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专题04 平面直角坐标系里面积的求法分类集训（解析版）
第一部分 典例剖析+变式训练
类型一 求“规则”三角形
【典例1】（2021春•肥城市期末）△ABC的各顶点坐标为A（﹣5，2），B（1，2），C（3，﹣1），则
△ABC的面积为 9 ．
【思路引领】作CD⊥AB交AB的延长线于D，根据坐标与图形性质求出线段AB、CD的长，根据三角
形的面积公式计算即可．
【解答】解：作CD⊥AB交AB的延长线于D，
∵A（﹣5，2），B（1，2），C（3，﹣1），
∴AB＝6，CD＝3，
1
∴△ABC的面积= ×AB×CD＝9，
2
故答案为：9．
【总结提升】本题考查的是坐标与图形性质，正确描出各点的坐标、根据坐标得到线段的长度是解题的
关键．
【变式训练】
1．（2023春•江陵县期末）如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）
（1）求点C到x轴的距离；
（2）求△ABC的面积；
（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标．【思路引领】（1）点C的纵坐标的绝对值就是点C到x轴的距离解答；
（2）根据三角形的面积公式列式进行计算即可求解；
（3）设点 P 的坐标为（0，y），根据△ABP 的面积为 6，A（﹣2，3）、B（4，3），所以
1
×6×|x−3|=6，即|x﹣3|＝2，所以x＝5或x＝1，即可解答．
2
【解答】解：（1）∵C（﹣1，﹣3），
∴|﹣3|＝3，
∴点C到x轴的距离为3；
（2）∵A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）
∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，点C到边AB的距离为：3﹣（﹣3）＝6，
∴△ABC的面积为：6×6÷2＝18．
（3）设点P的坐标为（0，y），
∵△ABP的面积为6，A（﹣2，3）、B（4，3），
1
∴ ×6×|y﹣3|＝6，
2
∴|y﹣3|＝2，
∴y＝1或y＝5，
∴P点的坐标为（0，1）或（0，5）．
【总结提升】本题考查了坐标与图形，解决本题的关键是利用数形结合的思想．
类型二 求“规则”四边形面积
【典例2】（2023春•玉州区期中）如图，在平面直角坐标系中，AD∥BC∥x轴，AD＝BC＝7，且A（0，
3），C（5，﹣1），则四边形ABCD的面积为（ ）A．14 B．21 C．28 D．30
【答案】C
【思路引领】先判断四边形ABCD为平行四边形，然后根据平行四边形的面积公式计算．
【解答】解：∵AD∥BC∥x轴，AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，AD与BC的距离为3﹣（﹣1）＝4，
∴四边形ABCD的面积＝4×7＝28．
故选：C．
【总结提升】本题考查了平行四边形的判定与性质：平行四边形对应边相等，对应角相等．也考查了坐
标与图形性质．
【变式训练】
1．（2023春•清原县期末）如图，点A，B的坐标分别为（﹣3，1），（﹣1，﹣2），若将线段AB平移
至A B 的位置，A 与B 的坐标分别是（m，4）和（3，n），则线段AB在平移过程中扫过的图形面积
1 1 1 1
18 ．
【答案】18．
【思路引领】直接利用平移中点的变化规律求出m，n的值，再根据线段AB在平移过程中扫过的图形
面积＝四边形ABB A 的面积＝2△ABB 的面积求解即可．
1 1 1
【解答】解：如图，连接AA ，BB ，AB ，
1 1 1∵点A、B的坐标分别是为（﹣3，1），（﹣1，﹣2），若将线段AB平移至A B 的位置，A 与B 坐标
1 1 1 1
分别是（m，4）和（3，n），
∴可知将线段AB向右平移4个单位，向上平移3个单位得到A B 的位置，
1 1
∴m＝1，n＝1，
∴A 与B 坐标分别是（1，4）和（3，1），
1 1
1
∴线段AB在平移过程中扫过的图形面积＝四边形ABB A 的面积＝2△ABB 的面积＝2× ×6×3＝18，
1 1 1 2
故答案为：18．
【总结提升】本题主要考查坐标与图形变化﹣平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的
平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
2．（2020秋•历城区校级月考）长方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，AD∥x轴，AB∥y轴，
已知长方形ABCD的长为3，宽为2，且点A的坐标为（﹣1.5，2），求长方形的顶点B、C、D的坐标
及矩形AEOM的面积．
【思路引领】由于AD∥x轴，AB∥y轴，点A的坐标为（﹣1.5，2），利用坐标与点到坐标轴的距离的
关系得到AM＝1.5，AE＝2，则有AB＝CD＝3，AD＝BC＝2，所以BE＝CF＝1，MD＝CN＝0.5，根据
各象限点的坐标特征写出B、C、D的坐标，利用矩形面积公式计算矩形AEOM的面积．
【解答】解：∵AD∥x轴，AB∥y轴，点A的坐标为（﹣1.5，2），
