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专题04 整式的乘法与因式分解110道计算题专项训练（11大题型）
题型一 同底数幂的乘法计算
题型二 幂的乘方与积的乘方计算
题型三 同底数幂的除法计算
题型四 整式的乘法计算
题型五 多项式乘法的化简求值
题型六 已知多项式乘积不含某项求字母的值
题型七 乘法公式计算
题型八 “知二求三”型计算
题型九 利用公式法进行因式分解
题型十 十字相乘法
题型十一 分组分解法
【经典例题一 同底数幂的乘法计算】
1．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）计算： （结果写成幂的形式）
2．（23-24八年级上·吉林·期中）计算： ．
3．（23-24七年级下·陕西榆林·期中）已知 ，求x的值．
4．（23-24七年级下·陕西西安·期中）已知： ，化简 ．
5．（23-24七年级下·山东菏泽·阶段练习）计算：(1)
(2)
6．（23-24七年级下·全国·课后作业）
(1) ；
(2) ．
7．（2024七年级下·全国·专题练习）计算：
8．（2024七年级下·全国·专题练习）（1）已知 ，求 的值；
（2）若 ，求a的值．
9．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ．10．（23-24七年级下·全国·假期作业）规定 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 的值．
【经典例题二 幂的乘方与积的乘方计算】
11．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ．
12．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）已知 ，求
(1) ；
(2) ．
13．（23-24七年级下·山东滨州·期中）计算：
(1) ；
(2) ．
14．（24-25七年级上·上海·期中）计算：
15．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1) ；(2) ．
16．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ．
17．（24-25七年级上·上海·期中）计算：
18．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）计算题
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
19．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算：
(1)
(2)
20．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）计算：(1) ；
(2) ．
【经典例题三 同底数幂的除法计算】21．（24-25 八年级上·福建福州·期中）计算：
22．（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算： ．
23．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）已知 ，求 的值．
24．（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）已知 ，求 的值．
25．（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）若 （ 且 ，m、n是正整数），则 ．
利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果 ，求x的值；
(2)如果 ，求x的值．
26．（23-24七年级下·安徽六安·期末）（1）已知 ， ，求 的值；（2）已知 ，求t的值．
27．（2024七年级下·安徽·专题练习）已知 ，
(1)求 和 的值；
(2)求 的值．
28．（23-24七年级下·河北唐山·期中）（1）已知 ．
①求 和 的值．
②求 的值．
（2）若 ．请用含x的代数式表示y．
29．（2024七年级下·江苏·专题练习）求等式中 的值： ．
30．（2024七年级下·江苏·专题练习）小红学习了七年级下册“第八章幂的运算”后，发现幂的运算法则
如果反过来写，式子可以表达为： ； ； ，可以起到简化计算的作用．
(1)在括号里填空： ； ； ．
(2)已知： ， ．
①求 的值；
②求 的值．
【经典例题四 整式的乘法计算】31．（24-25八年级上·重庆荣昌·期中）计算：
(1) ；
(2) ．32．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ．
33．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）计算：
(1) ；
(2) ．
34．（24-25八年级上·全国·阶段练习）计算
(1) ；
(2) ．
35．（24-25七年级上·上海闵行·期中）（1）已知 ，求 的值．
（2）已知 ，求 的值．
36．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
37．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算：
(1)
(2)
38．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．39．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知 ， ， ．求：
(1)
(2)
40．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算：
(1)
(2)
【经典例题五 多项式乘法的化简求值】41．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）（1）先化简，
再求值：
，其中x=1
（2）先化简，再求值：
，其中 ， ．
42．（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期中）先化简，再求值： ，其中 ．
43．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：
(1) ，其中 ；
(2) ，其中 ．
44．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）先化简，再求值： ，其中
．
45．（2024八年级上·全国·专题练习）先化简再求值： ，其中 ．
46．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）先化简，再求值： ，其中 ．
47．（23-24七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值： ，其中 ，
．48．（22-23七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值： ，
