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专题 17 图形的平移，旋转与轴对称
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（3大模块知识梳理）
知识模块一：图形的平移
知识模块二：图形的旋转
知识模块三：图形的轴对称与中心对称
03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（8大基础考点）
考点一：轴对称图形、中心对称图形，平移，旋转的识别
考点二：利用平移的性质求解
考点三：利用旋转的性质求解
考点四：利用轴对称的性质求解
考点五：利用中心对称的性质求解
考点六：用平移、轴对称、旋转、中心对称作图
考点七：利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案
考点八：与坐标系有关的对称、平移、旋转问题
04 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。（5大重难点）
重难点一：与三角形有关的折叠问题
重难点二：与特殊平行四边形有关的折叠问题
重难点三：与函数图象有关的折叠问题
重难点四：利用轴对称求最值
重难点五：旋转或轴对称综合题之线段、线段问题
05 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（2大易错点）
易错点 1 ： 判断轴对称图形与中心对称图形时出错
易错点2：未对旋转方向进行分类讨论，导致漏解
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知识模块一：图形的平移
知识点一：平移的定义
平移的定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形这种移动叫做平移．它是
由移动方向和距离决定的.
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知识点二：平移的性质
1）平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等.
2）平移前后对应线段平行（或在同一条直线上）且相等、对应角相等.
3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离.
知识点三：平移作图的步骤
1）定：根据题目要求，确定平移的方向和距离；
2）找：找出确定图形形状的关键点；
3）移：过这些关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移的距离相等的线段，得到关键点的
对应点；
4）连：按原图顺序依次连接各对应点.
【注意】确定一个图形平移后的位置需要三个条件：①图形原位置；②平移的方向；③平移的距离.
知识模块二：图形的旋转
知识点一：旋转的基础
旋转的概念：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运
动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．
旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度．
知识点二：旋转的性质
1）对应点到旋转中心的距离相等；
2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
3）旋转前后的图形全等．
知识点三：旋转作图的步骤
1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；
2）找出原图形的关键点；
3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；
4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．
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知识模块三：图形的轴对称与中心对称
知识点一：轴对称与中心对称
类别 轴对称 中心对称
定义 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与 如果一个图形绕某点旋转 180°后与另一个
另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直 图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心
线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫 对称.
做对称轴.折叠后重合的点是对应点，也叫做对称
点.
性质 1）对应点的连线被对称轴垂直平分； 1）对应点的连线都经过对称中心，且被对称
中心平分；
2）成轴对称的两个图形全等；
2）成中心对称的两个图形全等；
3）只有一条对称轴.
3）只有一个对称中心.
知识点二：轴对称图形与中心对称图形
类别 轴对称图形 中心对称图形
定义 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的 如果一个图形绕某一点旋转 180°后能与它
部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称 自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称
图形.这条直线就是它的对称轴. 图形，这个点叫做它的对称中心.
性质 1）有对称轴; 1) 有对称中心;
2）将图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分完 2) 将图形绕对称中心旋转180°旋转后的图
全重合. 形能与原来的图形重合.
