文档内容
第 07 讲 指数函数
（12 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析
函数奇偶性的定义与判断、判断指数型函数的图象形状、识别三角函数
2023年天津卷，第4题,5分
的图象(含正、弦、正切)根据函数图象选择解析式
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度有低有高，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握指数函数的图像与性质，能够根据指数函数求定义域与值域
2.能掌握指数函数的图像特征
3.具备数形结合的思想意识，会利用函数图像解决比较大小最值等问题
4.会结合函数的奇偶性，解决指数函数的综合问题
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，考查内容比较广泛。
知识讲解
知识点一.指数函数的图象与性质
1.指数函数的定义：一般地，函数 y ＝ a x ( a > 0 ， a ≠1 )叫做指数函数，函数的定义域是R.
2.指数函数的图象与性质y＝ax a>1 00时，y>1；当x<0时，00时，01
在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
注意：形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0；a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．
知识点二.指数函数图象的特点
1.画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
2．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系
为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越
高，底数越大．
3.函数y＝ax与y＝(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．
注意 解决与指数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对a>1及01.请写出f (x)的一个解析式 .
【答案】f (x)=2x（答案不唯一）
【分析】由已知确定函数可为指数函数、增函数，随机写出一个即可.
【详解】因为f (x +x )=f (x )f (x )，故指数函数满足运算，又当x∈(0,+∞)时，f (x)>1，故指数函数
1 2 1 2
底数应大于1，函数可为：f (x)=2x.
故答案为：f (x)=2x
2.（2020高三·全国·专题练习）函数y=(2a2−3a+2)ax是指数函数，则a的取值范围是
1
【答案】{ }
2
【解析】根据指数函数的定义要满足条件得到关于a的取值范围.
【 详 解 】 解 ：∵函 数 y=(2a2−3a+2)ax是 指 数 函 数 ，∴2a2−3a+2=1且 a>0， a≠1， 由
1 1 1
2a2−3a+2=1解得a=1或a= ，∴a= .所以a的取值范围为：{ }.
2 2 2
1
故答案为：{ }.
2
【点睛】本题考查指数函数定义的应用，属于基础题.
3.（22-23高三上·黑龙江七台河·期中）设函数f (x)=¿，且f(−2)=3，f(−1)=f(1)，则f(x)的解析
式为 ．
【答案】f (x)=¿【分析】根据f(−2)=3，f(−1)=f(1)求出a,b，可得函数解析式.
【详解】因为函数解析式为f (x)=¿，则f (1)=21=2，则f(−1)=f(1)=2，
由f(−2)=3,f(−1)=2可得，¿，解得¿，所以f (x)=¿.
考点二、 指示函数求参问题
xex
1.（2023·全国·高考真题）已知f(x)= 是偶函数，则a=（ ）
eax−1
A．−2 B．−1 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
xex xex (−x)e−x x[ex−e(a−1)x]
【详解】因为f (x)= 为偶函数，则f (x)−f (−x)= − = =0，
eax−1 eax−1 e−ax−1 eax−1
又因为x不恒为0，可得ex−e(a−1)x=0，即ex=e(a−1)x，
则x=(a−1)x，即1=a−1，解得a=2.
故选：D.
a⋅2x,x≥0,
2.（江西·高考真题）已知函数f(x)={ (a∈R)，若f(f(−1))=1，则a=（ ）
2−x,x<0
1 1
A． B． C．1 D．2
4 2
【答案】A
【分析】先求出f(−1)的值，再求f(f(−1))的值，然后列方程可求得答案
【详解】解：由题意得f(−1)=2−(−1)=2，
1
所以f(f(−1))=f(2)=a⋅22=4a=1，解得a= .
4
故选：A
【点睛】此题考查分段函数求值问题，属于基础题
1−aex
1.（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）若f(x)= sinx为偶函数，则a=（ ）
1+ex
A．1 B．0 C．−1 D．2
【答案】A
【分析】由已知f (x)为偶函数，可得f (x)=f (−x)，列方程求解即可.1−aex
【详解】由f(x)= sinx，
1+ex
1−ae−x
得f(−x)= sin(−x)，
1+e−x
因为f (x)为偶函数，所以f (−x)=f (x)，
1−ae−x 1−aex
即 sin(−x)= sinx，
1+e−x 1+ex
1−ae−x a−ex 1−aex
所以− = = ，解得a=1.
1+e−x 1+ex 1+ex
故选：A.
2.（2024·全国·模拟预测）设a>0且a≠1，若函数f (x)=(4x−3x)ax是R上的奇函数，则a=（ ）．
√6 √6 √3 √3
A． B． C． D．
6 3 3 6
【答案】D
【分析】根据f(−1)=−f(1)求出a，然后代入验证即可.
【详解】由于函数f (x)=(4x−3x)ax是R上的奇函数，
1 1
故f(−1)=−f(1)，则− =−a，即a2= ．
12a 12
√3
因为a>0，所以a= ．
6
x
当a=
√3
时，f (x)=(4x−3x)
(√3)
，
6 6
x −x
则f (x)+f (−x)=(4x−3x)
(√3)
+(4−x−3−x)
(√3)
6 6
=(4x−3x)
(√3) x
+
3x−4x
(2√3) x=(4x−3x)
[ (√3) x
−
1
(2√3) x
]
6 4x ⋅3x 6 4x ⋅3x
=
4x−3x[
4x
⋅3x(√3) x
−(2√3) x
]
=
4x−3x(
22x−x ⋅3
x−x+
2
x
−2x ⋅32
x)
=0
4x ⋅3x 6 4x ⋅3x
符合函数f (x)是R上的奇函数
故选：D．
ex−a
3.（2024·贵州毕节·三模）已知函数f(x)= 是奇函数，若f(2023)>f(2024)，则实数a的值为
ex+a
（ ）
A．1 B．−1 C．±1 D．0
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性的定义，即函数的单调性解即可.ex−a
【详解】因为函数f(x)= 是奇函数，
ex+a
e−x−a 1−aex ex−a a−ex
所以f(−x)= = =−f(x)=− = ，
e−x+a 1+aex ex+a ex+a
解得a=±1，
ex−a ex+a−2a 2a
又f(x)= = =1− ，
ex+a ex+a ex+a
所以当a>0时，函数为增函数，当a<0时，函数为减函数，
因为f(2023)>f(2024)，
所以a<0，故a=−1.