∴AM＝1.5，AE＝2，∵长方形ABCD的长为3，宽为2，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝2，
∴BE＝CF＝1，MD＝CN＝0.5，
∴B点坐标为（﹣1.5，﹣1），C点坐标为（0.5，﹣1），D点坐标为（0.5，2）；
故矩形AEOM的面积＝1.5×2＝3．
【总结提升】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标特征计算相应的线段长和判断线段与坐标轴的
位置关系；记住各象限内点的坐标特征和坐标上点的坐标特征．
3．（2023春•平山县期末）如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣1，0），B（3，0），将A，B同时分别向
上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的对应点分别为D，C，连接AD，BC．
（1）直接写出点C，D的坐标：C （ 4 ， 2 ） ，D （ 0 ， 2 ） ；
（2）四边形ABCD的面积为 8 ；
（3）点P为线段BC上一动点（不含端点），连接PD，PO．求证：∠CDP+∠BOP＝∠OPD．
【思路引领】（1）根据C、D两点在坐标系中的位置即可得出此两点坐标；
（2）先判断出四边形ABCD是平行四边形，再求出其面积即可；
（3）过点P作PQ∥AB，故可得出CD∥PQ，AB∥PQ，由平形线的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）由图可知，C（4，2），D（0，2）．
故答案为：（4，2），（0，2）；
（2）∵线段CD由线段BA平移而成，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴S平行四边形ABCD ＝4×2＝8．
故答案为：8；
（3）证明：如图，过点P作PQ∥AB，∵CD∥AB，
∴CD∥PQ，AB∥PQ，
∴∠CDP＝∠1，∠BOP＝∠2，
∴∠CDP+∠BOP＝∠1+∠2＝∠OPD．
【总结提升】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移的性质是解答此题的关键．
类型三 求“不规则”三角形的面积
【典例3】（2023春•双柏县期中）在直角坐标系中，已知 A（﹣3，4），B（﹣1，﹣2），O（0，0），
画出三角形并求三角形AOB的面积．
【思路引领】根据平面直角坐标系找出点A、B、C的位置，然后顺次连接即可；再作出△ABO所在的
矩形，然后根据三角形的面积等于矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，然后进行计算即可得
解．
【解答】解：△AOB如图；
作出长方形ACDE，
长方形ACDE的面积＝6×3＝18
1
△ACB的面积= ×6×2＝6，
21
△AOE的面积= ×4×3＝6，
2
1
△BOD的面积= ×1×2＝1，
2
∴△AOB的面积＝18﹣6﹣6﹣1＝5．
答：三角形AOB的面积为5．
【总结提升】本题考查了坐标与图形性质，求面积时，利用三角形的面积等于矩形的面积减去四周三个
小直角三角形的面积是在平面直角坐标系中求三角形面积常用的方法，要熟练掌握并灵活运用．
【变式训练】
1．（2023春•济南月考）（1）在平面直角坐标系中，描出下列3个点：A（﹣1，0），B（3，﹣1），C
（4，3）；
（2）顺次连接A，B，C，组成△ABC，求△ABC的面积．
【思路引领】（1）根据点的坐标在坐标系中描出后首尾顺次连接即可；
（2）△ABC的面积可转化为“梯形ADEC的面积﹣△ABD的面积﹣△BCE的面积，列式计算即可．
【解答】解：（1）如图，（2）如图所示，
S△ABC ＝S梯形ADEC ﹣S△ABD ﹣S△BCE
1 1 1
= ×（1+4）×5− ×1×4− ×1×4
2 2 2
＝12.5﹣2﹣2
＝8.5，
答：△ABC的面积为8.5．
【总结提升】此题考查了坐标与图形的性质，将三角形补成梯形和三角形是解题的关键，此法被称为
“割补法”．
类型四 求“不规则”多边形面积的思路
【典例四】（2023秋•罗湖区校级期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，依次完成下列各问：
（1）任选一点作为原点，建立平面直角坐标系；
（2）写出A、B、C、D、E各点的坐标；
（3）求五边形ABCDE的面积．
【思路引领】（1）根据坐标系的概念建立坐标系即可；
（2）由坐标系可得点的坐标；
（3）割补法求解即可．
【解答】解：（1）如图所示：（2）A（0，2）、B（1，0）、C（3，0）、D（4，2）、E（3，3）；
1 1 1 1
（3）S五边形ABCDE ＝3×4−
2
×1×2−
2
×1×2−
2
×1×3−
2
×1×1
＝12﹣1﹣1﹣1.5﹣0.5
＝8
【总结提升】本题考查了坐标与图形的性质，解题的关键是建立坐标系后明确点所在的象限及坐标，求
不规则三角形的面积，一般用“割补法”．
【变式训练】
1．如图，平面直角坐标系中四边形的面积是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】B
【思路引领】四边形ABCD的面积＝△BOC的面积+△ABO的面积+△AOD的面积．