考点一： 轴对称图形、中心对称图形，平移，旋转的识别
1．（2023·湖南郴州·中考真题）下列图形中，能由图形a通过平移得到的是（ ）
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A． B． C． D．
2．（2024·江苏徐州·中考真题）古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山西·中考真题）1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是
中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． 山西煤炭化学研究所 B． 东北地理与农业生态研究所
C． 西安光学精密机械研究所 D． 生态环境研究中心
考点二： 利用平移的性质求解
4．（2024·山东东营·中考真题）如图，将△≝¿沿FE方向平移3cm得到△ABC，若△≝¿的周长为24cm，
则四边形ABFD的周长为 cm．
5．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，将△ABC沿其底
1
边中线AD向下平移，使A的对应点A'满足A A'= AD，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ．
3
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6．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的
点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当
余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例 ： “ 和 点 ” P(2,1)按 上 述 规 则 连 续 平 移 3 次 后 ， 到 达 点 P (2,2)， 其 平 移 过 程 如 下 ：
3
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q (−1,9)，则点Q的坐标为（ ）
16
A．(6,1)或(7,1) B．(15,−7)或(8,0) C．(6,0)或(8,0) D．(5,1)或(7,1)
考点三： 利用旋转的性质求解
7．（2024·湖北·中考真题）如图，点A的坐标是(−4,6)，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应
点的坐标是（ ）
A．(4,6) B．(6,4) C．(−6,−4) D．(−4,−6)
8．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，△ABC中，AB=BC=1，∠C=72°．将△ABC绕点A顺时针
旋转得到△AB'C'，点B'与点B是对应点，点C'与点C是对应点．若点C'恰好落在BC边上，下列结论：
1 AB B'B
①点B在旋转过程中经过的路径长是 π；②B' A∥BC；③BD=C'D；④ = ．其中正确的结论
5 AC BD
是（ ）
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A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④
9．（2024·山东德州·中考真题）在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，点D是AB上一个动点（点D
不与A，B重合），以点D为中心，将线段DC顺时针旋转120°得到线DE．
(1)如图1，当∠ACD=15°时，求∠BDE的度数；
(2)如图2，连接BE，当0°<∠ACD<90°时，∠ABE的大小是否发生变化？如果不变求，∠ABE的度数；
如果变化，请说明理由；
(3)如图3，点M在CD上，且CM:MD=3:2，以点C为中心，将线CM逆时针转120°得到线段CN，连
接EN，若AC=4，求线段EN的取值范围．
考点四： 利用轴对称的性质求解
10．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在△ABC中，点A的坐标为(0,1)，点B的坐标为(4,1)，点C的坐
标为(3,4)，点D在第一象限（不与点C重合），且△ABD与△ABC全等，点D的坐标是 ．
11．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中
△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，
OE⊥OF．下列推断错误的是（ ）
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A．OB⊥OD B．∠BOC=∠AOB
C．OE=OF D．∠BOC+∠AOD=180°
12．（2023·山东泰安·中考真题）如图，在△ABC中，AC=BC=16，点D在AB上，点E在BC上，点B
关于直线DE的轴对称点为点B'，连接DB'，EB'，分别与AC相交于F点，G点，若
AF=8，DF=7,B'F=4，则CG的长度为 ．
考点五： 利用中心对称的性质求解
13．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6，点M在边AF上，且AM=2，
若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是 ．
14．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直
线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线的长分别为8和15时，则阴影部分的面积为
．
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15．（2024·陕西咸阳·三模）如图，分别以平行四边形ABCD的边AB和CD为直角边，向平行四边形
ABCD内作等腰Rt△ABE和等腰Rt△CDF，在△ABE的斜边AE、△CDF的斜边CF上分别取点N、M，
连接EM、FN，四边形EMFN为正方形，若平行四边形ABCD的面积为4，则△ABE的面积为 ．
考点六： 用平移、轴对称、旋转、中心对称作图
16．（2023·江苏·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AB=DE，AC=DF，BE=CF．
(1)求证：△ABC≌△≝¿；
(2)点P、Q分别是△ABC、△≝¿的内心．
①用直尺和圆规作出点Q（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②连接PQ，则PQ与BE的关系是________．
17．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，在 ▱ABCD中，AB=5，AD=3√2，∠A=45°．
(1)求出对角线BD的长；
(2)尺规作图：将四边形ABCD沿着经过A点的某条直线翻折，使点B落在CD边上的点E处，请作出折痕．
（不写作法，保留作图痕迹）
18．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶
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点都在网格点上．
(1)以点A为中心将△ABC旋转180°，得到△AB C ，画出△AB C ；
1 1 1 1
(2)将△ABC向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A B C ，画出△A B C ；
2 2 2 2 2 2
(3)连接B B ，利用网格作出线段B B 的中点P．（保留作图痕迹即可）
1 2 1 2
