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专题 03 轴对称（考点清单，5 个考点清单+8 种题型解读）【清单01】轴对称
1.轴对称图形和轴对称
（1）轴对称图形
如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这
条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平
分线.
（2）轴对称
定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这
条直线对称，这条直线叫做对称轴.
要求归纳：成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全
等形；
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.
（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系
要点归纳: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及
两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那
么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
2.线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条
线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
要点归纳：
线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是
遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三
角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——
外心.
【清单02】作轴对称图形
1.作轴对称图形
（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，
就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称
点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
【清单03】等腰三角形
1.等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，
∠B、∠C是底角．
要点归纳：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于 45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝
角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ ．
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特
别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等 边”）.
要点归纳：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为
边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理．
2.等边三角形
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
要点归纳：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包
括等边三角形．
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
【清单04】含30°角的直角三角形的性质（重点）
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常
用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三
角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
【清单05】最短路径问题（重点）
1.垂直线段最短问题
动点所在的直线已知型
方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短。
2.将军饮马问题
方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值．
①两定一动
②一定两动③两定两动
3.“造桥选址”问题
方法技巧：将分散的线段平移集中，再求最值．
A
M
N
【考点题型一】轴对称与轴对称图形
1．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）下面的图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形
的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完
全重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．
故选C．
2．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图， 与 关于直线l对称，连接 ， ， ，
其中 分别交 ， 于点D， ，下列结论：① ；② ；③直线l垂直平分
；④直线 与 的交点不一定在直线l上．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】A
