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专题 16.2 期末检测综合压轴题分类专题（考点梳理与题型分类讲
解）
第一部分【考点目录】
一、选择填空题（常考综合题）
【考点1】与三角形有关的边角................................................2
【考点2】全等三角形的判定和性质............................................5
【考点3】等腰三角形的判定与性质............................................9
【考点4】乘法公式中的几何图形.............................................15
【考点5】因式分解中的几何图形.............................................17
【考点6】乘法公式.........................................................20
【考点7】因式分解.........................................................23
【考点8】分式的运算与化简.................................................25
【考点9】分式方程的增根与无解.............................................27
【考点10】分式方程的解的情况求参数........................................30
【考点11】列分式方程......................................................33
二、解答题（常考综合题）
【考点12】乘法公式的运算..................................................36
【考点13】乘法公式的化简求值..............................................36
【考点14】因式分解........................................................38
【考点15】分式的运算......................................................39
【考点16】分式的化简求值..................................................40
【考点17】解分式方程......................................................42
【考点18】全等三角形......................................................43
【考点19】轴对称..........................................................46
三、选择填空题（压轴题）
【考点20】几何中折叠问题..................................................49
【考点21】几何中最值问题..................................................55【考点22】几何中动点问题..................................................61
【考点23】代数中的规律问题................................................68
四、解答题（压轴题）
【考点24】全等三角形与轴对称探究性问题....................................72
第二部分【考点展示与方法点拨】
一、选择填空题
【考点1】与三角形有关的边角
【1-1】（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，点 为 中 边的中点，点 为 的中点，
设 ， ，下面结论正确的是（ ）
A． B．
C． D． 、 大小关系无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据中线把三角形的面积分
成相等的部分，可得到答案．
解： 点 为 中 边的中点
点 为 的中点
，
，故选：C．
【1-2】（22-23七年级下·黑龙江绥化·期末）如图所示的图形是一瓷砖镶嵌图的一部分，AB⊥CD，则x的
值为 ．
【答案】34
【分析】延长 交 于点 ，即可得出 ，进而根据 ，求
出 即可．
解：延长 交 于点 ，
，
，
，
，
，
，
，解得 ，则 的值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了垂直的性质，三角形内角和定理，对顶角相等等知识，根据已知得出
是解题关键．
【1-3】（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，将线段 平移得到线段 ，点 在 延长线上，点
在射线 上， 、 的角平分线所在直线相交于点 ，若 ， ，则．（用 ， 表示）
【答案】 或
【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质和对顶角的性质，三角形外角的性质；对点 在点
的左侧和右侧进行分类，再画出相应的示意图，结合所画图形即可解决问题，能根据题意画出示意图
及熟知图形平移的性质是解题的关键．
解：当点 在点 的左侧时，如图所示，
由平移可知， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当点 在点 的右侧时，如图所示，同理可得， ， ，
由平移可知， ，
∴ ，
∴ ，
综上所述， 的度数为： 或 ，
故答案为： 或 ．
【考点2】全等三角形的判定和性质
【2-1】（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）如图，由9个完全相同的小正方形拼接而成的 网格，图形
中各个顶点均为格点，设 ， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查网格中的全等图形、三角形外角的性质，根据全等三角形的判定与性质可得
，从而可得 ，再根据三角形外角的性质可得 ，即可求解．
解：如图， ， ， ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【2-2】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算
经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个
正方形放置在大长方形 中，则该长方形中空白部分的面积为（ ）
A．54 B．60 C．100 D．110
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一线三垂直证明全等是突破本题的关键．利用一线三直
角证明三角形全等，可得长方形的长11与宽10，计算出长方形的面积后减去三个正方形的面积即可．
解：如图延长 交 于M，其他字母标注如图示：根据题意， ， ， ，在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
同理可证 ，
∴ ，
∴ ．
空白部分的面积＝长方形面积 三个正方形的面积和 ．
故选：B．
【2-3】（23-24八年级上·贵州毕节·期末）如图，四边形 是等腰梯形，上底 ，过点 作
，且 ，连接 ．若 的面积为 ，则 的长为 ．
【答案】30
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，等腰梯形的性质等等，过点E作 交 延长线与F，过点D作 于G，过点C作 于H，先根据三角形面积公
式求出 ，证明 ，得到 ，再证明 ，得
到 ，进一步证明 ，则 ．
解：如图所示，过点E作 交 延长线与F，过点D作 于G，过点C作 于
H，
∵ 的面积为 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是等腰梯形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：30．【2-4】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在 中，点P，M在坐标轴上， ， ，
， ，则点M的坐标是
【答案】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握
三角形全等的判定方法，证明 ．过点P作x轴的平行线，过点M作 于点A，过点
N作 于点B，根据 ， ，得出 ， ，证明 ，
得出 ，即可得出答案．
解：过点P作x轴的平行线，过点M作 于点A，过点N作 于点B，如图所示：
则 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点M的坐标为 ．
故答案为： ．
【考点3】等腰三角形的判定与性质
【3-1】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在平面直角坐标系中，将等腰直角三角形 沿直角
边 翻折，点B落在点C处，若点A坐标为 ，则点C坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，折叠的性质，坐标与图形，过 作 轴于 ，过
作 交 于 ，交 轴于 ，先由翻折得到 是等腰直角三角形，再证明
，得到 ， ，即可求出点C坐标．
解：如图，过 作 轴于 ，过 作 交 于 ，交 轴于 ，∴ ，
∴ ， ，
∵点A坐标为 ，
∴ ， ，
∵将等腰直角三角形 沿直角边 翻折，点B落在点C处，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴点C坐标为 ，
故选：A．
【3-2】（23-24七年级下·山东威海·期末）如图， ， ， ，若
，则 与 间的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等，等边对等角．
易得 ，通过证明 得出 ，则
，最后根据在 中， ，即可得出结论．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
整理得： ，
故选：A．
【3-3】（24-25八年级上·上海·期末） 中， 是锐角， 与 的平分线交于点D，
过A作 交 的延长线于点E．当 是直角三角形，且 与 中有一个锐角相等时，
的度数是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查直角三角形的性质，画出图形并熟练运用角平分线的定义是本题的关键．根据题意，
画出 °和 两种三角形，利用角平分线的定义表示出相关角的数量关系，设