【解答】解：如图，连接OA．
四边形ABCD的面积＝△BOC的面积+△ABO的面积+△AOD的面积
1 1 1
= ×2×2+ ×2×4+ ×6×4
2 2 2＝2+4+12
＝18．
故选：B．
【总结提升】本题考查坐标与图形性质等知识，解题的关键是学会用分割法求四边形面积．
2．已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD四个顶点的坐标分别为A（0，1）、B（1，0）、C
（3，0）、D（2，2），求四边形ABCD的面积．
【思路引领】作DE⊥y轴于点E，那么四边形ABCD的面积＝S梯形OCDE ﹣S△ADE ﹣S△OAB ，代入数值计算
即可．
【解答】解：如图，作DE⊥y轴于点E．
则四边形ABCD的面积
＝S梯形OCDE ﹣S△ADE ﹣S△OAB
1 1 1
= （2+3）×2− ×1×2− ×1×1
2 2 2
1
＝5﹣1−
2
1
＝3 ．
2
【总结提升】本题考查了坐标与图形的性质．由图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂
线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．若坐标系内的四边形是非规则四边形，
通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．3．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别是A（﹣3，4），B（2，3），C（2，
11
0），D（﹣4，﹣2），且AD与x轴交点E的坐标为（− ，0），求这个四边形的面积．
3
49
【答案】 ．
2
【思路引领】根据三角形面积公式，利用四边形ABCD的面积＝三角形ACE的面积+三角形DCE的面
积+三角形ABC的面积进行计算．
【解答】解：连接AC，如图，
∵B（2，3），C（2，0），
∴BC⊥x轴，
∴四边形ABCD的面积＝三角形ACE的面积+三角形DCE的面积+三角形ABC的面积
1 11 1 11 1
= ×（2 + ）×4 + ×（2 + ）×2 + ×3×（2+3）
2 3 2 3 2
49
= ．
2
1
【总结提升】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即 S△ =
2
×底×高．也考查了坐标与图形性质．
类型五 求平移图形形成的部分图形的面积
【典例5】（2023春•泰来县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点E（8，0），点F（0，8），将
△OEF向下平移2个单位长度得到△ABC，BC与x轴交于点G，CO＝GO，则阴影部分面积是 14
．
【答案】14．
【思路引领】用△EOF的面积减去△COG的面积即可．
【解答】解：∵点E（8，0），点F（0，8），
∴OE＝OF＝8，
∵FC＝2，CO＝GO，
∴CO＝GO＝6，
1 1
∴阴影部分面积是 ×8×8− ×6×6＝32﹣18＝14．
2 2
故答案为：14．
【总结提升】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握平移的性质是关键．
【变式训练】
1．（2023•龙亭区校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，将折线AEB向右平移得到折线CFD，则
折线AEB在平移过程中扫过的面积是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C
【思路引领】利用平移的性质可判断四边形AEFC和四边形BEFD都为平行四边形，然后由平移过程中
扫过的面积＝S +S ，根据平行四边形的面积公式进行计算即可．
AEFC BEFD
【解答】解：∵▱平移折▱线AEB，得到折线CFD，
∴四边形AEFC和四边形BEFD都为平行四边形，
∴折线AEB在平移过程中扫过的面积＝S +S ＝AO•EF+BO•EF＝EF（AO+BO）＝EF•AB＝[2
AEFC BEFD
▱ ▱
﹣（﹣1）]×[1﹣（﹣1）]＝6．
故选：C．
【总结提升】本题考查了坐标与图形﹣平移，掌握平移的性质：把一个图形整体沿某一直线移动，得到
新图形与原图形的形状和大小完全相同；连接各组对应点的线段平行且相等是解决问题的关键．
2．（2023春•上杭县期中）在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B（0，﹣7），线段AB向右平移3个
单位得到线段CD，线段CD与y轴交于点E，若图中阴影部分面积是15，则点E的坐标为 （ 0 ，﹣
3 ） ．
【答案】（0，﹣3）．
【思路引领】连接BC，AE．设OE＝x，OC＝y．构建方程组求出x，y即可．
【解答】解：连接BC，AE．设OE＝x，OC＝y．
∵CE∥AB，
∴S△ACB ＝S△ABE ，
1 1
∴ ×3×7= ×（7﹣x）×（3+y） ①，
2 2
1 1
又∵ ×（3+y）×7− xy＝15 ②，
2 2
{ x=−3 )
由①②可得 ，
y=−0.9
∴E（0，﹣3）．故答案为：（0，﹣3）．
【总结提升】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题，属
