第11讲指数与对数的运算（解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型（新高考专用）

第 11 讲 指数与对数的运算
【基础知识全通关】
知识点01 根式
(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
知识点02 分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂
的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有
意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
知识点03 对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log N，其中a叫做对数
a
的底数，N叫做真数.
知识点04 对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alog N＝N；②log ab＝b(a>0，且a≠1).
a a
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①log (MN)＝log M＋log N；
a a a
②log＝log M－log N；
a a a
③log Mn＝nlog M(n∈R)；
a a
④log m Mn＝log M(m，n∈R，且m≠0).
a a
(3)换底公式：log N＝(a，b均大于零且不等于1).
b
【考点研习一点通】
考点01 指数幂的运算
1.化简a·b－2·÷(a，b>0)
【解析】原式＝－a－b－3÷
＝－a－b－3÷＝－a－·b－＝－·＝－.
【答案】.
【方法技巧】
1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注
意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
【变式】若实数a>0，则下列等式成立的是( )
A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝
C．(－2)0＝－1 D．(a)4＝
【答案】D
【解析】对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B,2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，
故C错误；对于D，(a)4＝，故D正确。
考点02 比较指数式的大小
2．设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
，
，
所以 .
故选D．
【方法技巧】利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数
的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；
【变式2】设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．a<b<c B．a<c<b
C．b<a<c D．b<c<a
【答案】C
【解析】因为函数y＝0.6x是减函数，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，
即b<a<1.因为函数y＝1.5x在(0，＋∞)上是增函数，0.6>0，所以1.50.6>1.50＝1，即c>1.综
上，b<a<c.
考点03 解简单的指数方程或不等式
3.若2x－2y＜3－x－3－y，则( )
A．ln(y－x＋1)＞0 B．ln(y－x＋1)＜0
C．ln|x－y|＞0 D．ln|x－y|＜0
【答案】A
【解析】(方法一)由2x－2y＜3－x－3－y，可得2x－3－x＜2y－3－y，
令f (x)＝2x－3－x，则f (x)在R上单调递增，且f (x)＜f (y)，
所以x＜y，即y－x＞0，由于y－x＋1＞1，
故ln(y－x＋1)＞ln 1＝0.
(方法二)取x＝－1，y＝0，满足2x－2y＜3－x－3－y，
此时ln(y－x＋1)＝ln 2＞0，ln|x－y|＝ln 1＝0，可排除BCD．
【方法技巧】利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为
同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解；
【变式3】设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
【答案】C
【解析】当a<0时，不等式f(a)<1可化为－7<1，即<8，即<，因为0<<1，所以a>－3，
此时－3<a<0；当a≥0时，不等式f(a)<1可化为<1，所以0≤a<1.故a的取值范围是(－3，
1)．故选C.
考点04 对数的化简与求值
4．已知55<84，134<85．设a=log 3，b=log 5，c=log 8，则
5 8 13
A．a<b<c B．b<a<cC．b<c<a D．c<a<b
【答案】A
【解析】由题意可知 、 、 ，
，
；
由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 ；
由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 .
综上所述， .
【方法技巧】
1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂
的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同
底对数真数的积、商、幂再运算.
3.ab＝N⇔b＝log N(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意
a
互化.
【变式】计算：若a＝log 3，则2a＋2－a＝________
4
【答案】
【解析】因为a＝log 3＝log 3＝log 3＝log，
4 22 2 2
所以2a＋2－a＝2log＋2－log
2 2
＝＋2log
2
＝＋
＝.
考点05 比较对数值的大小
5．若2x−2y<3−x−3−y，则
A．ln(y−x+1)>0 B．ln(y−x+1)<0C．ln|x−y|>0 D．ln|x−y|<0
【答案】A
【解析】由 得： ，
令 ，
为 上的增函数， 为 上的减函数， 为 上的增函数，
，
， ， ，则A正确，B错误；
与 的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A．
【变式】已知a＝log 2，b＝log 0.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为( )
5 0.5
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为a＝log 2＜log＝，b＝log 0.2＞log 0.5＝1，c＝0.50.2＝＞，0.50.2＜1，所以a
5 5 0.5 0.5
＜c＜b，故选A。
【方法技巧】
（1）若对数值同底数，利用对数函数的单调性比较
（2）若对数值同真数，利用图象法或转化为同底数进行比较
（3）若底数、真数均不同，引入中间量进行比较
【变式】已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】即
则 ．
故选B．
考点06 解简单的对数不等式
6.设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，0)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，1)
【解析】由题意，得
或
解得a>1或－1<a<0.故选C.
【答案】C
【方法技巧】解决此类问题时应注意两点：(1)真数大于0；(2)底数a的值．
【变式】若log (a2＋1)＜log 2a＜0，则a的取值范围是________．
a a
【答案】(，1)
【解析】由题意得a＞0且a≠1，故必有a2＋1＞2a，
又log (a2＋1)＜log 2a＜0，所以0＜a＜1，
a a
同时2a＞1，所以a＞.综上，a∈(，1)．
【考点易错】
1.计算：( 2 1) 1 2−(−9.6) 0− ( 8 ) 3 2 + (3) −2．
4 27 2
1
【答案】2 .
【解析】分析：直接利用指数幂的运算法则求解即可,求解过程注意避免计算错误.
详解： ( 2 1) 1 2−(−9.6) 0− ( 8 ) 3 2 + (3) −2 = (9) 1 2−1− (2)3× 3 2 + (2) 2 = 3 −1= 1．
4 27 2 4 3 3 2 2
【规律方法】
化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意
运算的先后顺序．2
1  7 23
    