，每个图形分两种情况讨论，根据三角形外角的性质表示出 ，列方程求出x的值，即
可得到答案．
解：如图1所示，当 时，设 ，则 ，
与 的平分线交于点D，
， ，
①当 时，
，
；
②当 时，
， ，
，
，
；
如图2所示，当 时，
设 ，则 ，
与 的平分线交于点D，
， ，
，
，
，
，
；综上， 或 ．
故答案为： 或 ．
【3-4】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，已知 是线段 的垂直平分线，直线 经过点 ，过
点作 ，垂足是 ，点 是线段 上一点，连接 、 ， ， 平分 ，
则线段 、 、 之间的等量关系是 ．
【答案】
【分析】连接 ，过点 作 交于点 ，根据垂直平分线的性质得出 ，根据等边对等
角得出 ，根据角平分线的概念和性质得出 ， ，根据 可证明
，根据全等三角形的对应边相等得出 ，结合三角形的外角性质得出
， ，推得 ，根据 可证明
，根据全等三角形的对应边相等得出 ，即可求解．
解：连接 ，过点 作 交于点 ，如图：
∵ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ， ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
故 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，角平分线的概念，三角形的外角性质，角平分线
的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键．
【考点4】乘法公式中的几何图形
【4-1】（22-23七年级下·山东青岛·期中）如图，两个正方形的泳池，面积分别是 和 ，两个泳池的面
积之和 ，点B是线段 上一点，设 ，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面
积为（ ）A．5 B．4 C．8 D．10
【答案】B
【分析】设 ，根据题意可得 ， ，然后利用完全平方公式即可求出
，进而可得答案．
解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴阴影部分的面积为 ；
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，正确理解题意、灵活应用整体思想是解题的关键．
【4-2】（20-21七年级下·河南郑州·期末）有若干个大小形状完全相同的小长方形现将其中4个如图1摆
放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为35；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影
部分面积为102（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【分析】设出长方形的长和宽，根据两种拼图得出两个含有长、宽的等式，变形后得出答案．
解：设长方形的长为a，宽为b，
由图1可得，（a+b）2-4ab=35，
即a2+b2=2ab+35①，
由图2可得，（2a+b）（a+2b）-5ab=102，即a2+b2=51②，
由①②得，2ab+35=51，
所以ab=8，
即长方形的面积为8，
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用代数式表示各个图形的面积，利用面积之间的关系得
到答案是常用的方法．
【4-3】（23-24七年级下·广东汕头·期末）用四个长为 ，宽为 的小长方形构成如图的大正方形．根据
图形面积的关系，写出一个含 ， 的等式 ．
【答案】
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据阴影部分面积两种计算方法即可求解，熟练掌握长
方形、正方形的面积公式和完全平方公式是解题的关键．
解：求阴影部分面积：
方法一： ，
方法二： ，
∴ ，
故答案为： ．
【4-4】（23-24八年级上·北京·期末）把一个边长为 的正方形按图1的方式叠放在边长为 的正方形中
（ ），我们既可以利用图1计算阴影部分面积；也可以将图1剪接成图2后计算阴影部分面积．这个
过程验证了一个我们熟悉的乘法公式，它是 ．【答案】
【分析】本题主要考查了平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．图1
中阴影部分的面积计算方法是边长是 的正方形的面积减去边长是 的小正方形的面积，等于 ；图
2中阴影部分是一个长是 ，宽是 的长方形，面积是 ，根据这两个图形的阴影部分的
面积相等，即可获得答案．
解：图1中，
∵大正方形面积减去小正方形面积即为阴影部分面积，
∴阴影部分面积可表示为 ；
图2中，
∵拼接后阴影部分是个长方形，长为 ，宽为 ，
∴阴影部分面积可表示为 ，
由阴影部分面积相等，得 ．
答案： ．
【考点5】因式分解中的几何图形
【5-1】（23-24七年级下·浙江舟山·期末）边长为a的正方形 与边长为b的正方形 按如图所
示的方式摆放，点A，D，G在同一直线上．已知 ， ．则图中阴影部分的面积为（ ）A．28 B．39 C．61 D．68
【答案】B
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，先根据
用代数式表示阴影部分的面积，再利用公式变形后，代入 ，
计算即可．
解：由图可知： ，
正方形 边长为a，正方形 边长为b，
，
，
，
，
，
将 ， 代入得：
，
故选：B．
【5-2】（22-23八年级上·山东淄博·期中）将几个图形拼成一个新图形，再通过两种不同的方法计算同一
个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式 ．将若干张
图2所示的卡片进行拼图，可以将二次三项式 分解因式为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查因式分解的应用，能够根据所给的单项式画出几何图形，画出图形，根据图形因式分
解即可，利用等积法进行因式分解是解题的关键．
解：如图：
∴ ，
故选：C．
【5-3】（24-25八年级上·全国·期中）如图 是一个棱长为 的正方体中挖去一个棱长为 的小正方体
，将剩余部分进行切割得到如图 所示的三个长方体．通过计算剩余部分的体积，可对多项式
进行因式分解，即 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解的应用，提公因式法分解因式等知识点，正确表示出三块长方体的体积之
和是解题的关键．
根据正方体和长方体的体积公式及体积关系即可求解．
解：根据题意可得：
图 的体积为： ，
图 的体积为： ，图 的体积 图 的体积，
，
故答案为： ．
【5-4】（24-25八年级上·河南信阳·期末）如图，这三种规格的卡片共有 张，其中边长为 的正方形卡
片 张，边长为 的正方形卡片 张，长、宽分别为 ， 的长方形卡片 张 现要用这 张卡片拼成一个
大正方形，则这个大正方形的边长为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查因式分解的应用，根据题意，得到大正方形的面积为 ，因式分解得到
，即可得出结果．
解： 这三种规格的卡片共有 张，其中边长为 的正方形卡片 张，边长为 的正方形卡片 张，长、宽
分别为 的长方形卡片 张．现要用这 张卡片拼成一个大正方形，
这个大正方形的面积是 ，
∵ ，
∴这个大正方形的边长为：
故答案为： ．
【考点6】乘法公式
【6-1】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）若 是完全平方式； 是完全
平方式，则 和 的值分别是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键在于掌握完全平方公式的结构特征．根据完全平方公式中首末两项是 和 的平方，中间一项为加上或减去它们乘积的2倍，可得
，进而求出 的值，同理求出 的值，即可解题．
解： 是完全平方式，
，
解得 ，
是完全平方式，
，
有 ，
故选：D．
【6-2】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在
中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，它揭示了 （n为非负整数）展
开式的项数及各项系数有关规律，如下：
……
则 展开式中所有项的系数和是（ ）
A．2048 B．1024 C．0 D．
【答案】C
【分析】本题考查了数字类规律探索，展开式中所有项的系数和，当 为奇数时，展开后项数为偶数，且
互为相反数，由此即可得．解：依题意，
当 时，各项系数为 ，其和为 ，
当 时，各项系数为 ，其和为 ，
当 时，各项系数为 ，其和为 ，
……
观察规律可得当 为奇数时，展开后项数为偶数，各项系数对称出现，且互为相反数，则 展开式
中所有项的系数和是 ，
故选：C．
【6-3】（23-24七年级下·内蒙古包头·期中）下列说法；①若 ， 则 ；②若 ，
则 ；③若 ，则 ；④若 ，则 ．其中正确的说法是
．
【答案】②③④
【分析】本题主要考查了幂的运算的逆用和利用完全平方公式、平方差公式变形求值，熟练掌握相关运
算法则和运算公式是解题关键．①根据 ，即可判断；②根据 ，即可判
断；③由 ，即可判断；④由 ，
易知 ，进而可得 ，即可判断．
解：∵ ， ，
∴ ，故①错误；
∵ ， ，
∴ ，故②正确；
∵ ，则 ，故
③正确；
∵ ，
∴ ，即 ，∴ ，故④正确．
故答案为：②③④．
【6-3】（24-25九年级上·河北邢台·期中）如下所示可将 转化为方程 ，我们规定：方
程 称为 的还原方程．
去分母，
移项，
两边平方，
整理，
则 的还原方程是 ．
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根的性质，完全平方公式．依照例题计算即可求解；
解∶ ，
去分母， ，
移项， ，
两边平方， ，
整理， ，
故答案为∶ ．
【考点7】因式分解
【7-1】（24-25八年级上·山东烟台·期中）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了用公式法分解因式、有理数的乘方．首先把等式 的左边分解因式可得： ，从而可得 ，然后整体代入求值即可 ．
解：
整理得： ，
分解因式可得： ，
，
．
故选：C．
【7-2】（2024八年级上·全国·专题练习）若 ，则 的值与
的公因式为（ ）
A．a B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查整式的加减和公因式的概念，掌握公因式的概念是解题的关键．
根据合并同类项，可化简整式，根据公因式是每项都含有的因式，可得答案．
解： ，
，
的值与 的公因式 ，
故选：D．
【7-3】（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）已知 ， 则 = .