于中考常考题型．
类型六 已知面积或已知面积与面积之间的关系求点的坐标的解题思路
【典例6】（2023秋•兴庆区校级期中）点A（2，﹣3），点B（2，1），点C在x轴的负半轴上，如果
△ABC的面积为8，则点C的坐标是 （﹣ 2 ， 0 ） ．
1
【思路引领】设C（t，0），根据三角形面积公式得到 ×（2﹣t）×（1+3）＝8，然后解方程求出t，
2
从而得到C点坐标．
【解答】解：如图，设C（t，0），
∵△ABC的面积为8，
1
∴ ×（2﹣t）×（1+3）＝8，
2
解得t＝﹣2，
∴点C的坐标为（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
1
【总结提升】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S= ×底×高．
2
也考查了坐标与图形性质．
【典例7】（2023春•围场县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（0，4），B（8，0），C（8，
6）三点．
（1）求△ABC的面积；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），且四边形ABOP的面积是△ABC的面积的两倍；求满足条件的P点的坐标．
【思路引领】（1）由点的坐标得出BC＝6，即可求出△ABC的面积；
（2）求出OA＝4，OB＝8，由S四边形ABOP ＝S△AOB +S△AOP 和已知条件得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵B（8，0），C（8，6），
∴BC＝6，
1
∴S△ABC =
2
×6×8＝24；
（2）∵A（0，4），B（8，0），
∴OA＝4，OB＝8，
∴S四边形ABOP ＝S△AOB +S△AOP
1 1
= ×4×8+ ×4（﹣m）＝16﹣2m，
2 2
又∵S四边形ABOP ＝2S△ABC ＝48，
∴16﹣2m＝48，
解得：m＝﹣16，
∴P（﹣16，1）．
【总结提升】本题考查了坐标与图形性质、三角形和四边形面积的计算；熟练掌握坐标与图形性质，由
题意得出方程是解决问题（2）的关键．
【变式训练】
1．（2023春•翔安区期末）已知点A（a，0）和点B（0，5）两点，且直线AB与坐标轴围成的三角形的
面积等于10，则a的值是 ± 4 ．
【思路引领】根据三角形的面积公式和已知条件求解，注意a取正负数都符合题意．
【解答】解：由题意可得5×|OA|÷2＝10，
10×2
∴|OA|= ，
5
∴|OA|＝4，
∴点a的值是4或﹣4．故答案为：±4．
【总结提升】需注意坐标轴上到一个点的距离为定值的点有2个．
2．（2023春•景县期中）已知x轴上一点A（3，0），点B在y轴上，连接AB，所得三角形AOB的面积
为6，则点B的坐标是 （ 0 ， 4 ）或（ 0 ，﹣ 4 ） ．
【答案】（0，4）或（0，﹣4），
【思路引领】B点的坐标为（0，b），则OB＝|b|，根据三角形的面积公式列出b的方程便可．
【解答】解：设B点的坐标为（0，b），则OB＝|b|，
∵A（3，0），
∴OA＝3，
∵三角形AOB的面积为6，
1
∴ OA⋅OB=6，
2
1
即 ×3|b|=6，
2
解得b＝±4，
∴点B的坐标为（0，4）或（0，﹣4），
故答案为：（0，4）或（0，﹣4），
【总结提升】本题主要考查了点的坐标特点，三角形的面积公式，关键是正确用点的坐标表示线段．
类型七 与面积相关的新定义问题
【典例8】（2023春•镇雄县期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”给出
如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则
“矩面积”S＝ah．
例如：三点的坐标分别为A（1，2），B（﹣2，﹣1），C（2，﹣3），则“水平底”a＝4，“铅垂
高”h＝5，“矩面积”S＝ah＝20．
（1）若A（﹣1，2），B（3，1），C（﹣3，﹣2），则“水平底”a＝ 6 ，“铅垂高”h＝ 4
，“矩面积”S＝ 2 4 ；
（2）若A（﹣1，2），B（3，﹣1），P（0，n）的“矩面积”为20，求点P的坐标．
【答案】（1）6，4，24；
（2）（0，4）或（0，﹣3）．
【思路引领】（1）根据题目中的新定义可以求得相应的a，h和“矩面积”；
（2）首先由题意得：a＝4，然后分别从①当n≥2时，h＝n+1，当n≤﹣1时，h＝2﹣n，列等式求解即可求得答案；
【解答】解：（1）∵A（﹣1，2），B（3，1），C（﹣3，﹣2），
∴a＝3﹣（﹣3）＝6，h＝2﹣（﹣2）＝4，
∴S＝ah＝6×4＝24，
故答案为：6，4，24；
（2）由题意：a＝3﹣（﹣1）＝4，
①当n≥2时，h＝n﹣（﹣1）＝n+1，
则4（n+1）＝20，可得n＝4，故点P的坐标为（0，4）；
②当n≤﹣1时，h＝2﹣n，
则4（2﹣n）＝20，可得t＝﹣3，故点P的坐标为（0，﹣3）；
综上，点P的坐标为（0，4）或（0，﹣3）．
【总结提升】本题是新定义：“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”的学习，考查坐标与图形的性质及
