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专题 03 轴对称（考题猜想，4 种热考题型）
题型一：求轴对称图形的个数（共4题）
1．（2023秋•凤山县期末）如图，在 的方格纸中有一个以格点为顶点的△ ，则与△ 成轴对
称且以格点为顶点三角形共有
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．（2023秋•徐州期末）如图，方格纸中有3个小方格被涂成黑色，若从其余13个白色小方格中选出一
个涂成黑色，使所有的黑色方格构成轴对称图形，则不同的涂色方案共有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022秋•昆明期末）如图，在 的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称
为格点三角形，图中的 为格点三角形，在图中与 成轴对称的格点三角形可以画出
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
4．（2021秋•门头沟区期末）如图，在 正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形
称为格点三角形，图中的 为格点三角形，在图中可以画出与 成轴对称的格点三角形的个数为
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
题型二：等腰三角形中添加辅助线8种常用方法（共8题）
1.（作底边中线）（23-24八年级上·北京·期末）如图，在 中， ，D是 的中点，过A作
，且 ．求证：
(1) ；
(2) ．2.（作底边高）（23-24八年级上·山东临沂·期末）已知在 中， ，点D是边 上一点，
．
(1)如图1， 试说明 的理由；
(2)如图2， 过点B作 ，垂足为点E， 与 相交于点F ．
①试说明 的理由；
②如果 ，求 的度数．3.（作腰的平行线）（22-23八年级上·河南鹤壁·期末）问题初探
如图①， 中， ， ，点 是 上一点，连接 ，以 为一边作 ，使
， ，连接 ，猜想 和 有怎样的数量关系，并说明理由．
类比再探
如图②， 中， ， ，点 是 上一点，点 是 上一点，连接 ，以
一边作 ，使 ， ，连接 ，则 ________．（直接写出答案，不写过
程）
方法迁移
如图③， 是等边三角形，点 是 上一点，连接 ，以 为一边作等边三角形 ，连接 ，
则 、 、 之间有怎样的数量关系？答案：________（直接写出答案，不写过程）．
拓展创新
如图④， 是等边三角形，点 是 上一点，点 是 上一点，连接 ，以 为一边作等边三
角形 ，连接 ，猜想 的度数，并说明理由．4.（作底的平行线）（23-24八年级上·北京·期末）如图，等边 中， 在边 延长线上一点，延长
至 ，使 ， 于 ，求证： ．
5.（补形法构造等腰三角形）（23-24八年级上·江西上饶·期末）如图， 中， ，
于D，且 ，求 ．6.延长（或截取）法构造三角形（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在 中， ，
，直线 经过点 ，如图1，直线 与线段 相交， 于 ， 于D，F是 的中点，
连接 、 ．
(1)求证： ；
(2)求证： 且 ；
(3)当直线 与线段 不相交，如图2，（2）中的结论还成立吗？请说明理由．
7.倍长中线法构造等腰三角形（22-23八年级上·上海杨浦·期末）已知，如图： 中， ，
是 的中线：求证： ．
8.截长补短法构造等腰三角形（23-24八年级上·辽宁大连·期末）【问题情境】
在数学活动课上，李老师给出如下的问题：如图1，已知 ， ，过点B作射线l，点E在 的内部，点A和点E关于l对称，
交l于点D，连接 ．证明： ．
【探究合作】
同学们根据问题进行小组合作，下面是第一小组的同学分享的解题过程：
小红：除已知所给相等的边和角之外，我们小组还推理得到 ；
小鹏：从结论出发可以“截”较长的线段，本题转化为证明两条线段相等的问题．如图2，在 上截取
，再证明 ；
小亮：要证明 ，观察图形选取“证明这两条线段所在的三角形全等”的方法，如图3，连接 ，
以 为目标构造与之全等的三角形；
小明：与小鹏的想法类似，但采用将结论中任一较短的线段“补”的方法．如图4，延长 到点G，使
，连接 ，再确定一个三角形作为目标构造与之全等的三角形证明．
【推理证明】
（1）请你推理出小红的结论；
（2）根据第一小组同学们的解题思路，任选一种方法证明 ．
【反思提升】
李老师：小鹏和小明利用“截长补短”的方法，将“求证一条线段等于两条线段和的问题”转化为“求两
条线段相等的问题”，这就将新问题转化为我们熟悉的问题去解决，转化思想在数学学习中无处不在．
请同学们反思后解决下面的问题：
（3）如图， ， ，点D是 的角平分线上一动点， 的垂直平分线交射线 于
E，求 的最小值．题型三：添加辅助线方法——等腰三角形与全等构造（共8题）
1．（2024秋•思明区校级期中） △ 中， ，点 ， 在边 上（点 在点 的左
