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第 14 节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
基础知识要夯实
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系： sin 2 α ＋ cos 2 α ＝ 1 .
(2)商数关系： ＝ ta n__α.
2.三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
[来源:Z*xx*k.Com]
2kπ＋
角 π＋α －α π－α
α(k∈Z)
－α ＋α
正弦 sin α － si n__α － si n__α sin__α cos__α cos__α
余弦 cos α － co s__α cos__α － co s__α sin__α － si n__α
正切 tan α tan__α － ta n__α － ta n__α
函数名改变，符号看象
口诀 函数名不变，符号看象限
限
3.常用结论
（1）同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.
（2）诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指 的奇数倍和偶数倍，变与不变指
函数名称的变化.
（3）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
核心素养要做实
考点一 同角三角函数基本关系式的应用
【例1】 (1)(2022·兰州测试) 若 ，则 （ ）
A． B．2
C． D．－2
【答案】B【解析】由 ，
得 ，
又 ，
所以 ，
即 ，
从而 ，
此时 ．
所以 ．
[来源:学.科.网]
(2)(2022·平顶山联考) 如果 ，那么 的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ，
【方法技巧】1.利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用 ＝
tan α可以实现角α的弦切互化.
2.应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
3.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
【跟踪训练】
1.若 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【解析】∵ ，故选D．
2.已知 是第二象限的角， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 得 ．故选A
考点二 诱导公式的应用
【例2】 (1)(2022·衡水中学调研) 已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ．
(2) 若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，解得 ，
原式 ．
规律方法 1.诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
2.含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有 2π的整数倍的三角函数式中可直接将 2π的
整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
【训练2】 (1)(2020·北京卷)在已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ ，
∴ ．
（2）化简 ．
【答案】
【解析】原式＝ ．
考点三 同角三角函数基本关系式与诱导公式的活用
【例3】 (1)(2020·菏泽联考) 已知 ，且 是第四象限角，则
．
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ，
又 为第四象限角，
∴ ，
∴ ．(2)(2020·福州调研) 若 ，求 的值．
【解析】 ，设要求的式子为 ，
则
．
【方法技巧】1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、
结论间的联系，灵活使用公式进行变形.
2.(1)注意角的范围对三角函数值符号的影响，开方时先判断三角函数值的符号；
(2)熟记一些常见互补的角、互余的角，如－α与＋α互余等.
【跟踪训练】
1.(2022湖北七州市联考) 已知 是方程 的根，
求 的值．
【解析】∵ 是方程 的根，
∴ 或 ，而 ，故 ，
∴ ，
故 ．
∴原式
．
2.化简 ．
【解析】原式
．
达标检测要扎实
一、单选题
1．已知 是第二象限角，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
因为 是第二象限角，所以 ，故选：A
2．若 ，且 ，则
A． B． C． D．
【答案】A【解析】由题意， ，则 ，
由于 ，则
.
故选A.
3．已知角 、 、 为 的三个内角，若 ，则 一定是
（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】C
【解析】由 可得 ，
， ，即 ，故该三角形一定为等腰三角形.
故选：C
4．已知 ，则 （ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得 ，
所以 .故选：D
5．已知锐角 终边上一点A的坐标为 ，则角 的弧度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，又 ， 为锐角，
∴ ，故选：A.
6．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，故选：D.
7．已知 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ，
因为 ，所以 .故选：C
8．已知 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，则
.故选：C.
9．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由诱导公式得 ，故选：B.
10．化简 的值为
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】由正余弦的二倍角公式,结合诱导公式化简可得
故选:B
11．若 ，则 （ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】由题意得 .故选：D.
12．下列三角比的值中 ，与 的值相同的个数是（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】①中， ，当 为奇数时， ；
当 为偶数时， ，不满足题意；
②中， ，满足题意；
③中， ，满足题意；
④中， ，不满足题意；
⑤中， ，满足题意，
综上可得②③⑤满足题意.故选：C.
二、填空题
13．已知角 的终边经过点 ，若 ，则 ___________.
【答案】
【解析】由题意，角 的终边经过点 ，可得 .又由 ，得，根据三角函数的定义，可得 ，解得 .故答案为： .
14．若 ，则 ______．
【答案】
【解析】∵ ，∴ ，∴ ，
∴ .
故答案为：
15．已知 ，若 ，则 ___________.
【答案】
【解析】令 ，因为 ，
所以函数 为奇函数，
因为 ，即 ，所以 ，
所以 .故答案为：
16．在平面直角坐标系 中,角 与角 均以 为始边，它们的终边关于 轴对称.若 ,
则 _____.
【答案】
【解析】因为角 与角 的终边关于 轴对称，所以 ，所以
.
三、解答题17．已知 ，且 ，求：
（1） ；
（2） .
【解析】（1）由 ，
得 ．①
将①式两边平方，得 ，
故 ，
又 ，
， ．
．
（2）
18．已知 .
（1）化简 ；
（2）若角 是 的内角，且 ，求 的值.
【解析】（1） ；（2）因为 ，又角 是 的内角，则角 为锐角，
所以， ， ，因此， .
19．已知角 的终边经过点
（1）求 的值；
（2）求 的值
【解析】（1）由题意角 的终边经过点 ，可得 ，
根据三角函数的定义，可得 .
（2）由三角函数的诱导公式，可得
.
20．已知 ，且 ， 为方程 的两根．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【解析】（1）由题意得 ，
则 ， ，
，得 ．（2）
， ，且 ，
，则 ， ，
，则 ，故原式 ．
21．在平面直角坐标系 中，角 的始边为 轴的正半轴，终边在第二象限与单位圆交于点 ，
点 的横坐标为 .
(1)求 的值；
(2)若将射线 绕点 逆时针旋转 ，得到角 ，求 的值.
【解析】 (1) 在单位圆上，且点 在第二象限， 的横坐标为 ，可求得纵坐标为 ，所以
，则 ．
(2)由题知 ，则 ， ，则
，
故 .
22．若角 的终边上有一点 ，且 .
（1）求 的值；（2）求 的值.
【解析】（1）点 到原点的距离为 ，
根据三角函数的概念可得 ，解得 ， （舍去）.
（2）原式 ，
由（1）可得 ， ，所以原式 .