【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点
所连线段的垂直平分线是解题的关键．
根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可．
【详解】解： 和 关于直线 对称，
∴ ，故①正确，
和 关于直线 对称，点D与点 关于直线 对称的对称点，
∴ ，故②正确；
和 关于直线 对称，
线段 、 、 被直线 垂直平分，
直线 垂直平分 ，故③正确；
和 关于直线 对称，
线段 、 所在直线的交点一定在直线 上，故④错误，
∴正确的有①②③，
故选：A．
3．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图， 以 所在直线为对称轴作 ，
，则 ．【答案】90°/90度
【分析】本题考查了轴对称性质．根据轴对称性质，对应的角相等， ．
【详解】解： 与 关于 所在直线为对称，
， ，
又 ，
，
．
故答案为： ．
4．（22-23八年级上·宁夏石嘴山·期末）如图，点 在 内，点 、 分别是 点关于 、 的
对称点，且 与 、 分别相交于点 、 ，若 的周长为20，求 的长．
【答案】
【分析】根据轴对称的性质可得 ， ，再根据线段的代换即可求解．
【详解】解：∵点M是P点关于 的对称点，
∴ ，
∵N是P点关于 的对称点，
∴ ，
∴ 的周长，
∵ 的周长为20，∴ ．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，正确理解题意、熟练掌握轴对称的性质是解题关键．
【考点题型二】线段的垂直平分线
5．（24-25八年级上·全国·期末）下列条件中，不能判定直线 是线段 （M，N不在 上）的垂直
平分线的是（）
A． ， B． ，
C． D． ， 平分
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，根据线段垂直平分线的意义及性质进行分析、判断即
可，掌握线段垂直平分线的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：A、
∴点 和点 都在线段 的垂直平分线上，
∴直线 是线段 的垂直平分线，故选项不符合题意；
B、
∴直线 是线段 的垂直平分线，故选项不符合题意；
C、当 时， 是线段 的垂直平分线，但直线 不一定是线段
的垂直平分线，故选项符合题意；
D、 平分 ，
∴直线 是线段 的垂直平分线，故选项不符合题意；
故选：C．
6．（24-25八年级上·全国·期末）如图， 的边 的垂直平分线交 于点D，连接 ，若 ，
，则 ．
【答案】7
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等是解题
的关键．根据 的边 的垂直平分线交 于点D，得出 ，再由 求解即可．
【详解】解：∵ 的边 的垂直平分线交 于点D， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：7．
7．（23-24八年级上·陕西安康·期末）如图，在 中，点D是 的中点，连接 ， 垂直平分
，垂足为E，F是 的中点，连接 ，求证： 是 的垂直平分线．
【答案】证明过程见详解
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的判定和性质，利用条件证得 是解题的关键．
由 垂直平分 ，可得 ，由D为 中点，则可得 ，且F为 的中点，则可证得结
论．
【详解】证明： 垂直平分 ，
，
∵D为 的中点，
，
，
∵F为 的中点，
即 ,
垂直平分 ．
8．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）如图所示，在 中， ， 为 的中点，且 ，
已知 的周长为 ，且 ，求 、 的长．【答案】 ，
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握其性质．
根据题意可知 ，然后根据 ，可得出 、 的长度．
【详解】解： ∵ 的周长为8，
∴
∵ 的垂直平分线交 于点D，交 于点E，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ， ．
【考点题型三】等腰三角形的性质与判定
9．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，在 中， ，过点 作 于点 ，过
点 作 于点 ，连接 ，过点 作 ，交 于点 ． 与 相交于点 ，若点
是 的中点，则下列结论中，① ；② ；③ ；④
．正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识的综合运用，掌握等腰三
角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，数形结合分析是解题的关键．
根据题意，利用角边角证明 ，可得 是等腰直角三角形，可判定结论①；过点
作 于点 ，证明 ，得 ， ，可判定结论②；
根据上述证明，设 ，则 ， ， ，可判定结论③；根据题意可证 ，得到 ，结合上述证明可得 ，则有 ，进
而得到 ，可判定结论④；由此即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，故①正确；
如图所示，过点 作 于点
由①的证明可得， ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵点 是CD中点，
∴ ，在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故②正确；
由上述证明，设 ，则 ， ， ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
∵ ，
∴ ，
由①可知， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④错误；
