文档内容
第 11 讲 拓展四：导数中的隐零点问题
(精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
第三部分：第 11 讲 拓展四：导数中的隐零点问题 （精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、不含参函数的隐零点问题
已知不含参函数f (x)，导函数方程f '(x)=0的根存在，却无法求出，设方程f '(x)=0的根为 x ，
0
则有：
①关系式
f '(x )=0
成立；②注意确定
x
的合适范围.
0 0
2、含参函数的隐零点问题
已知含参函数f(x,a)，其中a为参数，导函数方程f '(x,a)=0的根存在，却无法求出，设方程
f '(x)=0的根为 x ，则有
0
①有关系式
f '(x
0
)=0
成立，该关系式给出了
x
0
,a
的关系；②注意确定
x
0
的合适范围，往往和a的
范围有关.
3、函数零点的存在性
（1）函数零点存在性定理：设函数 在闭区间 上连续，且 ，那么在开区间
内至少有函数 的一个零点，即至少有一点 ，使得 .
① 若 ，则 的零点不一定只有一个，可以有多个
② 若 ，那么 在 不一定有零点
③ 若 在 有零点，则 不一定必须异号
(3)若 在 上是单调函数且连续，则 在 的零点唯一.第二部分：典 型 例 题 剖 析
1．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数 ．
(1)若曲线 在 处的切线经过点 ，求实数a的值；
(2)若对任意 ，都有 （e为自然对数的底），求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
(1)
，所以 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
因为切线经过点 ，所以
解得 ．
(2)
设 ，则 ，
设 ，则 ，
因为 在 上递增，
所以当 时， ，当 时，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以 ，
令 ，则
所以 在 递减，
因为 ，
所以 ，所以 ．
【点睛】
关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数证明不等式，解题的关键是构造函数 ，利用导数求得 ，再利用
函数 的单调性结合 可证得结论，考查数学转化思想，属于较难题
2．（2022·甘肃·一模（文））已知函数 ， ．
(1)判断函数 的单调性；
(2)当 时，关于x的不等式 恒成立，求实数b的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；(2) .
【解析】
(1)
的定义域为 ，求导得： ，
若 时，则 ，此时 在 单调递增；
若 时，则当 时 ， 在 单调递减，
当 时， ，f(x)在 单调递增.
(2)
当 时， ，
由题意 在 上恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 ，所以 在 上递增，
又 ，所以 在 上有唯一零点 ，
由 得 ，
当 时， 即 ， 单调递减； 时， 即 ， 单调
递增，所以 为 在定义域内的最小值.
即
令 ，则方程 等价于 ，又易知 单调递增，所以 ，即
所以， 的最小值
所以 ，即实数 的取值范围是
【点睛】
利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进
而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数
的最值问题.
3．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数 （ 为自然对数的底数）.
(1)求 的极值；
(2)（i）证明∶ 与 有相同的零点；
（ii）若 恒成立，求整数a的最大值.
【答案】(1) 的极小值为 ，无极大值；
(2)（i）证明见解析，（ii）
【解析】
(1)
由题意可知， ，
令 ，即 ，解得 ；
当 时， ，所以 在 单调的递增；
当 时， ，所以 在 单调的递减；
当 时， 取得极小值为 ，无极大值；
(2)
（i）由 知 ，
所以 在 上单调递增；
由 知 ，
所以 在 上单调递增；又 ，
故必存在唯一 使得 ，
即有 ，
故 ，
所以 与 有相同的唯一零点 ；
（ii）由 ，得 恒成立，
在 恒成立，
令 ， ，则
，
由（i）知 单调递增且 存在唯一零点 ；则
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
故 ；
由（i）知 ；又 ，
故进一步确定 ；
故 ，
即 ，解得 ，又 ；
所以整数a的最大值为 .
【点睛】
求解不等式问题的关键：
适当变形，灵活转化，结合题设条件，有时需要对不等式进行“除法”变形，
从而分离参数，有时需要进行移项变形，可使不等式两边具有相同的结构特点；
构造函数，利用导数求解，若分离参数，则直接构造函数，并借助导数加以
求解，若转化为不等式两边具有相同的结构特点，则可根据该结构特点构造函数，并借助导数加以求解.
