文档内容
技巧 01 单选题和多选题的答题技巧
目 录
01 直接法..............................................................................................................................................1
02 特殊法..............................................................................................................................................3
03 赋值法..............................................................................................................................................7
04 排除法............................................................................................................................................11
05 构造法............................................................................................................................................12
06 中间值比较法.................................................................................................................................16
07 坐标法............................................................................................................................................19
08 归纳法............................................................................................................................................23
09 正难则反法....................................................................................................................................25
10 换元法............................................................................................................................................27
01 直接法1．已知函数 ，若正实数 a，b 满足 ，则 的最小值为．
（ ）
A．4 B．8 C．9 D．13
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 ，
可得 是R上的奇函数，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 即 时等号成立，
所以 的最小值为9，
故选：C
2．中国的5G技术世界领先，其数学原理之一便是著名的香农公式： 它表示：在受
噪声干扰的信道中，最大信息传递速率 单位： 取决于信道宽度 单位： 、信道内信号的
平均功率 单位： 、信道内部的高斯噪声功率 单位： 的大小，其中 叫做信噪比，按照香农公式，若信道宽度 W 变为原来 2 倍，而将信噪比 从 1000 提升至 4000，则 C 大约增加了 附：
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，当 时， ，
当W变为原来的2倍， 时， ，
则
故选
3．17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想
方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把
天文学家的寿命延长了许多倍”．已知 ， ，设 ，则N所在的区间
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
所以
，
所以
故选4．已知函数 ，在区间 上单调递减，则正实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，函数 ，令 ，
由正实数a知，函数 单调递减，
因为 在区间 上单调递减，
则 单调递增且 在区间 上恒成立，
所以 ，解得： ，
故a的取值范围是
故选
02 特殊法