学生的理解分析能力的培养，解答本题的关键是明确题目中的新定义，利用新定义解答问题．
【典例9】（2023秋•金安区校级期中）在平面直角坐标系中，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝
对值之和叫作点P（x，y）的勾股值，记为：「P」，即「P」＝|x|+|y|．
（1）求点A（﹣1，3）的勾股值「A」；
（2）若点B在第二象限且满足「B」＝4，求满足条件的所有点B与坐标轴围成的图形的面积．
【答案】8．
【思路引领】（1）由勾股值的定义即可求解；
（2）设B点的坐标为（x，y），由「B」＝4，得到方程|x|+|y|＝4，得到x+y＝4，﹣x﹣y＝4，x﹣y＝
4，﹣x+y＝4，化为一次函数的解析式y＝﹣x+4，y＝﹣x﹣4，y＝x﹣4，y＝x+4，于是得到所有点N围
成的图形是边长为4❑√2的正方形，则面积可求．
【解答】解：（1）「A」＝|﹣1|+|3|＝4，
（2）设B（x，y），由「B」＝4且在第二象限知，x+y＝4（x＜0，y＞0），
即：y＝x+4（x＜0，y＞0）．
故所有点B与坐标轴围成的图形如图所示的三角形，1
故其面积为 ×4×4＝8．
2
【总结提升】本题考查了坐标与图形的性质，正确理解勾股值的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春•路桥区期中）在平面直角坐标系中，对于任意三点A、B、C的“矩面积”，给出如下定义：
“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面
积”S＝ah．例如：三点坐标分别为A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），则“水平底”a＝5，
“铅垂高”h＝4，“矩面积”S＝ah＝20，若D（1，2）、E（﹣2，1）、F（0，t）三点的“矩面积”
为15，则t的值为 ﹣ 3 或 6 ．
【答案】﹣3或6．
【思路引领】根据“矩面积”的定义，得出若D（1，2），E（﹣2，1），F（0，t）三点的“矩面积”
的“水平底”a＝3，由矩面积”S＝ah＝15，得出“铅垂高”h＝15÷3＝5，则D、E、F三点的纵坐标差
的最大值为2﹣t＝5或t﹣1＝5，从而求得t的值．
【解答】解：由题意知，
D、E、F三点的“矩面积”的“水平底”a＝1﹣（﹣2）＝3，
∵D、E、F三点的“矩面积”S＝ah＝15，
∴D、E、F三点的“铅垂直”h＝15÷3＝5，
当点F在点D下方时，2﹣t＝5，
解得t＝﹣3．
当点F在点D上方时，t﹣1＝5，
解得：t＝6，
故答案为：﹣3或6．
【总结提升】本题考查坐标确定位置，掌握“矩面积”的定义是解题的关键．
2．（2023春•永城市期末）在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高“h为任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面
积”S＝ah．
例如：三点坐标分别为A（3，2），B（﹣1，1），C（5，3），则“水平底”a＝5﹣（﹣1）＝6，“铅
垂高”h＝3﹣1＝2，“矩面积”S＝ah＝6×2＝12．
（1）已知点A（﹣2，4），B（﹣5，﹣2），C（3，﹣1），求这三点的“矩面积”S；
（2）若点A（7，﹣1），B（2，3），E（m，﹣2），这三点的“矩面积”S为45，求点E的坐标．
【答案】（1）48；
（2）点E（﹣2，﹣2）或（11﹣2）．
【思路引领】（1）根据矩面积的定义求出”水平底“a和“铅垂高”h解答即可；
（2）根据矩面积的定义求出”铅垂高“h再根据矩面积为45，求出“水平底a”进而解答即可．
【解答】解：（1）∵点4（﹣2，4），B（﹣5，﹣2），C（3，﹣1），
∴“水平底”a＝3﹣（﹣5）＝8，“铅垂高”h＝4﹣（﹣2）＝6，
∴这三点的“矩面积”S＝ah＝8×6＝48；
（2）∵点4（7，﹣1），B（2，3），E（m，﹣2），
∴“铅垂高”h＝3﹣（﹣2）＝5，
∵三点的“矩面积”s＝45，
∴“水平底”a＝9，
当2＜m＜7时，“水平底”a＝7﹣2＝5，
不符合题意舍去，
当m＜2时，“水平底”a＝7﹣m＝9
∴m＝﹣2，
当m＞7时，“水平底”a＝m﹣2＝9．
∴m＝11，
∴m的值为﹣2或11，
∴点E（﹣2，﹣2）或（11，﹣2）．
【总结提升】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题目中的新定义，利用新定义解答问
题．
第二部分 专题提优训练
1．（2023•南乐县一模）如图，在平面直角坐标系中，点 A的坐标为（4，0），B为第一象限内一点，且
OB⊥AB，OB＝2．将△OAB沿x轴向右平移得到△O′A′B′，O'B'与AB交于点C，若OO′＝1，则△BCO'的面积为（ ）
❑√3 ❑√3 3❑√3 3❑√3
A． B． C． D．
8 4 8 4
【答案】C
【思路引领】由OB⊥AB，OA＝4，OB＝2，得出△AOB是有一个角为30°的直角三角形，根据平移的
3 3❑√3 ❑√3
性质得O′B′⊥AB，再由OO′＝1，得AO′＝3，O′C= ，AC= ，BC= ，在根据三角形的
2 2 2
面积公式计算即可．
【解答】解：∵OB⊥AB，OA＝4，OB＝2，