4．（2022·四川南充·二模（理））已知 .
(1)求 在 的切线方程；
(2)求证： 仅有一个极值；
(3)若存在 ，使 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) (2)证明见解析(3)
【解析】
(1)
当 时，
得 ，又 .
所以 在 的切线方程为： .
即 ；
(2)
令 ，
由于 ，得 .
所以 在 单调递减.
所以存在唯一 ，使得 .
所以 于 单调递增， 单调递减.
，无极小值.
所以 仅有一个极值.
(3)
任意 ，则 .
由（2）知 .又 ，则 .
若存在 ，使 ，即 ，
得 ，
转化为 .
当 时， 或 ；
当 时， ；
所以 于 单调递增， 单调递减， 单调递增
当 时，
由于 ，则 ，又 .
当 时，
综上：当 时，
得 .
故 .
【点睛】
不等式恒成立问题、存在性问题的求解，有相同点：即分离常数法.也有不同点，如 恒成立问题，
转化为 ； 能成立问题，则转化为 .
5．（2022·河南洛阳·模拟预测（理））已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，求证： ．
【答案】(1)当 时， 在 上为单调递增；当 时， 在 上为单调递减，在
上为单调递增.(2)证明见见解析.【解析】
(1)
由已知条件得函数 的定义域为 ，
，
因为
①当 时， 在 上恒成立，
故 在 上为单调递增.
②当 时，当 时， ，当 时，
故 在 上为单调递减，在 上为单调递增；
综上所述：当 时， 在 上为单调递增
当 时， 在 上为单调递减，在 上为单调递增
(2)
当 时，
要证原式成立，需证 成立，
即需证 成立，
令 ，则 ，
令 ，则 ，故 在 上单调递增，
， ，由零点存在性定理可知，存在 使 ，
则在 上 ，在 上 ，
即在 上 ，在 上 ，
则 在 上单调递减，在 单调递增，在 处取得最小值，
由 可得 ，即 ，
两边同取对数 ，即 ，
的最小值为 ，
即 成立，故当 时， 成立.
【点睛】
关键点睛：本题考查利用导数讨论函数的单调性，利用导数证明不等式. 解答本题的关键是构造函数
，分析其单调性，得出其最小值，从而得出函数在在 处取得最小值，而
满足 ，两边同取对数得 ，从而得出最小值为0，从而得证. 属于难题.
6．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数 ．
(1)当 时，若 满足 ，讨论函数 的单调性；
(2)当 时，若 恒成立，试比较a和1.5625的大小．
参考数据： ， ， ， ．
【答案】(1) 时 单调递减； 时， 单调递增(2)
【解析】
(1)
，
因为 ，所以 与 均单调递增，从而 是 上的增函数，又 满足 ，
所以 是 在 上的唯一零点，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
(2)
，
当 时，原不等式可转化为 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
∴ ，又 ，
由于 ，
，
所以 在 上存在唯一零点 ，故当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
故 ，又 ，即 ，
∴ ，
由于 ，即 ．
【点睛】
利用导数研究函数的单调区间、极值、最值，当求导一次无法解决问题时，可考虑利用二次求导来进行求
解.
7．（2022·湖北·石首市第一中学高二阶段练习）已知函数 的图象在点 处的切线
方程为 ．
(1)判断函数 的单调性．
(2)证明：当 时， ．
【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析
【解析】
(1)
解：因为 ，所以 ，解得 ，所以 ．
函数 的定义域为 ，令 ，得 ；令 ，得 ．
所以函数 的增区间为 ，减区间为 .
(2)
证明：要证 ，即证 ，只需证 ．
令 ，其中 ，
则 ．
令 ，则 ，所以 在 上单调递增．
因为 ， ，
所以存在 ，使 ，可得 ，当 时， ，即 ，则 在 上单调递减；
当 时， ，即 ，则 在 上单调递增．
所以 ．
所以 ，所以 ．
【点睛】
方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
8．（2022·河南·平顶山市教育局教育教学研究室高二开学考试（文））已知函数 ．
(1)讨论 的单调性．
(2)当 时，证明： 对 恒成立．
【答案】(1) 单调区间、单调性见解析；(2)证明见解析.