综上所述，正确的有①②③，共3个，
故选：C ．
10．（21-22八年级上·云南红河·期末）如图，在 中， ， ， ， 的平分线
相交于点 ，过 作 交 于点 ，交 于点 ，则 的周长等于 ．【答案】18
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质．平行结合角平分线，推出 ，进而得到
的周长为 ，即可得出结果．
【详解】解：∵ 和 的平分线相交于点D，
∴ ，
∵过点D作 的平行线交 于点E，交 于点F，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长为
；
故答案为：18．
11．（24-25八年级上·全国·期末）如图， 中， ， ， 的垂直平分线交 于点
E，交 于点D，连接 ．
(1)求 的度数；(2)若 ，求 长．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得到 ，再由等腰三角形的性质得出 ，结
合等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出 的度数，再用角的和差来计算求解；
（2）由（1）得 ，结合等腰三角形性质得到 的度数，再结合三角形外角性质得到
，从而得出 即可求解．
【详解】（1）解：∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：由（1）得 ． ．
∵ 是 的外角，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理和外角的性质，
掌握线段垂直平分线的性质是解答关键．
12．（20-21八年级上·云南红河·期末）如图，在 中， ，点 为 的中点，边 的垂直
平分线交 ， ， 于点 ， ， ，连接 ．
(1)求证： 为等腰三角形；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)【分析】本题主要考查等腰三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理和外角的
性质．
（1）连接 ，根据线段垂直平分线的性质，先求得 ，根据等腰三角形三线合一的性质，求得
即可．
（2）根据等腰三角形三线合一的性质，可求得 ，根据三角形内角和定理可求
得 的度数，结合 即可求得答案．
【详解】（1）证明：连接 ，
为线段 的垂直平分线，
．
，点 为 的中点，
为线段 的垂直平分线．
．
．
∴ 为等腰三角形；
（2）解： ，点 为 的中点，
为 的平分线．
．
．
．
∵ 为等腰三角形，
．
．
【考点题型四】综合应用
13．（24-25八年级上·全国·期末）已知： 为等边三角形．(1)如图1，点D、E分别为边 上的点，且 ．
①求证： ；
②求 的度数．
(2)如图2，点D为 外一点， ， 、 的延长线交于点E，连接 ，猜想线段 、
、 之间的数量关系并加以证明．
(3)如图3，D是等边三角形 外一点．若 ，连接 ，直接写出 的最大值与最小值的
差．
【答案】(1)①证明见解析；②
(2)猜想 ，证明见解析
(3) 的最大值与最小值的差为
【分析】（1）①先由等边三角形的性质得到 ， ，再根据“边角边”，证明三
角形全等即可．②利用全等三角形的性质得到 ，再根据三角形的外角的性质即可解决问题；
（2）在 上取一点 ，使得 ，证明 ，得到 ，据此根据线段的和差
关系可证明 ；
（3）以 为边向外作等边 ，连接 ，根据“边角边”，得出 ，再根据全等三角形
的性质，得出 ，再根据三角形的三边关系，求出 的取值范围，进而得出 的取值范围，即可
得出 的最大值和最小值，然后相减即可得出答案．
【详解】（1）①证明：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
在 和 中，
，∴ ；
②解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：猜想 ，证明如下：
如图2中，在 上取一点 ，使得 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图3中，以 为边向外作等边 ，连接 ，∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，最大值为 ，
∵ ，
∴ 的最大值与最小值的差为 ．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定和性质，三角形的
三边关系和三角形外角的性质等知识，解本题的关键在正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于
中考常考题型．
14．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，在等边三角形 中， 是 延长线上一点，连接 ，
且 ，点 关于 的对称点为 ，连接 ， 分别交 于点 ， ，
(1)依题意补全图形．
(2)改变 的大小，在 变化过程中， 的大小是否发生变化？若有变化，请写出 的变化范围；
若不变，请求出 的大小；
(3)试判断线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)补全图形见解析；(2) 的大小不会发生变化， ；
(3) ，理由见解析．
【分析】（ ）依题意补全图形即可；
（ ）连接 ， ，在 上截取 ，由点 关于 的对称点为 ，则 垂直平分 ，所以
， ， ， ，由 ，则 垂直平分 ，则
，故 ，设 ，则 ，
，
由内角和定理得 ，从而有 ；
（ ）由（ ）得： ，则 ， ，证明 ，根据全
等三角形的性质得 ，最后由和差即可求解．
【详解】（1）如图，
（2） 的大小不会发生变化， ，理由，
如图，连接 ， ，在 上截取 ，
∵点 关于 的对称点为 ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ， ， ， ，