5．（多选题）设a，b是正数，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．
B．若 ，则
C．
D．
【答案】ABD【解析】对于A， ，
可得 ，故A正确；
对于B，因为 ，
所以 ，
即得 ，
因为 ， ，
所以 ， ，
则
，
当且仅当 ，
即 ， 时，等号成立，故B正确；
对于C，当 ，由 ，则 ，
当且仅当 时取得等号；
当 时，比如 ， ，可得 ，故C错误；
对于D， ，，
而 ， ，
可得 ，
则 ，故D正确．
故选：
6．（多选题）定义“正对数”： 现有四个命题，其中的真命题有（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】ACD
【解析】对于A，当 ， 时，有 ，从而 ， ，
；
当 ， 时，有 ，从而 ， ，
；
当 ， 时， ，命题A正确；
对于B，当 ， 时，满足 ， ，而 ， ，
，命题B错误；
对于C，由“正对数”的定义知， 且
当 ， 时， ，而 ，
当 ， 时，有 ， ，
而 ，
，
当 ， 时，有 ，
，而 ，
当 ， 时， ，则
当 ， 时， ，命题C正确；
对于D，由“正对数”的定义知，当 时，有 ，
当 ， 时，有 ，
从而 ， ，当 ， 时，有 ，
从而 ，
，
当 ， 时，有 ，
从而 ，
，
当 ， 时， ，
，
，
，从而 命题D正确．
故答案为：
03 赋值法
7．设二次函数 满足下列条件：① ；②当 时，
恒成立．若 在区间 上恒有 ，则实数m的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，
当 时， 恒成立，
可得当 时， ，
即 ，即 ①，
由 ，可得 的图象关于直线 对称，
可得 ，即 ②，
由 ，即 ③，
由①②③解得 ， ， ，
则 ，
在区间 上恒有 ，
则在区间 上恒有 ，
因为 ，则 ，
所以
可得 ，解得
故选：
8．已知函数 的定义域D关于原点对称， 且 满足：①当 时， ；②
， 且 ， ，则下列关于 的判断错误的是（ ）
A． 为奇函数 B．
C． 是 的一个周期 D． 在 上单调递减
【答案】D
【解析】因为 ， ， ，
所以 为D上的奇函数，
因为 ，所以 ，
所以 ，
，
所以 ，
所以 是 的一个周期，， ，且 ，则 ，
因为当 时， ，
对于任意的 ，
所以 ， ， 均小于0，
又 ，
所以 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，故ABC正确，D错误．
故选
9．（多选题） 已知定义在 R 上且不恒为 0 的函数 ，若对任意的 x， ，都有
，则（ ）
A．函数 是奇函数
B．对 ，有
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】AD
【解析】：对于 因为对任意的 x， ，都有 ，所以令 ，有，解得 ；
令 ，有 ，解得 ，
因此对任意的 ， ，有 ，即 ，
所以函数 是奇函数，故A正确；
对于 因为对任意的x， ，都有 ，且由选项A知： ，
所以对任意的 ，
，故B错误；
对于 由选项B知：对任意的 ， ，而 ，
因此 ，
所以 ①，
① 得： ②，
因此②-①得：
= ，故C错误；
对于 因为对任意的x， ，都有 ，且 ， ，
所以令 ， ，则由 得又因为由选项B知：对任意的 ， ，
所以令 ，则 ，因此 ，
所以
，故D正确．
故选
10．（多选题）定义在 R 上的函数 和 ，函数 的图象关于直线 对称，且满足
，若 ，则（ ）
A． B．函数 的图象是中心对称图形
C． D．
【答案】BC
【解析】 由 的图象关于直线 对称得到 ，
再由
即
得到 ，故 的图象关于 对称，故B正确；
令 ，得到 ，故A不正确，
由 可得，即 ，
， ，
故到 的周期为4，
又 即 即 ，
令 ，则 ，故 ， ，故D错误；
令 ，则 ，故 所以 ，
令 ，则 ，故 ，
所以C正确，故选
04 排除法
11．在等比数列 中， 若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当 时， ，不符合题意；
当 时， ， ，
所以 ，不符合题意；
当 时， ， ，不符合题意；
故 ，所以
故选：
12．（多选题）已知 为等比数列，下面结论中错误的是（ ）A． B．
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】ACD
【解析】设 的首项为 ，公比为q，
当 ， 时，可知 ， ， ，所以A不正确；
当 时，C选项错误；
当 时， ，故D选项错误．
根据基本不等式可得 ，当且仅当 时，取等号，B选项正确．
故选
13．（多选题）对于 ， ，下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则 是纯虚数
C． D．
【答案】AC
【解析】不妨设 ，则 ，若 ，则 ，则 ， ，
故A选项正确；
若 ， 可以是纯虚数，也可以是实数0，故B选项错误；
C选项中， ，故C正确；
D选项中，当 时，结论不成立，故D错误．
故选
14．（多选题）在 中，下列结论中正确的是（ ）A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】AC
【解析】由 ，则 ，结合正弦定理 ，得 ；故A选项正确；
若 ，且A， ，则 ，则 ，故B
错；