【变式1】计算：1.5－3×  60＋80.25× 4 2 ＋( 3 2 × 3 )6－ 3
110
【答案】
1 1
23 3 1 23
 
＋2424＋2233－
 
2108110
3 3
【解析】原式＝ .
1 2
3  3  7  23
     1   
【变式2】计算：
2
×
 60＋ 84
×
4 2
－
 3
＝________.
【答案】2
1 1
23 23
  3 1   2
【解析】原式＝ 3 ×1＋24 ×24 － 3 .
【易错提醒】
1.根式：
（1）任何实数均有奇次方根，仅有非负数才有偶次方根，负数没有偶次方根．
（2）＝0(n＞1，且n∈N*)．
（3）有限制条件的根式化简的步骤
2.有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．
3.把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分，否则，有时会改变a的取值范
围而导致出错，如，a∈R，化成分数指数幂应为a，a∈R，而a＝，则有a≥0，所以化简时，
必须先确定a的取值范围．
4.结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形
式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不
能既有分母又有负分数指数幂．
2.已知 x+x−1=3， 则
x
3
2+x
− 3
2
的值为__________．
【答案】2√5
【解析】
题意 1 − 1 ，∴ 1 − 1 ，
(x2+x 2) 2=x+2+x−1=5 x2+x 2=√53 3 1 1
∴ − − ，
x2+x 2=(x2+x 2)(x−1+x−1 )=√5(3−1)=2√5
故答案为2√5．
1 1

x2 x 2 3 xx1
3.设 ，求 的值．
【答案】7
【解析】
1 1

x2  x 2 3,

2
 1 1 

xx1 x2 x 2  232 27 .
 
【总结提升】
根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：
(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；
(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；
（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考
1 1
查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如 − ，
(x2+x 2) 2=x+2+x−1
3 3 1 1
(x+x−1
)
2=x2+2+x−2，
x2+x
−
2=(x2+x
−
2)(x−1+x−1 )
，解题时要善于应用公式变形．
1 1

a2 a 2 3
【变式3】已知 ，求下列各式的值.
a2 a2 1
（1）
a1a1
；（2）
a2 a2
；（3）
aa11
(1)7;(2)47;(3)6.
【答案】
1 1

