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第 14 讲 三角函数的图像和性质
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数 y＝sin x，x∈[0，2π]的图像中，五个关键点是：(0，0)，，(π，
0)， ， (2 π ， 0) .
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图像中，五个关键点是：(0，1)，， (π ，－
1)，，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图像
定义域 R R { x x ≠ k π ＋ }
值域 [ － 1 ， 1] [ － 1 ， 1] R
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2 k π － π ， 2 k π]
递减区间 [2 k π ， 2 k π ＋ π] 无
对称中心 ( k π ， 0)
对称轴方程 x ＝ k π ＋ x ＝ k π 无
二、考点和典型例题
1、三角函数的定义域和值域
【典例1-1】（2022·河北邯郸·二模）函数 在 上的值域为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【详解】
当 时， ，当 时，即 时， 取
最大值1，当 ，即 时， 取最小值大于 ，故值域为
故选：C
【典例1-2】（2022·辽宁·东港市第二中学高一期中）函数 ，若
，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：函数 ，
，
，
因为 ，则
所以 ，因为 ，
所以 ， 一个为 的最大值，一个为最小值，
则 ，或
解得 ，或
所以 （i），或 （ii）
对于（i），当 时， 的最小值是 ，
对于（ii），当 时， 的最小值是 ，
综上， 的最小值是 ，
故选：D
【典例1-3】（2022·全国·模拟预测（文））已知函数 ，则下
列结论中正确的是（ ）
A．函数 的最小正周期为 B． 时 取得最小值
C． 关于 对称 D． 时 取得最大值
【答案】D
【详解】
因为 ，
所以 ，
所以 ，所以函数 的最小正周期 ，A错误，
，BC错误，
，D正确.
故选：D.
【典例1-4】（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知不等式
对 恒成立，则m的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：因为不等式 对 恒成立，
所以不等式 对 恒成立，
令 ，
因为 ，所以 ，
则 ，
所以 ，所以 ，解得 ，
所以m的最小值为 ，
故选：D
【典例1-5】（2022·重庆八中高三阶段练习）函数 在 上
的值域是 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
， ，则 ，
要使f(x)在 上的值域是 ，
则 .
故选：C.
2、三角函数的周期性、奇偶性、对称性
【典例2-1】（2022·山东威海·三模）己知函数 为偶函数，
则 ( )
A．0 B． C． D．
【答案】C
【详解】
∵f(x)定义域为R，且为偶函数，∴ ，
， ．
当 时， 为偶函数满足题意．
故选：C．
【典例2-2】（2022·天津和平·三模）函数 ，将函数
的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，若 为偶函数，则
的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为
，
所以 ，而 为偶函数，所以 ，
即 ，而 ，所以 的最小值是 ．
故选：B．
【典例2-3】（2022·内蒙古赤峰·三模（文））已知函数 的
图像经过点 ，则 的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【详解】
因为函数 的图像经过点 ，
所以 ，得 ，
所以 ，得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 的最小正周期为 ，
故选：C
【典例2-4】（2022·陕西西安·一模（理））若函数 的最小
正周期为 ，则 是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．是奇函数也是偶函数
【答案】B
【详解】
因为函数 的最小正周期为 ，解得 ，
所以， ，
所以，函数 为偶函数.
故选：B.
【典例2-5】（2022·新疆克拉玛依·三模（文））已知函数的最小值周期为 ，将 的图象向右平移 个单位长度，所得图象关于 轴对
称，则 的一个值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
由题可得 ，即 ，则函数的解析式为 ，
将 的图象向右平移 个单位长度所得的函数解析式为：
，又函数图象关于 轴对称，
当 时， ，
则 ①，
令 ，可得： ，其余选项不适合①式.
故选：B．
3、三角函数的单调性
【典例3-1】（2022·天津南开·三模）将函数 的图象向左平移
个单位，得到函数 的图象，若函数 在区间 上单调递增，则 的值
可能为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】B【详解】
解：将函数 的图象向左平移 个单位，
得到函数 ，
因为 ，所以 ，
又因为函数 在区间 上单调递增，
所以 ，解得，
所以 的值可能为 ，
故选：B
【典例3-2】（2022·湖北·荆州中学模拟预测）已知函数 在
单调递减，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
，
令 ，解得 ， ，
因为 ，所以 ，则 ，
故 ，解得 ，所以 最大值为 ．
故选：B．【典例3-3】（2022·全国·模拟预测（文））将函数 的图象向左平移
个单位长度，再保持所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 倍，得到函数 的
图象，则使得 单调递增的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
将函数 的图象向左平移 个单位长度，再保持所有点的纵坐标不变，
横坐标缩短为原来的 倍，得到函数 的图象，则 ，则 单调递增区
间为： ，则
当 时， .
故选：C.
【典例3-4】（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））下列函数中，既是偶函数，又在区间
内是增函数的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
A.因为 ，所以 是偶函数，， 在 上单调递增，当 时，
，当 时， ， 在 上单调递增，故正确；
B. ，所以 是偶函数，易知 在 上递增，
在 上递减，故错误；
C. ，所以 是偶函数，易知 在 上递减，故
错误；
D. 因为 ，所以 ，则 不是偶函数，
故错误；
故选：A
【典例3-5】（2022·全国·高三专题练习）将函数 图象上所有点的横坐
标缩短到原来的 倍 纵坐标不变 ，再向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，
若 在 上单调递减，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：将函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍 纵坐标不变 ，
得到 ，再向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，
即 ，若 在 上单调递减，则 的周期 ，即 ，得 ，
由 ， ，得 ， ，
即 ，即 的单调递减区间为 ， ，
若 在 上单调递减，则 ， ，
即 ， ，当 时， ，即 的取值范围是 .
故选：D．
【典例3-6】（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数
.
(1)求函数 在 上的单调增区间；
(2)若 ，求 的值.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)
解： ，
，
，，
令 ，
解得 ，
所以 的单调增区间为 .
令 得区间为 ，
所以 在 上的单调增区间为 ；
(2)因为 ，
所以 ，
又 ，且 ，
所以 ，则
所以
.
【典例3-7】（2022·浙江·三模）已知函数 ．
(1)求 的单调递增区间；(2)若对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)
令
解之得
∴ 的单调递增区间为
(2)对任意 ，都有 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴实数 的范围为 ．