∴∠AOB＝60°，∠OAB＝30°，AB＝2❑√3，
∵△OAB沿x轴向右平移得到△O′A′B′，
∴O′B′⊥AB，
∵OO′＝1，
∴AO′＝3，
1 3 ❑√3 3❑√3
∴O′C= AO′= ，AC= AO′= ，
2 2 2 2
❑√3
∴BC＝AB﹣AC= ，
2
1 1 ❑√3 3 3❑√3
∴△BCO'的面积为 BC×O′C= × × = ．
2 2 2 2 8
故选：C．
【总结提升】此题考查了平移的性质，一个角为30°的直角三角形的性质，熟练掌握平移的性质是解本
题的关键．
2．（2023秋•赛罕区校级月考）如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形边长为1，点O、A、B在方格纸
的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点C，使△ABC的面积为3，则这样的点C共有个 3
个．【答案】3．
【思路引领】先找到一个使三角形面积为3的点，再过这个点作AB的平行线，可找到符合题意的格点．
【解答】解：AB＝3，
1
设C到AB的距离是a，则 ⋅3a＝3，
2
解得a＝2，
则C在到AB的距离是2，且与AB平行是直线上，
如图，在第四象限满足条件的格点有3个．
故答案为：3．
【总结提升】本题主要考查坐标系下三角形的面积，找到一个符合条件的点，作平行线即可．
3．（2023春•栾城区期末）在平面直角坐标系中，对于任意三个不重合的点A，B，C的“矩面积”，给
出如下定义：“水平底”a指任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h指任意两点纵坐标差的最大值，
“矩面积”S＝ah．例如：A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2）则“水平底”a＝5，“铅垂高”h＝
4，“矩面积”S＝ah＝20．若D（1，2），E（﹣2，1），F（0，t）三点的“矩面积”为18，则t的值
为 ﹣ 4 或 7 ．
【答案】﹣4或7．
【思路引领】根据“矩面积”的定义，得出若D（1，2），E（﹣2，1），F（0，t）三点的“矩面积”
的“水平底”a＝3，由矩面积”S＝ah＝18，得出“铅垂高”h＝18÷3＝6，则D、E、F三点的纵坐标差
的最大值为2﹣t＝6或t﹣1＝6，从而求得t的值．
【解答】解：由题意知，D、E、F三点的“矩面积”的“水平底”a＝1﹣（﹣2）＝3，
∵D、E、F三点的“矩面积”S＝ah＝18，
∴D、E、F三点的“铅垂直”h＝18÷3＝6，
当点F在点D下方时，2﹣t＝6，
解得t＝﹣4．
当点F在点D上方时，t﹣1＝6
解得：t＝7，
故答案为：﹣4或7．
【总结提升】本题考查坐标确定位置，掌握“矩面积”的定义是解题的关键．
4．（2023春•射阳县期末）如图所示的直角坐标系中，四边形 ABCD各个顶点的坐标分别是A（0，0），
B（3，6），C（14，8），D（16，0），
（1）求这个四边形的面积．
（2）在x轴上有一点P使得△PCD的面积与四边形ABCD的面积相等，求点P坐标．
【答案】（1）94；
79 15
（2）（ ，0）或（− ，0）．
2 2
【思路引领】（1）分别过B、C作x轴的垂线，利用分割法求面积和即可；
（2）设P（x，0），利用三角形的面积求解即可．
【解答】解：（1）分别过B、C作x轴的垂线BE、CG，垂足为E，G．
1 1 1
所以S
ABCD
＝S△ABE +S梯形BEGC +S△CGD =
2
×3×6 +
2
×（6+8）×11 +
2
×2×8＝94；
（2）设P（x，0），
∵△PCD的面积与四边形ABCD的面积相等，1
∴ |x﹣16|×8＝94，
2
79 15
解得x = ，x =− ，
1 2 2 2
79 15
∴P（ ，0）或（− ，0）．
2 2
【总结提升】本题考查的是三角形的面积，坐标与图形性质，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解
题的关键．
5．（2023春•满城区期末）如图所示，BA⊥x轴于点A，点B的坐标为（﹣1，2），将线段BA沿x轴方向
平移3个单位，平移后的线段为CD．
（1）点C的坐标为 （﹣ 4 ， 2 ） ；线段BC与线段AD的位置关系是 平行 ．
（2）在四边形ABCD中，点P从点A出发，沿“AB→BC→CD”移动，移动到点D停止．若点P的速
度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，回答下列问题：
①直接写出点P在运动过程中的坐标（用含t的式子表示）；
②当5秒＜t＜7秒时，四边形ABCP的面积为4，求点P的坐标．
【答案】（1）（﹣4，2）；平行．
（2）①当0≤t＜2时，p（﹣1，t），当2≤t≤5时，p（﹣t+2，2），
当5＜t≤7时，p（﹣4，7﹣t）；
4
②点P（﹣4， ）．
3
【思路引领】（1）根据平移性质直接得出结论；
（2）①分三种情况：利用点P的横坐标（或纵坐标）已知，再由运动即可得出结论；
②先表示出点P的坐标，再利用梯形的面积公式建立方程求解即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意知：C（﹣4，2），线段BC与线段AD的位置关系是平行．
故答案为（﹣4，2）；平行．