其中x、y满足 ．
49．（23-24八年级上·河南周口·期末）化简求值∶
(1) ，其中 ；
(2) ，其中 ．
50．（23-24八年级上·福建泉州·期中）先化简，再求值 ，其中
．
【经典例题六 已知多项式乘积不含某项求字母的值】
51．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）已知关于x的整式 与 相乘的积不含x的二
次项和三次项，求 ．
52．（24-25八年级上·广东广州·期中）若 的结果中不含 项，求 的值．
53．（24-25七年级上·上海·期中）若 的展开式中不含 的二次项和一次项，求 、 的
值．
54．（24-25八年级上·全国·期中）若 的积中不含 和 项．
(1)求 的值；
(2)求代数式 的值．
55．（24-25七年级上·上海宝山·期中）如果代数式 与 的积的展开式中不含有 和
项，求 和 的值．
56．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知多项式 ， ， 与 的乘积中不含有项，常数项是 ．
(1)求 ， 的值．
(2)求 的值．
57．（22-23八年级上·四川眉山·期中）已知多项式 与另一个多项式A的乘积为多项式B．
(1)若A为关于x的一次多项式 ，B中x的一次项系数为0，则 ．
(2)若B为 ，求 的值．
(3)若A为关于x的二次三项式 ，判断B是否可能为关于x的三次二项式，如果可能，请求出b，
c的值；如果不可能，请说明理由．
58．（24-25七年级上·上海·阶段练习）将关于 的一次二项式 与二次三项式 相乘，积中不
含二次项，且一次项系数为6．求 、 的值．
59．（23-24八年级上·广西河池·期末）已知 的展开式中不含 的一次项，常数项是 ．
(1)求 ， 的值．
(2)先化简再求值 ．
60．（23-24七年级下·山西运城·期末）阅读下列材料，完成相应的任务：
我们曾经学习过多项式乘单项式，多项式乘多项式．
类比整数的乘法运算，我们可以将多项式乘单项式用列竖式方法进行运算．
如： ．
用如下列竖式的方法计算：
如果是多项式 乘多项式 ，也可以类比整数乘法用列竖式方法进行运算，计算步骤如下：
（1）先把多项式 与 分别按字母 的次数从高到低排列；
（2）用多项式 中的常数项3去乘多项式 的每一项，把所得结果 写在下面，
并把次数相同的项对齐；
（3）再用多项式 中的一次项 去乘多项式 的每一项，把所得结果 写在
下面，并把次数相同的项对齐；
（4）最后把两次乘得的结果 与 相加得 ．（5）写出结果： ．
任务一：
材料中，用列竖式的方法计算多项式乘单项式及多项式乘多项式体现的数学思想是（）；
A．数形结合思想B．类比思想C．分类讨论思想D．转化思想
任务二：
请你用列竖式方法计算： ；
任务三：
若多项式 与 相乘的结果中不含 的一次项，则 _______．
【经典例题七 乘法公式计算】
61．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算：
62．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算：
63．（上海市浦东新区2024—2025学年上学期七年级数学期中考试试卷）计算：
64．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）计算：
65．（24-25六年级上·上海·期中）计算：
66．（24-25八年级上·全国·期中）利用乘法公式计算：
(1) ；
(2) ．
67．（24-25七年级上·上海·期中）计算：68．（24-25七年级上·上海·期中）计算：
69．（24-25七年级上·上海·期中）利用乘法公式计算： ．
70．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： ．
【经典例题八 “知二求三”型计算】
71．（上海市浦东新区2024—2025学年上学期七年级数学期中考试试卷）已知 ，求
(1) ；
(2)
72．（24-25六年级上·上海·期中）已知 ， ，求 的值．
73．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，将一个边长为 的大正方形分割成四部分（两个小正方形
和两个长方形）．观察图形，解答下列问题：
(1)根据图中条件，请你用两种不同的方法表示大正方形的面积，并写成一个等式；
(2)如果图中的 满足 ，求 的值．
74．（24-25七年级上·上海·期中）（1） 已知 ， ， 可得： ，
（2） 已知 ， ，求 的值．
75．（24-25七年级上·上海·期中）应用完全平方公式解决下列问题：
(1)已知 ， ，求 和 的值；(2)已知 ，求 和 的值．
76．（24-25八年级上·全国·阶段练习）已知 ，求：
(1) 的值；
(2) 的值．
77．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）（1）已知 ， ，求 的值．
（2）已知 ， ，求 的值．
78．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知 ， ．求代数式下列代数式的值：①
② ．
79．（24-25八年级上·吉林长春·期中）在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和
的完全平方公式 ，能够在三个代数式 中，当已知其中任意两个代数式
的值时，求出第三个代数式的值．例如：已知 ，求 的值．
解：将 两边同时平方，得 ，
即 ，
因为 ，
等量代换，得 ，
所以 ．
请根据以上信息，解答下列问题．
(1)已知 ，求 的值．(2)如图，已知两个正方形的边长分别为a、b，若 ，求图中阴影部分的面积．
(3)若 ，则 的值为 ．
80．（24-25八年级上·吉林长春·期中）已知 ，求下列各式的值：
①
②
【经典例题九 利用公式法进行因式分解】
81．（24-25八年级上·甘肃定西·期中）因式分解：
(1) ；
(2) ．
82．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）分解因式：
83．（24-25八年级上·吉林长春·期中）因式分解：
(1) ；
(2) ．
84．（24-25七年级上·上海·期中）（1）分解因式：
（2）分解因式：
85．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）分解因式
(1) ；
(2)
86．（23-24八年级上·四川眉山·期末）因式分解
(1) ．
(2) ．87．（24-25八年级上·吉林长春·期中）因式分解
(1)
(2)
88．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）分解因式∶
(1) ；
(2) ．
89．（24-25八年级上·山东泰安·期中）分解因式
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
90．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）因式分解：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【经典例题十 十字相乘法】
