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专题 24.8 正多边形与圆【九大题型】
【人教版】
【题型1 求正多边形中心角】..................................................................................................................................2
【题型2 由正多边形中心角求边数】......................................................................................................................3
【题型3 尺规作正多边形】......................................................................................................................................3
【题型4 正多边形和圆中求线段长度】..................................................................................................................5
【题型5 正多边形和圆中求角度】..........................................................................................................................6
【题型6 正多边形和圆中求周长】..........................................................................................................................7
【题型7 正多边形和圆中求面积】..........................................................................................................................8
【题型8 正多边形和圆中求最值】..........................................................................................................................9
【题型9 正多边形和圆中的证明】........................................................................................................................10
知识点：正多边形和圆
（1）正多边形的有关概念
正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成n（n就是大于2的自然数）等份，顺次连接各分点所的的多
边形就是这个圆的内接正多边形，这个圆就就是这个正多边形的外接圆。
正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。
正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。
（2）正多边形的有关计算
中心角 边心距 周长 面积
O
B
为边数； 为边心距； 为半径； 为边长 A
（3）正多边形每个内角度数为 ，每个外角度数为【题型1 求正多边形中心角】
【例1】（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，圆内接正九边形两条对角线AB,CD相交，则∠1的度数
是（ ）
A．45° B．54° C．60° D．72°
【变式1-1】（23-24九年级上·江苏泰州·期末）将一个正八边形绕着其中心旋转后与原图形重合，旋转角
的大小不可能是（ ）
A．45° B．60° C．135° D．180°
【变式1-2】（23-24九年级下·安徽淮北·阶段练习）苯（分子式为C H ）的环状结构是由德国化学家凯库
6 6
勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2
是其平面示意图，点O为正六边形ABCDEF的中心，则∠CBF−∠COD的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【变式1-3】（15-16九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在正十边形A A A A A A A A A A
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
中，连接A A 、A A ，则∠A A A = °
1 4 1 7 4 1 7【题型2 由正多边形中心角求边数】
【例2】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边
形的中心，若∠ADB=18°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．20
【变式2-1】（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）已知一个正多边形的中心角为45°，边长为5，那么这
个正多边形的周长等于 ．
【变式2-2】（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的
内接正m边形的一边，BC是⊙O的内接正n边形的一边，∠ADC=60°，则mn= ．
【变式2-3】（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，AC是⊙O的内接正四边形的一边，点B在弧AC
上，且BC是⊙O的内接正六边形的一边．若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【题型3 尺规作正多边形】
【例3】（23-24九年级上·福建福州·期中）尺规作图：如图，AD为⊙O的直径。(1)求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF.(要求：不写作法,保留作图痕迹)；
(2)已知连接DF，⊙O的半径为4，求DF的长。
【变式3-1】（23-24·陕西·一模）如图，已知⊙O，请用尺规作图法求作⊙O的内接正方形ABCD．（保
留作图痕迹，不写作法）
【变式3-2】（23-24九年级·河北·专题练习）如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形
ABCDE的部分尺规作图步骤如下：
①作出半径OF的中点H．
②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G．
③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E．
已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝ ．（结果保留根号）
【变式3-3】（2024·江苏无锡·一模）尺规作图：(1)请在图①中以矩形ABCD的AD边为边作菱形ADEF，使得点E在BC上；
(2)请在图②中以矩形ABCD的AD边为直径作⊙O，并在⊙O上确定点P，使得△BCP的面积与矩形
ABCD的面积相等.