（2）①当0≤t＜2时，p（﹣1，t），
当2≤t≤5时，p（﹣t+2，2），
当5＜t≤7时，p（﹣4，7﹣t）；
②由题意知：AB＝2，AD＝3，PD＝7﹣t，
∴s四边形ABCP ＝s四边形ABCD ﹣s△ADP ＝4，
1
∴2×3− ×3×（7﹣t）＝4，
2
17
解得t= ，
3
17 4
∴7﹣t＝7− = ，
3 3
4
∴点P（﹣4， ）．
3
【总结提升】此题是四边形综合题，主要考查了平移的性质，梯形的面积公式，用分类讨论的思想解决
问题是解本题的关键．
6．（2023春•浏阳市期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下
定义：“水平底”a：任何两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩
面积”S＝ah．
例如：三点坐标分别为A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），则“水平底”a＝5，“铅垂高”h＝
4，“矩面积”S＝ah＝20．
（1）已知点A（1，2），B（﹣3，1），C（0，5），求三点的“矩面积”S．
（2）若点A（1，2），B（﹣3，1），P（0，t）三点的“矩面积”S为12，求点P的坐标．
【答案】（1）16；（2）（0，4）或（0，﹣1）．
【思路引领】（1）已知三点的坐标，根据新定义计算“水平底”a、“铅垂高”h，再根据“矩面积”
的计算方法即可解答；
（2）由三点的坐标可知“水平底”a＝1﹣（﹣3）＝4，关键是确定“铅垂高”h；由于不确定t的取值，
因此需分t＞2、1≤t≤2、t＜1三种情况，分别表示出三种情况下的“矩面积”，结合“矩面积”为12
求解t的值即可．
【解答】解：（1）三点的“水平底”a＝1﹣（﹣3）＝4，“铅锤高”h＝5﹣1＝4．
∴“矩面积”S＝ah＝4×4＝16；
（2）三点的“水平底”a＝1﹣（﹣3）＝4，“矩面积”S为12．
当1＜t＜2时，h＝2﹣1＝1，
则“矩面积”S＝1×4＝4≠12，不合题意；
当t＞2时，h＝t﹣1，
则4（t﹣1）＝12，解得t＝4，
∴点P的坐标为（0，4）．
当t＜1时，h＝2﹣t，
则4（2﹣t）＝12，解得t＝﹣1，
∴点P的坐标为（0，﹣1）．
综上：点P的坐标为（0，4）或（0，﹣1）．
【总结提升】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题目中的新定义，利用新定义解答问
题．
7．（2023春•武威期末）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）．
（Ⅰ）如图①，则三角形ABC的面积为 6 ；
（Ⅱ）如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．
①求三角形ACD的面积；
②点P（m，3）是一动点，若三角形PAO的面积等于三角形CAO的面积．请直接写出点P坐标．
【答案】（Ⅰ）6．（Ⅱ）①9．
②P（﹣4，3）或（4，3）．
【思路引领】（Ⅰ）利用三角形的面积公式直接求解即可．
（Ⅱ）①连接OD，根据S△ACD ＝S△AOD +S△COD ﹣S△AOC 求解即可．
②构建方程求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0），
∴OA＝2，OB＝2，OC＝4，
1 1
∴S△ABC =
2
•BC•AO =
2
×6×2＝6．
故答案为6．
（Ⅱ）①如图②中由题意D（5，4），连接OD．
S△ACD ＝S△AOD +S△COD ﹣S△AOC
1 1 1
= ×2×5+ ×4×4− ×2×4＝9．
2 2 2
1 1
②由题意： ×2×|m|= ×2×4，
2 2
解得m＝±4，
∴P（﹣4，3）或（4，3）．
【总结提升】本题考查坐标与图形的变化，三角形的面积，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，
灵活运用所学知识解决问题．
8．（2023春•长宁区期末）已知点A的坐标为（3，2），设点A关于y轴对称点为B，点A关于原点的对
称点为C，点A绕点O顺时针旋转90°得点D．
（1）点B的坐标是 （﹣ 3 ， 2 ） ；
点C的坐标是 （﹣ 3 ，﹣ 2 ） ；点D的坐标是 （ 2 ，﹣ 3 ） ；
（2）顺次连接点A、B、C、D，那么四边形ABCD的面积是 2 5 ；
（3）在y轴上找一点F，使S△ABF ＝S△ABC ，那么点F的所有可能位置是 （ 0 ， 6 ）或（ 0 ，﹣ 2 ）
（用坐标表示）．
【答案】（1）（﹣3，2），（﹣3，﹣2），（2，﹣3）；
（2）25；
（3）（0，6）或（0，﹣2）．
【思路引领】（1）根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等可得点 B的坐标，根据关
于原点对称的点横坐标、纵坐标都互为相反数可得点 C的坐标，根据点A绕点O顺时针旋转得点D得
点D在第四象限，OA＝OD，∠AOD＝90°，过点A作AE⊥x轴于E，过点D作DH⊥y轴于H，证
△AOE和△DOH全等得AE＝DH＝2，OE＝OH＝3，据此可得点D的坐标；
（2）根据点A（3，2），B（﹣3，2），C（﹣3，﹣2）得AB＝6，BC＝4，AB⊥BC，据此可求出