【答案】13【分析】本题主要考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式是关键．先求出 ，进而利用完全
平方公式得到 ，据此利用整体代入法求解即可．
解： ，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：13．
【7-4】（22-23八年级下·四川成都·期中）因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，是解决许多数
学问题的有力工具，七中育才帅虎同学设计了一种“因式分解密码”：对多项式 进行因式分解
得到 ，若取 ，则2→2，x→12，y→7， →14，可得密码为 ，对于代数
式 ，若取 ，可能得到的密码是 ．（写出满足条件的一个答案
即可）
【答案】 （答案不唯一）
【分析】对多项式进行因式分解，然后分别求出每个式子的值，然后组成密码即可．
解：
当 时，
即3→3，a→15， →3， →11，可得密码为： ．
故答案为： （答案不唯一）
【点睛】本题考查了因式分解的应用，通过因式分解，得到对应的结果是解题的关键．
【考点8】分式的运算与化简
【8-1】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）已知 ， ，那么 的值为（ ）
A．2 B． C．7 D．0
【答案】B
【分析】本题考查分式的加减法，乘法运算，平方差公式的应用．先计算出 ，将
变形为 ，再整体代入计算即可．
解： ， ，
，
，
故选：B．
【8-2】（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图是某同学分式化简的部分计算过程，其中“ ”不
小心被老师擦去了，则被擦去的部分是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】本题考查分式的混合运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
解：被擦去的部分是
，
故选B．
【8-3】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）对于正数x，规定 ，则
的值为 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，分式的加减计算，正确理解题意得到
是解题的关键．根据已知规定，可得 ，进而可以解决问题．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴，
故答案为： ．
【8-4】（2024八年级上·全国·专题练习）已知分式 可以表示为 的形式，则 ．
【答案】
【分析】本题考查分式的加减运算，将分式转化为： 的性质，再将 转化为：
的形式，进行计算即可．
解：
，
∴ ；
故答案为： ．
【考点9】分式方程的增根与无解
【9-1】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）分式方程 有增根，则 的值为（ ）
A． 和 B． C． 和−2 D．
【答案】D
【分析】本题考查了解分式方程，首先整理分式方程得到 ，根据分式方程有增根，可知x=1或
，把x=1或 代入 求出 的值为 或 ，当 时可得原方程为 ，此方程无
解，所以应舍去．解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项、合并同类项得： ，
，
分式方程 有增根，
或 ，
当x=1时 ，
当 时 ，
当 时，原方程为 ，此方程无解，
故 舍去，
的值为 ．
故选：D．
【9-2】（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知关于 的分式方程 无解，则所有满足条件
的整数 的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先把分式方程中的分母分解因式，再把分式方程化成整式方程，解方程求出 ，然后根据分式方
程无解，分整式方程无解和分式方程无解两种情况，列出关于 的方程，解方程求出 即可．本题主要
考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握把分式方程化成整式方程．
解：∵ ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
则 ，∴ ，
即 ，
关于 的分式方程 无解， ， ，
解得： ， ，
或 ，
解得： 或 ，
所有满足条件的整数 为 或 或0，共3个，
故选：C．
【9-3】（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）对于实数x，y定义一种新运算“*”： ，例如：
，则分式方程 无解时，m的值是 ．
【答案】0或
【分析】本题考查解分式方程，理解题意新定义，熟练掌握分式方程无解的等价条件是解答的关键．根
据题中运算法则列出分式方程，然后化为整式方程，根据分式方程解的情况分类求解即可．
解：根据题意， 可化为 ，
化为整式方程为： ，
当 时，整式方程 无解，即原分式方程无解；
当 时，整式方程 的解为 ，
∵当 时，分式方程无解，
∴ ，则 ，
综上，当 或 时，原分式方程无解，
故答案为：0或 ．
【9-4】（23-24八年级上·河北衡水·期中）已知 ．
（1）若关于 的方程 有增根，则 的值是 ；
（2）若 为整数，当 时， 的所有整数值的和为 ．【答案】
【分析】本题考查了分式方程增根问题，分式的值为整数，将分式方程化为整式方程是解题的关键．
（1）方程两边都乘以最简公分母 ，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简
公分母等于0的未知数的值求出的x的值，然后代入进行计算即可求出 的值；
（2）先化简分式为 ，再根据 为整数， 为整数，从而可以确定 的值，从而可得答案．
解：（1）
方程两边都乘以 得，
，
分式方程有增根，
，
解得 ，
，
解得 ；
故答案为：3
（2）∵ ，
∴
；
∵ 为整数， 为整数，
∴ ， ，
解得： 或 或 或 ；
此时对应的 为0或4或1或3，
∴ 的所有整数值的和为 ；故答案为：8
【考点10】分式方程的解的情况求参数
【10-1】（2024八年级上·全国·专题练习）关于x的分式方程 的解是负数，则a的取值范
围是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
【答案】C
【分析】本题考查分式方程的解．去分母，方程两边同时乘以 ，得 ，则
，再根据该方程的解是负数得 ，然后根据 是该方程的增根得出 ， ，据此
可得a的取值范围．
解： ，
去分母，方程两边同时乘以 ，得： ，
解得： ，
∵该方程的解是负数，
∴ ，
解得： ，
∵ 是该方程的增根，
∴ 时， ，解得： ，
当 时， ，解得： ，
综上所述：a的取值范围是： 且 ．
故选：C．
【10-2】（24-25八年级上·北京·阶段练习）若关于 的分式方程 的解是正数，则 的取值
范围为（ ）
A． B． C． 且 D． 且【答案】D
【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的范围，先求出分式方程的解，根据解为正数，且分
式有意义，得到不等式，进行求解即可．
解： ，解得： ，
由题意，得： 且 ，
∴ 且 ，
解得： 且 ；
故选D．
【10-3】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）若关于 的不等式组 有解，关于 的分式方程
有非负数解，则符合条件的所有整数 的和为 ．
【答案】
【分析】此题考查了不等式组的解和分式方程的解，利用给出的不等式组，可得 的范围，进而得出 的
范围，再利用分式方程的解的特征，得到 的取值范围，再求出符合条件的所有整数 ，然后相加即可得
出答案，解题的关键是掌握解不等式组的步骤，把分式方程化为整式方程．
解： ，
解不等式 得： ，
∵关于 的不等式组 有解，
∴ ，解得 ，
由 ，解得： ，
∵关于 的分式方程 有非负数解，∴ 且 ，
解得： 且 ，
∴ 的取值范围为 且 ，
∴所有整数 为 ， ， ， ，
∴符合条件的所有整数 的和为 ，