【解析】
(1)
因为 ，
当 时， ，由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时，由 ，得 ，由 ，得 或 ，
所以 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ，当且仅当 时取“=”，则 在R上单调递减，
当 时，由 ，得 ，由 ，得 或 ，
所以 在 和 上单调递减，在 上单调递增.
(2)
当 ， 时， ，令 ，则 ，
显然 在 上单调递增，且 ， ，
即存在 ，使得 ，当 时， ，当 时， ，
于是得 在 上单调递减，在 上单调递增，
即 ，而 ，即 ，
因此， ，而 ，即 ，
所以 对 恒成立.
【点睛】
思路点睛：涉及双变量的不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助导数探讨函数的
单调性、极(最)值问题处理.
9．（2022·海南·嘉积中学高三阶段练习）已知函数 ( 为自然对数的底数， )．
(1)求 的单调区间和极值；
(2)设 ，若对任意的 ，都有 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；(2) ﹒
【解析】
(1)
，x＞0，
当 时，－a≥0， ，∴ 在 上单调递增，无极值；
当 时，令 ，得 ，
当 时， ；当 时， ；
∴ 在 上单调递减，在 单调递增，极小值为 ，无极大值.
综上，当 时， 的增区间为 ，无减区间，无极值；
当 时， 的减区间为 ，增区间为 ，极小值为 ，无极大值.
(2)∵对任意的 ，不等式 恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
∴ 在 上为增函数，
又∵ ， ，
∴ ，使得 ，即 ，
当 时， ，可得 ，∴ 在 上单调递减；
当 时， ，可得 ，∴ 在 上单调递增，
∴ ，
由 ，可得 ，
令 ，则 ，
又由 ，∴ 在 上单调递增，
∴ ，可得 ，∴ ，即 ，
∴ ，∴ ，
综上所述，满足条件 的取值范围是 .
【点睛】
本题关键是参变分离不等式 ，将问题转化为求 在 时的最小值，转化为通
过导数 研究F(x)的单调性和最小值.在求解过程中，需要对导数二次求导，从而判断导数的零点，该
零点为隐零点，故需采用隐零点的讨论方法求解.在处理方程 时，还需要采用同构思想构造
函数 ，达到简化的目的.
10．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））已知函数 （ ，e为自然对数的底数）．
(1)若 在x=0处的切线与直线y=ax垂直，求a的值；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)当 时，求证： ．
【答案】(1) (2)答案见解析(3)证明见解析
【解析】
(1)
，则 ，
由已知 ，解得
(2)
（ⅰ）当 时， ，
所以 ， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减；
（ⅱ）当 时，令 ，得 ，
① 时， ，
所以 或 ， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增；
② 时， ，则 在 上单调递增；
③ 时， ，
所以 或 ， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增．
综上， 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增；
时， 在 上单调递增；时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增．
(3)
方法一：
等价于
当 时，
令
令 ，则 在区间 上单调递增
∵ ，
∴存在 ，使得 ，即
当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时， ，则 在 上单调递增
∴
∴ ，故
方法二：
当 时，
令 ，则 ，
令 ，则
当 时， ；当 时，
∴ 在区间 上单调递减， 上单调递增．
∴ ，即
∴ ，
【关键点点睛】
解决本题的关键：一是导数几何意义的运用，二是通过导函数等于零，比较方程的根对问题分类讨论，三
是隐零点的运用及放缩法的运用.
11．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数 .
(1)若 ，求 在 上的最大值与最小值之差；(2)若 ，证明：
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】
(1)
由题意得 ，
则 ，由于 都是递增函数，
故 是递减函数，
则 ，
故 为递减函数，
则 ，
故 ；
(2)
证明：由 ， ，
可得 ，
设 ，
令 ，故 单调递增，
又 ，
故存在 ，使得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故 ，
由于 ，则 ，故 ，
所以 .