由 ，则 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，∴ ， ，
由 得 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由内角和定理得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3） ，理由，
如（ ）图，
由（ ）得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
由（ ）得： ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，等边三角形的
性质，垂直平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【考点题型五】与边或周长有关的问题
15．（23-24八年级上·浙江金华·期末）已知等腰 一边长为3，另一边长是化简 的结果，则
该三角形的周长是（ ）
A．15 B．21 C．15或21 D．15或12
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两
种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
【详解】解： ，
∵等腰三角形的一边长为3，另一边长为9，
∴有两种情况：
①3为底，9为腰，那么 ，
则三角形的周长 ；
②9为底，3为腰，那么 ，不符合题意，
∴该三角形的周长是21．
故选：B．
16．（22-23八年级上·湖南常德·期末）一个等腰三角形一边长为 ，另一边长为 ，则这个等腰三角形的
周长为（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】D
【分析】分边长为4的边为底边和腰两种情况结合构成三角形的条件进行求解即可．【详解】解：当边长为4的边为底边时，则这个三角形的三边为4， ， ，
∵ ，
∴不能构成三角形，不符合题意；
当边长为4的边为腰时，则这个三角形的三边为4，4， ，
∵ ，
∴能构成三角形，符合题意，
∴这个等腰三角形的周长为 ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，实数比较大小，利用分类讨论的思想求
解是解题的关键．
17．（23-24八年级上·湖南永州·期末）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为5，则它的第三边的长
为 ．
【答案】4或5
【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系．分4为腰和底边两种情况进行讨论即可．
【详解】解：∵等腰三角形的一边长为4，另一边长为5，
∴当4为腰长时，第三边的长也是4， ，满足题意；
当4为底时，第三边的长是5， ，满足题意；
∴第三边的长为4或5．
故答案为：4或5．
18．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）用一条长为 的细绳围成一个等腰三角形．
(1)若腰长比底边长短 ，求它的三边长；
(2)能围成有一边的长是 的等腰三角形吗﹖若能，请求出它的另两边，若不能，请说明理由．
【答案】(1) ， ，
(2)能，另外两条边长都是
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键，注意利用三角形三
边关系进行验证．
（1）设腰长为 ，则底边长为 ，由条件列出方程，求解即可；
（2）分腰长为 和底边长为 两种情况讨论即可．【详解】（1）解：设腰长为 ，则底边长为 ，
．
解得 ．
∴它的三边分别为 ， ， ．
（2）解：能围成有一边长的长是 的等腰三角形．理由如下：
①如果 长的边为底边，设腰长为 ，则
．
解得 ．
②如果 长的边为腰，则另两边长为 ， ．
∵ ，不符合三角形两边之和大于第三边，
故不能围成腰长为 的等腰三角形，
综上所述，能围成有一边长的长是 的等腰三角形．它的另外两条边长都是
【考点题型六】与角有关的问题
19．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）等腰三角形的两内角的度数之比为 ，则这个等腰三角形底角
的度数为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】没有说明是顶角与底角的比还是底角与顶角的比，则应该分两种情况进行分析，根据三角形的内
角和定理即可求得其底角的度数．
【详解】解：当底角与顶角的比是 时，
设底角为 ，顶角为 ，根据三角形内角和得， ，
解得： ，
即底角为 ；
当顶角与底角的比是 ，设顶角为 ，底角为 ，根据三角形内角和得， ，
解得： ，
，
即底角为 ；
所以底角的度数为 或 ．
故选D．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
20．（23-24八年级上·云南昭通·期末）如果等腰三角形的一个内角为另一个内角的2倍，那么该等腰三角
形的顶角等于（ ）
A． 或 B． C． 或 D． 或
【答案】A
【分析】此题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理；设其中一个角的度数为 ，则另一个角为
，分两种情况由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
【详解】解：设其中一个角的度数为 ，则另一个角为 ，
①顶角度数为 时，则
解得： ，
②当顶角为 时，则
∴ ，则顶角为 ，
故选：A．
21．（22-23八年级上·广东汕头·期末）一个等腰三角形的两个内角的和为 ，则它的顶角度数为 ．
【答案】 或
【分析】分两种情况：当等腰三角形的两个底角的和为 时；当等腰三角形的顶角和一个底角的和为
时，即可求解．
【详解】解：当等腰三角形的两个底角的和为 时，
它的顶角度数为 ，
当等腰三角形的顶角和一个底角的和为 时，
它的底角度数为 ，
