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第 02 讲 用样本估计总体 (精练）
A 夯实基础 B 能力提升 C 综合素养
A 夯实基础
一、单选题
1．（2022·全国·高一单元测试）新莽铜嘉量是由王莽国师刘歆等人设计制造的标准量器，它包括了龠
（yuè）､合､升､斗､斛这五个容量单位.每一个量又有详细的分铭，记录了各器的径､深､底面积和容积.现根
据铭文计算，当时制造容器时所用的圆周率分别为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031，比《周髀算经》的
“径一而周三”前进了一大步，则上面4个数据与祖冲之给出的约率（ ）､密率（
）这6个数据的中位数与极差分别为（ ）
A．3.1429，0.0615 B．3.1523，0.0615 C．3.1498，0.0484 D．3.1547，0.0484
【答案】B
【详解】所给6个数据由小到大排列依次为3.1416，3.1429，3.1498，3.1547，3.1992，3.2031，
所以这6个数据的中位数为 ，
极差为 ，
故选：B.
2．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知甲、乙两组按从小到大顺序排列的数据：甲组：
14，30，37， ，41，52，53，55，58，80；乙组：17，22，32， ，45，47，51，59．若甲组数据的第
30百分位数和乙组数据的中位数相等，则 等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【详解】因为 ，甲组数据的第30百分位数为第三个数和第四个数的平均数，乙组数据的中位
数为第四个和第五个数的平均数，根据题意可得 ，解得 ．
故选：B
3．（2022·全国·高一课时练习）已知某6个数据的平均数为4，方差为8，现加入数据2和6，此时8个数
据的方差为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】B
【详解】设原数据为 ，则 ，
加入数据2和6，后，所得8个数据的平均数 ，方差 ．
故选：B．
4．（2022·新疆·和硕县高级中学高一期末）某班数学兴趣小组组织了线上“统计”全章知识的学习心得交
流：
甲同学说：“在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和小于1”；
乙同学说：“简单随机抽样因为抽样的随机性，可能会出现比较‘极端’的样本．相对而言，分层随机抽
样的样本平均数波动幅度更均匀”；
丙同学说：“扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例”；
丁同学说：“标准差越大，数据的离散程度越小”．
以上四人中，观点正确的同学个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】“在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1”，故甲的观点错误；
“简单随机抽样因为抽样的随机性，可能会出现比较‘极端’的样本，相对而言，分层随机抽样的样本平
均数波动幅度更均匀”，故乙的观点正确；
“扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例”，故丙的观点正确；
“标准差越大，数据的离散程度越大”，故丁的观点错误.
故选：B
5．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））为了解学生参加知识竞赛的情况，随机抽样了甲、乙
两个小组各 名同学的成绩，得到如图的两个频率分布直方图，记甲、乙的平均分分别为 、 ，标准
差分别为 、 ，根据直方图估计甲、乙小组的平均分及标准差，下列描述正确的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【详解】 ，
，
故 ；由频率分布直方图知甲小组数据更集中，乙小组的更分散，
故 ；
故选：A
6．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高一期末）关于用统计方法获取数据，分析数据，下列结论错误的
是（ ）
A．某食品加工企业为了解生产的产品是否合格，合理的调查方式为抽样调查
B．为了解高一学生的视力情况，现有高一男生480人，女生420人，按性别进行分层抽样，样本量按比
例分配，若从女生中抽取的样本量为63，则样本容量为135
C．若甲､乙两组数据的标准差满足 则可以估计乙比甲更稳定
D．若数据 的平均数为 ，则数据 的平均数为
【答案】C
【详解】对于A，了解生产的产品是否合格，合理的调查方式为抽样调查，故A正确；
对于B，根据分层抽样抽样比可知，样本容量为 ，故B正确；
对于C，因为 ，所以甲的数据更稳定，故C不正确；
对于D，因为数据 的平均数为 ，
所以 ，
所以数据 的平均数为
，故D正确.
故选：C.