19．（2024·宁夏银川·模拟预测）按下列要求在如图的格点中作图：
(1)作出△ABC关于原点成中心对称的△A B C （A，B，C的对应点分别为A ，B ，C ）；
1 1 1 1 1 1
(2)以点C为位似中心，作出△ABC放大两倍的△A B C（A，B的对应点分别为A ，B ）．
2 2 2 2
考点七： 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案
20．（2023·山东枣庄·中考真题）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，
图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的
两个共同特征：___________，___________．
（2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．
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21．（2022·四川广安·中考真题）数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形， 下图都是
由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下
的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图
形，请画出4种不同的设计图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形）
22．（2024·四川广安·模拟预测）如图是在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”．请将“弦图”中
的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中按要求设计另外四个不同的图案．作图要求：
①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠；②所设计的图案（不含方格纸）
经过变换后与其它图案相同的视为一种设计．
23．（2024·四川广安·二模）如图，网格中每个小正方形的边长为1．请你认真观察图1中的三个网格中的
黑色部分构成的图案，解答下列问题：
(1)这三个图案都具有以下共同特征：都是______对称图形，都不是______对称图形；
(2)在图2中选一个白色的小正方形并涂黑，使图2中黑色部分是轴对称图形；
(3)请在图3中设计出一个面积为4的图案，且具备（1）中的特征（不与图1中所给图案相同）．
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考点八： 与坐标系有关的对称、平移、旋转问题
24．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知A，B两点的坐标分别为A(−3,1)，B(−1,3)，将线段AB平
移得到线段CD．若点A的对应点是C(1,2)，则点B的对应点D的坐标是 ．
25．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(3,0)，B(0,2)，过点B作y轴的
垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO+PA的最小值为 ．
26．（2024·湖北·中考真题）平面坐标系xOy中，点A的坐标为(−4,6)，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，
则点A的对应点A'的坐标为（ ）
A．(4,6) B．(6,4) C．(−4,−6) D．(−6,−4)
27．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的对角线AC、BD相交
于原点O．若点A的坐标是(2,1)，则点C的坐标是 ．
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重难点一： 与三角形有关的折叠问题
1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在纸片△ABC中，∠C=90°,∠B=60°，点D，E分别在边
AB,AC上，且AD=AE，将△ADE沿DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，则BD:CE=（ ）
A．3:2 B．√3:2 C．2√3:3 D．4:3
2．（2024·四川·中考真题）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=4，折叠△ABC，使点A与
点B重合，折痕DE与AB交于点D，与AC交于点E，则CE的长为 ．
3．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,CA=CB=3，点D在边BC上．将
△ACD沿AD折叠，使点C落在点C'处，连接BC'，则BC'的最小值为 ．
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重难点二： 与特殊平行四边形有关的折叠问题
1．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片ABCD沿边EF折叠，使点D在边BC中点M处．若
AB=4，BC=6，则CF= ．
2．（2023·江苏南京·中考真题）如图， 在菱形纸片ABCD中， 点E在边AB上，将纸片沿CE折叠， 点
B落在B'处，CB'⊥AD， 垂足为F 若CF=4cm，FB'=1cm， 则BE= cm
3．（2024·湖北·中考真题）在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，
使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H．
(1)如图1，求证：△DEP∽△CPH；
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(2)如图2，当P为CD的中点，AB=2，AD=3时，求GH的长；
(3)如图3，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由．
重难点三： 与函数图象有关的折叠问题
1．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−2x2+bx+c与x轴相交于
A(1,0)，B两点（点A在点B左侧），顶点为M(2,d)，连接AM．
(1)求该抛物线的函数表达式；
( 1)
(2)如图 1，若C是 y轴正半 轴上一点，连接 AC,CM．当点C的坐标 为 0, 时，求 证：
2
∠ACM=∠BAM；
(3)如图2，连接BM，将△ABM沿x轴折叠，折叠后点M落在第四象限的点M'处，过点B的直线与线段
BD 8
AM'相交于点D，与y轴负半轴相交于点E．当 = 时，3S 与2S 是否相等？请说明理由．
DE 7 △ABD △M'BD
2．（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0,0)，点
A(3,0)，点B,C在第一象限，且OC=2,∠AOC=60∘．
(1)填空：如图①，点C的坐标为______，点B的坐标为______；
(2)若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线l⊥x轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点O'落在
x轴的正半轴上，点C的对应点为C'．设OP=t．
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①如图②，若直线l与边CB相交于点Q，当折叠后四边形PO'C'Q与▱OABC重叠部分为五边形时，O'C'