故答案为： ．
【10-4】（24-25九年级上·重庆·期中）关于 的一元一次不等式组 至少有2个整数解，
且关于 的分式方程 的解为非负整数，则符合条件的整数 的值之和为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，掌握相应的计算方法是关键．
先解不等式组，确定m的取值范围 ，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得 ，由
分式方程有非负整数解，确定出 的值，即可解答．
解：
解①得： ，
解②得： ，
∴ ，
∵不等式组至少有2个整数解，
∴ ，
解得： ；
，
去分母得： ，解得： ，
∵分式方程的解为非负整数，且
∴ 且 的偶数，
又∵
∴ ，0
∴符合条件的整数 的值之和为 ．
故答案为：2．
【考点11】列分式方程
【11-1】（2024·安徽·模拟预测）为改善生态环境，打造宜居城市，某市园林绿化部门计划植树20万棵，
由于工程进度需要，实际每天植树棵数比原计划增加了 ，结果提前4天完成任务．若设实际每天植
树x万棵，则根据题意可得方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设实际每天植树x万棵，则原计划每天植树 万棵，
根据“提前4天完成任务”列出方程即可．
解：设实际每天植树x万棵，则原计划每天植树 万棵，
根据题意可得方程为 ，
整理为： ，
故选：A．
【11-2】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一
道题大意为：把一份文件送到900里外的城市，若用慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；若用快马送，需要的时间比规定的时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为 ，
其中x表示（ ）
A．快马的速度 B．慢马的速度 C．规定的时间 D．快马需要的时间
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识．根据各数量之间的关系及所列方程，找
出x的意义是解题的关键．
由快、慢马的速度间的关系，结合所列的方程，可得出 表示慢马的速度， 表示快马的速度，结
合快、慢马所需的时间与规定时间之间的关系，可得出表示x规定的时间，
解：已知快马的速度是慢马的2倍，根据题意列方程为 ，
∴ ，
∴ 表示慢马的速度， 表示快马的速度，
∵需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所的时间比规定时间少3天，
∴x表示规定的时间，
故选：C．
【11-3】（2024·广东深圳·模拟预测）畅达绿脊蓝湾美城，趣享山海户外天堂．从2022年，深圳市政府工
作报告明确提出，打造“鹏城万里”多层次户外休闲步道体系建设，全面进入建设“超1000公里远足径
郊野径体系”的实施阶段．需要铺设一段全长为1000公里的绿道，为了尽量减少施工对城市交通所造成
的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加 ，结果提前30天完成这一任务．设原计划每天铺设x
公里绿道，则根据题意，下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．根据实际及原计划工作效率间的关系，可得出实际每天铺设 米管道，利用工作时间=工作总量÷
工作效率，结合实际比原计划提前30天完成这一任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
解：∵实际施工时每天的工效比原计划增加 ，且原计划每天铺设x米管道，
∴实际每天铺设 米管道．
根据题意得：
故选：C．
【11-4】（23-24八年级下·河南平顶山·期末）某地为了处理污水，需要铺设一条长4000米的管道，为了
尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成了任务．小
明根据题意列出了一个分式方程： ，则这个方程中的x表示的是（ ）
A．实际每天铺设的管道长度 B．实际施工的天数
C．原计划每天铺设的管道长度 D．原计划施工的天数
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，准确理解分式方程中各数字代表的含义是解题的关键，根据每天铺设的管道长
度 管道总长度 铺设天数理解分式方，程即可解题．
解：由题知：实际施工时每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成了任务，
结合 ，
可知： 为实际施工每天铺设的管道长度， 为原计划每天铺设的管道长度，
每天铺设的管道长度 管道总长度 铺设天数，
为实际施工的天数， 为原计划施工的天数，
故选：D．
二、解答题（常考综合题）
【考点12】乘法公式的运算
【12-1】（24-25八年级上·重庆·期中）计算：
(1) (2)【答案】(1) (2)
【分析】此题考查了整式的混合运算，平方差公式，完全平方公式以及单项式乘多项式，熟练掌握公式
及法则是解本题的关键．
（1）利用单项式乘多项式，以及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果；
（2）利用多项式乘多项式，以及完全平方公式化简，再合并同类项即可．
解：（1）原式
（2）解：原式
【12-2】（23-24八年级上·辽宁大连·期末）计算
(1) ； (2) ．
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查乘法公式，幂的运算，解题的关键是掌握整式乘法运算法则．
（1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方，积的乘方的运算法则计算即可；
（2）根据乘法公式计算即可．
解：（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【考点13】乘法公式的化简求值
【13-1】（24-25八年级上·河南信阳·期末）已知，代数式 ．
(1)化简代数式A；(2)若 是一个完全平方式，求A的值．
【答案】(1) (2)10．
【分析】本题主要考查了乘法公式，熟练掌握完全平方公式，平方差公式，整式的加减，是解题关键．
（1）根据完全平方公式，平方差公式，去括号，合并即得；
（2）根据完全平方式特征，知 ，得 ，代入A即可求解．
解：（1）
；
（2） 是一个完全平方式，
，
，
．
【13-2】（24-25八年级上·全国·期末）化简求值
(1)已知 ，求 的值；
(2)先化简后求值： ，其中 ．
【答案】(1)4 (2) ，
【分析】此题考查整式的混合运算－化简求值，解题关键在于对原式进行化简再代入已知值．
（1）将所求式子化简，结果为 ，再将已知条件整体代入该式即可．
（2）先利用乘法公式对括号内的式子化简，再利用多项式除以单项式的计算方法化简，然后利用非负数
的性质求得 ， 的值，代入求解即可．
解：（1），
当 时，原式 ；
（2）
，
∵ ，
∴ ， ，
∴原式 ．
【考点14】因式分解
【14-1】（24-25八年级上·全国·期末）分解因式：
(1) ； (2) ．
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式或完全平方公式公式
进行二次分解是解题的关键，注意要分解彻底．
（1）先提取公因式 ，然后利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因式 ，然后利用完全平方公式分解因式即可．
解：（1）原式 ；
（2）原式．
【14-2】（23-24八年级上·湖北恩施·期末）计算或因式分解：
(1)计算： ； (2)计算： ；
(3)因式分解： ； (4)因式分解： ．
【答案】(1) (2) (3) (4)
【分析】此题考查了整式乘法的混合运算，多项式除以单项式，因式分解，解题的关键是熟练掌握以上
运算法则．
（1）根据乘法公式展开，再合并求解即可；
（2）利用多项式除以单项式运算法则求解即可；
（3）利用完全平方公式分解因式即可；
（4）利用提公因式法分解因式即可．