，A， ，且余弦函数 在 上为减函数，故 ，故C对；
取 ， ，则 ， ，此时 ，故 D
错．
故选：
05 构造法
15．下列不等式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A， ，
因为 ，
所以 ，则 ，所以 ，故A正确；对于B，令 ，则 ，
当 ， ，函数 为增函数，当 ， ，函数 为减函数，
又 ，所以 ，所以 故B正确；
对于C，设 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，则
所以 ，
所以 ，
则
所以 ，故C错误；
对于D， ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，故D正确．
故选
16．若关于x的方程 有3个不同实根，则满足条件的整数k的个数是（ ）
A．24 B．26 C．29 D．31
【答案】B
【解析】由 ，得 ，则关于x的方程 有3个不同实根，
即为函数 ， 的图象有3个不同的交点，
令 ，则 ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ， ，
当x趋向负无穷时， 趋向负无穷，当x趋向正无穷时， 趋向正无穷，
作出函数 的大致图象，如图所示，
由图可得 ，所以 ，
所以满足条件的整数k的个数是 个．
故选：
17 ． （ 多 选 题 ） 已 知 函 数 ， 若 ， ， 且 ， 总 有
成立，则（ ）A．函数 在区间 上单调递增
B．函数 在区间 上单调递增
C．a的取值范围是
D．a的取值范围是
【答案】ABD
【解析】由题意，知 ，不妨设 ，
由 ，得 ，
故 ，所以函数 在区间 上单调递增，故A正确；
由 ，得 ，
所以函数 在区间 上单调递增，故B正确；
设 ，由上可知函数 在区间 上单调递增，
故 在区间 上恒成立，所以 ，
又函数 在区间 上单调递减，
故当 时，函数 取得最大值为 ，
所以 ，故D正确、C错误．
故选18．（多选题）已知函数 的定义域为R， 的图象关于直线 对称，且 在区间
上单调递增，函数 ，则下列判断正确的是（ ）
A． 是偶函数 B．
C． D．
【答案】AD
【解析】因为 的图象关于直线 对称，且在区间 上单调递增，所以 的图象关
于 y 轴对称，所以 为偶函数，且在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
，所以 为奇函数．
又因为函数 与 在R上均单调递增，所以 在R上单调递增．
对于A，因为 ，所以 是偶函数，故A正确；
对于B，因为 ， 在R上单调递增，所以 ，故B错误；
对于C，令 ，则 ，当 时， ，所以 在区间 上单调
递增，所以 ，即 ，即 ，所以 ，所
以 ，所以C错误；
对于D，由前面的分析可知 ，所以 ，故D正确．
06 中间值比较法19．已知 ， ， 其中 是自然对数的底数 ，则下列大小关系正确的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得 ， ，
设 ，则 ，
当 时， ，
所以 在 上单调递增，则 ，
从而 ，即 ，故 ，即
设 ，则 ，
当 时， ，
所以 在 上单调递减，则 ，即 ，即 ，
从而 ，即 ，故 ，即
设 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
则 ，即 ，从而 ，即 ，故 ，即
20．设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ，
则 ，
当 时， ，则 单调递增；当 时， ，则 单调递减，
故 ，
所以 对任意 均成立，
取 ，有 ，
所以 ，
再取 ，可得 ，即 ，
所以 ，
当 时，令 ，
则 ，所以 在 上单调递增，
则 ，所以
当 时，令 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
则 ，所以 ，
所以当 时， ，
所以
，
所以
故选
21．已知正实数 a，b，c 满足： ， ， ，则 a，b，c 大小满足
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ；而函数 为增函数， ，所以 ；
又因为 ， ， ，
所以 ，所以
因此，
故选
22．设 ， ， ，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，
则 ，因此函数 是增函数，
所以 ，即 ，
因此 ，即
设 ，则 ，
因此函数 是减函数，所以 ，因此 ，即
设 ，则而由 知：当 时， ，即 ，
因此函数 是减函数，所以 ，即 ，因此 ，
所以 ，即
综上所述，
07 坐标法
23．正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则 （ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】B
【解析】以E点为坐标原点，AB为x轴，垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，
则 ， ， ，
所以
所以 ，
故选：
24．已知 是边长为 1 的正三角形，若点 P 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】以O为原点，以OB为x轴，建立平面直角坐标系，