与AB相交于点E．试用含有t的式子表示线段BE的长，并直接写出t的取值范围；
2 11
②设折叠后重叠部分的面积为S，当 ≤t≤ 时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
3 4
3．（2024·广东·中考真题）【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线y=ax(a>0)上第
k
一象限内的两个动点(OD>OB)，以线段BD为对角线作矩形ABCD，AD∥x轴．反比例函数y= 的图象
x
经过点A．
k
【构建联系】（1）求证：函数y= 的图象必经过点C．
x
（2）如图2，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为(1,2)时，
求k的值．
【深入探究】（3）如图3，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接AC交
BD于点P．以点O为圆心，AC长为半径作⊙O．若OP=3√2，当⊙O与△ABC的边有交点时，求k的
取值范围．
重难点四： 利用轴对称求最值
1．（2022·山东德州·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在BC上，CE=2，点M是对角线
BD上的一个动点，则EM+CM的最小值是（ ）
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A．6√2 B．3√5 C．2√13 D．4√13
2．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在 ▱ABCD中，∠C=120°，AB=8，BC=10．E为边CD的中
点，F为边AD上的一动点，将△≝¿沿EF翻折得△D'EF，连接AD'，BD'，则△ABD'面积的最小值为
．
3．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，AB=√10，AD=4√2，点P是边AD上一
点（不与点A，D重合），连接PB，PC．点M，N分别是PB，PC的中点，连接MN，AM，DN，点
E在边AD上，ME∥DN，则AM+ME的最小值是（ ）
A．2√3 B．3 C．3√2 D．4√2
重难点五： 旋转或轴对称综合题之线段、面积问题
1．（2023·湖北随州·中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直
线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里
拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择
填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④
处填写该三角形的某个顶点）
当△ABC的三个内角均小于120°时，
如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A'P'C，连接PP'，
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由 PC=P'C，∠PCP'=60°， 可 知△PCP'为 ① 三 角 形 ， 故 PP'=PC， 又 P' A'=PA， 故
PA+PB+PC=PA'+PB+PP'≥A'B，
由 ② 可知，当B，P，P'，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A'B，此时
的P点为该三角形的“费马点”，且有∠APC=∠BPC=∠APB= ③ ；
已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图 3，若
∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图 4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知点 P 为
△ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值；
(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km，BC=2√3km，∠ACB=60°．
现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分
别为a元/km，a元/km，√2a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．
（结果用含a的式子表示）
2．（2023·吉林松原·二模）如图所示，在Rt△ABC中，AB=8，∠ACB=90°，∠A=60°，点P从点A
出发以每秒2个单位长度的速度沿AB向终点B运动，当点P不与点A，B重合时，作∠BPD=120°，边
PD交折线AC−CB于点D，点A关于直线PD的对称点为E，连接ED，EP得到△PDE．设点P的运动
时间为t（秒）．
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(1)直接写出线段PD的长（用含t的代数式表示）；
(2)当点E落在边BC上时，求t的值；
(3)设△PDE与△ABC重合部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
3．（2022·宁夏·中考真题）综合与实践
知识再现
如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以BC、CA、AB为边向外作的正方形的面积为S 、S 、S ．
1 2 3
当S =36，S =100时，S =______．
1 3 2
问题探究
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）如图2，分别以BC、CA、AB为边向外作的等腰直角三角形的面积为S 、S 、S ，则S 、S 、S 之
1 2 3 1 2 3
间的数量关系是______．
（2）如图3，分别以BC、CA、AB为边向外作的等边三角形的面积为S 、S 、S ，试猜想S 、S 、S 之
4 5 6 4 5 6
间的数量关系，并说明理由．
实践应用
（1）如图4，将图3中的△BCD绕点B逆时针旋转一定角度至△BGH，△ACE绕点A顺时针旋转一定角度
至△AMN，GH、MN相交于点P．求证：S =S ；
△PHN 四 边 形PMFG
（2）如图5，分别以图3中Rt△ABC的边BC、CA、AB为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，
BC、CA、AB为直径的半圆柱的体积分别为V 、V 、V ．若AB=4，柱体的高h=8，直接写出V +V
1 2 3 1 2
的值．
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易错点1： 判断轴对称图形与中心对称图形时出错
1．（2024·西藏·中考真题）下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东淄博·中考真题）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
易错点2： 未对旋转方向进行分类讨论，导致漏解
1．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，∠BAC=∠DAE=40°，将
△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，当AD⊥BC时，∠BAE的度数是 ．
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