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专题 01 二次根式（考点清单，11 考点梳理+7 题型解读）
清单 01 二次根式
一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式．
①“ ”称为二次根号
②a（a≥0）是一个非负数；
学习要求：
理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被
开方数中的字母取值范围．
清单 0 2 二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如 （a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性． （a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的
非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是
非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
清单 0 3 二次根式的性质与化简
1.二次根式的基本性质：
≥0； a≥0（双重非负性）．
（1）
（2）（ ）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
（3） ；
（4）积的算术平方根的性质： ；
（5）商的算术平方根的性质： .
2. 化简二次根式的步骤：
①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；
③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
清单 0 4 最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为
平方数或平方式的因数或因式．
清单 0 5 二次根式的乘除法（1）积的算术平方根性质：❑√ab ＝ ❑√a · ❑√b （a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：❑√a · ❑√b ＝❑√ab （a≥0，b≥0）
√a ❑√a
（3）商的算术平方根的性质：❑ ＝ （a≥0，b＞0）
b ❑√b
❑√a √a
（4）二次根式的除法法则： ＝❑ （a≥0，b＞0）
❑√b b
清单 0 6 分母有理化
1.分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
2.两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
3. 常用的有理化因式
❑√a与❑√a；❑√a＋b与❑√a＋b；❑√a－b与❑√a－b；❑√a＋❑√b与❑√a－❑√b；a❑√b＋c❑√d与a❑√b－c❑√d
等.
清单 0 7 同类二次根式
1.同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做
同类二次根式．
2.合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
清单 0 8 二次根式的加减法
1.二次根式的加减法法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的
二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
2.二次根式的加减运算步骤：
①去——如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②化——把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③并——合并被开方数相同的二次根式．
3.合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数
相加减，被开方数和根指数不变．清单 0 9 二次根式的混合运算
1.二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应
注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
2.二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往
能事半功倍．
清单 10 二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相
干扰．
清单 11 二次根式的应用
把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解
决问题的策略，提高解决问题的能力．
二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
【考点题型一】二次根式的相关概念与化简（ ）
【例1-1】（23-24八年级下·广西河池·期末）要使式子 有意义，则x的值可以是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【例1-2】（24-25八年级下·全国·期末）若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围为
．
【例1-3】（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知 是整数，则自然数 的值是 ．
【例1-4】（23-24八年级下·河南濮阳·期末）先阅读再求值．
在计算 的过程中，小明和小莉的计算结果不一样．
小明的计算过程如下： 小莉的计算过程如下：＝ ＝
＝ ＝
＝ ＝
＝ ＝
(1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由；
(2)计算： ．
【变式1-1】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（23-24八年级下·甘肃平凉·期末） 的相反数是（ ）
A． B．8 C． D．
【变式1-3】（23-24八年级下·福建福州·期末）当 时，二次根式 的值为 ．