12．（2022·江西宜春·模拟预测（理））已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；(2)若 有两个不等实根 ，证明： ．
【答案】(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为 (2)证明见解析
【解析】
(1)
解：因为 ，
所以 ，
时， 单调递减；
时， 单调递增，
所以 单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
(2)
由题意可知 ，不妨设 ， ，
∴ ，于是原式 等价于 ，
即 ，
∴ ，
下面先证明，当 时， ，
令 ，
，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，在 时恒成立，
∴欲证 ，只需证明 即可．
∴ ，
变形得， ，当 时，显然成立，
所以 得证．
【点睛】
关键点点睛：本题第二问关键是由 两边取对数，得到 ，再结合
，不妨设 ，令 ，转化为 而得证.
13．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二期中）已知函数 的图象在点 (
为自然对数的底数) 处的切线斜率为 ．
(1)求实数 的值;
(2)若 ， 且存在 使 成立， 求 的最小值．
【答案】(1)1(2)4
【解析】
(1)
由题意知： ， ，解得 ；
(2)
由（1）知： ，存在 使 成立等价于 ，令
，
则 ，令 ，则 ，所以
在 上单增，
又 ，故存在 使 ，即 ，
故当 时， 单减，故当 时， 单增，
故 ，故 ，
又 且 ，故 的最小值为4.
14．（2022·安徽省桐城中学高三阶段练习（理））已知函数 ，函数 在
处取得最大值.
(1)求a的取值范围；
(2)当 时，求证： .【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】
(1)
显然 ，由已知 得 .
故 .
若 ，当 时， ；当正数 时， .
有最小值，不符合题意.
若 ，当 时， ；当 时， .
有最大值 ，故a的取值范围为 .
(2)
由（1）知 ，当 时， ，所以 .
当 时，因为 ，只需证 ，
即证
令 ，
设 ，
故 在 上为增函数.
所以 ，
所以存在 ，使得 ，此时 .
当 时， ，即 ；当 时， ，即 .
故 .
又因为 在 为减函数，且 ，
所以
故当 时， ，即 ，所以 .综上，当 时， .
解法二：由（1）知 ，当 时， ，所以 .
当 时，因为 ，只需证 ，
即证 .
令 在 上单递增，
所以 ；
令 ，由 得 .
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减.
当 时， ，故
所以
综上，当 时， .
【点睛】
不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等式的方法主要有两个：（1）不等式两边作差
构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数最值即可；（2）观察不等式的特点，结合已解答问题
把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，再化简或者进一步利用导数证明.
第三部分：第 11 讲 拓展四：导数中的隐零点问题
（精练）
1．（2022·天津市宁河区芦台第一中学模拟预测）已知函数 ， .
(1)若 ，求函数 的极值；
(2)若关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值；
(3)若 ，正实数 满足 ，证明： .
【答案】(1)极大值为 ，无极小值；
(2) ；
(3)证明见解析.【解析】
(1)
∵ ，∴ ，
此时 ， ，
， ，
由 得 ，由 得 ，
∴ 的单调增区间为 ，单调减区间为 ，
∴ 有极大值为 ，无极小值；
(2)
由 恒成立，得 在 上恒成立，
问题等价于 在 上恒成立.
令 ，只要 .
∵ .
令 ，
∵ ，∴ 在 上单调递减.
∵ ， ，
∴在(0，＋)上存在唯一的 ，使得 ，即 ，
∴ .
∴当 时， ，g(x)单调递增，
当 时， ，g(x)单调递减，∴ ，即 ，
∵ ，∴整数 的最小值为 ；
(3)
由题可知 ， .
当 时， ， .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
令 ，则由 得， ，
易知 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ，
∴ ，
解得 成立.
【点睛】
本题第二问关键是讨论函数 的零点和单调性和，从而参变分离后函数的最小值，解题过程
中零点无法求出，属于隐零点，可以设而不求，利用隐零点将对数式转换为幂式进行计算.第三问的关键是
将方程变形，把 看成整体进行求解.
2．（2022·甘肃·二模（文））已知函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若函数 ，证明：当 时， .
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】
(1)
的定义域 .当 时，分下面三种情况讨论：
①当 时， 恒成立，所以 在 单调递增；
②当 时， ，令 ，得 ，或 ，
所以 在 和 单调递增，在 单调递减；
③当 时， ，令 ，得 ，或 ，所以 在 和
单调递增，在 单调递减.
综上，当 时， 在 和 为增函数，在 为减函数； 时， 在
为增函数；
当 时， 在 和 为增函数，在 为减函数.