【题型4 正多边形和圆中求线段长度】
【例4】（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，半径为2的⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，则
边心距OM的长度为（ ）
3
A．1 B．❑√3 C． D．2
2
【变式4-1】（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，分别以点
A、D为圆心，AE长为半径作弧，在⊙O外交于点G，连接OG．若⊙O的半径为1，则OG的长度为
．
【变式4-2】（23-24九年级·全国·假期作业）如图，正方形ABCD和正三角形AEF内接于⊙O，DC、
BC交EF于G、H，若正方形ABCD的边长是4，则GH的长度为( )4 4 8
A．2❑√2 B．4❑√2− ❑√3 C． ❑√6 D． ❑√2−❑√3
3 3 3
【变式4-3】（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为2cm．
(1)求CD的长度；
(2)若G为CD的中点，连接AG，求AG的长度．
【题型5 正多边形和圆中求角度】
【例5】（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，边长为2．
(1)求⊙O的直径AD的长；
(2)求∠ADB的度数．
【变式5-1】（2024·宁夏银川·二模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为劣弧AB上的动点，则
∠APB的大小为 ．【变式5-2】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，P为弧AB上
的一点（点P不与点A，B重合），求∠DPF的度数．
【变式5-3】（2024·安徽淮北·二模）如图，⊙O是正五边形ABCDE和正六边形AFGHIJ的外接圆，连接
OC和OG，则∠COG的度数为 ．
【题型6 正多边形和圆中求周长】
【例6】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，若⊙O的半径为
6，则四边形ACDF的周长是（ ）
A．6+6❑√3 B．12+6❑√3 C．12+12❑√3 D．6+12❑√3【变式6-1】（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，记
的周长为 ，正六边形 的周长为 ，则C 的值为 ．
△ACE C ABCDEF C 1
1 2 C
2
【变式6-2】（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，已知⊙O的半径
为1，连接OA,OE，则四边形AOEF的周长为（ ）
A．6 B．4❑√3 C．4 D．4❑√2
【变式6-3】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上
运动，若⊙O的周长为2π，MN=1，则△AMN周长的最小值是 ．
【题型7 正多边形和圆中求面积】
【例7】（2024·江苏南京·三模）如图，S 表示⊙O 中去掉内接正三角形部分的面积，S 表示⊙O 中去掉
1 1 2 2
内接正六边形部分的面积，⊙O 和⊙O 的半径均为6，则S 2S ．（填“>、<或=”）
1 2 1 2【变式7-1】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，⊙O的半径为❑√2，以⊙O的内接正八边形的一边
为边在⊙O内作正方形ABCD，则正方形ABCD的面积为 ．
【变式7-2】（2024·江苏无锡·一模）魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去
无限逼近圆面积． 如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面
积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式7-3】（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接等边三
角形，点DE在⊙O上．四边形BCDE为平行四边形，则平行四边形BCDE的面积是（ ）
A．4❑√3 B．4 C．2 D．2❑√3
【题型8 正多边形和圆中求最值】
【例8】（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图，⊙O的圆心O与正方形的中心重合，已知⊙O的半径和正方形的边长都为2，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（ ）
A．0.5 B．1 C．4−2❑√2 D．2−❑√2
【变式8-1】（23-24·陕西西安·一模）如图，点P为⊙O上一点，连接OP，且OP=4，点A为OP上一动
点，点B为⊙O上一动点，连接AB，以线段AB为边在⊙O内构造矩形ABCD，且点C在⊙O上，则矩形
ABCD面积的最大值为 ．
【变式8-2】（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，点M是边长为2的正六边形ABCDEF内的一
点（不包括边界），且AM⊥BM，P是FC上的一点，N是AF的中点，则PN+PM的最小值为
．
【变式8-3】（23-24·广东广州·中考真题）如图， 为等边 的外接圆，半径为2，点 在劣弧 ⏜
⊙O ΔABC D
AB
上运动（不与点A,B重合），连接DA，DB，DC．（1）求证：DC是∠ADB的平分线；
（2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理
由；
（3）若点M,N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位
置，ΔDMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值．
【题型9 正多边形和圆中的证明】
【例9】（23-24九年级上·浙江·期末）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．
(1)求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF．
(2)设⊙O的面积为S，六边形ABCDEF的面积为S，求S 的值（结果保留π）．
1 2 1
S
2
【变式9-1】（23-24·湖北武汉·模拟预测）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝
60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形．
（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．【变式9-2】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是B´C的中点，连接
AE，DE，CE.
(1)求证：AE=DE；
(2)求证：AE+CE=❑√2DE；
【变式9-3】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，已知⊙O的内接正十边形ABCD⋯，AD交OB，
OC于M，N，求证：
(1)MN∥BC；
(2)．
