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第 11 讲 指数与对数的运算
【基础知识全通关】
知识点01 根式
(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
知识点02 分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂
的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有
意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
知识点03 对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log N，其中a叫做对数
a
的底数，N叫做真数.
知识点04 对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alog N＝N；②log ab＝b(a>0，且a≠1).
a a
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①log (MN)＝log M＋log N；
a a a
②log＝log M－log N；
a a a
③log Mn＝nlog M(n∈R)；
a a
④log m Mn＝log M(m，n∈R，且m≠0).
a a
(3)换底公式：log N＝(a，b均大于零且不等于1).
b
【考点研习一点通】
考点01 指数幂的运算
1.化简a·b－2·÷(a，b>0)
【解析】原式＝－a－b－3÷
＝－a－b－3÷＝－a－·b－＝－·＝－.
【答案】.
【方法技巧】
1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注
意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
【变式】若实数a>0，则下列等式成立的是( )
A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝
C．(－2)0＝－1 D．(a)4＝
【答案】D
【解析】对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B,2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，
故C错误；对于D，(a)4＝，故D正确。
考点02 比较指数式的大小
2．设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
，
，
所以 .
故选D．
【方法技巧】利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数
的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；
【变式2】设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．a0.60.6>0.61.5，
即b0，所以1.50.6>1.50＝1，即c>1.综
上，b－3，
此时－30，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意
a
互化.
【变式】计算：若a＝log 3，则2a＋2－a＝________
4
【答案】
【解析】因为a＝log 3＝log 3＝log 3＝log，
4 22 2 2
所以2a＋2－a＝2log＋2－log
2 2
＝＋2log
2
＝＋
＝.
考点05 比较对数值的大小
5．若2x−2y<3−x−3−y，则
A．ln(y−x+1)>0 B．ln(y−x+1)<0C．ln|x−y|>0 D．ln|x−y|<0
【答案】A
【解析】由 得： ，
令 ，
为 上的增函数， 为 上的减函数， 为 上的增函数，
，
， ， ，则A正确，B错误；
与 的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A．
【变式】已知a＝log 2，b＝log 0.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为( )
5 0.5
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为a＝log 2＜log＝，b＝log 0.2＞log 0.5＝1，c＝0.50.2＝＞，0.50.2＜1，所以a
5 5 0.5 0.5
＜c＜b，故选A。
【方法技巧】
（1）若对数值同底数，利用对数函数的单调性比较
（2）若对数值同真数，利用图象法或转化为同底数进行比较
（3）若底数、真数均不同，引入中间量进行比较
【变式】已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】即
则 ．
故选B．
考点06 解简单的对数不等式
6.设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，0)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，1)
【解析】由题意，得
或
解得a>1或－10，∴a<5.故选A．
【错因分析】该解法忽视了对数的底数和真数都有范围限制，只考虑了真数而忽视了底数．
【试题解析】由题意，得∴21.73 B．0.6－1>0.62
C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1
【答案】B
【解析】A中，因为函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，所以1.72.5<1.73.B中，因为y＝
0.6x在R上是减函数，－1<2，所以0.6－1>0.62.C中，因为0.8－1＝1.25，所以问题转化为比
较1.250.1与1.250.2的大小．因为y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，所以1.250.1<1.250.2，即
0.8－0.1<1.250.2.D中，因为1.70.3>1，0<0.93.1<1，所以1.70.3>0.93.1.
4.(2022·辽宁沈阳模拟)设函数f(x)＝则f＝( )
A．－1 B．1
C．－ D.
【答案】A
【解析】f＝log ＝－1.
25．(2022·四川宜宾模拟)若函数f(x)＝2·ax＋m－n(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(－1,4)，则m
＋n＝( )
A．3 B．1
C．－1 D．－2
【答案】C
【解析】因为函数f(x)＝2·ax＋m－n(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(－1,4)，所以－1＋m＝0，
且2·a0－n＝4.解得m＝1，n＝－2，所以m＋n＝－1.
6．（2022·辽宁省锦州模拟若实数a满足log ＞1＞loga，则a的取值范围是( )
a
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由log >1>log ，得
a a
由①得，当a>1时，a<，此时a∈∅；当0，则.因此1，
所以x＝log k，y＝log k，z＝log k.
2 3 5
因为2x－3y＝2log k－3log k＝－＝＝＝>0，
2 3
所以2x>3y；因为3y－5z＝3log k－5log k＝－＝＝＝<0，所以3y<5z；因为2x－5z＝2log k
3 5 2
－5log k＝－＝＝＝<0，所以5z>2x.所以5z>2x>3y，故选D.
5
11．(2022·北京海淀模拟)如图，点A，B在函数y＝log x＋2的图象上，点C在函数y＝
2
log x的图象上，若△ABC为等边三角形，且直线BC∥y轴，设点A的坐标为(m，n)，则m
2
＝( )
A．2 B．3
C. D.
【答案】D
【解析】因为直线BC∥y轴，所以B，C的横坐标相同；又B在函数y＝log x＋2的图象
2
上，点C在函数y＝log x的图象上，所以|BC|＝2.即正三角形ABC的边长为2.由点A的坐
2
标为(m，n)，得B(m＋，n＋1)，所以所以log m＋2＋1＝log (m＋)＋2，所以m＝.
2 2
12．(2022·湖北宜昌模拟)若函数f(x)＝log (5＋4x－x2)在区间(a－1，a＋1)上单调递增，且
0.9
b＝lg 0.9，c＝20.9，则( )
A．c0，得－1