(2)
（2）当 时，要证明 ，
即证 .
设 ，则 ，
又函数 在 为增函数，而 ，
所以存在 ，使得 ，且有 ，
所以 在 为减函数，在 为增函数.
所以 ，
令 ，显然在 为减函数，所以 ，
即 ，而 ，所以 ，
即 ，
故当 时， 恒成立.
3．（2022·陕西汉中·二模（文））已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 .
(1)求实数 的值及函数 的单调区间；
(2)若 时， ，求 的最大值（注： 表示不超过实数 的最大整数）.
【答案】(1) ，减区间是 ，增区间是 ；
(2)2
【解析】
(1)
， ，又 ，所以 ， ，
，
时， ， 时， ，
所以减区间是 ，增区间是 ；
(2)
时， ， ，
，
设 ，则 ，
由（1） ， ，
， ，
所以 在 上存在唯一零点，设零点为 ， ，
所以 时， ， 递减， 时， ， 递增，
，
，所以满足题意的 的最大整数为2．即 ．
4．（2022·甘肃·二模（理））已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若函数 ，证明：当 时， .
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】
(1)的定义域
.
当 时， ，所以 恒成立，
所以 在 单调递减，在 单调递增；
当 ，分下面三种情况讨论：
①当 时， 恒成立，所以 在 单调递增；
②当 时， ，令 .得 ，或 .
所以 在 和 单调递增，在 单调递减；
③当 时， ，令 ，得 ，或 ，
所以 在 和 单调递增，在 单调递减.
综上，当 时， 在 和 为增函数，在 为减函数；
时， 在 为增函数；当 时，
在 和 为增函数，在 为减函数；
当 时， 在 为减函数，在 为增函数.
(2)
当 时，要证明 ，
即证 ，设 ，
易知 在 为增函数，在 为减函数，
所以 ；设 ，
则 ，又函数 在 为增函数，
而 ， ，
所以存在 ，使得 ，且有 ，
所以 在 为减函数，在 为增函数.
所以 .设 ，显然在 为减函数，
所以 ，即 ，
而 ，所以 ，
即 ，故当 时，
恒成立，所以 成立.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应
用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）
利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），
解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．
5．（2022·江西省宜春中学高二开学考试（理））设函数 .
(1)若 ，求 在点 处的切线方程；
(2)求 的单调递减区间；
(3)求证：不等式 恒成立.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】
(1)
当 时， ， ，
，又 ，
在点 处的切线方程为： ，即 .
(2)
由题意得： 定义域为 ， ；
令 ，解得： ，当 时， ；当 时， ；
的单调递减区间为 .
(3)
设 ，则 ，
在 上单调递增， 在 上单调递减，
在 上单调递增，又 ， ，
，使得 ，则 ， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
（当且仅当 时取等号），
又 ， ， ，即 恒成立.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)若 在 上单调递增，求实数 的取值范围.
(2)若 ，求证：当 时， .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
(1)
由题意，得 在 上单调递增，
所以 在 上恒成立，故 ，
所以实数 的取值范围是 .
(2)
当 时，因为 ， ，
所以 在 上单调递增，
又因为当 时， ， ，
所以存在 使得 ，且 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，由 式可得， ，代入上式，
得 ，由 ，
令 ，则 ， ，当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，所以 ，所以当 时， ，即
得证.
7．（2022·安徽滁州·二模（文））已知函数 ．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若 恒成立，求整数a的最大值．
【答案】(1)答案见解析
(2)4
【解析】
(1)
①当 时， 恒成立，故 在 上恒增；
②当 时，当 时 ， 单调递增，
时 ， 单调递减，
时 ， 单调递增，
综上所述：当 时， 在 上恒增；
当 时， 在 和 上单调递增，
在 上单调递减.
(2)
，由于 ， ，
， ，
令 ，
，由于 ，则 ，
故 单调递增，
， ，
所以存在 使得 ，即 ，当 时 ， 单调递减，当 时 ， 单调递增；
那么 ， ，故 ，
由于 为整数，则 的最大值为4.
【点睛】
求解含参数不等式恒成立问题，可考虑分离常数法，然后通过构造函数，结合导数来求得参数的取值范围.