为边长为1的正三角形，
， ，
，
，
，故选
25．（多选题）已知在 中， ， ，D，E 为 所在平面内的点，且
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】由题意知 ，E为AD的中点，，则A错B对；
取BC中点O，以O为原点， ， 的方向分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系，
如图所示：
得 ， ， ， ， ，
则 ， ， ，
则 ，故C项错误；
而 ，
即 ，
得 ，故D项正确．
26．（多选题）已知正三角形 ABC 的边长为 2，点 D 为边 BC 的中点．若 内一动点 M 满足
则下列说法中正确的有（ ）
A．线段BM长度的最大值为 B． 的最大值为
C． 面积的最小值为 D． 的最小值为【答案】BD
【解析】如图，以D为原点，BC，DA所在直线分别为x轴，y轴，
建立平面直角坐标系，
则 ， ，
因为动点 M满足 ，设 ，
则 ，
可以求得动点M的轨迹方程： ，
故动点M的轨迹是一个圆心在点 ，半径 的圆 不含原点 ，
A项： ，所以 ，故A错误；
B项： ，故B正确；
C项：易知直线 ，圆心P到直线AB的距离为 ，
则点M到直线AB的距离的最小值为 ，
所以 面积的最小值为 ，故C错误；
D 项：易知 取最小值，当且仅当 取最大值，也即 BM 与 相切时，此时，故 ，故D正确．
故选
08 归纳法
27．（多选题）意大利数学家列昂纳多 斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波
那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列 满足： ， ， 若
将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为 ，
每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A选项，因为斐波那契数列总满足 ，
所以 ，
，
，
类似的有， ，累加得 ，
由题知 ，
故选项A正确，
对于B选项，因为 ， ， ，
类似的有 ，
累加得 ，
故选项B正确，
对于C选项，因为 ， ， ，
类似的有 ，
累加得 ，
故选项C错误，
对于D选项，可知扇形面积 ，
故 ，
故选项D正确，
故选：
28．（多选题）给出构造数列的一种方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再
把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现自1，1起进行构造，第1次得到数列1，2，1，第2
次得到数列 1，3，2，3，1，…，第 次得到数列 1， ， ，…， ，1，记
，数列 的前n项和为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】CD
【解析】由 ， ，
， ，故A错误；
所以 ，故B错误，C正确；
由 … …
，故D正确．
故选
09 正难则反法
29．南通地铁1号线从文峰站到南通大学站共有6个站点．甲、乙二人同时从文峰站上车，准备在世纪大
道站、图书馆站和南通大学站中的某个站点下车．若他们在这3个站点中的某个站点下车是等可能的，则
甲、乙二人在不同站点下车的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令事件A为甲乙在世纪大道站、图书馆站和南通大学站中的某个相同站点下车，
则 ，
所以
故选：
30．（多选题）某校共有东门、西门、北门三道校门．由于疫情防控需要，学校安排甲、乙、丙、丁 4名
教师志愿者分别去三道校门协助保安值守，下列选项正确的是（ ）A．若对每名教师志愿者去哪道校门无要求，则共有81种不同的安排方法
B．若恰有一道门没有教师志愿者去，则共有42种不同的安排方法
C．若甲、乙两人都不能去北门，且每道门都有教师志愿者去，则共有44种不同的安排方法
D．若学校新购入20把同一型号的额温枪，准备全部分配给三道校门使用，每道校门至少3把，则共有78
种分配方法
【答案】ABD
【解析】对于A项，每位教师都可以有3种安排方法，则 ，故A项正确；
对于B项，若恰有一道门没有教师志愿者去，需要先在3道门中选出2道门，将4人安排到这两个地方，
则 ，故B项正确；
对于C项，根据题意，需要将4人分为3组，若甲乙在同一组，有1种分组方法，
则甲乙所在的组不能去北门，有2种情况，剩余2组安排到其余2门，有 种情况，
此时有 种安排方法；
若甲乙不在同一组，有 种分组方法，
若甲乙两人不能去北门，只能安排没有甲乙的1组去北门，甲乙所在的两组安排到东、西两地，
有 种情况，此时有 种安排方法；
则一共有 种安排方法，故C项错误；
对于D项，只需要将20把同一型号的额温枪排成一排，
若每道校门至少3把，则在13个空位中插入2个挡板，就可以将20把同一型号的额温枪分为3组，
依次对应东门、西门、北门三道校门即可，有 种安排方法，故D项正确．
31．（多选题）美术馆计划从6幅油画，4幅国画中，选出4幅展出，若某两幅画至少有一副参展，则不
同的参展方案有多少种？（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】对于A，从对立面考虑，这两幅画一幅也没参展有 种情况，则至少一幅参展方案为 ，A正确；
