的面积为S ，正方形MNPQ的面积为S ．若BE=kAE(k>1)，
1 2
则用含 的式子表示S 的值是 ．
k 1
S
2
2．（2020·湖北孝感·中考真题）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，
这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条
线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为S ，空白部分的面积为S ，大正方形的边长为m，小正方形
1 2
n
的边长为n，若S =S ，则 的值为 ．
1 2 m
3．（2024·河北·模拟预测）如图1，嘉嘉用四个全等的直角三角形拼接了一个“赵爽弦图”，其中大正方
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形ABCD的面积为25，小正方形EFGH的面积为1．
（1）如图2，连接DG，CF，BE，AH得到一个风车图案（阴影部分），则风车图案的周长为
．
（2）如图3，连接AC，交BG于点P，交DE于点M，则S −S = ．
△AFP △CGP
重难点三： 利用等面积法探究线段关系（维维尼亚模型）
1．（2023·湖南永州·二模）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点P是底边BC上任意一点(不与B、
C重合)，过C作CD⊥AB于D，为AB边上的高过点P作PM⊥AB，PN⊥AC，垂足为M、N，由等
1 1 1
面积法可知S =S +S ，即 AB⋅CD= AB⋅PM+ AC⋅PN，从而可得：CD=PM+PN．
△ABC △APB △APC 2 2 2
即：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和，等于腰上的高．
(1)如图1，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC、
BD的垂线，垂足分别为E、F．求PE+PF的值；
(2)如图2，在矩形ABCD中，点M、N分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D恰好
与点B重合，点C落在点C'处．点P为线段MN上一动点(不与点M，N重合)，过点P分别作直线BM、BC
的垂线，垂足分别为E、F，以PE、PF为邻边作平行四边形PEGF，若DM=13，CN=5，求平行四边
形PEGF的周长；
(3)如图3，当点P是等边△ABC外一点时，过点P分别作直线AB、AC、BC的垂线，垂足分别为点H 、
1
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H 、H ．若PH −PH +PH =3，直接写出△ABC的面积．
2 3 1 2 3
2．（2023·广西贵港·模拟预测）阅读理解学习
如图1，在△ABC中，AB=AC，BD是△ABC的高，P是BC边上一点，PM，PN分别与直线AB，AC
垂直，垂足分别为M，N，求证：BD=PM+PN．小刚发现：连接AP，有S =S +S ，即
△ABC △ABP △ACP
1 1 1
AC⋅BD= AB⋅PM+ AC⋅PN，由AB=AC可得BD=PM+PN．
2 2 2
请你模仿小刚的思路或者用你的新思路解决以下问题：
(1)如图2，当点P在CB的延长线上，且上面问题中其它条件不变时，请直接写出此时线段
BD，PM，PN之间的数量关系______．
(2)如图3，当点P是△ABC内一点，且AB=AC=BC，BD是△ABC的高，PM，PN，PQ分别与直线
AB，AC，BC垂直，垂足分别为点M，N，Q，猜想此时线段BD，PM，PN，PQ之间的数量关
系是______．并说明理由．
重难点四： 求最短路径问题
1．（2023·四川德阳·中考真题）如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABC−A B C 中，
1 1 1
，点M为 的中点，一只小虫从 沿三棱柱 的表面爬行到M处，则
AB=2√3,A A =2 AC B ABC−A B C
1 1 1 1 1
小虫爬行的最短路程等于 ．
2．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的
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底面圆周长为20π cm，母线AB长为30cm，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一
条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（ ）
v
A．30 cm B．30√3 cm C．60 cm D．20π cm
3．（2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底
4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，
则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为 cm．（杯壁厚度不计）
重难点五： 勾股树模型
1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个
正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的
直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图
形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方
形的面积和为 ．
2．（2023·武汉模拟预测）问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观， 从而可
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以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直 观推
导和解释．
(1)
如图 1，是一个重要公式的几何解
释，请你写出这个公式：
(2)如图 2，在RtΔABC中，∠ACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c，以RtΔABC的三边长向外作正方形的
面积分别为S ,S ,S ，试猜想S ,S ,S 之间存在的等量关系，直接写出结论 ．
1 2 3 1 2 3
(3)如图 3，如果以RtΔABC的三边长a,b,c为直径向外作半圆，那么第(2)问的结论 是否成立？请说明理
由．
(4)如图 4，在RtΔABC中，∠ACB＝90°，三边分别为5,12,13，分别以它的三边为直 径向上作半圆，
求图 4 中阴影部分的面积．
易错点1： 等腰三角形腰上的高，中线误用三线合一定理
1. 如图1，已知ΔABC中，AB=AC，BD⊥AC，垂足为D，∠A=40°，则∠DBC=___°.
易错点2： 机械的运用勾股定理逆定理求解
1. 在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，若a:b:c=9:15:12．试判断△ABC是不是直角三角形．
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易错点3： 等腰三角形中未利用分类讨论思想求解
1．（2023·内蒙古通辽·模拟预测）一个等腰三角形，一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则顶角的度
数为 ．
2．（2024·青海·一模）一个等腰（非等边）三角形的三边长均满足一元二次方程x2−6x+8=0，则这个三
角形的周长是 ．
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