第11讲指数与对数的运算（原卷版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型（新高考专用）

第 11 讲 指数与对数的运算 【基础知识全通关】 知识点01 根式 (1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝ 知识点02 分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂 的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有 意义. (2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 知识点03 对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log N，其中a叫做对数 a 的底数，N叫做真数. 知识点04 对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①alog N＝N；②log ab＝b(a>0，且a≠1). a a (2)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①log (MN)＝log M＋log N； a a a ②log＝log M－log N； a a a ③log Mn＝nlog M(n∈R)； a a ④log m Mn＝log M(m，n∈R，且m≠0). a a (3)换底公式：log N＝(a，b均大于零且不等于1). b 【考点研习一点通】 考点01 指数幂的运算 1.化简a·b－2·÷(a，b>0)【变式】若实数a>0，则下列等式成立的是( ) A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝ C．(－2)0＝－1 D．(a)4＝ 考点02 比较指数式的大小 2．设 ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【变式2】设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( ) A．a0 B．ln(y−x+1)<0 C．ln|x−y|>0 D．ln|x−y|<0【变式】已知a＝log 2，b＝log 0.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为( ) 5 0.5 A． B． C． D． 【变式】已知 ，则（ ） A． B． C． D． 考点06 解简单的对数不等式 6.设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( ) A．(－1，0)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，1) 【变式】若log (a2＋1)＜log 2a＜0，则a的取值范围是________． a a 【考点易错】 1.计算：( 2 1) 1 2−(−9.6) 0− ( 8 ) 3 2 + (3) −2． 4 27 2 2 1  7 23      【变式1】计算：1.5－3×  60＋80.25× 4 2 ＋( 3 2 × 3 )6－ 31 2 3  3  7  23      1    【变式2】计算： 2 ×  60＋ 84 × 4 2 －  3 ＝________. 2.已知 x+x−1=3， 则 x 3 2+x − 3 2 的值为__________． 1 1  x2 x 2 3 xx1 3.设 ，求 的值． 1 1  a2 a 2 3 【变式3】已知 ，求下列各式的值. a2 a2 1 （1） a1a1 ；（2） a2 a2 ；（3） aa11 4.对数式log （5－a）＝b中，实数a的取值范围是 （a－2） A．（－∞，5） B．（2,5） C．（2，＋∞） D．（2,3）∪（3,5） 【巩固提升】 1．（2022·山西省忻州一中模拟）实数lg 4＋2lg 5的值为( ) A．2 B．5 C．10 D．20 2．(2022·江西上饶摸底)已知a＝20.4，b＝90.2，c＝()3，则( )A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a 3．(2022·湖北省沙市模拟)下列各式比较大小正确的是( ) A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62 C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1 4.(2022·辽宁沈阳模拟)设函数f(x)＝则f＝( ) A．－1 B．1 C．－ D. 5．(2022·四川宜宾模拟)若函数f(x)＝2·ax＋m－n(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(－1,4)，则m ＋n＝( ) A．3 B．1 C．－1 D．－2 6．（2022·辽宁省锦州模拟若实数a满足log ＞1＞loga，则a的取值范围是( ) a A. B. C. D. 7．(2022·广西百色模拟)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为( ) A. B. C. D. 8．(2022·云南曲靖模拟)设a＝log 0.4，b＝log 0.4，则( ) 0.3 3 A．ab＜a＋b＜0 B．a＋b＜ab＜0 C．ab＜0＜a＋b D．a＋b＜0＜ab 9．（2022·安徽省阜阳一中模拟设函数f(x)＝log (x2＋1)＋，则不等式f(log x)＋ \f(1,2 2 f(log x)≥2的解集为( ) \f(1,2 A．(0，2] B. C．[2，＋∞) D.∪[2，＋∞) 10．（2022·江西省新余一中模拟设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( ) A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z 11．(2022·北京海淀模拟)如图，点A，B在函数y＝log x＋2的图象上，点C在函数y＝ 2 log x的图象上，若△ABC为等边三角形，且直线BC∥y轴，设点A的坐标为(m，n)，则m 2＝( ) A．2 B．3 C. D. 12．(2022·湖北宜昌模拟)若函数f(x)＝log (5＋4x－x2)在区间(a－1，a＋1)上单调递增，且 0.9 b＝lg 0.9，c＝20.9，则( ) A．c