解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．【考点15】分式的运算
【15-1】（23-24八年级上·江苏苏州·期末）计算：
(1) (2) ．
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查了分式的混合运算，需掌握的知识点：分式的混合运算的顺序和法则，分式的约分、
通分，以及因式分解；熟练掌握分式的混合运算顺序和因式分解是解决问题的关键．
（1）首先通分计算括号里面，进而根据分式的除法运算计算即可；
（2）根据分式的加减乘除混合运算顺序进行计算，注意进行约分
解：（1）原式 ，
；
（2）原式
．
【15-2】（23-24八年级下·江苏常州·期末）计算：(1) ； (2) ．
【答案】(1) (2)1
【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是：
（1）利用同分母分式相加法则计算即可；
（2）先计算括号内，同时把除法转化为乘法，最后约分化简即可．
解：（1）原式
；
（2）原式 ．
．
【考点16】分式的化简求值
【16-1】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）先化简，再求值： ，再从 ，
，0，1，2中取一个数代入求值其中．
【答案】 ，当 时，原式
【分析】本题考查了分式的化简求值．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式
约分化简，最后把合适的所给字母的值代入计算．
解：，
由题意： 、 、 ，
故a取1，当 时，
原式 ．
【16-2】（23-24八年级下·全国·期末）先化简，再求值： ，其中x满足
【答案】 ，1．
【分析】本题考查分式的化简求值，先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的，最后利
用整体思想代入求值，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
解：原式
，
，
∴原式 ．
【考点17】解分式方程
【17-1】（24-25八年级上·山东济宁·期中）解分式方程：
(1) (2)【答案】(1) ； (2)分式方程无解．
【分析】（ ）先将分式方程两边同时乘以 化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检
验即可求解；
（ ）先将分式方程两边同时乘以 化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解；
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键．
解：（1） ，
，解得： ，
检验：当 时， ，
∴分式方程的解为： ；
（2） ，
，解得： ，
当 时， ，
∴分式方程无解．
【17-2】（24-25八年级上·北京顺义·期中）解方程
(1) (2)
【答案】(1)无解 (2)
【分析】本题考查了分式方程的解法，熟悉掌握分式方程的运算法则是解题的关键．
（1）根据分式方程的运算法则进行运算即可；
（2）根据分式方程的运算法则进行运算即可；
解：（1）
解：整理可得： ，
所有项同乘 可得： ，
移项可得： ，
合并可得： ，
系数化为 可得： ，
检验：把 代入 可得： ，∴此方程无解；
（2）
解：整理可得： ，
所有项同乘 可得： ，
移项可得： ，
合并可得： ，
系数化为 可得： ，
检验：把 代入 可得： ，
∴ 是原方程的解．
【考点18】全等三角形
【18-1】（24-25八年级上·全国·期末）如图所示，已知 ， ，点E在 上．
(1)判断点A是否在 的平分线上，并说明理由；
(2)当 时，求 的长度．
【答案】(1)点A是否在 的平分线上，理由见解析
(2) ．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．
（1）利用 证明 ，得到 ，即可判断点A是否在 的平分线上；
（1）由得到 ， ， ，再利用 证明 ，即可得
到结论．
解：（1）解：∵ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴点A是否在 的平分线上；
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
【18-2】（24-25八年级上·云南曲靖·期末）以点A 为顶点作两个等腰直角三角形（ ， ），
如图1所示放置，使得一直角边重合，连接 ， ．
(1)求证： ．
(2)延长 ，交 于点 F，求 的度数．
(3)若按图2放置，试探究 与 之间的关系．（只写结论，不必说明理由）
【答案】(1)见解析 (2) (3) 且
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质．
（1）根据等腰直角三角形的性质得到 ， ， ，利用“ ”可证
明 ，则 ；
（2）由 得到 ，利用三角形内角和定理可得到
；（3）与（1）一样可证明 ，得到 ， ，利用三角形内角和定理得
到 ．
解：（1）证明：∵ ， 是等腰直角三角形，
， ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
；
（2）解：∵ ，
，
而在 中，
又
；
（3）解： 且 ，理由如下：
如图2，
∵ ， 是等腰直角三角形
， ， ，
，
在 和 中，，
∴
， ，
，
，
∴ ，
∴ 与 之间的关系为： 且 ．
【考点19】轴对称
【19-1】（24-25九年级上·全国·期末） 与 都是以点A为顶角的等腰三角形，且
， ， 的延长线交 于点F，
(1)求证： ；
(2)探究线段 与 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析 (2) ，见解析
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形
全等的判定方法．
（1）证明 ，得出 ，即可得出答案；
（2）在 上取点N，使 ，根据等腰三角形性质得出 ，证明 ，
，得出 ，即可证明 ，得出答案即可．
解：（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ 与 都是以点A为顶角的等腰三角形，
∴ ， ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）在 上取点N，使 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中
，∴ ，
∴ ，
即 ．
【19-2】（23-24八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在四边形 中， ，过点B作
，垂足为点E，过点A作 ，垂足为点F，且 ．
(1) °；
(2)求证： ；
(3)连接 ，且 平分 交 于点G．探究 的形状并说明理由．
【答案】(1)180 (2)见解析 (3) 是等腰三角形，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定．
（1）易得 ，根据四边形内角和即可解答；
（2）通过证明 ，即可求证；
（3）先证明 ，通过证明 ，得出 ，则 ，进而得出
，即可得出结论．
解：（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：180．
（2）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，在 和 中，
∴ ，
∴ ；
（3）解： 是等腰三角形，理由如下：
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 等腰三角形．
三、选择填空题（压轴题）
【考点20】几何中折叠问题
【20-1】（24-25八年级上·湖北荆门·期中）如图，在 中， ， ， ，
的平分线交 于点E，且 ．将 沿 折叠使点C与点E恰好重合，① ；②点
E到AC的距离为8；③ ；④ ，以上结论正确的个数是（ ）A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质可判断①；根据角平分线的性质可判断②；由折叠的性质及和角关系、
