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第 5 讲 指对幂函数及其应用
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
指数和指数函数
1.根式的概念及性质
(1)概念：称为根式，n称为根指数，a称为被开方数.
(2)性质：()n＝a；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|.
2.分数指数幂
规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的
意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
3.指数幂的运算性质
实数指数幂的运算性质：asat＝ a s ＋ t，(as)t＝ a s__t，(ab)s＝ a s b s，其中a>0，b>0，s，t∈R.
4.指数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数 y ＝ a x 称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.
(2)指数函数的图像与性质
a>1 00
过定点 过定点 (0 ， 1) ，即x＝0时，y＝1
性
函数值 当x>0时，y>1； 当x>0时， 0< y <1 ；
质
的变化 当x<0时， 0< y <1 当x<0时， y >1
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
对称性 y＝ax与y＝的图像关于y轴对称
对数和对数函数
1.对数的概念
在表达式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的 b能满足这
个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝log N，其中a称为对数的底数，N
a
称为对数的真数.
2.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②log ab＝b(a>0，且a≠1).
a(2)对数的运算性质
①log (MN)＝log M ＋ log N，
a a a
②log Mα＝ α log M，
a a
③log＝log M － log N.
a a a
其中，a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R.
(3)换底公式：log b＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
a
3.对数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝log x称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.
a
(2)对数函数的图像与性质
a>1 00 ，
质
的变化 当x>1时， y >0 当x>1时， y <0
单调性 增函数 减函数
y＝log x与y＝log x的图像关于x轴对称
对称性 a
\f(1,a
4.指数函数与对数函数的关系
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图像关
a
于直线y＝x对称.
幂函数和二次函数
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数.
(2)常见的五种幂函数的图像(3)幂函数的性质
①所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都通过
点(1，1).
②如果α>0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数.
③如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，且在第一象限内；当 x从右边趋向于原
点时，图像在y轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图像在x轴上方且无限地逼近x
轴.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) .
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为 ( m ， n ) .
零点式：f(x)＝a(x－x )(x－x )(a≠0)，x ，x 为f(x)的零点.
1 2 1 2
(2)二次函数的图像和性质
y＝ax2＋bx＋c y＝ax2＋bx＋c
函数
(a>0) (a<0)
图像
(抛物线)
定义域 R
值域
对称轴 x＝－
顶点
坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
在上是减函数； 在上是增函数；
单调性
在上是增函数 在上是减函数
二、考点和典型例题
1、指数和指数函数【典例1-1】（2020·黑龙江·东宁市第一中学高二阶段练习）关于函数 的结论正确的是
（ ）
A．值域是 B．单调增区间是
C．值域是 D．单调减区间是
【答案】AB
【详解】
令 ，
则 ，
又 为增函数，
所以 ，所以函数的值域为 ，故A正确，C错误；
因为 在 上单调递增， 为增函数，
所以函数的单调增区间是 ，
故选：AB
【典例1-2】（2021·湖北省直辖县级单位·高二阶段练习）已知函数 （ 且 ）的图象如下图
所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】ABD
【详解】
由图可得 ，即 ，
单调递减过点 ，故A正确；
为偶函数，在 上单调递减，在 上单调递增，故B正确；
为偶函数，结合指数函数图象可知C错误；
，根据““上不动、下翻上”可知D正确；
故选：ABD.
【典例1-3】（2022·全国·高三专题练习）将函数 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角
，得到曲线 ，若曲线 仍然是一个函数的图像，则 的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABCD
【详解】
如上图所示， 分别是 绕着原点逆时针方向旋转 ， ， ， ，所得到的的曲线，根据函数的定义可知，这四个曲线都符合函数图像的定义.
故选：ABCD．
【典例1-4】（2022·重庆·模拟预测）已知 （e为自然对数的底数），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】
因为 ，所以 ， ， ．
对 ， ， 这三个数先取自然对数再除以 ，则 ， ，
,
设 ，则 ，由 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，故 ，
即 ，则 ，故 ，
故选：AD．
【典例1-5】（2022·全国·高三专题练习）为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测．现有两种
检测方式：（1）逐份检测：（2）混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴
性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k
份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为
次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本
是阳性的概率都为 ，若 ，运用概率统计的知识判断下列哪些p值能使得混合检测方式优
于逐份检测方式．（参考数据： ）（ ）
A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
【答案】CD
【详解】设混合检测分式，样本需要检测的总次数 可能取值为
，
故 的分布列为：
1 11
设逐份检测方式，样本需要检测的总次数 ，则
要使得混合检测方式优于逐份检测方式，需
即 ，即 ，即
又 ， ，
故选：CD
2、对数和对数函数
【典例2-1】（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））设 ， ， ，则 ， ，
的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
，
因为函数 为 上的增函数， ，
所以 ，故 ，
又 为R上的增函数， ，
所以 ，即 ，所以 ，
故选：A
【典例2-2】（2022·江苏南京·三模）我们知道，任何一个正整数N可以表示成N＝a×10n（1≤a＜10，
n∈Z），此时lgN＝n＋lga（0≤lga＜1）．当n≥0时，N是一个n＋1位数．已知lg5≈0.69897，则5100是（
）位数．
A．71 B．70 C．69 D．68
【答案】B
【详解】
，则其为70位数，
故选：B
【典例2-3】（2022·河南开封·三模（理））函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
因为 ，所以 为奇函数，图象关于原点对称，故CD不正确；
当 时， ，故B不正确.