故选：B
4.（2024·全国·模拟预测）已知f(x)=¿是定义在R上的偶函数，则m−n=（ ）
A．－4 B．0 C．2 D．4
【答案】A
【分析】利用偶函数和0处函数值列方程求解即可.
n
【详解】因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(1)=f(−1)，即2m+ =−3，
2
又f(0)=21+0−21−0=0，所以f(0)=m+n=0，
联立¿，解得m=−2，n=2，
经检验，m=−2，n=2满足要求，
故m−n=−4.
故选：A.
考点 三 、 指数函数的定义域与不等式
(x)
1.（2022高三·全国·专题练习）设函数f (x)=√4−2x，则函数f 的定义域为（ ）
2
A．[2,+∞) B．[4,+∞) C．(−∞,2] D．(−∞,4]
【答案】D
(x)
【分析】求出f (x)的定义域后可求f 的定义域，
2
【详解】因为f (x)=√4−2x，所以4−2x≥0，故x≤2，
故f (x)的定义域为(−∞,2]，
x (x)
令 ≤2，则x≤4，故f 的定义域为(−∞,4].
2 2
故选：D.1 √ (1) x
2.（23-24高三下·北京·阶段练习）函数f (x)= + −8的定义域为（ ）
2x+10 2
A．(−∞,−5)∪(−5,−3) B．(−∞,−3) C．(−∞,−5)∪(−5,−3] D ．
(−∞,−3]
【答案】C
【分析】令¿，运算求解即可得函数f (x)的定义域.
【详解】令¿，解得x≤−3且x≠−5，
所以函数f (x)的定义域为(−∞,−5)∪(−5,−3].
故选：C.
1. （ 21-22 高 三 上 · 内 蒙 古 乌 海 · 阶 段 练 习 ） 已 知 函 数 f (x)的 定 义 域 为 [-2,2]， 则 函 数
g(x)=f (2x)+√1−2x的定义域为
【答案】[−1,0]
【分析】根据具体函数和抽象函数的定义域求法，即可求解.
【详解】由条件可知，函数的定义域需满足¿，解得：−1≤x≤0，
所以函数g(x)的定义域是[−1,0].
故答案为：[−1,0]
2.（2024高三·全国·专题练习）设函数f (x)=¿则满足f(x+1)0时，f(x)=1（为常数），
故分以下两种情况：¿或¿，
解得x≤−1或−1≤x<0，
综上可得x<0.
（数形结合法）作出f(x)的图像，如图：
结合图像可知f (x+1)0的x的取值范围是
（ ）
A．(−∞,4) B．(−∞,2) C．(2,+∞) D．(−2,2)
【答案】B
【分析】设g(x)=3x−3−x，即可判断g(x)为奇函数，又f (x)=g(x−2)，可得f (x)图象的对称中心为(2,0)，
则f (x)+f (4−x)=0，再判断f (x)的单调性，不等式f (x)+f (8−3x)>0，即f (8−3x)>f (4−x)，结合单
调性转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】设g(x)=3x−3−x，x∈R，则g(−x)=3−x−3x=−g(x)，所以g(x)为奇函数．
又f (x)=3x−2−32−x=3x−2−3−(x−2)=g(x−2)，
则f (x)的图象是由g(x)的图象向右平移2个单位长度得到的，
所以f (x)图象的对称中心为(2,0)，所以f (x)+f (4−x)=0．
因为y=3x在R上单调递增，y=3−x在R上单调递减，
所以g(x)在R上单调递增，则f (x)在R上单调递增，
因为f (x)+f (8−3x)>0=f (x)+f (4−x)，
所以f (8−3x)>f (4−x)，所以8−3x>4−x，解得x<2，
故满足f (x)+f (8−3x)>0的x的取值范围为(−∞,2)．
故选：B
4.（2024高三·全国·专题练习）已知f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(1)=2，且对任意0≤x −1，则不等式f(2x−1)<4−2x的解集为（ ）
x −x
1 2
A．(−∞,0) B．(0,+∞) C．(−∞,1) D．(0,1)
【答案】C
f (x )−f (x )
【分析】首先由 1 2 >−1得出f(x )+x −1，可得f(x )+x 0，所以1−3x<1，即f (x)的值域是(−∞,1).
故选：A．
2.（2024·上海杨浦·二模）若函数g(x)=¿为奇函数，则函数y=f (x)，x∈(0,+∞)的值域为 .
【答案】(0,1)
【分析】由奇函数定义可得y=f (x)解析式，即可求得值域.
【详解】当 x>0时，−x<0，因为 g(x)为奇函数，则 g(−x)=−g(x)=2−x−1=
(1) x
−1，所以
2
1 x 1 x
g(x)=1−( ) ，所以f(x)=1−( ) ，x∈(0,+∞)时f(x)值域为(0,1).
2 2
故答案为：(0,1).
1.（23-24高三下·北京·开学考试）函数f (x)=¿的值域为 .
【答案】(−1,0]∪(1,+∞)
【分析】根据分段函数的性质以及反比例函数、指数函数的性质即可得到答案.
1
【详解】当x>0时，f (x)= +1>1，
x
当x≤0时，则−1<2x−1≤20−1，即−1<2x−1≤0，
综上f (x)的值域为(−1,0]∪(1,+∞)，
故答案为：(−1,0]∪(1,+∞).
2.（2024·贵州·模拟预测）已知函数f(x)=2−x2+2x+3，则f(x)的最大值是
.
【答案】16
【分析】求出t=−x2+2x+3的范围，根据复合函数的单调性求解.
【详解】由f(x)=2−x2+2x+3，而t=−x2+2x+3=−(x−1) 2+4≤4，因为y=2t单调递增，所以y=2t≤24，则f(x)的最大值是16.
故答案为：16
3.（2024·全国·模拟预测）函数f (x)=¿的值域为 ．
( 1]
【答案】 0, ∪(1,+∞)
2
【分析】分别计算出分段函数每段函数取值范围后取并集即可得.