三角形内角和可判断③；由 ，得 ，即可判断④．
解：∵ ， ， ，
∴ ；
故①正确；
如图，过点E作 ，垂足分别为F，H，
∵ 平分 ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ 平分 ，
∴ ,
即点E到AC的距离为8；
故②正确；
由折叠知， ；
∵ ，
同理， ，
∴；
故③正确；
∵ ，
即 ，
∴ ，
∴ ；
故④正确；
综上，正确的有4个；
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质，折叠的性质，三角形内角和，高相
等的两个三角形面积的比等于底边的比，掌握以上知识是解题的关键．
【20-2】（2022·浙江台州·模拟预测）如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到
△ECF．若BC＝1，则△ECF的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】第一次翻折可得 ，EM=1，∠ADM=∠EDM=45°，第二次折叠，可得 ，
，由∠DCN=45°，可得 ，则 ，再求 的周长即可．
解：如图，第一次折叠，如图②，
，
，
，
由折叠的性质， ，
，
第二次折叠，如图③， ， ，
，
，
，
，
，
，
的周长 ，
故选：A．
【点睛】本题考查翻折的性质，熟练掌握翻折的性质，对应两次翻折求出∠EDM=45°是解题的关键．
【20-3】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，将笔记本活页一角以 为折痕折叠，使所折部分与活
页在同一平面内，其中 ．现将图中的另一角 的边BD沿着过点 的直线折叠，折痕为
，点 在活页纸边 上(边 足够长)，点 的对应点 也落在活页的同一平面内．若 ，
则 (用含 的代数式表示)．【答案】 或
【分析】此题主要考查了角的计算，折叠问题，依题意有以下两种情况：①点 落在 的右侧时，②
当点 落在 的左侧时，分别画出图形，根据折叠的性质以及三角形内角和定理，即可求解．
解：依题意有以下两种情况：
①点 落在 的右侧时，如图 所示：
由折叠的性质得： ， BD，
，
，
，
，
；
②当点 落在 的左侧时，如图 所示：由折叠的性质得： ， BD，
，
，
，
，
，
' ．
综上所述： 或 ．
故答案为： 或 ．
【20-4】（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在四边形纸片 中， ，将纸片沿 折叠，
点A、D分别落在 、 处，且 经过点B， 交BC于点G，连结 ， 平分 ．若
， ，则 的度数是 ．
【答案】130【分析】设 ，根据角平分线的定义以及平角的定义推出 ，再由折叠的性质得
出 ，根据 ，得 ，最后根据 ，即可求解．
解：设 ，
∵ 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
由折叠的性质得： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：130．
【点睛】本题主要考查了图形的折叠及其性质，角平分线的定义，平行线的性质，准确识图，熟练掌握
折叠的性质，平行线的性质是解决问题的关键．
【考点21】几何中最值问题
【21-1】（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在等腰 中，在 、 上分别截取 、 ，
使 ．再分别以点 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点 ，作射线
，交 于点 ．已知 ， ， ．若点 、 分别是线段 和线段 上
的动点，则 的最小值为（ ）A．10 B．12.8 C．12 D．9.6
【答案】D
【分析】过点 作 于点 ，交 于点 ，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出 ，然后
根据 ，可得 ．作点 关于 的对称点交 于点 ，连接 ，可
得 ，根据垂线段最短，当点 、 分别在 、 位置时， 最小，进而可以解决
问题．
解：如图，过点 作 于点 ，交 于点 ，
由作图可知， 平分 ，
，
，
，
， ， ， ，
，
， ，作点 关于 的对称点交 于点 ，连接 ，
，
，
当点 、 分别在 、 位置时， 最小，
则 的最小值为 的长 ．
故选：D．
【点睛】本题考查尺规作 作角平分线，利用轴对称求最短距离问题，垂线段最短，等腰三角形的性质，
三角形的面积等知识，解题关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【21-2】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知在 中， ，点 为直角边
的中点，点 为 形内的一个动点，点 为 的中点，若 ， ， ，当
取得最小值时， 的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取 的中点 ，连接 ，证明 可得 ，从而可判断当点 ， ，
共线时 最短，然后证明是 等腰直角三角形即可．
解：如图 ，取 的中点 ，连接 ，
∵ ，点 为 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，点 为 的中点，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当点 ， ， 共线时最短．
如图 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
故选： ．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，等腰直角三角形的判定与性质，正
确作出辅助线是解题的关键．
【21-3】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，在 中， ， ，
， ， 是 的平分线，若 ， 分别是 和 上的动点，则 的最小值是
．
【答案】
【分析】在 边上截取 ，连接 ， ，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，由角平分线的定义及已知条件易证得 ，于是有
，因而 ，由三角形三边之间的关系可得 ，由垂线段最短可
得 ，于是可得 ，即 的最小值等于 （当点 位于点 且点 位于点
时， 取得其最小值 ），然后利用三角形的面积公式即可求得 ，于是得解．
解：如图，在 边上截取 ，连接 ， ，过点 作 交 于点 ，交 于点
，过点 作 于点 ，
是 的平分线，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
即： ，
的最小值等于 ，
交 于点 ，
，
是 的平分线，且 ， ，
，，
当点 位于点 且点 位于点 时， 取得其最小值 ，
， ， ， ，
又 ，
，
即： 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形三边之间的关系，垂线段
最短，角平分线的性质定理，三角形的面积公式等知识点，巧妙添加辅助线，找出 有最小值时
点 和点 的位置是解题的关键．
【21-4】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，直线 ，垂足为O，点A是射线 上一
点， ，以 为边在 右侧作 ，且满足 ，若点B是射线 上的一个动点（不
与点O重合），连接 ．作 的两个外角平分线交于点C，在点B在运动过程中，当线段 取最
小值时， 的度数为 ．
【答案】 /65
【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，垂线段最短等知识，由角平分线想到作垂线是解题的关键．
作 于E， 于G， 于H，连接 ，由角平分线性质定理得 ，
再由角平分线的判定知，点C在 的平分线上，则可求得 ；当 ′于 ，则
，即 的最小值为 ，此时点C与 重合，从而求得此时 的度数．
解：如图，作 于E， 于G， 于H，连接 ，∵ 平分 ， ，
∴ ，