【变式-4】（24-25八年级上·云南普洱·期末）对于任意不相等的两个实数 ， ，定义一种运算来如下：
．例： ，那么 ．
【变式1-5】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数 共有 个．
【变式1-6】（23-24八年级下·贵州毕节·期末）（1）判断下列各式是否成立，并从中选择一个进行验证：
， ，
（2）用字母n（n是正整数， ）表示这一规律是：____________；【变式1-7】（23-24八年级下·江苏淮安·期末）像 ，这样的根式叫做复合二次根式．
有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简：
如： ，
再如： ，
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：
(2)化简：
(3)若 ，且 为正整数，求 的值．
【变式1-8】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方
法．
(1)【回顾旧知，类比求解】
解方程： ．
解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解．
(2)【学会转化，解决问题】
①运用上面的方法解方程： ；
②代数式 的值能否等于7？若能，求出 的值；若不能，请说明理由．【考点题型二】最简二次根式与同类二次根式（ ）
【例2-1】（23-24八年级下·云南红河·期末）下列根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】（24-25八年级上·上海崇明·期末）下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
【变式2-1】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若 与最简二次根式 能合并，则 的值为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式2-2】（24-25八年级上·四川甘孜·期末）若最简二次根式 与 是同类二次根式，则
，
【变式2-3】（23-24八年级下·陕西安康·期末）定义：若两个二次根式m、n满足 ，且p是有理数，
则称m与n是关于p的和谐二次根式．已知最简二次根式 与 可以合并，请问 的算术平方根与
是关于4的和谐二次根式吗？并说明理由．
【考点题型三】二次根式的运算（ ）
【例3-1】（24-25八年级上·广东深圳·期末）计算：
(1) ； (2) ．【例3-2】（23-24八年级下·广西河池·期末）计算：
【变式3-1】（23-24八年级下·云南昆明·期末）计算： ．
【变式3-2】（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）计算：
(1) (2)
【变式3-3】（23-24八年级下·河南漯河·期末）计算：
(1) ； (2) ．
【考点题型四】二次根式的化简求值（ ）
【例4】（23-24八年级下·全国·期末）已知 ， 求 的值【变式4-1】（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）先分解因式，再代入求值： ，其中 ，
．
【变式4-2】（23-24八年级下·云南红河·期末）已知 ，求下列代数式的值；
(1) ；
(2)
【变式4-3】（24-25八年级上·四川成都·期末）阅读下列材料，然后回答问题．
学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如
我们熟悉的下面这个题：已知 ，求 我们可以把 和 看成是一个整体，令
，则 这样，我们不用求出a，b，就可以得到最
后的结果．
(1)计算：
(2)m是正整数， ， ，且 ，求m．
(3)已知 ，求 的值．【考点题型五】分母有理化（ ）
【例5】（23-24八年级下·云南普洱·期末）阅读理解:
爱思考的张华在做题时遇到这样一个问题：已知 ，求 的值．
他是这样分析与解答的：
，即
请你根据张华的分析过程，解决如下问题：
(1)计算： ；
(2)若 ，求 的值．
【变式5-1】（23-24八年级下·广东广州·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简， ， ，
这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题：
(1)化简： ______； ______；
(2)矩形的面积为 ，一边长为 ，求这个矩形的周长；
(3)当 时，化简： ．
【变式5-2】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）阅读材料：
像 两个含有二次根式的代数式相
乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．
例如， 与 、 与 、 与 等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，
利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
根据以上阅读材料回答下列问题：
(1)计算： ；
(2)计算： ．
【变式5-3】（23-24八年级下·江西上饶·期末）【阅读理解】阅读下列材料，然后解答下列问题．
像 ， ， ，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如： 与 ， 与 ，
与 等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中
的根号，请回答下列问题：
(1)化简： ；
(2)计算： ；
(3)计算： ．
【变式5-4】（23-24八年级下·广西崇左·期末）阅读下面的材料，然后解答问题：
， ，
① ②
．
③
以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
还可以用以下方法化简：
．
④
(1)化简： =______， =______；
(2)参照 式化简： ；
③(3)参照 式化简： ．
④
【考点题型六】比较二次根式的大小（ ）
【例6】（23-24八年级下·江西南昌·期末）先用“ ”“ ”“ ”填空．
______ ； ______ ； ______ ．
再由上面各式猜想 与 （ ， ）的大小，并说明理由．