1 1
x− − 1
【详解】当x≤0时，00时，f(x)=log (x+2)>1，
2
( 1]
所以f(x)的值域为 0, ∪(1,+∞)．
2
( 1]
故答案为： 0, ∪(1,+∞).
2
(1) √−x2+2x+3
4.（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）函数y= 的值域为 ，单调递增
2
区间为 .
[1 ]
【答案】 ,1 [1,3]（开闭均可）
4
【分析】先求出函数的定义域，进而求出√−x2+2x+3的范围，再根据指数函数的值域即可求出函数的值
域，根据复合函数的单调性和指数函数的单调性求出函数的单调增区间即可.
【详解】令−x2+2x+3≥0，解得−1≤x≤3，
(1) √−x2+2x+3
所以函数y= 的定义域为[−1,3]，
2
则−x2+2x+3=−(x−1) 2+4∈[0,4]，
所以√−x2+2x+3∈[0,2]，
(1) √−x2+2x+3 [1 ]
所以 ∈ ,1 ，
2 4
(1) √−x2+2x+3 [1 ]
即函数y= 的值域为 ,1 ；
2 4
令t=√−x2+2x+3,x∈[−1,3]，
令u=−x2+2x+3，其在[−1,1)上是增函数，在[1,3]上是减函数，
而函数t=√u在定义域内为增函数，
所以函数t=√−x2+2x+3在[−1,1)上是增函数，在[1,3]上是减函数，
(1) t
因为函数y= 是减函数，
2(1) √−x2+2x+3
所以函数y= 的单调递增区间为[1,3].
2
[1 ]
故答案为： ,1 ；[1,3]（开闭均可）.
4
考点 五 、 由指数函数定义域与值域求参
1.（2022·海南·模拟预测）已知函数f (x)=√2x−a的定义域为[2,+∞)，则a= ．
【答案】4
【分析】由已知可得不等式2x−a≥0的解集为[2,+∞)，可知x=2为方程2x−a=0的根，即可求得实数a的
值.
【详解】由题意可知，不等式2x−a≥0的解集为[2,+∞)，则22−a=0，解得a=4，
当a=4时，由2x−4≥0，可得2x≥4=22，解得x≥2，合乎题意.
故答案为：4.
( 1 1)
2. （ 2023· 上 海 浦 东 新 · 模 拟 预 测 ） 设 f (x)=x + . 若 函 数 y=f (x)的 定 义 域 为
2x−a 2
(−∞,1)∪(1,+∞)，则关于x的不等式ax≥f (a)的解集为 .
【答案】[1,+∞)
【分析】由函数f (x)的定义域可求得实数a的值，可得出函数f (x)的解析式，求出f (a)的值，然后利用指
数函数的单调性可解不等式ax≥f (a)，即可得其解集.
【详解】若a≤0，对任意的x∈R，2x−a>0，则函数f (x)的定义域为R，不合乎题意，
所以，a>0，由2x−a≠0可得x≠log a，
2
因为函数y=f (x)的定义域为¿，所以，log a=1，解得a=2，
2
( 1 1) ( 1 1)
所以，f (x)=x + ，则f (a)=f (2)=2 + =2，
2x−2 2 22−2 2
由ax≥f (a)可得2x≥2，解得x≥1.
因此，不等式ax≥f (a)的解集为[1,+∞).
故答案为：[1,+∞).
( 1 1)
1.（2022高三·全国·专题练习）函数f(x)=x +
定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），则满足
2x−a 2
不等式ax≥f（a）的实数x的集合为 ．【答案】{x|x≥1}
( 1 1)
【分析】由题意可得a＝2，f(x)=x + ，f(a)=f(2)=2，由ax≥f（a），结合指数函数单调性
2x−2 2
可求x
( 1 1)
【详解】解：由函数f(x)=x +
定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），可知a＝2
2x−a 2
( 1 1)
∴f(x)=x + ，f(a)=f(2)=2
2x−2 2
由ax≥f（a）可得，2x≥2
∴x≥1
故答案为：{x|x≥1}
2.（23-24高三上·河南驻马店·期末）若函数f (x)=¿有最小值，则m的取值范围是 .
【答案】[−5,+∞)
【分析】根据分段函数解析式分类讨论，分别计算可得；
【详解】函数y=2x+m在(0,+∞)上的值域为(m+1,+∞)，
y=x2+4x在(−∞,0]上的值域为[−4,+∞)，
则m+1≥−4，即m≥−5，
所以m的取值范围是[−5,+∞).
故答案为：[−5,+∞).
3.（2024·四川成都·二模）已知函数f
(x)=2ax2−x+1的值域为M．若(1,+∞)⊆M，则实数a的取值范围
是（ ）
( 1] [ 1] ( 1] [1 ) [1 )
A． −∞, B． 0, C． −∞,− ∪ ,+∞ D． ,+∞
4 4 4 4 4
【答案】B
【分析】
对实数a分类讨论，根据二次函数的性质及指数函数的值域可得结果.
【详解】当a=0时，f (x)=2−x+1 ∈(0,+∞)，符合题意；
当a≠0时，因为函数f (x)=2ax2−x+1的值域为M满足(1,+∞)⊆M，
由指数函数的单调性可知，即二次函数y=ax2−x+1的最小值小于或等于零；
4a−1 1
若a>0时，依题意有y=ax2−x+1的最小值 ≤0，即00且a≠1）的图象恒过定点P，
则点P的坐标为 .
【答案】(2,−1)
【分析】根据a0=1得出指数型函数恒过定点.
【详解】令x−2=0，得x=2，则y=2a0−3=−1.
所以函数y=2ax−2−3（a>0且a≠1）的图象恒过定点P(2,−1).
故答案为：(2,−1).
2.（23-24 高三上·福建莆田·阶段练习）函数 y=ax−1+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点(k,b)，若
9 1
m+n=b−k且m>0,n>0，则 + 的最小值为（ ）
m n
9 5
A．9 B．8 C． D．
2 2
【答案】B
【分析】先求出函数过定点的坐标，再利用基本不等式求最值.