∴它的顶角度数为 ，
综上所述，它的顶角度数为 或 ．
故答案为： 或
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
22．（21-22八年级上·黑龙江牡丹江·期末）在△ABC中，∠B＝25°，∠A＝100°，点P在△ABC的三边上
运动，当△PAC成为等腰三角形时，其顶角的度数是多少度呢？请画出图形，在相应图形下方直接写出答
案．
【答案】图见解析，100°或70°或55°
【分析】作出图形，然后分点P在AB上与BC上两种情况讨论求解．
【详解】解：①如图1，点P在AB上时，AP=AC，顶角为∠A=100°，
②∵∠ABC=25°，∠BAC=100°，∴∠ACB=180°-25°-100°=55°，
如图2，点P在BC上时，若AC=PC，顶角为∠ACB=55°，
如图3，若AC=AP，则顶角为∠CAP=180°-2∠ACB=180°-2×55°=70°，
综上所述，顶角为100°或55°或70°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，难点在于要分情况讨论求解，作出图形更形象直观．
23．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末） 是等腰 腰 上的高，且 ，则等腰
底角的度数是多少？（画出符合题意的图形，并直接写出结果）
【答案】图见解析，等腰 底角的度数是 或 或 ．
【分析】本题考查了等腰直角的性质，直角三角形的性质．分三种情况讨论，分别画出图形，利用等腰三
角形的性质以及直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：当 为锐角三角形时，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当 为钝角三角形，且 时，如图，∵ ，
∴ ，
∴ ；
当 为钝角三角形，且 时，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
综上，等腰 底角的度数是 或 或 ．
【考点题型七】与高有关的问题
24．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则顶角的度数为
（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义以及直角三角形两锐角互余，进行分等腰三角形是锐角三角形
与钝角三角形去分析求解即可求得答案是正确解答本题的关键．
【详解】解：①当为锐角三角形时，如图，
高与左边腰成 夹角，由三角形内角和为 可得，顶角为 ；
②当为钝角三角形时，如图，此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为 ，由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为 ，所
以三角形的顶角为 ．
故选D．
25．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点 、点 在线段 的垂直平分线上，且
，则 的度数为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，分类计算，分点C，D在 的同侧和异侧计
算即可．
【详解】∵点 、点 在线段 的垂直平分线上，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
当点C，D在 的同侧时，
；
当点C，D在 的异侧时，
故答案为： 或 ．26．（22-23八年级上·湖北荆门·期中）（1）在等腰 中， ，一腰上的中线 将三角形的
周长分成15和9两部分，求这个等腰三角形的腰长及底边长．
（2）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，求这个等腰三角形的底角的度数．
【答案】（1）腰长为10，底边长为4；（2）这个等腰三角形的底角的度数是 或
【分析】（1）设 ，则 ，分两种情况：①当 ， 时，②当
， 时，分别列方程求出x得到腰长，即可求出底边；
（2）分①若是锐角三角形，②若三角形是钝角三角形两种情况求解
【详解】解：（1）设 ，则 ，
①当 ， 时，则 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴这个等腰三角形的腰长为10，底边长为4；
②当 ， 时，则 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴此时不成立．
综上，这个等腰三角形的腰长为10，底边长为4；
（2）在 中，设 于D．
①若是锐角三角形， ，
∴底角 ；②若三角形是钝角三角形， ，
∴底角
综上，这个等腰三角形的底角的度数是 或 ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边对等角求角度，三角形外角的性质，在解题时要注意找
出等量关系是解题的关键．
【考点题型八】综合创新问题
27．（22-23八年级上·湖北荆门·期末）如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC边上的点，BD＝
CE，AD与BE相交于点P，AP＝4，Q是射线PE上的动点．
(1)求证： ：
(2)若△APQ为直角三角形，求PQ的值；
(3)当△APQ为钝角三角形时，直接写出PQ的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)2或8
(3) 或
【分析】（1）先利用等边三角形的性质得出= 即可得出结论；
（2）先借助（1）的结论，判断出 ，进而分两种情况，即可得出结论；
（3）借助（2）的结论即可得出范围．
【详解】（1）解：∵ 是等边三角形，∴
在 和 中，
∴ ；
（2）如图，由（1）知， ，
∵ 为直角三角形，
①当 时，
∵ ，
∴ ，
②当 时，即 ，
∴ ，
即 是直角三角形时， 或8.
