文档内容
8.9 幂函数（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现例题剖析
考点一 幂函数的三要素
【例1-1】（2022·四川省）幂函数y＝ （m∈Z）的图象如图所示，则实数m的值为________.
【答案】1
【解析】有图象可知：该幂函数在 单调递减，所以 ，解得 ， ,故 可
取 ，又因为该函数为偶函数，所以 为偶数，故 故答案为：
【例1-2】（2022课时练习）（1）函数 的定义域是________，值域是________；
（2）函数 的定义域是________，值域是________；
（3）函数 的定义域是________，值域是________；
（4）函数 的定义域是________，值域是________．
【答案】（1） （2）
（3） （4）
【解析】（1）幂函数 图像如图所示，定义域为 ，值域为 ,
（2）幂函数 图像如图所示，定义域为 ，值域为 ,（3）幂函数 图像如图所示，定义域为 ，值域为 ,
（4）幂函数 图像如图所示，定义域为 ，值域为 ,
故答案为：（1） ; ,
（2） ; ,
（3） ; ,
（4） ; .
【一隅三反】
1．（2022·云南师大附中高三阶段练习）已知 为幂函数， 且 ， 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 为幂函数，
设 ，则 ，所以 ，可得 ，则 .
故选：B
2．（2022·全国·模拟预测（文））设 ，则“函数 的图象经过点 ”
是“函数 在 上递减”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】函数 的图象经过点 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 在 上递减，
而 在 上递减，函数 的图象不一定经过点 ，
如： .
所以“函数 的图象经过点 ”是“函数 在 上递减”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2022·河北·邢台市第二中学高三阶段练习）设 ，函数 ，若 的最小
值为 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 时， ，当且仅当 时，等号成立；
即当 时，函数 的最小值为 ，
当 时， ，
要使得函数 的最小值为 ，则满足 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .
故选：A.
4．（2022·河北）已知函数 ，若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数 在 上单调递减，其函数值集合为 ，
当 时， 的取值集合为 ， 的值域 ，不符合题意，
当 时，函数 在 上单调递减，其函数值集合为 ，
因函数 的值域为 ，则有 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .故选：D
考点二 幂函数的性质
【例2-1】（2022·黑龙江·鸡东县第二中学二模）当 时，幂函数 为减函数，
则实数m的值为（ ）
A． B．
C． 或 D．
【答案】A【解析】因为函数 既是幂函数又是 的减函数，所以 解得： .
故选：A.
【例2-2】（2022·广西）已知 ， ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题得 ， ， ， ，因为函数 在 上单调递增，所以
．又因为指数函数 在 上单调递增，所以 ．故选:D．
【例2-3】（2022·云南）已知幂函数 的图象关于y轴对称，且在 上单调递减，
则满足 的a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】幂函数 在 上单调递减，故 ，解得 ．又 ，
故m＝1或2．
当m＝1时， 的图象关于y轴对称，满足题意；
当m＝2时， 的图象不关于y轴对称，舍去，故m＝1．
不等式化为 ，
函数 在 和 上单调递减，故 或 或 ，解得 或 ．
故应选：D．
【一隅三反】
1．（2022·黑龙江·嫩江市高级中学高三开学考试）下列关于幕函数 的命题中正确的有（ ）
A．幂函数图象都通过点
B．当幂指数 时，幂函数 的图象都经过第一、三象限
C．当幂指数 时，幂函数 是增函数
D．若 ，则函数图象不通过点
【答案】B
【解析】对于A，当 时，幂函数图象不通过点 ，A错误；
对于B，幂指数 时，幂函数分别为 ，三者皆为奇函数，
图象都经过第一、三象限，故B正确；
对于C，当 时，幂函数 在 上皆单调递减，C错误；
对于D，若 ，则函数图象不通过点 ，通过 点，D错误，故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）幂函数 在x （0，+∞）上是减函数，则m＝
（ ）
A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．1
【答案】A
【解析】∵幂函数 ，
∴m2﹣m﹣1＝1，
解得m＝2，或m＝﹣1；
又x （0，+∞）时f（x）为减函数，
∴当m＝2时，m2+m﹣3＝3，幂函数为y＝x3，不满足题意；当m＝﹣1时，m2+m﹣3＝﹣3，幂函数为 ，满足题意；
综上， ．
故选：A．
3．（2022·全国·高三专题练习）“幂函数 在 上为增函数”是“函数
为奇函数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】要使函数 是幂函数，且在 上为增函数，
则 ，解得： ，当 时， ， ，
则 ，所以函数 为奇函数，即充分性成立；
“函数 为奇函数”，
则 ，即 ，
解得： ，故必要性不成立，
故选：A．
4．（2022·全国课时练习）如图所示是函数 ( 且互质)的图象，则（ ）
A． 是奇数且 B． 是偶数， 是奇数，且
C． 是偶数， 是奇数，且 D． 是偶数，且【答案】C
【解析】 函数 的图象关于 轴对称，故 为奇数， 为偶数，
在第一象限内，函数是凸函数，故 ，故选：C.
5．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试）已知 ，则a，b，c大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 .所以 .
因为 .所以 .所以 .故选：A.
考点三 二次函数根的分布
【例3-1】（2022·全国·高一课时练习）关于x的方程 恰有一根在区间 内，则
实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】方程 对应的二次函数设为：
因为方程 恰有一根属于 ，则需要满足：
① ， ，解得： ；
②函数 刚好经过点 或者 ，另一个零点属于 ，
把点 代入 ，解得： ，
此时方程为 ，两根为 ， ，而 ，不合题意，舍去把点 代入 ，解得： ，
此时方程为 ，两根为 ， ，而 ，故符合题意；
③函数与x轴只有一个交点，横坐标属于 ，
，解得 ，
当 时，方程 的根为 ，不合题意；
若 ，方程 的根为 ，符合题意
综上：实数m的取值范围为
故选：D
【例3-2】（2022·湖北·华中师大一附中 ）关于 的方程 有两个不相等的实数根 ，
且 ，那么 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当 时， 即为 ，不符合题意；
故 ， 即为 ，
令 ，
由于关于 的方程 有两个不相等的实数根 ，且 ，
则 与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，故 时， ，即 ，解得 ，故 ，故选：D
【一隅三反】
1．（2022·江苏）已知方程 有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实
数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令
由题可知：
则 ，即
故选：C
2．（2022·广西·高三阶段练习（理））已知函数 ，若关于 的方程 有两个不
同的实根， 则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 时，函数 是增函数，函数值集合是 ，当 时， 是减函数，
函数值集合是 ，
关于 的方程 有两个不同的实根，即函数 的图象与直线 有两个交点，在坐标系内作出直线 和函数 的图象，如图，
观察图象知，当 时，直线 和函数 的图象有两个交点，即方程 有两个不同的
实根，所以实数 的取值范围为 .故选：A
3（2022·江苏）方程 的两根都大于 ，则实数 的取值范围是_____．
【答案】
【解析】由题意，方程 的两根都大于 ，
令 ，
可得 ，即 ，解得 ．
故答案为： .
4．（2022贵州）方程 在区间 内有两个不同的根， 的取值范围为__．
【答案】
【解析】令 ，图象恒过点 ，
方程 0在区间 内有两个不同的根，，解得 .
故答案为：