7．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一阶段练习）甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次（骰子每次出现的
点数可能为1，2，3，4，5，6），并分别记录每次出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别
做了如下描述：①中位数为3，众数为5；②中位数为3，极差为3；③中位数为1，平均数为2；④平均数
为3，方差为2；可以判断一定没有出现6点的描述共有（ ）
A．1人 B．2人 C．3人 D．4人
【答案】B
【详解】①5出现两次，又中位数为3，则数据从小到大为{m,n,3,5,5}，一定没有6；
②中位数为3，极差为3，则数据从小到大为{1,m,3,n,4}、{2,m,3,n,5}、{3,3,3,m,6}，故可能出现6；
③中位数为1，平均数为2，则数据从小到大为{1,1,1,m,n}，即 ，故可能出现6；
④平均数为3，方差为2，则满足要求且含6的数据从小到大为{a,b,c,d,6}，故 且
、 ，显然不能同时满足，故一定没有6.
综上，①④一定没有6.故选：B
8．（2022·山东烟台·高一期末）某零件加工厂认定工人通过试用期的方法为：随机选取试用期中的5天，
再从每天生产的零件中分别随机抽取25件，要求每天合格品均不低于22件．若甲、乙、丙三人在其5天
抽检样本中的合格品件数统计如下，甲：中位数为24，极差不超过2；乙：平均数为23，方差不超过1；
丙：众数为23，方差不超过1，则一定能通过试用期的有（ ）
A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙
【答案】A
【详解】对于甲：由甲的统计数据可知，甲至少有3天的合格品数不低于24，最低合格品数不低于2，所
以甲一定能通过；
对于乙：设乙每天的合格品件数为 ，则 ，
即 .若乙有不止一天的合格品数低于21， ，不合题意；
若乙只有一天的合格品数低于22，不妨取 ， ，因为平均数为23，则至少有一天的合格
品数为25或至少有两天的合格品数为24，无论哪种情况，都可以得到 ，不合题意，所以乙
的每一天的合格品数都不低于22，乙一定能通过；
对于丙：若丙的合格品数为21，22，23，23，23，则丙的众数为23，方差为0.64，符合丙的统计数据，但
丙不能通过；
所以甲、乙一定能通过，A正确；
故选：A.
二、多选题
9．（2022·全国·高一单元测试）已知一组样本数据 ， ，…， ，由这组数据得到新样本数据 ， ，
…， ，其中 （ ）， 为非零常数，则这两组样本数据的数字特征相同的是（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．极差
【答案】BD
【详解】对于A，原样本数据的平均数 ，新样本数据的平均数
（ ），所以A错误；
对于B，原样本数据的方差 ，新样本数据的方差为
所以B正确；对于C，设样本数据 ， ，…， 的众数为 ，则新样本数据 ， ，…， 的众数为 （
），所以C错误；
对于D，不妨设样本数据 ， ，…， 中 ， 分别为最小值和最大值，极差为 ，则新样本数据
， ，…， 中 ， 分别为最小值和最大值，极差为 ，所以D正确；
故选：BD.
10．（2022·广东茂名·高二期末）冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会.自1924年起，
每四年举办一届.2022年2月在北京举办了第24届冬季奥林匹克运动会，为了宣传奥运精神，红星实验学
校组织了甲乙两个社团，利用一周的时间对外进行宣传，将每天宣传的次数绘制成如下频数分布折线图，
则（ ）
A．甲社团宣传次数的众数小于乙社团宣传次数的众数
B．甲社团宣传次数的极差大于乙社团宣传次数的极差
C．甲社团宣传次数的平均数大于乙社团宣传次数的平均数
D．甲社团宣传次数的方差大于乙社团宣传次数的方差
【答案】ABD
【详解】观察每天宣传的次数频数分布折线图，
甲社团宣传次数的众数、乙社团宣传次数的众数分别为2，3，A正确；
甲社团宣传次数的极差、乙社团宣传次数的极差分别为3，2，B正确；
甲社团宣传次数的平均数 ，乙社团宣传次数的平均数
，C不正确；
甲社团宣传次数的方差 ，
乙社团宣传次数的方差 ，D正确.
故选：ABD
三、填空题
11．（2022·全国·高一单元测试）已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，
11，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失的数据可能是___________.（答案不唯一，写出一个即可）
【答案】 10（或4或18）
【详解】3+3+5+3+6+11=31.设丢失的数据为x，则这七个数据的平均数为 ，众数是3.
∵这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，
∴若x≤3，则中位数为3，此时 ，解得x= 10；
若3