【变式6-1】（23-24八年级下·河南省直辖县级单位·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方
法”会取得很好的效果，例如，比较 和 的大小，我们可以把 和 分别平方， ，
，则 ，
请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较 ， 大小， （填写 ， 或者 ）
(2)猜想 ， 之间的大小关系，并证明．
【变式6-2】（23-24八年级下·安徽淮北·期末）像 ， ，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如 与 ，
与 等都是互为“有理化因式”．进行二次根式运算时，利用“有理化因式”可以化去分母中
的根号．
(1)化简：① ．② ．
(2)计算
(3)已知 ， ， ，试比较a，b，c的大小，并说明理
由．
【变式6-3】（23-24八年级上·四川达州·期末）阅读下列解题过程∶
请回答下列问题∶
(1)仿照上面的解题过程化简∶ ______ ______ ________．
(2)请直接写出 的化简结果∶____________．
(3)利用上面所提供的想法，求 的值．
(4)利用上面的结论，不计算近似值，试比较 与 的大小，并说明理由．
【考点题型七】二次根式的应用（ ）
【例7】（23-24八年级下·陕西安康·期末）在一个长为 ，宽为 的长方体塑料容器中装满水，然后将这个塑料容器内的一部分水倒入一个高为 的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料
容器中的水面下降了 ．求圆柱形玻璃容器的底面半径．
【变式7-1】（23-24八年级下·陕西延安·期末）如图，从一个大正方形中裁去面积分别为 和
的两个小正方形，求剩余部分（阴影部分）的面积．
【变式7-2】（23-24八年级下·陕西安康·期末）快递公司为顾客的快递提供纸箱包装服务，现有三款长方
体包装纸箱的高相同，底面规格如表：
型
长 宽
号
小
号
中
号
大
号
已知甲、乙两件长方体礼品底面都是正方形，底面积分别为 ， ，两件礼品的高都小于包装纸
箱的高．若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如图，从节约材料的角度考虑，应选择哪种底
面型号的纸箱?【变式7-3】（23-24八年级下·广东东莞·期末）我们已经学过一个三角形已知底边长为a，高为h，则这个
三角形的面积为 ，古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边
求面积的公式，即如果一个三角形的三边长分别为 ，则有下列面积公式．
海伦公式： ，其中
秦九韶公式： ．
(1)一个三角形的三边长分别为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积；
(2)一个三角形的三边长分别为 ， ， ，任选以上一个公式求这个三角形的面积．
【变式7-4】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）阅读下面材料：将边长分别为a， ， ， ，……的正方形面积分别记为 ， ， ， ，……．
则
；
；
……
根据以上材料解答下列问题：
(1)根据材料中的规律可得面积记为 的正方形边长是 ；
(2)猜想 的结果，并证明你的猜想；
(3)令 ， ， ，…， ，且 ，求T的值．
【变式7-5】（23-24八年级下·四川达州·期末）阅读以下材料：如果两个正数 ，即 ，由完全平方式的非负数性质可得：
（当 即 时，取等号），
（当且仅当 时取等号）
结论：对任意两个正数 ，都有 ；上述不等式当且仅当 时等号成立．当这两个正数
的积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数 的和的最小值．
例如：当 为正数时，两数 和 均为正数，且 （常数），则有 当且仅
当 即 时取等号
当 时， 有最小值，最小值为4.
利用以上结论完成下列问题：
(1)已知 为正数，即 ，则当 时， 取到最小值，最小值为 ；
(2)当 均为正数，即 时，求函数 的最小值；
(3)如图，四边形 的对角线 相交于点 的面积分别是4和9，求四边形 面
积的最小值．【变式7-6】（23-24八年级下·河南驻马店·期末） 我们学习发现∶ 当 时， 有
当且仅当 时取等号．
(1)求当 时， 的最小值；
(2)如图，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，
花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为 的花圃，所用的篱笆至少需要多少m．
【变式7-7】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题．
【阅读材料1】如果两个正数a，b，则 即 ，当且仅当 时
取等号，此时 有最小值为
【实例展示1】已知 ，求式子 最小值．
解： 当且仅当 即 时，式子有最小值为6．
【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大
的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大
于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分
式”．
【实例展示2】如： 这样的分式就是假分式；如： 这样的分式就是真分式，假分数
可以化成 带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：
(1)已知 ，则当 ______时，式子 取到最小值，最小值为______；
(2)分式 是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式 可化为带分式形式为______；如果分式
的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个；
(3)用篱笆围一个面积为 的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，
最短的篱笆是多少？
(4)已知 ，当x取何值时，分式 取到最大值，最大值为多少？