【详解】函数y=ax−1+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点(1,3)，所以m+n=3−1=2，
( 9 1) ( 9 1) 9n m
2 + =(m+n) + =10+ + ≥10+2√9=16，
m n m n m n
( 9 1) 9 1
∴2 + ≥16,∴ + ≥8，
m n m n
9n m 1 3
当且仅当 = ，即n= ,m= 等号成立，
m n 2 2
9 1
所以 + 的最小值为8.
m n
故选：B.
1.（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知函数f (x)=ax−2+2（a>0且a≠1）的图像过定点P，且角
(11π
)
(9π
)
cos −α sin +α
α的始边与x轴的正半轴重合，终边过点P，则 2 2 等于（ ）
sin2(−π−α)
2 2 3 3
A．− B． C． D．−
3 3 2 2
【答案】A
【分析】先化简所要求的式子，又由于f (2)=a2−2+2=a0+2=1+2=3，所以f (x)=ax−2+2过定点P(2,3)，进一步结合题意可以求出与α有关的三角函数值，最终代入求值即可.
【 详 解 】
cos (11π −α ) sin (9π +α ) cos [ 6π− ( α+ π )] sin [ 4π+( α+ π )] cos [ − ( α+ π )] sin ( α+ π )
2 2 2 2 2 2
= =
sin2(−π−α)
[−sin(α+π)]
2 sin2(π+α)
又因为cos [ − ( α+ π )] =cos ( α+ π )=−sinα，sin ( α+ π )=cosα，sin2(π+α)=sin2α，
2 2 2
−sinα⋅cosα 1 3
故原式= =− ;又f (x)=ax−2+2过定点P(2,3),所以tanα= ，代入原式得原式=
sin2α tanα 2
1 2
− =− .
tanα 3
故选：A.
2.（21-22 高三上·上海奉贤·阶段练习）已知f (x)=ax−2+2(a>0,a≠1)过定点 P，且 P 点在直线
1 2
mx+ny=1(m>0,n>0)上，则 + 的最小值= ．
m n
【答案】8+4√3/4√3+8
【分析】先求出定点，代入直线方程，最后利用基本不等式求解.
【详解】f (x)=ax−2+2(a>0,a≠1)经过定点(2,3)，代入直线得2m+3n=1，
1 2 ( 1 2) 3n 4m √3n 4m
+ = + (2m+3n)=8+ + ≥8+2 ⋅ =8+4√3，
m n m n m n m n
3n 4m
当且仅当 = 时等号成立
m n
故答案为：8+4√3
故答案为：5.
考点 七 、 指数函数的单调性
1.2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是（ ）
1
A．f(x)=−lnx B．f(x)=
2x
1
C．f(x)=− D．f(x)=3|x−1|
x
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.【详解】对于A，因为y=lnx在(0,+∞)上单调递增，y=−x在(0,+∞)上单调递减，
所以f (x)=−lnx在(0,+∞)上单调递减，故A错误；
1
对于B，因为y=2x在(0,+∞)上单调递增，y= 在(0,+∞)上单调递减，
x
1
所以f (x)= 在(0,+∞)上单调递减，故B错误；
2x
1
对于C，因为y= 在(0,+∞)上单调递减，y=−x在(0,+∞)上单调递减，
x
1
所以f (x)=− 在(0,+∞)上单调递增，故C正确；
x
|1 | 1
对于D，因为f
(1)
=32
−1
=32=√3，f (1)=3|1−1|=30=1,f (2)=3|2−1|=3，
2
显然f (x)=3|x−1|在(0,+∞)上不单调，D错误.
故选：C.
2.（2023·全国·高考真题）设函数f (x)=2x(x−a)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．(−∞,−2] B．[−2,0)
C．(0,2] D．[2,+∞)
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数y=2x在R上单调递增，而函数f (x)=2x(x−a)在区间(0,1)上单调递减，
a 2 a2 a
则有函数y=x(x−a)=(x− ) − 在区间(0,1)上单调递减，因此 ≥1，解得a≥2，
2 4 2
所以a的取值范围是[2,+∞).
故选：D
1.（2024·河南信阳·模拟预测）下列函数中，在其定义域上单调递减的是（ ）
A．f (x)=lnx B．f (x)=−tanπ C．f (x)=x❑ 3 D．f (x)=|e❑ −x|
【答案】D
【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对数函数f(x)=lnx在其定义域(0,+∞)上单调递增，A选项不满足条件；
f(x)=−tanπ=0为常函数，在其定义域上没有单调性，B选项不满足条件；
f(x)=x3在其定义域(−∞,+∞)上单调递增，C选项不满足条件；
1
f(x)=|e−x|= ，在其定义域(−∞,+∞)上单调递减，D选项满足条件.
ex
故选：D.2.（2024·山西吕梁·二模）已知函数y=f (4x−x2)在区间(1,2)上单调递减，则函数f (x)的解析式可以
为（ ）
A．f (x)=4x−x2 B．f (x)=2|x|
C．f (x)=−sinx D．f (x)=x
【答案】A
【分析】根据复合函数单调性分析可知f (x)在区间(3,4)上单调递减，进而逐项分析判断即可.
【详解】因为t=4x−x2开口向下，对称轴为t=2，
可知内层函数t=4x−x2在区间(1,2)上单调递增，
当x=1，t=3；当x=2，t=4；
可知t=4x−x2 ∈(3,4)，
又因为函数y=f (4x−x2)在区间(1,2)上单调递减，
所以f (t)在区间(3,4)上单调递减，即f (x)在区间(3,4)上单调递减.
对于选项A：因为函数f (x)=4x−x2在区间(3,4)上单调递减，故A正确；
对于选项B：因为x∈(3,4)，则f (x)=2|x|=2x在区间(3,4)上单调递增，故B错误；
π 3π
( )
对于选项C：因为x∈(3,4)⊆ , ，则f (x)=−sinx在区间(3,4)上单调递增，故C错误；
2 2
对于选项D：因为f (x)=x在区间(3,4)上单调递增，故D错误.
故选：A.
