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专题 01 一元二次方程（考点清单，4 个考点清单+12 种题型解读）【清单01】一元二次方程的有关概念
1. 一元二次方程的概念：
通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二
次方程．
2. 一元二次方程的一般式：
3.一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
解题策略：
判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再
将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为
2.
对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．
【清单02】一元二次方程的解法
1．基本思想
降次
一元二次方程 一元一次方程
2．基本解法
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
解题策略：
解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解
法，再考虑用公式法．
【清单03】一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1.一元二次方程根的判别式
ax2 bxc 0(a 0) b2 4ac ax2 bxc 0(a 0)
一元二次方程 中， 叫做一元二次方程 的根
的判别式，通常用“”来表示，即 b2 4ac
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；
（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.
2.一元二次方程的根与系数的关系
ax2 bxc 0(a 0) x，x
如果一元二次方程 的两个实数根是 1 2，
b c
x x x x
那么 1 2 a ， 1 2 a .
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
解题策略：
ax2 bxc 0(a 0)
1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：
(1)不解方程判定方程根的情况；
(2)根据参系数的性质确定根的范围；
(3)解与根有关的证明题．
2. 一元二次方程根与系数的应用很多：
(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；
(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
【清单04】列一元二次方程解应用题
1.列方程解实际问题的三个重要环节：
一是整体地、系统地审题；
二是把握问题中的等量关系；
三是正确求解方程并检验解的合理性.
2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
3.解决应用题的一般步骤：
审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；
解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；
答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型
数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.
解题策略：
列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际
问题的解决.
【考点题型一】一元二次方程及其根
1．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）若 是方程 的一个根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级上·陕西西安·期末）将一元二次方程 化成一般形式后，则一次项的系数是
（ ）
A． B．2 C． D．4
3．（23-24九年级上·北京大兴·期末）若 是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是
．
4．（23-24九年级上·北京大兴·期末）已知 是方程 的一个根，求代数式 的
值．
【考点题型二】一元二次方程的解法
5．（24-25九年级上·河南新乡·期末）一元二次方程 用配方法解方程，配方的结果是（ ）
A． B．
C． D．6．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）一元二次方程 的根是 ．
7．（24-25九年级上·全国·期末）用适当的方法解下列方程：
(1) ； (2) ．
8．（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）解方程
(1) (2)
【考点题型三】一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
9．（22-23九年级上·广东东莞·期末）一元二次方程 的两个实数根分别为 和 ，则
（ ）
A．5 B． C．1 D．
10．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）下列一元二次方程，有两个不等的实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24九年级上·西藏林芝·期末）一元二次方程 根的判别式的值为 ．
12．（23-24九年级上·甘肃定西·期末）已知关于 的方程 ．
(1) 取什么值时，方程有两个实数根．
(2)如果方程有两个实数根 ， ，且 ，求 的值．【考点题型四】一元二次方程的应用
13．（23-24九年级上·河南信阳·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 人患了流感，设每轮
传染中平均每人传染的人数为 人，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
14．（24-25九年级上·重庆綦江·期末）某中学连续3年开展植树活动，已知第一年植树600棵，第三年植
树864棵，若设该校这两年植树棵数的年平均增长率为x，根据题意可列出方程 ．
15．（24-25九年级上·全国·期末）某种规格的梭子蟹养殖成本为30元/千克，根据市场调查发现，售价为
50元/千克时，每天可销售400千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，养殖户采取降价措施，梭
子蟹的售价每降低1元，每天销量可增加40千克．
(1)当售价降低2元时，养殖户每天可销售 千克梭子蟹；
(2)若养殖户每天的利润要达到8840元，并尽可能让利顾客，则售价应降低多少元？
16．（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速
银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长 公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧
道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，
两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格
完成1米隧道施工成本为9万元．
(1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的 ，求甲最多施工多少米？
(2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖 米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖 米，若