同理可得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ 平分 ，即点C在 的平分线上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
如图，作 于 ，则 ，
即 的最小值为 ，此时点C与 重合，
∴ ，
∴ ，
∴当线段 取最小值时， 的度数为 ，
故答案为： ．
【考点22】几何中动点问题
【22-1】（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图， 的两条高 与 交于点 ， ，
．点 在射线 上，且 ，动点 从点 出发，沿线段 以每秒 个单位长度的速度向
终点 运动，同时动点 从点 出发，沿射线 以每秒 个单位长度的速度运动，当点 到达点 时，
， 两点同时停止运动，设运动时间为 秒，当 与 全等时，则 的值为（ ）A． 秒 B． 秒 C． 秒或 秒 D． 秒或 秒
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
分情况讨论点分别点 在 延长线上或在 之间时， ，根据对应边相等，解一元一次
方程求得 值即可选出结果．
解：①当点 在 延长线上时：设 秒时， 、 分别运动到如图位置， ．
，
∵ ， ，
∴当 时， ，
∵ ， ，
∴ ，
解得 ．
②当点 在 之间时：设 秒时， 、 分别运动到如图位置， ．
∵ ， ，
∴当 时， ，
∵ ， ，∴ ，
解得 ．
综上， 或 ，
故选D．
【22-2】（18-19八年级上·江苏无锡·期中）如图，AO OM，OA=8，点B为射线OM上的一个动点，分别
以OB、AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，
当点B在射线OM上移动时，PB的长度是 ( )
A．3.6 B．4 C．4.8 D．PB的长度随B点的运动而变化
【答案】B
【分析】作辅助线，首先证明△ABO≌△BEN，得到BO=ME；进而证明△BPF≌△MPE，即可解决问题．
解：如图，过点E作EN⊥BM，垂足为点N，
∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°，
∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°，
∴∠BAO=∠NBE，
∵△ABE、△BFO均为等腰直角三角形，
∴AB=BE，BF=BO；
在△ABO与△BEN中，∴△ABO≌△BEN（AAS），
∴BO=NE，BN=AO；
∵BO=BF，
∴BF=NE，
在△BPF与△NPE中，
∴△BPF≌△NPE（AAS），
∴BP=NP= BN；而BN=AO，
∴BP= AO= ×8=4，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构
造全等三角形，灵活运用有关定理来分析或解答．
【22-3】（22-23七年级下·江苏盐城·期末）已知： 中， ， ，D为射线CB上一
动点，连接AD，在直线 右侧作 ，且 ．连接 交直线 于M，若 ，
则 的值为 ．
【答案】 或【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质和线段之间的关系，解题的关键是熟悉全等的性质和分
类讨论思想的应用，当点D在CB的延长线上时，作 ，交 的延长线于点G，利用 可证
明 ，有 ， ，则 ．进一步利用 证明 ，
有 ．设 ，则 ，可求得 ，结合三角形面积公式得
， ，即可求得答案；当点D在线段 上时，同理
可设 ，有 成立，可求得 ，则 ，
即可．
解：点D在CB的延长线上时，作 ，交 的延长线于点G，如图，
则 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ．
当点D在线段 上时，同理可得 ， ， ，
可设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ．
故答案为： 或 ．
【22-4】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图所示，在等腰 中， ，点 为射线 上的动点， ，且 ， 与 所在的直线交于点 ，若 ，则 与
的比值为 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，分两种情况讨论，构造
全等三角形解决问题．
作 ，交 (或 的延长线)于H，利用 证明 ，得 ， ，再
证明 ，得 ，从而解决问题．注意分两种情况讨论，即点D在线段CB外和在
线段CB上．
解：①当点 在线段 的延长线上时，作 ，交 的延长线于点H，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
设 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
∴ ；
当点 在 上时，作 ，交 于点H，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，∴ ， ，
∴ ，
∴
∴ ；
故答案为： 或 ．
【考点23】代数中的规律问题
【23-1】（23-24八年级上·四川眉山·期中）观察下列各式：
；
；
；
…
根据规律计算： 的值是（ ）
A． B． C．
【答案】A
【分析】根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大1，减数
都为1，即可得到规律为 ，利用规律，当 ，
时，代入其中即可求解．
本题考查了平方差公式、及数字类的规律题，解题的关键是认真阅读，总结规律，并利用规律解决问题．
解：由 ；
；
；…
观察发现： ，
当 ， 时，得
，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
【23-2】（23-24九年级上·重庆·阶段练习）在数学学习中，复杂的知识往往都是简单的内容通过一定的规
则演变而来的．例如，对单项式x进行如下操作：规定 ，且满足以下规律
， ， ，…， ，……
， ， ，…， ，……．
， ， ， ，……．其中n为正整数，以此类推．
以下说法：① ；
② ；
③当 时， ；
④当 时， ．
正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据题中的操作步骤，可知 为正整数）是 的 倍， 是 加上 ，再根据 为正整数）与 和 的关系找出规律，即可解决问题．
解：由题知，
， 为正整数），
所以 ．
故①正确．
．
故②错误．
因为 ，
，
，
，
所以当 为奇数，且 时， ，
当 为偶数，且 时， ．
故③错误．
由上面的结论可知，
．
则 ，故 ，
．
所以
．
故④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查实数的计算规律，能根据所给的等式找到 ， 和 的变化规律是解题的关键．
【23-3】（17-18七年级·四川成都·期中）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为
“杨辉三角”，这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，34…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到
小的顺序）；
请依据上述规律，写出 展开式中含x2015项的系数是 ．
【答案】
【分析】本题考查多项式乘法运算、杨辉三角，规律探究等知识，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决
问题，属于中考常考题型．
首先确定 是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题．
解： 展开式中含 项的系数，
由
可知，展开式中第二项为 ，
展开式中含 项的系数是 ，
故答案为： ．【23-4】（19-20九年级上·山东潍坊·期中）下列一组方程：① ，② ，③ ，…小
明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解第①个方程的解为 ；
第②个方程的解为 ；第③个方程的解为 .若n为正整数，且关于x的方程
的一个解是 ，则n的值等于 .
