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1．3 直角三角形全等的判定
应用
【类型一】 解决线段相等问题
已知如图AC⊥BC，AD⊥BD，AD
1．熟练掌握“斜边、直角边定理”，以及 ＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F.
熟练地利用这个定理和判定一般三角形全 求证：CE＝DF.
等的方法判定两个直角三角形全等；(重点)
2．熟练使用“分析综合法”探求解题
思路．(难点)
解析：根据已知条件证明现有的
Rt△ABC与Rt△BAD全等，得出线段和角
一、情境导入 相等，再证Rt△ACE和Rt△BDF全等，从而
前面我们学习了判定两个三角形全等 解决问题．
的四种方法——SAS、ASA、AAS、SSS.当然 证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠ACB
这些方法也适用于判定两个直角三角形全 ＝∠ADB＝90°，在Rt△ABC和Rt△BAD中，
等，那么直角三角形的全等的判定还有其他 ∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)，∴AC＝BD，
的方法吗？ ∠CAB＝∠DBA，∵CE⊥AB，DF⊥AB，
二、合作探究 ∴∠CEA＝∠DFB＝90°，在△CAE 和
探究点一：运用“HL”判定直角三角 △DBF中，∴△CAE≌△DBF(AAS)，∴CE
形全等 ＝DF.
如图所示，AD⊥BC，CE⊥AB，垂 方法总结：一般三角形全等的判定方法
足分别为D、E，AD交CE于点F，AD＝EC. 仍然适用于直角三角形，因此判定直角三角
求证：FA＝FC. 形全等的方法有五种，不要只限于“HL”．
【类型二】 灵活选用判定方法解决线段
和差问题
已知，如图所示，AB＝AC，∠BAC
＝90°，AE是过A点的一条直线，且B、C在
解析：要利用“等角对等边”证明FA DE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求
＝FC，需先证∠FAC＝∠FCA，此结论可由 证：BD＝DE＋CE.
三角形全等得到．
证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEC＝
∠ADC＝90°.∴在Rt△AEC和Rt△CDA中
∴Rt△AEC≌Rt△CDA(HL)，∴∠FAC＝
∠FCA，∴FA＝FC.
方法总结：在运用HL判定两个直角三 解析：先证△ABD≌△ACE，再根据等
角形全等时，要紧紧抓住直角边和斜边这两 量代换得出结论．
个要点． 证明：∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，又∵∠BAC＝90°，
探究点二：直角三角形判定方法的灵活 ∴∠ABD＋∠BAD＝∠CAE＋∠BAD，
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∴∠ ABD ＝∠CAE，又∵AB＝CA ，
∴△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，AD＝CE，
∵AE＝AD＋DE，∴BD＝CE＋DE.
方法总结：当看到题目中要证线段和差
关系时，而且这三边分别在两个全等三角形
中时，可先判定两三角形全等，再证明线段
关系．在证明全等时可灵活选用判定方法．
探究点三：利用尺规作直角三角形
已知：线段a，如图．
求作：Rt△ABC，使BC＝a，AB＝a，∠C
＝90°.
解析：已知直角三角形的斜边和一条直
角边，先考虑作出直角，然后截取直角边，再
作出斜边即可．
解：作法：如图所示，(1)作l⊥l 于点
2 1
C；
(2)在l 上截取CB＝a；
1
(3)以点B为圆心，以a的长为半径画弧，
交l 于点A；
2
(4)连接AB，Rt△ABC即为所求．
方法总结：尺规作图时，应养成先画草
图的习惯，再根据草图分析作图的先后顺序．
三、板书设计
1．斜边、直角边定理
斜边和一直角边对应相等的两个直角
三角形全等(简称“HL”)
2．直角三角形判定方法的灵活应用
使用“HL”定理时，必须先得出两个直角
三角形，然后证明斜边和一直角边对应相等．
这在课堂教学中要反复强调，这是与前面四
种方法的区别，是学生很容易犯的错误，同
时学生利用尺规作直角三角形还不熟练，要
注重培养他们的动手操作能力.
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