(1) (x−a)(x+2)
3.（23-24高三下·江西鹰潭·阶段练习）若函数f (x)= 在区间(−1,2)上单调递增，则a的取值
3
范围是（ ）
A．[0,6] B．[−2,0] C．[6,+∞) D．(−∞,0]
【答案】C
【分析】令g(x)=(x−a)(x+2)，结合指数型复合函数的单调性可知只需g(x)在区间(−1,2)上单调递减，
结合二次函数的性质得到不等式，解得即可.
【详解】令g(x)=(x−a)(x+2)=x2+(2−a)x−2a，
(1) x
因为y= 在定义域R上单调递减，
3
(1) (x−a)(x+2)
要使函数f (x)= 在区间(−1,2)上单调递增，
3
则g(x)=x2+(2−a)x−2a在区间(−1,2)上单调递减，
a−2
所以 ≥2，解得a≥6，
2
所以a的取值范围为[6,+∞).
故选：C4.（2024·广东广州·三模）函数f (x)=¿，其中a>0且a≠1，若函数是单调函数，则a的一个可能取值为
．
【答案】4（答案不唯一）
【分析】根据题意，f (x)在R上单调递增，根据分段函数单调性列式求解.
【详解】因为a>0且a≠1，若函数是单调函数，结合二次函数可知：f (x)在R上单调递增，
13
¿，解得 ≤a≤5.
4
故答案为：4（答案不唯一）.
考点 八 、 指数函数的图像
1.（2020·山东·高考真题）已知函数y=f (x)是偶函数，当x∈(0,+∞)时，y=ax(00时 >0、 >0，即A、C中(0,+∞)上函数值为正，排除；
x2+2 x2+2
故选：D
(1) x
1.（·四川·高考真题）函数y= +1的图象关于直线y=x对称的图象大致是（ ）
2
A． B．C． D．
【答案】A
(1) x
【分析】作出函数y= +1的图象，再结合对称性可得合适的选项.
2
(1) x (1) x
【详解】函数y= +1的图象可视为将函数y= 的图象向上平移1个单位，
2 2
(1) x
所以，函数y= +1的图象如下图所示：
2
(1) x
所以，函数y= +1的图象关于直线y=x对称的函数的图象如A选项中的图象.
2
故选：A.
1−ex
2.（2024·河北保定·二模）函数f(x)= cos2x的部分图象大致为（ ）
1+ex
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性判断即可.1−ex 1−e−x ex−1
【详解】设g(x)= ，则g(−x)= = =−g(x)，
1+ex 1+e−x 1+ex
所以g(x)为奇函数，
设ℎ(x)= cos2x，可知ℎ(x)为偶函数，
1−ex
所以f (x)= cos2x为奇函数，则B，C错误，
1+ex
易知f (0)=0，所以A正确，D错误．
故选：A.
3.（2024·天津·二模）已知函数y=f (x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析式可能为（ ）．
ex+1 ex−1 x2 x
A．f (x)= B．f (x)= C．f (x)= D． f (x)=
ex−1 ex+1 √3 x4−1 √3 x4−1
【答案】D
【分析】根据f (0)=0排除A，根据定义域排除B，根据奇偶性排除C，进而可得答案.
ex+1
【详解】对于A， f (x)= 在x=0处无意义，故A错误；
ex−1
ex−1
对于B：f (x)= 的定义域为R，故B错误；
ex+1
x2
对于C：f (x)= 的定义域为{x|x≠±1}，
√3 x4−1
(−x) 2 x2
且f (−x)= = =f (x)，则f (x)为偶函数，故C错误；
√3 (−x) 4−1 √3 x4−1
x
对于D，
f (x)=
满足图中要求，故D正确.
√3 x4−1
故选：D.
考点 九 、 指数函数模型的实际应用
1.（2024·广东茂名·模拟预测）自“ChatGPT”横空出世，全球科技企业掀起一场研发AI大模型的热潮，随着AI算力等硬件底座逐步搭建完善，AI大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软
件领域已出现较为成熟的落地应用．Sigmoid函数和Tanh函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经
ex−e−x 3
网络的激活函数，Tanh函数的解析式为tanhx= ，经过某次测试得知tanhx = ，则当把变量减
ex+e−x 0 5
x
半时，tanh 0=（ ）
2
1 1
A． B．3 C．1 D． 或3
3 3
【答案】A
3
【分析】根据题意，由tanhx = 得到ex 0=2求解.
0 5
ex 0−e−x 0 3
【详解】解：∵tanhx= = ，
ex 0+e−x
0
5
∴e2x 0=4，ex 0=2，ex 0=−2（舍）．
x x
0 − 0
x e2 −e 2 ex 0−1
∵tanh 0= = ，
2 x 0 − x 0 ex 0+1
e2 +e 2
x 1
∴tanh 0= ．
2 3
故选：A
2.（2024·黑龙江哈尔滨·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有
关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．
假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL．如果停止喝酒以后，他血液
中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（ ）（结果取整数，
参考数据：lg3≈0.48,lg7≈0.85）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】设经过x个小时才能驾驶，则0.6×100×(1−30%) x<20，再根据指数函数的性质及对数的运算计
算可得.
1
【详解】设经过x个小时才能驾驶，则0.6×100×(1−30%) x<20即0.7x< .
3
1
lg
由于y=0.7x在定义域上单调递减， 1 3 lg1−lg3 −0.48 0.48 .
x>log = = = = =3.2
0.73 lg0.7 lg7−1 0.85−1 0.15
他至少经过4小时才能驾驶.
故选：D.1.（2024·四川德阳·三模）如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知
某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系．y=eax+b(a，b．为常数)，若
该果蔬在7℃的保鲜时间为288小时，在21℃ 的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则
物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过（ ）
A．14℃ B．15℃ C．13℃ D．16℃
【答案】A
【分析】根据给定的函数模型建立方程组，再列出不等式即可求解.
1 1
【详解】依题意，¿，则e14a= ，即e7a= ，显然a<0，
9 3
设物流过程中果蔬的储藏温度为t℃，于是eat+b≥96=3⋅e21a+b=e−7a ⋅e21a+b=e14a+b，
解得at+b≥14a+b，因此t≤14，
所以物流过程中果蔬的储藏温度最高不能超过14℃.
