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专题04 平面直角坐标系里面积的求法分类集训（原卷版）
第一部分 典例剖析+变式训练
类型一 求“规则”三角形
【典例1】（2021春•肥城市期末）△ABC的各顶点坐标为A（﹣5，2），B（1，2），C（3，﹣1），则
△ABC的面积为 ．
【变式训练】
1．（2023春•江陵县期末）如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）
（1）求点C到x轴的距离；
（2）求△ABC的面积；
（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标．
类型二 求“规则”四边形面积
【典例2】（2023春•玉州区期中）如图，在平面直角坐标系中，AD∥BC∥x轴，AD＝BC＝7，且A（0，
3），C（5，﹣1），则四边形ABCD的面积为（ ）
A．14 B．21 C．28 D．30
【变式训练】1．（2023春•清原县期末）如图，点A，B的坐标分别为（﹣3，1），（﹣1，﹣2），若将线段AB平移
至A B 的位置，A 与B 的坐标分别是（m，4）和（3，n），则线段AB在平移过程中扫过的图形面积
1 1 1 1
．
2．（2020秋•历城区校级月考）长方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，AD∥x轴，AB∥y轴，
已知长方形ABCD的长为3，宽为2，且点A的坐标为（﹣1.5，2），求长方形的顶点B、C、D的坐标
及矩形AEOM的面积．
3．（2023春•平山县期末）如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣1，0），B（3，0），将A，B同时分别向
上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的对应点分别为D，C，连接AD，BC．
（1）直接写出点C，D的坐标：C ，D ；
（2）四边形ABCD的面积为 ；
（3）点P为线段BC上一动点（不含端点），连接PD，PO．求证：∠CDP+∠BOP＝∠OPD．类型三 求“不规则”三角形的面积
【典例3】（2023春•双柏县期中）在直角坐标系中，已知 A（﹣3，4），B（﹣1，﹣2），O（0，0），
画出三角形并求三角形AOB的面积．
【变式训练】
1．（2023春•济南月考）（1）在平面直角坐标系中，描出下列3个点：A（﹣1，0），B（3，﹣1），C
（4，3）；
（2）顺次连接A，B，C，组成△ABC，求△ABC的面积．
类型四 求“不规则”多边形面积的思路
【典例四】（2023秋•罗湖区校级期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，依次完成下列各问：
（1）任选一点作为原点，建立平面直角坐标系；
（2）写出A、B、C、D、E各点的坐标；
（3）求五边形ABCDE的面积．【变式训练】
1．如图，平面直角坐标系中四边形的面积是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
2．已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD四个顶点的坐标分别为A（0，1）、B（1，0）、C
（3，0）、D（2，2），求四边形ABCD的面积．
3．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别是A（﹣3，4），B（2，3），C（2，
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0），D（﹣4，﹣2），且AD与x轴交点E的坐标为（− ，0），求这个四边形的面积．
3
类型五 求平移图形形成的部分图形的面积
【典例5】（2023春•泰来县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点E（8，0），点F（0，8），将△OEF向下平移2个单位长度得到△ABC，BC与x轴交于点G，CO＝GO，则阴影部分面积是 ．
【变式训练】
1．（2023•龙亭区校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，将折线AEB向右平移得到折线CFD，则
折线AEB在平移过程中扫过的面积是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2023春•上杭县期中）在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B（0，﹣7），线段AB向右平移3个
单位得到线段CD，线段CD与y轴交于点E，若图中阴影部分面积是15，则点E的坐标为 ．
类型六 已知面积或已知面积与面积之间的关系求点的坐标的解题思路
【典例6】（2023秋•兴庆区校级期中）点A（2，﹣3），点B（2，1），点C在x轴的负半轴上，如果
△ABC的面积为8，则点C的坐标是 ．
【典例7】（2023春•围场县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（0，4），B（8，0），C（8，
6）三点．
（1）求△ABC的面积；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），且四边形ABOP的面积是△ABC的面积的两倍；求满足条件的P点的坐标．【变式训练】
1．（2023春•翔安区期末）已知点A（a，0）和点B（0，5）两点，且直线AB与坐标轴围成的三角形的
面积等于10，则a的值是 ．
3．（2023春•景县期中）已知x轴上一点A（3，0），点B在y轴上，连接AB，所得三角形AOB的面积
为6，则点B的坐标是 ．
类型七 与面积相关的新定义问题
【典例8】（2023春•镇雄县期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”给出
如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则
“矩面积”S＝ah．