a2 a 2 3 a1a129 a1a1 7
【解析】（1）将 两边平方得 ，所以 .
a1a1 7 a2 a2 249 a2 a2 47
（2）将 两边平方得 ，所以 .
a2 a2 1 471
 6.
（3）由（1）（2）可得 aa11 71
4.对数式log （5－a）＝b中，实数a的取值范围是
（a－2）
A．（－∞，5） B．（2,5）C．（2，＋∞） D．（2,3）∪（3,5）
【答案】D
【错解】由题意，得5－a>0，∴a<5.故选A．
【错因分析】该解法忽视了对数的底数和真数都有范围限制，只考虑了真数而忽视了底数．
【试题解析】由题意，得∴2<a<3或3<a<5.故选D．
【巩固提升】
1．（2022·山西省忻州一中模拟）实数lg 4＋2lg 5的值为( )
A．2 B．5
C．10 D．20
【答案】A
【解析】lg 4＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2(lg 2 ＋lg 5)＝2lg (2×5)＝2lg 10＝2.故选A.
2．(2022·江西上饶摸底)已知a＝20.4，b＝90.2，c＝()3，则( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【答案】A
【解析】因为c＝()3＝3＝30.75＞30.4，b＝90.2＝30.4，所以b＜c，又20.4＜30.4，即a＜b，所以a
＜b＜c.
3．(2022·湖北省沙市模拟)下列各式比较大小正确的是( )
A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62
C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1
【答案】B
【解析】A中，因为函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，所以1.72.5<1.73.B中，因为y＝
0.6x在R上是减函数，－1<2，所以0.6－1>0.62.C中，因为0.8－1＝1.25，所以问题转化为比
较1.250.1与1.250.2的大小．因为y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，所以1.250.1<1.250.2，即
0.8－0.1<1.250.2.D中，因为1.70.3>1，0<0.93.1<1，所以1.70.3>0.93.1.
4.(2022·辽宁沈阳模拟)设函数f(x)＝则f＝( )
A．－1 B．1
C．－ D.
【答案】A
【解析】f＝log ＝－1.
25．(2022·四川宜宾模拟)若函数f(x)＝2·ax＋m－n(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(－1,4)，则m
＋n＝( )
A．3 B．1
C．－1 D．－2
【答案】C
【解析】因为函数f(x)＝2·ax＋m－n(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(－1,4)，所以－1＋m＝0，
且2·a0－n＝4.解得m＝1，n＝－2，所以m＋n＝－1.
6．（2022·辽宁省锦州模拟若实数a满足log ＞1＞loga，则a的取值范围是( )
a
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由log >1>log ，得
a a
由①得，当a>1时，a<，此时a∈∅；当0<a<1时，a>，则<a<1.由②得，a>.因此<a<1.
7．(2022·广西百色模拟)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当a＜1时，41－a＝21，所以a＝；当a＞1时，4a－1＝2a－(1－a)，无解．故选B.
8．(2022·云南曲靖模拟)设a＝log 0.4，b＝log 0.4，则( )
0.3 3
A．ab＜a＋b＜0 B．a＋b＜ab＜0
C．ab＜0＜a＋b D．a＋b＜0＜ab
【答案】A
【解析】因为a＝log 0.4＞log 1＝0，b＝log 0.4＜log 1＝0，所以ab＜0，又＝＋＝
0.3 0.3 3 3
log 0.3＋log 3＝log 0.9∈(0,1)，所以0＜＜1，所以ab＜a＋b＜0.
0.4 0.4 0.4
9．（2022·安徽省阜阳一中模拟设函数f(x)＝log (x2＋1)＋，则不等式f(log x)＋
\f(1,2 2
f(log x)≥2的解集为( )
\f(1,2
A．(0，2] B.
C．[2，＋∞) D.∪[2，＋∞)
【答案】B
【解析】因为f(x)的定义域为R，f(－x)＝log (x2＋1)＋＝f(x)，所以f(x)为R上的偶函
\f(1,2数．易知其在区间[0，＋∞)上单调递减，
令t＝log x，所以log x＝－t，
2 \f(1,2
则不等式f(log x)＋f(log x)≥2可化为f(t)＋f(－t)≥2，
2 \f(1,2
即2f(t)≥2，所以f(t)≥1，
又因为f(1)＝log 2＋＝1，f(x)在[0，＋∞)上单调递减，在R上为偶函数，所以－
\f(1,2
1≤t≤1，即log x∈[－1，1]，所以x∈，故选B.
2
10．（2022·江西省新余一中模拟设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
【答案】D
【解析】设2x＝3y＝5z＝k>1，
所以x＝log k，y＝log k，z＝log k.
2 3 5
因为2x－3y＝2log k－3log k＝－＝＝＝>0，
2 3
所以2x>3y；因为3y－5z＝3log k－5log k＝－＝＝＝<0，所以3y<5z；因为2x－5z＝2log k
3 5 2
－5log k＝－＝＝＝<0，所以5z>2x.所以5z>2x>3y，故选D.
5
11．(2022·北京海淀模拟)如图，点A，B在函数y＝log x＋2的图象上，点C在函数y＝
2
log x的图象上，若△ABC为等边三角形，且直线BC∥y轴，设点A的坐标为(m，n)，则m
2
＝( )
A．2 B．3
C. D.
【答案】D
【解析】因为直线BC∥y轴，所以B，C的横坐标相同；又B在函数y＝log x＋2的图象
2
上，点C在函数y＝log x的图象上，所以|BC|＝2.即正三角形ABC的边长为2.由点A的坐
2
标为(m，n)，得B(m＋，n＋1)，所以所以log m＋2＋1＝log (m＋)＋2，所以m＝.
2 2
12．(2022·湖北宜昌模拟)若函数f(x)＝log (5＋4x－x2)在区间(a－1，a＋1)上单调递增，且
0.9
b＝lg 0.9，c＝20.9，则( )
A．c<b<a B．b<c<a
C．a<b<c D．b<a<c
【答案】B【解析】由5＋4x－x2>0，得－1<x<5，又函数t＝5＋4x－x2的对称轴方程为x＝2，∴复合
函数f(x)＝log (5＋4x－x2)的单调递增区间为(2,5)，∵函数f(x)＝log (5＋4x－x2)在区间(a－
0.9 0.9
1，a＋1)上单调递增，∴则3≤a≤4，而b＝lg 0.9<0，1<c＝20.9<2，所以b<c<a.