【答案】n的值是10或9．
【分析】根据已知分式方程的变化规律求出该方程的解，再利用已知解题方法得出方程的解．
解：由① =1+2得x=1或x=2；
由② =2+3得x=2或x=3；
由③ =3+4得x=3或x=4，
可得第n个方程为：x+ =2n+1，
解得：x=n或x=n+1，
将 变形，(x+3)+ =2n+1，
∴x+3=n或x+3=n+1，
∴方程的解是x=n-3，或x=n-2，
当n-3=7时，n=10，
当n-2=7时，n=9，
∴n的值是10或9．
【点睛】此题主要考查了分式方程的解，利用已知得出分式方程的解与其形式的规律是解题关键．
四、解答题（压轴题）
【考点24】全等三角形与轴对称探究性问题
【24-1】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在 中， ， ， 为直线上一动点，连接 ．在直线 的右侧作 ，且 ．
观察发现：
（1）如图①，当点 在线段 上时，过点 作 的垂线，垂足为 ，判断线段 与 之间的关系，
并说明理由；
探究迁移：
（2）将如图①中的 ， 连接，交直线 于点 ，我们很容易发现 ．如图②，当点 在线
段 的延长线上时，连接 交直线 于点 ，线段 和线段 之间的关系有没有变化？此时
吗？说说理由．
拓展应用：
（3）如图③，当点 在线段 的延长线上时，当 ， 时，求 和 的面积．
【答案】（1） 且 ，理由见解析；（2）线段 与 之间的关系不变， ，
理由见解析；（3） 和 的面积分别为24和88
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质．通过“同角的余角相等”证明两角相等和灵活运用
“割补法”求三角形面积是解答本题的关键．
（1）通过证明 ，然后根据全等三角形的性质可得 ，再结合两条线段的位
置关系进而得出结论；
（2）先证明 可得线段 和 的关系不变，再证明 ，同样
可得出 ；
（3）由（2）可知， 和 ，可得 ， ， ，易
得线段 和 的长度，进而求出 ；对于 的面积，根据 ，可由
“割补法”得到 ，即可求出答案．解：（1）结论： ， ，理由如下，
根据题意可知 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 和 ，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故线段 与 之间的关系为： 且 ；
（2）结论：线段 与 之间的关系不变， ，理由如下：
从图②可知， ， ，
∴ ，
同理可得， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
故本题结论为： 与 之间的关系不变， ；
（3）如图③，当点 在线段 的延长线上时，同理可得， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
则根据图形面积割补法可得：
，
∴ ，
∴ 和 的面积分别为24和88．
【24-2】（24-25八年级上·四川绵阳·期中）央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到，“数学
区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成
一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题．
(1)【模型探究】如图1， 和 中， ， ，且 ，连接 ， ．
这一图形称“手拉手模型”．求证 ，请你完善下列过程．
证明： ，
．
即 ．在 和 中
（________） ．
(2)【模型指引】如图2， 中， ， ，以 为端点引一条与腰 相交的射线，在
射线上取点 ，使 ，求 的度数．小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在 上
找一点 ，使 ，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程．
(3)【拓展延伸】如图3， 中， ， 为任意角度，若射线 不与腰 相交，而是从
端点 向右下方延伸．仍在射线上取点 ，使 ，试判断 与 有何数量关系？
并写出简要说明．
【答案】(1) ， ； (2)见解析 (3) ；见解析
【分析】（1）由全等三角形的判定可得出结论；
（2）在 上取一点 ，使 ，证明 ，由全等三角形的性质得出
，由三角形内角和定理可得出答案；
（3）在 延长线上取一点 ，使得 ，由全等三角形的性质可得出结论．
解：（1）证明： ，
，
即 ，
在 和 中，
，
，
故答案为： ， ； ；
（2）解：如图2，在 上取一点 ，使 ，， ，
， ，
，
，
，
，
又 ， ， ，
，
设 和 交于点 ，
，
．
（3）解： ．
理由：如图3，在 延长线上取一点 ，使得 ，
同理可证： ，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性
质，证明 是解本题的关键．
【24-3】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）数学活动课上，同学们利用全等三角形的学习经验，对以AB
和 为腰的等腰 ，从特殊情形到一般情形进行如下探究：
【独立思考】
如图 ，在 中， ， ， ， 分别是 ， 上的点，且 ．求证：
；
【实践探究】
如图 ，在等腰 中， ，点 是 上的点，过点 作 于点 ．若 ，
猜想线段 和AD的数量关系，并说明理由；
【问题拓展】
如图 ，在等腰 中， ， ， 分别是 ， 上的点，且 ，当 的值
最小时，则 的度数为 ．
【答案】独立思考：见解析；实践探究： ；问题拓展： ．
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等：
独立思考：先由等边对等角和三角形内角和定理得到 ，再证明 ，
即可证明 ；
实践探究：如图所示，过点 作 于点 ，则 ，由三线合一定理得到 ，
再证明 ，得到 ，即可得到 ．
问题拓展：如图所示，在 下方，过点 作 ，且 ，连接 ．证明，得到 ，则当 ， ， 三点共线时， 的值最小，即 的
值最小，求出 ，得到 ，再由 ，得到 ，即可求出
．
解：独立思考：证明：∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
实践探究：解： ，理由如下：
如图所示，过点 作 于点 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
问题拓展：解：如图所示，在 下方，以点C为顶点，作 ，且 ，连接 ．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
当 的值最小时，即 的值最小，
∴当A，D，P三点共线时， 的值最小，即 的值最小，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【24-4】（23-24八年级上·贵州遵义·期末）【问题情境】【
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1， 平分 ．点 为 上一点，过点 作
，垂足为 ，延长 交 于点 ，可根据______证明 ≌ ，则 ，
（即点 为 的中点）．
【类比解答】
如图2，在 中， 平分 ， 于 ，若 ， ，通过上述构造全等
的办法，可求得 ______．
【拓展延伸】
如图3， 中， ， ， 平分 ， ，垂足 在 的延长线上，试
探究 和 的数量关系，并证明你的结论．
【实际应用】
如图4是一块肥沃的三角形土地，其中 边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地
进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取 的角平分线 ；②过点 作 于 ．已
知 ， ， 面积为26，则划出的 的面积是多少？
【答案】[问题情境] ；[类比解答] ；[拓展延伸] ，证明见解析；[实际应用] 的面
积是10
【分析】[问题情境]证 ，得 ， 即可；
[类比解答]延长 交 于点 ，由[问题情境]可知， ，再由等腰三角形的在得
，然后由三角形的外角性质即可得出结论；[拓展延伸]延长 、 交于点 ，证 ，得 ，再由[问题情境]可知，
，即可得出结论；
[实际应用]延长 交 于 ，由[问题情境]可知， ， ，则 ，再由三
角形面积关系得 ，再求解即可得出结论．
解：[问题情境] 平分 ，
，
，
，
，
，
， ，
故答案为： ；
[类比解答]
如图2，延长 交 于点 ，
由[问题情境]可知， ，
，
，
，
故答案为： ；
[拓展延伸]
，证明如下：
如图3，延长 、 交于点 ，则 ，
，
，
，
，
又 ，
，
，
由[问题情境]可知， ，
；
[实际应用]
如图4，延长 交 于 ，
由[问题情境]可知， ， ，
，
∵ ，
，，
答： 的面积是10．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角
性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形
全等是解题的关键，属于中考常考题型．