故选：A
2.（2024·江苏·一模）德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料
和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳
3
2π
为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：T= ⋅a2，
√GM
其中M为太阳质量，G为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长
约为水星的（ ）
A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍
【答案】B
【分析】根据已知的公式，由周期的倍数关系求出长半轴长的倍数关系即可.
【详解】设火星的公转周期为T ，长半轴长为a ，火星的公转周期为T ，长半轴长为a ，
1 1 2 2
则，T =8T ，且¿
1 2
① T a 3
得： 1=( 1 )2=8，
② T a
2 2
a
所以， 1=4，即：a =4a .
a 1 2
2
故选：B．
3.（2024·新疆喀什·二模）数学中，悬链线指的是一种曲线，是两端固定的一条（粗细与质量分布）均
匀、柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，它被广泛应用到现实生活中，比如计
算山脉的形状、描述星系的形态、研究植物的生长等等．在合适的坐标系中，这类曲线可用函数
f(x)=aex+be−x（其中a,b为非零常数，e=2.71828⋯）来表示，当f(x)取到最小值为2时，下列说法
正确的是（ ）
A．此时x=lna B．此时a+b的最小值为2
C．此时2a+2b的最小值为2 D．此时lnalnb的最小值为0
【答案】B【分析】根据给定条件，判断a>0,b>0，再利用基本不等式逐项判断即得.
【详解】函数f(x)=aex+be−x，a,b为非零常数，ex>0,e−x>0，由f(x)取到最小值为2，得a>0,b>0，
对于A，aex+be−x≥2√aex ⋅be−x=2√ab=2，则ab=1，当且仅当aex=be−x，
b 1 1
即 e2x= = 时取等号，此时ex= ，x=−lna，A错误；
a a2 a
对于B，a+b≥2√ab=2，当且仅当a=b=1取等号，B正确；
对于C，2a+2b≥2√2a ⋅2b=2√2a+b≥4，当且仅当a=b=1取等号，C错误；
lna+lnb 2 1 2
对于D，lnalnb≤( ) =( lnab) =0，当且仅当a=b=1取等号，D错误.
2 2
故选：B
考点 十 、 指数函数比较大小
1.（2023·全国·高考真题）已知函数 f (x)=e−(x−1)2 ．记a=f
(√2)
,b=f
(√3)
,c=f
(√6)
，则
2 2 2
（ ）
A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令g(x)=−(x−1) 2，则g(x)开口向下，对称轴为x=1，
因为 √6 −1− ( 1− √3) = √6+√3 − 4 ，而(√6+√3) 2 −42=9+6√2−16=6√2−7>0，
2 2 2 2
√6 ( √3) √6+√3 4 √6 √3
所以 −1− 1− = − >0，即 −1>1−
2 2 2 2 2 2
√6 √3
由二次函数性质知g( )g( )，
2 2 2 2
√2 √6 √3
综上，g( )c>a.
故选：A.
√3
2.（2024·河北沧州·二模）若 a=log 3,b=0.1 2 ,c=ln(sin22024)，则下列大小关系正确的是
8（ ）
A．bb= 5>1=log >c=log ，
7 5 5 3 5 3 5
所以c4a2−b2+1，则（ ）
A．4a2>b2 B．4a2( ) D．( ) <( )
4 2 4 2
【答案】D
【分析】等价变形不等式，放缩并构造函数，用导数探讨函数单调性，求得2a>b，再逐项分析判断即可.
【详解】不等式e2a−eb>4a2−b2+1⇔e2a−(2a) 2>eb−b2+1>eb−b2，
令函数f(x)=ex−x2，求导得f' (x)=ex−2x，令g(x)=ex−2x，求导得g' (x)=ex−2，
当xln2时，g' (x)>0，函数g(x)在(−∞,ln2)上递减，在(ln2,+∞)上递增，
g(x) =g(ln2)=eln2−2ln2=2(1−ln2)>0，即f' (x)>0，因此函数f(x)在R上递增，
min
原不等式等价于f(2a)>f(b)，于是2a>b，对于AB，取2a=1,b=−1，有4a2=b2，AB错误；
1 2a 1 b 1 a 1 b
对于CD，( ) <( ) ，即( ) <( ) ，C错误，D正确.
2 2 4 2
故选：D
【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓
住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.
π
3.（2024·北京石景山·一模）设a=20.3，b=sin ，c=ln2，则（ ）
12
A．c20=1，b=sin 0，
e
定义在R上的偶函数f (x)满足f(x)=f(2−x)，
则函数f (x)有对称轴x=0,x=1，又当x∈[0,1]时，f (x)=2x，
在同一坐标系在(−1,3)内作出f (x)与g(x)的图象，由图象可得，f (x)与g(x)的图象有4个交点，
又f (x)与g(x)的图象均有对称轴x=1，
则两函数所有交点的横坐标之和为4.
故选：B
2.（23-24 高三上·四川·期末）已知f (x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=¿，若函数
g(x)=f (x)−k恰有5个零点，则k的取值范围是（ ）
A．(−2,−1)∪(1,2) B．(−2,2) C．(−1,0)∪(0,1) D．(−1,1)
【答案】D
【分析】根据条件及函数性质，作出f (x)的大致图象，利用图象即可求出结果.
【详解】依题意作出f (x)的大致图象，如图所示，
令g(x)=f (x)−k=0，得f (x)=k，
当02时，f(x)=2x+2x−9，易知f(x)=2x+2x−9在区间(2,+∞)上单调递增，
又22+2×2−9=−1，所以x>2时，f(x)>−1，又f(x)为奇函数，
所以由图可知，当k∈(−1,1)时，直线y=k与f (x)的图象有5个公共点，从而g(x)有5个零点，
故选：D.
