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专题 03 轴对称（考点清单，5 个考点清单+8 种题型解读）【清单01】轴对称
1.轴对称图形和轴对称
（1）轴对称图形
如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这
条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平
分线.
（2）轴对称
定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这
条直线对称，这条直线叫做对称轴.
要求归纳：成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全
等形；
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.
（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系
要点归纳: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及
两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那
么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
2.线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条
线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
要点归纳：
线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是
遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三
角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——
外心.
【清单02】作轴对称图形
1.作轴对称图形
（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，
就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称
点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
【清单03】等腰三角形
1.等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，
∠B、∠C是底角．
要点归纳：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于 45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝
角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ ．
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特
别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等 边”）.
要点归纳：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为
边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理．
2.等边三角形
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
要点归纳：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包
括等边三角形．
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
【清单04】含30°角的直角三角形的性质（重点）
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常
用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三
角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
【清单05】最短路径问题（重点）
1.垂直线段最短问题
动点所在的直线已知型
方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短。
2.将军饮马问题
方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值．
①两定一动
②一定两动③两定两动
3.“造桥选址”问题
方法技巧：将分散的线段平移集中，再求最值．
A
M
N
【考点题型一】轴对称与轴对称图形
1．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）下面的图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图， 与 关于直线l对称，连接 ， ， ，
其中 分别交 ， 于点D， ，下列结论：① ；② ；③直线l垂直平分
；④直线 与 的交点不一定在直线l上．其中正确的是（ ）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
3．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图， 以 所在直线为对称轴作 ，
，则 ．
4．（22-23八年级上·宁夏石嘴山·期末）如图，点 在 内，点 、 分别是 点关于 、 的
对称点，且 与 、 分别相交于点 、 ，若 的周长为20，求 的长．【考点题型二】线段的垂直平分线
5．（24-25八年级上·全国·期末）下列条件中，不能判定直线 是线段 （M，N不在 上）的垂直
平分线的是（）
A． ， B． ，
C． D． ， 平分
6．（24-25八年级上·全国·期末）如图， 的边 的垂直平分线交 于点D，连接 ，若 ，
，则 ．
7．（23-24八年级上·陕西安康·期末）如图，在 中，点D是 的中点，连接 ， 垂直平分
，垂足为E，F是 的中点，连接 ，求证： 是 的垂直平分线．