91．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）分解因式：
92．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）分解因式：
93．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：94．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ．
95．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ．
96．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ．
97．（24-25七年级上·上海·阶段练习）因式分解：
98．（23-24七年级下·全国·单元测试）请你观察下列多项式分解因式的结果与原多项式的关系，然后回答
问题：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
(1)请用一个式子表示你观察到的规律： ____________．
(2)请用你观察并总结出来的结论把下面各式分解因式：
① ；
② ．
99．（22-23七年级下·湖南怀化·期中）提出问题：你能把多项式 因式分解吗？
探究问题：如图1所示，设 ， 为常数，由面积相等可得：
，将该式从右到左使用，就可以对形如
的多项式进行进行因式分解即 ．观察多项式 的特征是二次
项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．
解决问题：
运用结论：(1)基础运用：把多项式进行因式分解．
① ；② ；③ ．
(2)知识迁移：对于多项式 进行因式分解还可以这样思考：将二次项 分解成图2中的两个
的积，再将常数项 分解成 与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为 ，就是 的
一次项，所以有 ．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘
法进行因式分解：
100．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）小亮自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”
内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式 的分解因式的方法叫“十
字相乘法”．例如：将二次三项式 因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项 一
次项系数 ，则 ．如图所示：
仿照上述解决下列问题：
(1)因式分解： ；
小亮做了如下分析：
一次项为： ，则常数项为： ；
则 __________； =_________；
（ ）（ ）(2)因式分解： ：
(3)若二次三项式 可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值．
【经典例题十一 分组分解法】
101．（2024七年级上·上海·专题练习）已知 ，求m，n的值．
102．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）分解因式：
103．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）分解因式：
104．（24-25八年级上·全国·期末）（1）若 ，则 的值是 ；
（2）分解因式：
① ；
② ；
（3）若多项式 能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积，求a的值．
105．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）阅读下面的材料：
常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如
，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两
部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．
利用分组分解法解决下面的问题：(1)分解因式： ；
(2)已知 的三边长 ， ， 满足 ，判断 的形状并说明理由．
106．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下．
甲：
乙：
（分成两
（分成两组）
组）
（提公因式）
（直接运用公式）
.
请在他们解法的启发下解答下列各题．
(1)分解因式 ．
(2)若 ， ， 分别为 三边的长．
①若满足若 ，请判断 的形状，并说明理由．
②若满足 ，求c的范围．
107．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提
公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，
进行分组分解．
例1：“两两分组”： 例2：“三一分组”：
解：原式 解：原式
． ．
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．
请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题：
分解因式：
(1) ；
(2) ．108．（22-23八年级上·福建泉州·阶段练习）阅读材料：要把多项式 因式分解，可以先把
它进行分组再因式分解：
这种因式分解的方法叫做分组分解法．
(1)请用上述方法因式分解： ；
(2)知a、b、c是 三边的长，且满足 ，试判断 的形状，并说明理由；
(3)已知 ，求 的值．
109．（22-23八年级下·四川成都·期中） 义务教育数学课程标准（ 年版） 关于运算能力的解释为：
运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力．因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可
以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法 拆项补
项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的方法进行分
解．
例题：用拆项补项法分解因式 ．
解：添加两项 ．
原式
请你结合自己的思考和理解完成下列各题：
(1)分解因式： ；
(2)分解因式： ；(3)分解因式： ．
110．（23-24七年级下·山东聊城·期末）阅读下列材料：
材料1：将一个形如 的二次三项式因式分解时，如果能满足 且 ，则可以把
因式分解成
(1)根据材料1，把 分解因式．
(2)结合材料、完成下面小题：
①分解因式： ；
②分解因式： ．
(3)结合材料分解因式 ；