例如：三点的坐标分别为A（1，2），B（﹣2，﹣1），C（2，﹣3），则“水平底”a＝4，“铅垂
高”h＝5，“矩面积”S＝ah＝20．
（1）若A（﹣1，2），B（3，1），C（﹣3，﹣2），则“水平底”a＝ ，“铅垂高”h＝
，“矩面积”S＝ ；
（2）若A（﹣1，2），B（3，﹣1），P（0，n）的“矩面积”为20，求点P的坐标．
【典例9】（2023秋•金安区校级期中）在平面直角坐标系中，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝
对值之和叫作点P（x，y）的勾股值，记为：「P」，即「P」＝|x|+|y|．
（1）求点A（﹣1，3）的勾股值「A」；
（2）若点B在第二象限且满足「B」＝4，求满足条件的所有点B与坐标轴围成的图形的面积．
【变式训练】
1．（2023春•路桥区期中）在平面直角坐标系中，对于任意三点A、B、C的“矩面积”，给出如下定义：
“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面
积”S＝ah．例如：三点坐标分别为A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），则“水平底”a＝5，
“铅垂高”h＝4，“矩面积”S＝ah＝20，若D（1，2）、E（﹣2，1）、F（0，t）三点的“矩面积”
为15，则t的值为 ．2．（2023春•永城市期末）在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：
“水平底”a为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高“h为任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面
积”S＝ah．
例如：三点坐标分别为A（3，2），B（﹣1，1），C（5，3），则“水平底”a＝5﹣（﹣1）＝6，“铅
垂高”h＝3﹣1＝2，“矩面积”S＝ah＝6×2＝12．
（1）已知点A（﹣2，4），B（﹣5，﹣2），C（3，﹣1），求这三点的“矩面积”S；
（2）若点A（7，﹣1），B（2，3），E（m，﹣2），这三点的“矩面积”S为45，求点E的坐标．
第二部分 专题提优训练
1．（2023•南乐县一模）如图，在平面直角坐标系中，点 A的坐标为（4，0），B为第一象限内一点，且
OB⊥AB，OB＝2．将△OAB沿x轴向右平移得到△O′A′B′，O'B'与AB交于点C，若OO′＝1，则
△BCO'的面积为（ ）
❑√3 ❑√3 3❑√3 3❑√3
A． B． C． D．
8 4 8 4
2．（2023秋•赛罕区校级月考）如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形边长为1，点O、A、B在方格纸
的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点 C，使△ABC的面积为3，则这样的点C共有个个．
3．（2023春•栾城区期末）在平面直角坐标系中，对于任意三个不重合的点 A，B，C的“矩面积”，给
出如下定义：“水平底”a指任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h指任意两点纵坐标差的最大值，
“矩面积”S＝ah．例如：A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2）则“水平底”a＝5，“铅垂高”h＝
4，“矩面积”S＝ah＝20．若D（1，2），E（﹣2，1），F（0，t）三点的“矩面积”为18，则t的值
为 ．
4．（2023春•射阳县期末）如图所示的直角坐标系中，四边形 ABCD各个顶点的坐标分别是A（0，0），
B（3，6），C（14，8），D（16，0），
（1）求这个四边形的面积．
（2）在x轴上有一点P使得△PCD的面积与四边形ABCD的面积相等，求点P坐标．
5．（2023春•满城区期末）如图所示，BA⊥x轴于点A，点B的坐标为（﹣1，2），将线段BA沿x轴方向
平移3个单位，平移后的线段为CD．
（1）点C的坐标为 ；线段BC与线段AD的位置关系是 ．
（2）在四边形ABCD中，点P从点A出发，沿“AB→BC→CD”移动，移动到点D停止．若点P的速
度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，回答下列问题：
①直接写出点P在运动过程中的坐标（用含t的式子表示）；
②当5秒＜t＜7秒时，四边形ABCP的面积为4，求点P的坐标．6．（2023春•浏阳市期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下
定义：“水平底”a：任何两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩
面积”S＝ah．
例如：三点坐标分别为A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），则“水平底”a＝5，“铅垂高”h＝
4，“矩面积”S＝ah＝20．
（1）已知点A（1，2），B（﹣3，1），C（0，5），求三点的“矩面积”S．
（2）若点A（1，2），B（﹣3，1），P（0，t）三点的“矩面积”S为12，求点P的坐标．
7．（2023春•武威期末）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）．
（Ⅰ）如图①，则三角形ABC的面积为 ；
（Ⅱ）如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．
①求三角形ACD的面积；
②点P（m，3）是一动点，若三角形PAO的面积等于三角形CAO的面积．请直接写出点P坐标．8．（2023春•长宁区期末）已知点A的坐标为（3，2），设点A关于y轴对称点为B，点A关于原点的对
称点为C，点A绕点O顺时针旋转90°得点D．
（1）点B的坐标是 ；
点C的坐标是 ；
点D的坐标是 ；
（2）顺次连接点A、B、C、D，那么四边形ABCD的面积是 ；
（3）在y轴上找一点F，使S△ABF ＝S△ABC ，那么点F的所有可能位置是 （用坐标表示）．