最终每天实际总成本比计划多 万元，求 的值．
【考点题型五】综合应用
17．（22-23九年级上·山西晋城·期末）关于x的方程 有两个相等的实数根，若a，b，c
是 的三边长，则这个三角形一定是（ ）．
A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
18．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）三角形两边长分别是3，7，第三边是方程 的根，则
三角形的周长为 ．
19．（20-21九年级上·重庆梁平·期末）关于x的一元二次方程x2﹣6x+n＝0的一个根是2，另一个根m．
（1）求m、n的值；
（2）若直线AB经过点A（2，0），B（0，m），求直线AB的解析式；
（3）在平面直角坐标系中画出直线AB的图象，P是x轴上一动点，是否存在点P，使△ABP是直角三角
形，若存在，写出点P坐标，并说明理由．
【考点题型六】利用一元二次方程的概念，确定字母的取值或范围
20．（23-24九年级上·四川南充·期末）若 是关于 的一元二次方程，则 的值为（ ）
A． B． C． D．无法确定21．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若方程 是关于x的一元二次方程，则m的取值
范围是 ．
22．（23-24九年级上·新疆和田·期末）方程 是关于 的一元二次方程，则 ．
【考点题型七】根据一元二次方程根的定义，求字母的取值或代数式的值
23．（22-23九年级上·广东东莞·期末）已知m是方程 的一个根．则代数式
的值是（ ）
A． B．1 C．5 D．
24．（24-25九年级上·辽宁锦州·期末）若关于x的方程 的一个根是 ，则m的值为
．
25．（22-23九年级上·山东济宁·期末）已知m是方程 的解，求式子 的值．
【考点题型八】根据一元二次方程根的判别式，求字母的取值或范围
26．（23-24九年级上·云南昭通·期末）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
27．（24-25九年级上·四川·期末）关于x的方程 有两个相等的实数根，则k的值为
．
28．（23-24九年级上·天津·期末）解方程：
(1) ．
(2)关于x的方程 有两个不相等的实根，求m的取值范围．29．（23-24九年级上·河南许昌·期末）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)若该方程有两个实数根，求 的取值范围．
(2)当 时，求方程的实数根．
【考点题型九】根据根与系数的关系，求字母的取值范围
30．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）若 与 是一元二次方程 的两个实数根，且
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
31．（24-25九年级上·全国·期末）已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两实根，
(1)求 的取值范围；
(2)若 ，求 的值．32．（22-23九年级上·福建泉州·期中）已知关于 的方程
(1)当 为何值时，此方程有实数根．
(2)若此方程的两实数根 ， 满足 ，求 的值．
【考点题型十】根据题目中的限制条件取舍
33．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）根据某风景区的旅游信息，公司组织一批员工到该风景区旅游，
支付给旅行社28000元．你能确定参加这次旅游的人数吗？
如果人数超过30人，每增加1人，人均旅游
如果人数不超过30人，
费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500
人均旅游费用为800元
元
34．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）沈阳是国家历史文化名城，清朝发祥地，素有“一朝发祥地，两代
帝王都”之称．新中国成立后，沈阳成为中国重要的以装备制造业为主的重工业基地，被誉为“共和国装
备部”，有“共和国长子”和“东方鲁尔”的美誉．某市阳光旅行社专门定制了一条来我市的旅游线路，
收费标准为：如果人数不超过 人，人均旅游费用为 元；如果人数超过 人，每增加 人，人均旅游
费用降低 元．但人均旅游费用不得低于 元．如果该旅行社组织的一个来我市的旅行团共收取了
元的费用，求这个旅行团的人数．35．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）某杨梅采摘园收费信息如下表：
成人票 儿童票 带出杨梅价格
不超过
超过 人
人
元/人 元/斤
元/人 每增加1人，人均票价下降1元，但不低于儿童票价
(1)某公司员工（均为成人）在该杨梅采摘园组织团建活动，共支付票价 元，求这次参加团建的共多少
人？
(2)某社团共 人去该采摘园进行综合实践活动，购买了 张儿童票，其余均为成人票，总费用不超过
元，求本次活动他们最多共带出杨梅多少斤？
【考点题型十一】根据“让顾客得实惠”取舍
36．（24-25九年级上·河南南阳·期中）商场销售某种商品，每件进价200元，售价250元，平均每天售出
30件．调查发现：当商品销售价每降低1元时，平均每天可多售出2件．
(1)当商品售价降价5元时，每天销售量可达到 件，每天盈利 元；
(2)为了让顾客得到更多的实惠，每件商品降价多少元时，商场通过销售这种商品每天盈利可达到2108元？
(3)在（2）的条件下，降价后每件商品的利润率是37．（24-25九年级上·全国·期末）乌馒头是江北慈城地方特色点心，用麦粉发酵，再掺以白糖黄糖，蒸制
而成．因其用黄糖，颜色暗黄，所以称之谓“乌馒头”．某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌
馒头的日销售量 （盒）是销售单价 （元 盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，
已知销售单价不低于成本价且不高于 元，每天销售乌馒头的固定损耗为 元，且成本价为 元 盒．
销售单价 （元/盒）
日销售量 （盒）
(1)直接写出乌馒头的日销售量 （盒）与销售单价 （元 盒）的函数表达式；
(2)“端午乌馒重阳粽”是慈城的习俗，端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得
最大实惠的前提下，当乌馒头每盒降价多少元时，商店日销售纯利润为 元；
38．（23-24九年级上·江西赣州·期末）又是一年脐橙丰收季！小石通过网络平台进行直播销售．已知每箱
（小箱）脐橙的成本是 元 如果销售单价定为每箱40元，那么日销售量将达到 箱．据市场调查，销
售单价每提高 元，日销售量将减少 箱．
(1)若销售单价定为每箱 元( )，请用含 的式子表示日销售量；
(2)要使每天销售这种脐橙盈利 元，同时又要让利给顾客，那么脐橙的售价单价应定为每箱多少元？【考点题型十二】挖掘题目中的隐含条件取舍
39．（22-23九年级上·吉林长春·期末）在一块长 、宽 的长方形荒地上，要建造一个花园并使所占
面积为荒地面积的一半，小明的设计方案如图所示，其中花园四周小路的宽度都相等，请帮小明计算一下
小路的宽是多少米？
40．（22-23九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在宽为 ，长为 的矩形耕地上，修筑同样宽的三
条道路，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为 ，求道路的宽度．
41．（21-22九年级上·云南昭通·期末）如图，有一块矩形硬纸板，长20cm，宽10cm．在其四角各剪去一
个同样大小的正方形．然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何
值时，所得长方体盒子的侧面积为100cm²？