1.（2024·广东深圳·一模）已知函数f (x)是定义域为R的偶函数，在区间(0,+∞)上单调递增，且对任意
x ,x ，均有f (x x )=f (x )f (x )成立，则下列函数中符合条件的是（ ）
1 2 1 2 1 2
A．y=ln|x| B．y=x3 C．y=2|x| D．y=|x|
【答案】D
【分析】由指数、对数运算性质结合函数单调性、奇偶性定义逐一判断每个选项即可求解.【详解】对于A，f (x x )=ln|x x |=ln|x |+ln|x |=f (x )+f (x )，故A错误；
1 2 1 2 1 2 1 2
对于B，f (−1)=−1=−f (1)，故y=x3不是偶函数，故B错误；
对于C，f (x )f (x )=2|x 1 |2|x 2 |=2|x 1 +x 2 |=f (x +x )，故C错误；
1 2 1 2
对于D，f (x x )=|x x |=|x ||x |=f (x )f (x )，
1 2 1 2 1 2 1 2
又y=f (x)=|x|定义域为全体实数，它关于原点对称，且f (−x)=|−x|=|x|=f (x)，
即函数f (x)是定义域为R的偶函数，
当x>0时，f (x)=x单调递增，满足题意.
故选：D.
2.（23-24 高三下·四川巴中·阶段练习）已知偶函数 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，且
a=log 2，b=−ln3，c=2−0.3 则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为( )
5
A．f(c)>f(a)>f(b) B．f(b)>f(c)>f(a)
C．f(a)>f(b)>f(c) D．f(c)>f(b)>f(a)
【答案】B
【分析】先比较a,b,c的大小关系，再根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
1 1
【详解】因为01，
1
因为2−1<2−0.3<20，所以 c>a，
2
偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，故f(−b)>f(c)>f(a)，即f(b)>f(c)>f(a)
故选：B.
3.（2024·山东潍坊·二模）已知函数f (x)=¿则f (x)图象上关于原点对称的点有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
(1) x
【分析】作出f (x)的图象，再作出函数y= ,x≥0,关于原点对称的图象，进而数形结合判断即可.
2
(1) x
【详解】作出f (x)的图象，再作出函数y= ,x≥0,关于原点对称的图象如图所示.
2
(1) x
因为函数y= ,x≥0,关于原点对称的图象与y=−|x2+2x|,x<0,图象有三个交点，故f (x)图象上关于
2
原点对称的点有3对.故选：C
4.（2024·全国·模拟预测）设函数f (x)=axlna+(1+a) xln(1+a)，若f (x)<0在(−∞,0)上恒成立，则
实数a的取值范围是（ ）
( √5−1) ( √5−1] ( √5+1) ( √5+1]
A． 0, B． 0, C． 0, D． 0,
2 2 2 2
【答案】B
lna
【分析】首先将不等式f (x)<0等价变形，再将不等式恒成立，转化为最值问题，得到− ≥1，即
ln(1+a)
可求解.
【详解】易知a>0，故a+1>1，ln(1+a)>0，f (x)<0在(−∞,0)上恒成立，
等价于不等式(1+a) xln(1+a)<−axlna即
(1+a) x
<−
lna
在x∈(−∞,0)上恒成立，
a ln(1+a)
(1+a) 0 lna (1+a) x
故 =1≤− ，（点拨：当a>0时，函数y= 在(−∞,0)上单调递增，
a ln(1+a) a
(1+a) 0 (1+a) 0 lna
则y< =1，所以 =1≤− ），
a a ln(1+a)
√5−1
故ln(a+1)≤−lna，即a(a+1)≤1，又a>0，故00，且a≠1），g(x)=xα（α是常数）.
∵ℎ(x)=f (x)+g(x)，ℎ(1)=3，
∴a1+1α=3，∴a=2，
∴f (x)=2x，
1
∴f (−1)=2−1= ．
2
1
故答案为： .
2
2.（2024·贵州毕节·二模）已知奇函数f (x)与偶函数g(x)满足f (x)+g(x)=ex，则下列结论正确的是
（ ）
A．[f (2024)] 2 −[g(2024)] 2 =1 B．f (2024)=f (1012)g(1012)
C．g(2024)=[f (1012)] 2 +[g(1012)] 2 D．f (2024)−g(2024)=e−2024
【答案】C
1 1
【分析】由题可得 f (x)+g(x)=ex，f (x)−g(x)=−e−x，进而可得f (x)= (ex−e−x),g(x)= (ex+e−x)，
2 2
分选项计算即可.
【详解】因为f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，所以f(−x)=−f(x)， g(−x)=g(x) ，因为f (x)+g(x)=ex 所以f (−x)+g(−x)=−f (x)+g(x)=e−x ，
1 1
即f (x)−g(x)=−e−x，所以f (x)= (ex−e−x),g(x)= (ex+e−x)
2 2
2 2
对于A， [f (2024)] −[g(2024)]
=[f (2024)+g(2024)][f (2024)−g(2024)]=−1 ，故A错误；
1 1
对于B， f (2024)= (e2024−e−2024) ≠f (1012)g(1012)= (e2024−e−2024)，故B错误；
2 4
1
对于C， g(2024)= (e2024+e−2024) =[f (1012)] 2 +[g(1012)] 2 ，故C正确；
2
对于 D， f (2024)−g(2024)=−e−2024 ，故D错误.
故选：C.
3.（2024·山东烟台·一模）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f (2−x)=f (x)，当0≤x≤1时，
f (x)=2x−1，则f (log 12)=（ ）
2
1 1 1 1
A．− B．− C． D．
3 4 3 2
【答案】A
【分析】根据给定条件，探讨函数f(x)的周期，再利用对数函数单调性及指对数运算计算即得.
【详解】在R上的奇函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，则f(x)=−f(x−2)，
于是f(x)=−f(x−2)=−[−f(x−4)]=f(x−4)，即函数f(x)的周期为4，
而8<12<16，则30，a≠1)的零点为（ ）
A．0 B．1 C．(1,0) D．a
【答案】B
【分析】令f (x)=a❑ x−a=0，解出x即可.
【详解】因为f (x)=a❑ x−a(a>0，a≠1)，
令f (x)=a❑ x−a=0，解得x=1，
即函数的零点为1.
故选：B.
2．（2024·江西·模拟预测）函数f
(x)=3x2−2|x|的一个单调递减区间为（
）
A．(−∞,0) B．(−1,0) C．(0,1) D．(1,+∞)
【答案】C
【分析】利用指数型复合函数的单调性即可得出答案.