（3）∵ 为钝角三角形，
∴ 当 时， ，
②当 时， ．即： 是钝角三角形时， 或 ．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直
角三角形的性质，钝角三角形的特点，解本题的关键是判断出 ．
28．（21-22八年级上·吉林长春·阶段练习）有一边长为 的正方形 和等腰直角 ， ，
．点B，C，Q，当C，Q两点重合时，t秒后正方形 与等腰直角 重合部分的面积为
，解答下列问题：
(1)当Q在线段 上时， ；当Q在线段 延长线上时， （用含t的代数式表示）．
(2)当 秒时，求S的值．
(3)当重合部分为四边形时，请用含t的代数式表示S，并注明t的取值范围．
【答案】(1) ， ；
(2)S的值为 ；
(3) （ ）或 （ ）
【分析】此题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、用转化法求图形的面积、数形结合与分
类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长是解题的关键．
（1）由题意可知， ， ，当点Q在线段 上时，则 ，当点Q在线段 的延长线
上时，则 ；
（2）当 时， ，设 交 于点F，先证明 ， ，即可求出
的面积，即S的值；
（3）作 于点E，则 ，得 ，先求得 的面积为 ，再确定当重合部分为四边形时t的取值范围，用含t的代数式表示线段 或 的长，再用转化法表示出当
重合部分为四边形时该四边形的面积，整理成用含t的式子表示S的等式即可．
【详解】（1）解：如图1，∵ ，
∴当点Q在线段 上时，则 ，
当点Q在线段 的延长线上时，则 ，
故答案为： ， ．
（2）当 时， ，
如图1，设 交 于点F，
∵ ， ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴S的值为 ．
（3）如图1，作 于点E，
∵ ，
∴ ，
∴ ，当点P落在 上时，则 ，
当点Q与点B重合时，则 ，
当点R与点C重合时，则 ，
当点P落在 上时，则 ，
如图2，当 时，设 交 于点G，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴如图3，当 时，设 交 于点H，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述， （ ）或 （ ）．
29．（23-24八年级上·吉林延边·期末）在 中， ，直线l过点A，且 ． 与
关于直线l对称，点B的对称点是点D， 与 的三边围成的图形记作图形“M”．
(1)如图①，若 ，则 的度数为_______；(2)如图②，点P在直线l上，且 ，过点P作 ，垂足为点F．求证： ；
(3)若 ，将直线l沿着 方向向右平移1个单位长度，与 、 分别交于点F、G．点H在
上方的直线l上，且 ．动点P从点H出发以每秒2个单位长度的速度沿射线 向下匀速运动，
运动时间为 ，点P关于直线 的对称点为点 ．
①如图③，若点 恰好在边 上，连接 ，则线段 的长度为______， ______s；
②当点 落在图形“M”的内部（不包括边界）时，直接写出t的取值范围．
【答案】(1)55°
(2)详见解析
(3)①2， ；② 或
【分析】本题主要考查了解直角三角形，轴对称的性质，全等三角形的判定等，解题的关键在于能够正确
作出辅助线，利用分类讨论和数学结合的思想求解．
（1）根据 与 关于直线l对称，先求出 的度数，即可求解．
（2）根据全等三角形与图形对称，证明 和 即可解出．
（3）根据条件判断出 为等腰直角三角形，在分情况讨论即可求出结果．
【详解】（1）解： ，
，
与 关于直线l对称，
．
故答案为 ．
（2）解： ，
，
，
又 ，
，
，
在 和 中，，
，
，
与 关于直线l对称，
，
．
（3）解：①根据题意得 ， 为等腰直角三角形．
，
，
，
，
∵ ，
∴ ，
故答案为 ，
②解：点 落在图形“M”的内部，分两种情况讨论
当 在 内部时，
由①可得：当 时， ，点 恰好在边 ，
当 时， ， 点 恰好在边 ，
故 时， 在 内部．
当 在 内部时，
延长 ，交直线l于点O，
同理可得， ，
当P点落在O点时，即当 时， ，点 恰好在边 ，同理，当点 恰好在边 上时 ，
∴ 时， 在 内部．
综上所述， 或 时，点 落在图形“M”的内部（不包括边界）．