故选：A
【典例2-4】（2022·全国·高三阶段练习（理））已知 ， ， ，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【详解】
， ；
， ；
， ；
， ， .
故选：C.
【典例2-5】（2022·湖北·荆门市龙泉中学一模）有一个非常有趣的数列 叫做调和数列，此数列的前n
项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当n很大
时， ，其中 称为欧拉-马歇罗尼常数， ……，至今为止都
还不确定 是有理数还是无理数．由于上式在n很大时才成立，故当n较小时计算出的结果与实际值之间
是存在一定误差的，已知 ， ．用上式估算出的 与实际的 的误差绝对值近似为
（ ）
A．0.073 B．0.081 C．0.122 D．0.657
【答案】B
【详解】
解：依题意
所以 ，
又
所以估算出的 与实际的 的误差绝对值近似为 ；
故选：B
3、幂函数和二次函数
【典例3-1】（2022·浙江·高三专题练习）下列幂函数中，定义域为 的是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【详解】
对选项 ，则有：
对选项 ，则有：
对选项 ，定义域为：
对选项 ，则有：
【典例3-2】（2022·全国·高三专题练习）幂函数 在 上为增函数，则实数
的值为（ ）
A． B．0或2 C．0 D．2
【答案】D
【详解】
因为 是幂函数，所以 ，解得 或 ，
当 时， 在 上为减函数，不符合题意，
当 时， 在 上为增函数，符合题意，
所以 .
故选：D.
【典例3-3】（2022·安徽蚌埠·模拟预测（理））若幂函数 满足 ，则
下列关于函数 的判断正确的是（ ）
A． 是周期函数 B． 是单调函数
C． 关于点 对称 D． 关于原点对称
【答案】C
【详解】
由题意得 ，即 ，故 ，
令 ，则 ，当 时， ，则 单调递减；当 时，，则 单调递增；所以 ，因此方程 有唯一解，解为 ，因
此 ，所以不是周期函数，不是单调函数，关于点 对称，
故选：C.
【典例3-4】（2022·浙江·模拟预测）已知 ，函数 的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
当 时， ，此时函数 为一条射线，且函数 在 上为增
函数，B选项符合；当 时，函数 在 上为增函数， 在 上为减函数，所以函
数 在 上为增函数，此时函数在 上只有一个零点，A选项符合；当 时，
时，函数 的增长速度远小于函数 的增长速度，所以 时，函数 一定
为减函数，选项D符合，C不符合.故选：C
【典例3-5】（2021·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知函数 ，若当 时，
恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题意， ，即 为奇函数，同时也为增函数，
∵ ，即 ，
∴ ，即 恒成立， ，
若不等式恒成立，只需 ，
令 ，
∴ ，∴ ．
故选：C
【典例3-6】（2021·四川省绵阳实验高级中学高三阶段练习（理））幂函数 在
上单调递增，则 的图象过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：因为幂函数 在 上单调递增，所以 ，解得 ，所以 ，
故令 得 ，所以
所以 的图象过定点
故选：D
4、综合应用
【典例4-1】（2022·安徽·南陵中学模拟预测（文））已知 ，则a，b，c的大小关
系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由 可得， ， ， ，
由于 ， ， ，而
， ，所以 ，所以 ．
故选：D．
【典例4-2】（2022·北京·二模）若函数 的定义域和值域的交集为空集，则正数
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
解：因为 ，所以 的定义域为 ， ，当 时 ，则 在 上单调递增，所以 ；
要使定义域和值域的交集为空集，显然 ，
当 时 ，
若 则 ，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，
若 时 在 上单调递减，此时 ，
则 ，
所以 ，解得 ，即
故选：B
【典例4-3】（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））若 为定义在 上的偶函数，且在
上单调递减，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
由 为偶函数且在 上单调递减知： 在 上单调递增， ，
又 ， ， ，故 ，
所以 .
故选：D.
【典例4-4】（2022·江苏·二模）已知实数 ， ， 满足 ，则下列关系式中不可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
设 ， ，
则 ， ， ，
在同一坐标系中分别画出函数 ， ， 的图象，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
由此可以看出，不可能出现 这种情况，
故选： ．
【典例4-5】（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））已知函数 满足：对任意 ，
．当 时， ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】C
【详解】
因为 ，
则 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
故选：C