侧）， ， ，点 在边 上． ，若 ， ， ，
则 ．（用含 ， 的式子表示）
【分析】延长 构造等腰三角形，得出 是大三角形的角平分线，然后作平行线构造等腰三角形，从而
得到一对全等的三角形，据此求出 的长，最后得出 的长，即为 的长．
2．（2024秋•玄武区校级期中）如图，在△ 中， ，将△ 沿 折叠至△ ，
，连接 ， 平分 ，则 的度数是 ．（用含 的代数式表
示）
3 ． 如 图 ， 在 中 ， ， 为 三 角 形 内 部 一 点 ， 连 接 并 延 长 交 于 点，则 ．
4．（2023秋•江汉区月考）如图在 中， 为 边上的中线， 是线段 上一点，且 ，
的延长线交 于 ，且 ．
（1）求证： ；
（2）求 的度数．
5．（2022秋•平谷区期末）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图，在 中， 是 边上的中线， 是 上一点，延长 交 于
点 ， ，求证： ．
小明发现，延长 到点 ，使 ，连结 ，构造 ，通过证明 与 全等，
为等腰三角形，使问题得以解决（如图 ．
请写出推导过程．
6．（2022秋•二七区校级期末）阅读材料：如图1，在 中， ， 分别是边 ， 的中点，小
明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长 到点 ，使 ，连接 ，证明 ，再证四边形 是平行四边形即得证．
（1）类比迁移
如图2， 是 的中线， 交 于点 ，交 于点 ，且 ，求证： ．小明发
现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图2，延长 至点 ，使 ，连接 ， 请根据小明的思路完成证明过程．
（2）方法运用
如图3，在等边 中， 是射线 上一动点（点 在点 的右侧），连接 ．把线段 绕点 逆
时针旋转 得到线段 ． 是线段 的中点，连接 ， ．
①请你判断线段 与 的数量关系，并给出证明；
②若 ， 请直接写出 的长．
7．（2023秋•咸安区期末）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法．
（1）如图1， 是△ 的中线， ， ，求 的取值范围．
我们可以延长 到点 ，使 ，连接 ，根据 可证△ △ ，所以 ．接下来，在△ 中利用三角形的三边关系可求得 的取值范围，从而得到中线 的取值范围是：
；
（2）如图2， 是△ 的中线，点 在 边上， 交 于点 ，且 ，请参考（1）中的
方法求证： ；
（3）如图3，在四边形 中， ，点 是 的中点，连接 ， ，且 ，试猜想
线段 ， ， 之间的数量关系，并予以证明．
8．（2023春•市南区期末）问题解决：
（1）如图1， 中， 为 边上的中线，则 ．
（2）如图2， ， ， 分别为 ， ， 的中点，则 ．（3）如图3， ， ， 分别为 ， ， 的中点，若 ，则 ．
问题探究：
（1）如图4， ， 是 的中线， ， 交于点 ， 与 相等吗？
解： 中，由问题解决的结论可得， ， ．
．
．
即 ．
（2）如图 5， 中， 是 上的一点， ， 是 的中线，且 ，试求
的值．
问题拓展：
如图6， 中， 平分 ， ，则 ．题型四：轴对称之最短路径（共8题）
1．（2023秋•下陆区期末）如图，点 在等边 的边 上， ，射线 ，垂足为点 ，
点 是射线 上一动点，点 是线段 上一动点，当 的值最小时， ，则 的长为
A．7 B．8 C．9 D．10
2．（2023秋•汉阳区期末）如图， 的面积为6， ， 平分 ．若 ， 分别是 ，
上的动点，则 的最小值
A． B． C． D．3
3．（2023秋•渝中区期末）如图， 中， ， ， 于点 ，且 ，点
和 分别是 ， 上的动点，则 的最小值为A．4 B．5 C． D．
4．（2023秋•思明区校级期末）如图，平面直角坐标系中有三点 、 、 ，在 轴上找一
点 ，使得四边形 的周长最小，则 长为
A．0 B．0.5 C．1 D．2
5．（2023秋•同安区期末）如图，在 中， ， 的垂直平分线交 于 ，交 于 ，
是直线 上一动点，点 为 的中点．若 ， 的面积是30，则 的最小值为
A．5 B．6 C．12 D．24
6．（2023秋•西城区期末）如图，在△ 中， ， ，点 ， 是边 上的两个定点，
点 ， 分别是边 ， 上的两个动点．当四边形 的周长最小时， 的大小是A． B． C． D．
7．（2023 秋•巴中期末）如图，在 中， ， ，点 在直线 上，
，点 为 上一动点，连接 、 ．当 的值最小时， 的度数为 度．
8．（2023秋•重庆期末）在 中，点 是边 上一点，连接 ．
（1）如图1，若 平分 ， ， ， 的面积为3，求 的面积；
（2）如图2，若 ，点 在 上，满足 ，过点 作 于点 ，交 的延
长线于点 ，若 ，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，已知 ，点 ， 分别是线段 ， 上的动点，连接 ， ，
当 的最小值是 时，直接写出线段 的长．（用含 ， 的代数式表示）