8．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）如图所示，在 中， ， 为 的中点，且 ，
已知 的周长为 ，且 ，求 、 的长．【考点题型三】等腰三角形的性质与判定
9．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，在 中， ，过点 作 于点 ，过
点 作 于点 ，连接 ，过点 作 ，交 于点 ． 与 相交于点 ，若点
是 的中点，则下列结论中，① ；② ；③ ；④
．正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（21-22八年级上·云南红河·期末）如图，在 中， ， ， ， 的平分线
相交于点 ，过 作 交 于点 ，交 于点 ，则 的周长等于 ．
11．（24-25八年级上·全国·期末）如图， 中， ， ， 的垂直平分线交 于点
E，交 于点D，连接 ．
(1)求 的度数；
(2)若 ，求 长．12．（20-21八年级上·云南红河·期末）如图，在 中， ，点 为 的中点，边 的垂直
平分线交 ， ， 于点 ， ， ，连接 ．
(1)求证： 为等腰三角形；
(2)若 ，求 的度数．
【考点题型四】综合应用
13．（24-25八年级上·全国·期末）已知： 为等边三角形．
(1)如图1，点D、E分别为边 上的点，且 ．
①求证： ；
②求 的度数．(2)如图2，点D为 外一点， ， 、 的延长线交于点E，连接 ，猜想线段 、
、 之间的数量关系并加以证明．
(3)如图3，D是等边三角形 外一点．若 ，连接 ，直接写出 的最大值与最小值的
差．
14．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，在等边三角形 中， 是 延长线上一点，连接 ，
且 ，点 关于 的对称点为 ，连接 ， 分别交 于点 ， ，
(1)依题意补全图形．
(2)改变 的大小，在 变化过程中， 的大小是否发生变化？若有变化，请写出 的变化范围；
若不变，请求出 的大小；
(3)试判断线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由．
【考点题型五】与边或周长有关的问题
15．（23-24八年级上·浙江金华·期末）已知等腰 一边长为3，另一边长是化简 的结果，则
该三角形的周长是（ ）A．15 B．21 C．15或21 D．15或12
16．（22-23八年级上·湖南常德·期末）一个等腰三角形一边长为 ，另一边长为 ，则这个等腰三角形的
周长为（ ）
A． B． C． 或 D．
17．（23-24八年级上·湖南永州·期末）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为5，则它的第三边的长
为 ．
18．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）用一条长为 的细绳围成一个等腰三角形．
(1)若腰长比底边长短 ，求它的三边长；
(2)能围成有一边的长是 的等腰三角形吗﹖若能，请求出它的另两边，若不能，请说明理由．
【考点题型六】与角有关的问题
19．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）等腰三角形的两内角的度数之比为 ，则这个等腰三角形底角
的度数为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
20．（23-24八年级上·云南昭通·期末）如果等腰三角形的一个内角为另一个内角的2倍，那么该等腰三角
形的顶角等于（ ）
A． 或 B． C． 或 D． 或
21．（22-23八年级上·广东汕头·期末）一个等腰三角形的两个内角的和为 ，则它的顶角度数为 ．
22．（21-22八年级上·黑龙江牡丹江·期末）在△ABC中，∠B＝25°，∠A＝100°，点P在△ABC的三边上
运动，当△PAC成为等腰三角形时，其顶角的度数是多少度呢？请画出图形，在相应图形下方直接写出答
案．23．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末） 是等腰 腰 上的高，且 ，则等腰
底角的度数是多少？（画出符合题意的图形，并直接写出结果）
【考点题型七】与高有关的问题
24．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则顶角的度数为
（ ）
A． B． C． 或 D． 或
25．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点 、点 在线段 的垂直平分线上，且
，则 的度数为 ．
26．（22-23八年级上·湖北荆门·期中）（1）在等腰 中， ，一腰上的中线 将三角形的
周长分成15和9两部分，求这个等腰三角形的腰长及底边长．
（2）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，求这个等腰三角形的底角的度数．
【考点题型八】综合创新问题
27．（22-23八年级上·湖北荆门·期末）如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC边上的点，BD＝
CE，AD与BE相交于点P，AP＝4，Q是射线PE上的动点．(1)求证： ：
(2)若△APQ为直角三角形，求PQ的值；
(3)当△APQ为钝角三角形时，直接写出PQ的取值范围．
28．（21-22八年级上·吉林长春·阶段练习）有一边长为 的正方形 和等腰直角 ， ，
．点B，C，Q，当C，Q两点重合时，t秒后正方形 与等腰直角 重合部分的面积为
，解答下列问题：
(1)当Q在线段 上时， ；当Q在线段 延长线上时， （用含t的代数式表示）．
(2)当 秒时，求S的值．
(3)当重合部分为四边形时，请用含t的代数式表示S，并注明t的取值范围．
29．（23-24八年级上·吉林延边·期末）在 中， ，直线l过点A，且 ． 与关于直线l对称，点B的对称点是点D， 与 的三边围成的图形记作图形“M”．
(1)如图①，若 ，则 的度数为_______；
(2)如图②，点P在直线l上，且 ，过点P作 ，垂足为点F．求证： ；
(3)若 ，将直线l沿着 方向向右平移1个单位长度，与 、 分别交于点F、G．点H在
上方的直线l上，且 ．动点P从点H出发以每秒2个单位长度的速度沿射线 向下匀速运动，
运动时间为 ，点P关于直线 的对称点为点 ．
①如图③，若点 恰好在边 上，连接 ，则线段 的长度为______， ______s；
②当点 落在图形“M”的内部（不包括边界）时，直接写出t的取值范围．