对于B，若两幅中只有一幅参展，有 种情况；
若两幅都参展，有 种情况，
则共有方案 种，B正确；
对于C，将该两幅画分别记为甲、乙，若甲参展，则不需要考虑乙的参展情况，有 种，
若甲不参展，则乙必须参展，需要在剩余8幅画中再选3幅，有 种，
故满足题意的方案有 种，C正确；
对于D， 表示两幅画都参展或都不参展，D错误；
故选
32．（多选题）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷n次，以 表示没有出现连续2次6点向上的概率，则下
列结论正确的是（ ）
A． B．
C．当 时 D．
【答案】ACD
【解析】对于A，抛掷2次，若出现两次6点向上，概率为 ，则 ，A正确；
对于B，抛掷3次， ，B错误；
对于C、D，抛掷n次 ，没有出现连续2次6点向上，
若第n次没出现6点，则与前 次没有出现连续2次6点向上是一样的， ，
若第n次出现6点，则第 次不出现6点，且前 次没有出现连续2次6点向上， ，所以 ①，D正确；
又 ②，
② ①得， ，所以 ， ，
由选项A、B知， 时上式也成立，故C正确．
故选：
10 换元法
33．（多选题）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，P为x轴上的
动点，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小值为2
B．若 ，则 的面积等于4
C．若 ，则 的最小值为5
D．若 ，且 与 的夹角 则
【答案】ACD
【解析】 ，
当且仅当 ，
即 时，等号成立，
故选项A正确；
， ，轴， ， ，
故选项B错；
，A关于x轴的对称点 ，
，
，
当且仅当 共线时等号成立．
故选项C正确；
，则
， ，
与 的夹角
即 ，
所以 ，
，
令 ，则
，
易知函数 在 上是增函数，
所以 ，
所以 ，
故选项D正确．故选：
34．（多选题）设 ，若 ，则 的值可能为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】BC
【解析】令 ，则 ，代入 可得，
，关于 x 的方程有解，
则 ，解得 ，
所以 ，则BC选项符合题意．
故选：
35．（多选题）下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则 的最大值是
B．若x，y，z都是正数，且 ，则 的最小值是3
C．若 ， ， ，则 的最小值是2
D．若实数x，y满足 ，则 的最大值是
【答案】ABD
【解析】对于A，因为 ，所以 ， ，
所以
，当且仅当 时，即 ，等号成立，
此时 有最大值 ，故A正确；
对于B，若x，y，z都是正数，且 ，即 ， ， ，
则
，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
所以 的最小值是3，故B正确；
对于C，因为 ， ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，整理得 ，
解得 舍去 或 ，
当且仅当 时等号成立，所以 的最小值为4，故C错误；
对于D，已知 ，则 ， ，不妨设 ，
设 ， ，则 ， ， ， ，则
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最大值为 ，故D正确．
故选
36．（多选题）已知函数 ， ，则（ ）
A． 与 均在 单调递增
B． 的图象可由 的图象平移得到
C． 图象的对称轴均为 图象的对称轴
D．函数 的最大值为
【答案】AD
【解析】 ，
对于A选项，由 ， ，
可得 的单调增区间为 ，
由 ， ，可得 的单调增区间为 ，
故 与 均在 单调递增，故A正确；
对于B选项， 与 的周期及最值均不相同，
故 的图象无法由 的图象平移得到，故B错误；
对于C选项，由 ， ，可得 的对称轴为 ，
由 ， ，可得 的对称轴为 ， ，
因而 图象的对称轴不全是 图象的对称轴，故C错误；
对于D选项， ，
令 ，则 ，
则 ，
时， ，故D正确．
故选
37．（多选题）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，P为x轴上的
动点，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小值为2B．若 ，则 的面积等于4
C．若 ，则 的最小值为5
D．若 ，且 与 的夹角 则
【答案】ACD
【解析】 ，
当且仅当 ，
即 时，等号成立，
故选项A正确；
， ，
轴， ， ，
故选项B错；
，A关于x轴的对称点 ，
，
，
当且仅当 共线时等号成立．
故选项C正确；
，则
， ，与 的夹角
即 ，
所以 ，
，
令 ，则
，
易知函数 在 上是增函数，
所以 ，
所以 ，
故选项D正确．
故选：
38．（多选题）已知 ， ，且 ，则下列不等关系成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】A： ，当且仅当 时取等号，故A正确；
B： 故 ，当且仅当 时取等号，所以B正确；
C： ，
令 ，
由二次函数性质易得最大值在 处取得，为1，则 ， ，所以C正确；
，
令 ， ，易得 在 单调递减，在 单调递增，
则 在 取最小值，
，故D错误．