【详解】令t=x2−2|x|，则y=3t，
由复合函数的单调性可知：
f (x)的单调递减区间为函数t=x2−2|x|的单调递减区间，
又函数t(−x)=(−x) 2−2|−x|=t(x)，
即函数t(x)为偶函数，
结合图象，如图所示，
可知函数t=x2−2|x|的单调递减区间为(−∞,−1)和(0,1)，
即f (x)的单调递减区间为(−∞,−1)和(0,1)．
故选：C．2x2cosx
3．（2024·福建南平·模拟预测）函数f (x)= 的部分图像大致为（ ）
2x+2−x
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，由函数的奇偶性可排除CD，计算f (π)即可排除B.
2(−x) 2cos(−x) 2x2cosx
【详解】因为f (−x)= = =f (x)，所以f (x)为偶函数，
2−x+2x 2x+2−x
故C，D项错误；
2π2cosπ 2π2
又f (π)= =− <0，故B项错误．
2π+2−π 2π+2−π
故选：A．
4．（2024·广东茂名·一模）Gompertz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，
肿瘤生长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为：f
(x)=kab−x
（其中
k>0,b>0，a为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现a=e.
若x=1表示该新产品今年的年产量，估计明年(x=2)的产量将是今年的e倍，那么b的值为（e为自然数对
数的底数）（ ）
√5−1 √5+1
A． B． C．√5−1 D．√5+1
2 2
【答案】A
【分析】由a=e，得到f (x)=k⋅eb−x ，分别代入 x=1、 x=2，得到f (1)和f (2)的值，进而得到
keb−2
=eb−2−b−1=e，求解即可.
keb−1
【详解】由a=e，得到f (x)=k⋅eb−x ，∴当x=1时，f (1)=k⋅eb−1 ；
当x=2时，f (2)=keb−2 .
keb−2
依题意，明年(x=2)的产量将是今年的e倍，得：
=eb−2−b−1=e，
keb−1
1 1 −1±√5
∴ − =1，即b2+b−1=0，解得b= .
b2 b 2
√5−1
∵b>0，∴b= .
2
故选：A.
5．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知a>0且a≠1,b>0，且b≠1，若函数f(x)=ax
[ (1) x
+bx
]
为
2
偶函数，则（ ）
A．ab2=2 B．a2b=2
C．ab=√2 D．ab=2
【答案】B
【分析】函数为偶函数，有f(−x)=f(x)，代入函数解析式，化简得(a2b) x =2x恒成立，则有a2b=2．
【详解】由题意可知，f(−x)=f(x)，即a−x(2x+b−x)=ax(2−x+bx)，
(2b) x+1 ax[1+(2b) x]
所以 = ，因为(2b) x +1≠0，所以(a2b) x =2x恒成立，所以a2b=2．
(ab) x 2x
故选：B.
ax b
6．（2024·广西河池·模拟预测）已知a>0且a≠1，则“b=−1”是“函数f (x)= + 为偶函数”的
b ax
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
ax b
【分析】由“函数f (x)= + 为偶函数”，可得b=±1，结合充分条件与必要条件的性质即可判断.
b ax
ax b
【详解】若函数f (x)= + 为偶函数，由定义域为R，则有f (x)=f (−x)，
b ax
ax b a−x b ax b 1
即 + = + ，即 + = +b⋅ax 对任意的x恒成立，
b ax b a−x b ax b⋅ax
1
即有b= ，故b=±1，
b
由“b=−1”是“b=±1”的充分不必要条件，ax b
故“b=−1”是“函数f (x)= + 为偶函数”的充分不必要条件.
b ax
故选：A.
7．（2024·四川成都·三模）已知函数f (x)=¿，则f (log 2)的值为
3
1
【答案】 /0.5
2
【分析】根据题意，结合指数幂与对数的运算法则，准确计算，即可求解.
1
【详解】由函数f (x)=¿，因为0− 时，y=x2+μx单调递增，y=ex2+μx单调递增；
2
因为a
=en2+μn中的自变量n为正整数，且∀n∈N*,a
≥a ，
n n 10
19 μ 21
则 ≤− ≤ ，解得−21≤μ≤−19，
2 2 2
显然[−21,−19]是[−21,+∞)的真子集，
所以“μ≥−21”是“∀n∈N*,a ≥a ”的必要不充分条件.
n 10
故选：B.
3．（2024·北京西城·三模）已知函数f(x)=2x，若∀x ,x ∈R，且x 0，2x 2>0，
所以 f(x 1 )+f(x 2 ) = 2x 1+2x 2 ≥√2x 1⋅2x 2=2 x 1 + 2 x 2 =f (x 1 +x 2 ) ，
2 2 2
f(x )+f(x ) (x +x )
又x f 1 2 ，故B正确；
1 2 2 2
f(x x )=2x 1 x 2，f(x )+f(x )=2x 1+2x 2，
1 2 1 2
∀x ,x ∈R，x
2
【分析】根据题意，问题转化为存在x∈[1,3]，a>2x+2−x为真命题，即a>(2x+2−x) ，求出y=2x+2−x
min
的最小值得解.
【详解】若命题任意“x∈[1,3]，a≤2x+2−x”为假命题，
则命题存在x∈[1,3]，a>2x+2−x为真命题，
因为1≤x≤3时，2≤2x≤8，
令t=2x，则2≤t≤8，
1
则y=t+ 在[2,8]上单调递增，
t
5 65
所以 ≤ y≤ ，
2 8
5
所以a> .
2
5
故答案为：a> .
2
1
7．（2024·北京通州·三模）已知a=2−1.1，b=log ，c=log 3，则三者大小关系为 （按从小
1 3 2
4
到大顺序）
【答案】alog 2= ，且b=log =log 3<1，
1 3 4 4 2 1 3 4
4 4
c=log 3>log 2=1，
2 2
故a2a>2c B．2a>2b>2c C．2c>2b>2a D．2c>2a>2b
【答案】A
【解析】根据对数函数的单调性可得b>a>c>0，再根据指数函数的单调性即可求解.
y=log x
【详解】 1 为单调递减函数，
2
log ba>c>0，
2 2 2
又y=2x为单调递增函数，
所以2b>2a>2c.
故选：A
3．（2019·全国·高考真题）已知a=log 0.2,b=20.2,c=0.20.3 ，则
2
A．a20=1, 0<0.20.3<0.20=1,则0