S△ABC ＝12，由勾股定理求出OA=❑√13，根据旋转的性质及点 C 与点 A 关于原点 O 对称得
OC=OA=❑√13，点A，O，C在同一条直线上，据此了求出S△ACD ＝13，进而可得四边形ABCD的面积；
（3）设点H的坐标为（0，t），AB与y轴交于点T，由AB∥x轴，点A（3，2）得点T（0，2），则
FT＝|t﹣2|，S△ABF ＝3|t﹣2|，再由S△ABF ＝S△ABC 列出关于t的方程，解方程求出t的值即可得点F的坐标．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（3，2），
又∵点A关于y轴对称点为B，点A关于原点的对称点为C，
∴点B的坐标为（﹣3，2），点C的坐标为（﹣3，﹣2）；
∵点A绕点O顺时针旋转90°得点D，∴点D在第四象限，OA＝OD，∠AOD＝90°，
过点A作AE⊥x轴于E，过点D作DH⊥y轴于H，则∠OEA＝∠OHD＝90°，
∵点A的坐标为（3，2），
∴OE＝3，AE＝2，
∵∠AOD＝∠EOH＝90°，
∴∠AOE+∠EOD＝∠DOH+∠EOD，
即：∠AOE＝∠DOH，
在△AOE和△DOH中，
{
∠AOE=∠DOH
)
∠OEA=∠OHD=90° ，
OA=OD
∴△AOE≌△DOH（AAS），
∴AE＝DH＝2，OE＝OH＝3，
∴点D的坐标为（2，﹣3）．
故答案为：（﹣3，2）；（﹣3，﹣2）；（2，﹣3）．
（2）∵点A（3，2），点B（﹣3，2），点C（﹣3，﹣2）；
∴AB＝6，BC＝4，AB⊥BC，
1 1
∴S = AB⋅BC= ×6×4=12，
△ABC 2 2
在Rt△OAE中，OE＝3，AE＝2，
由勾股定理得：OA=❑√OE2+AE2=❑√13，由旋转的性质得：∠AOD＝90°，OD=OA=❑√13，
∵点C与点A关于原点O对称，
∴OC=OA=❑√13，点A，O，C在同一条直线上，
∴AC=OA+OC=2❑√13，
1 1
∴S = AC⋅OD= ×2❑√13×❑√13=13，
△ACD 2 2
∴S四边形ABCD ＝S△ABC +S△ACD ＝12+13＝25，
故答案为：25．
（3）∵点H在y轴上，设点H的坐标为（0，t），
设AB与y轴交于点T，
∵AB∥x轴，点A的坐标为（3，2），
∴点T的坐标为（0，2），
∴FT＝|t﹣2|，
1 1
∴S = AB⋅FT= ×6×|t−2|=3|t−2|，
△ABF 2 2
∵S△ABF ＝S△ABC ，
∴3|t﹣2|＝12，
∴|t﹣2|＝4，
∴t﹣2＝4或t﹣2＝﹣4，
由t﹣2＝4解得：t＝6，由t﹣2＝﹣4解得：t＝﹣2，
∴点F的位置是（0，6）或（0，﹣2），故答案为：（0，6）或（0，﹣2）．
故答案为：（1）（﹣3，2），（﹣3，﹣2），（2，﹣3）；（2）25；（3）（0，6）或（0，﹣2）．
【总结提升】此题主要考查了点的坐标，图形的旋转变换及性质，三角形的面积等，解答此题的关键是
熟练掌握关于坐标轴对称点的坐标的特征，关于原点对称点的坐标的特征，图形旋转变换及性质．
9．（2023春•滨海新区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知 A（a，0），B（b，0），其中a，b满足
❑√a+1+(b−3) 2=0．
（1）填空：a＝ ﹣ 1 ，b＝ 3 ；
（2）若在第三象限内有一点M（﹣2，m），用含m的式子表示△ABM的面积；
9 3
（3）在（2）条件下，线段BM与y轴相交于C（0，− ），当m=− 时，点P是y轴上的动点，当
10 2
满足△PBM的面积是△ABM的面积的2倍时，求点P的坐标．
【思路引领】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性质得a+1＝0，且b﹣3＝0，即可得出结论；
（2）根据三角形面积公式求解即可；
（3）根据三角形面积公式求出PC的长，再分类讨论即可．
【解答】解：（1）∵a、b满足❑√a+1+（b﹣3）2＝0，
∴a+1＝0，且b﹣3＝0，
∴a＝﹣1，b＝3，
故答案为：﹣1，3；
（2）∵a＝﹣1，b＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
∵M（﹣2，m），且M在第三象限，
∴m＜0，1
∴△ABM的面积= ×4×（﹣m）＝﹣2m；
2
3
（3）当m=− 时，
2
3 3
则M（﹣2，−
2
），S△ABM ＝﹣2m＝﹣2×（−
2
）＝3，
∵△PBM的面积＝△ABM的面积的2倍＝6，
1 1
∵△PBM的面积＝△MPC的面积+△BPC的面积= PC×2+ PC×3＝6，
2 2
12
解得：PC= ，
5
9
∵C（0，− ），
10
9
∴OC= ，
10
12 9 33
当点P在点C的下方时，P（0，− − ），即P（0，− ）；
5 10 10
12 9 3
当点P在点C的上方时，P（0， − ），即P（0， ）；
5 10 2
33 3
综上所述，点P的坐标为（0，− ）或（0， ）．
10 2
【总结提升】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性质、三角形的面积、坐标与图形性质等知识，本题
综合性强，熟练掌握绝对值和算术平方根的非负性质，进行分类讨论是解题的关键．
